2013年高考广东卷文科数学试题及答案
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21．（本小题满分14分）
设函数 ．
(1)当 时,求函数 的单调区间；
(2)当 时,求函数 在 上的最小值 和最大值 ．
【解析】：
(1)当 时
, 在 上单调递增.
（2）当 时， ，其开口向上，对称轴 ，且过
（i）当 ，即 时， ， 在 上单调递增，
从而当 时， 取得最小值 ,
当 时， 取得最大值 .
7．垂直于直线 且与圆 相切于第Ⅰ象限的直线方程是
A． B．
C． D．
【解析】直接法可设所求的直线方程为： ，再利用圆心到直线的距离等于 ，求得 .选A.
8．设 为直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【解析】借助长方体判断，可知B正确..
分组（重量）
频数（个）
5
10
20
15
(1)根据频数分布表计算苹果的重量在 的频率；
(2)用分层抽样的方法从重量在 和 的苹果中共抽取4个，其中重量在 的有几个？
(3)在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在 和 中各有1个的概率．
【解析】（1）苹果的重量在 的频率为 ；
（2）重量在 的有 个；
【解析】：考查三角函数诱导公式， ，选C.
5．执行如图1所示的程序框图，若输入 的值为3，则输出 的值是
A．1 B．2 C．4 D．7
【解析】根据程序框图，s=1+0+1+2=4.选C.
6．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是
A． B． C． D．
【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则 ，选B.
（ii）当 ，即 时，令
解得： ,注意到 ,
(注：可用韦达定理判断 ， ,从而 ；或者由对称结合图像判断)
的最小值 ,
的最大值
综上所述，当 时， 的最小值 ,最大值
解法2（2）当 时，对 ，都有 ，故
故 ，而 ， ,
所以 ， .
数列 的通项公式为 .
（3）
20．（本小题满分14分）
已知抛物线 的顶点为原点，其焦点 到直线 的距离为 ．设 为直线 上的点，过点 作抛物线 的两条切线 ，其中 为切点．
(1)求抛物线 的方程；(2)当点 为直来自 上的定点时，求直线 的方程；
(3)当点 在直线 上移动时，求 的最小值．
【解析】（1）依题意 ，解得 （负根舍去）
2013年普通高等学校招生全国统一考试
文科（文科A卷）数学
（广东卷）
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
锥体的体积公式： ．其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合 ， ，则
二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分．
（一）必做题（11～13题）
11．设数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，则
【解析】依题意得a1=1,a2=-2,a3=4,a4=-8.所以
12．若曲线 在点 处的切线平行于 轴，则 ．
【解析】本题考查切线方程、方程的思想.依题意
13．已知变量 满足约束条件 ，则 的最大值是．
如图3，在矩形 中， ， ，垂足为 ，则 ．
【解析】由 ，可知
从而 ，
.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数 ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 ．
【解析】(1)
（2） ， ，
．
17．（本小题满分13分）
从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：
④给定正数 和 ，总存在单位向量 和单位向量 ，使 ；
上述命题中的向量 ， 和 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是
A．1B．2C．3D．4
【解析】本题是选择题中的压轴题，主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则.
利用向量加法的三角形法则，易知①是对的；利用平面向量的基本定理，易知②是对的；以 的终点作长度为 的圆，这个圆必和向量 有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须 ，所以④是假命题.综上，本题选B.
（3）设这4个苹果中 分段的为1， 分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：
（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在 和 中各有1个的事件为A，则事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以 .
18．（本小题满分13分）
如图4，在边长为1的等边三角形 中， 分别是 边上的点， ， 是 的中点， 与 交于点 ，将 沿 折起，得到如图5所示的三棱锥 ，其中 ．
19．（本小题满分14分）
设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，满足 且 构成等比数列．
(1)证明： ；
(2)求数列 的通项公式；
(3)证明：对一切正整数 ，有 ．
【解析】（1）当 时， ，
（2）当 时， ，
,
当 时， 是公差 的等差数列.
构成等比数列， ， ，解得 ,
由（1）可知，
是首项 ,公差 的等差数列.
(1)证明： //平面 ；
(2)证明： 平面 ；
(3)当 时，求三棱锥 的体积 ．
【解析】（1）在等边三角形 中，
,在折叠后的三棱锥 中
也成立， , 平面 ，
平面 ， 平面 ；
（2）在等边三角形 中， 是 的中点，所以 ， .
在三棱锥 中， ，
；
（3）由（1）可知 ，结合（2）可得 .
【解析】这个题是入门级的题，除了立体几何的内容，还考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容.
9．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为 ，离心率等于 ，则C的方程是
A． B． C． D．
【解析】基础题， ，选D.
10．设 是已知的平面向量且 ，关于向量 的分解，有如下四个命题：
①给定向量 ，总存在向量 ，使 ；
②给定向量 和 ，总存在实数 和 ，使 ；
③给定单位向量 和正数 ，总存在单位向量 和实数 ，使 ；
抛物线 的方程为 ；
（2）设点 , ， ，
由 ,即 得 .
∴抛物线 在点 处的切线 的方程为 ，
即 .
∵ ，∴ .
∵点 在切线 上,∴ .①
同理， .②
综合①、②得，点 的坐标都满足方程 .
∵经过 两点的直线是唯一的，
∴直线 的方程为 ，即 ；
（3）由抛物线的定义可知 ，
所以
联立 ，消去 得 ，
当 时， 取得最小值为
【解析】画出可行域如图，最优解为 ，故填5；
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）
已知曲线 的极坐标方程为 ．以极点为原点，极轴为 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线 的参数方程为．
【解析】先化成直角坐标方程 ，易得曲线C的参数方程为 （ 为参数）。
15．（几何证明选讲选做题）
A． B． C． D．
【解析】：先解两个一元二次方程，再取交集，选A！
2．函数 的定义域是
A． B． C． D．
【解析】：对数真数大于零，分母不等于零，选C！
3．若 ， ，则复数 的模是
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】：通过复数的运算和复数相等，得 ，模为5，选D.
4．已知 ，那么
A． B． C． D．
设函数 ．
(1)当 时,求函数 的单调区间；
(2)当 时,求函数 在 上的最小值 和最大值 ．
【解析】：
(1)当 时
, 在 上单调递增.
（2）当 时， ，其开口向上，对称轴 ，且过
（i）当 ，即 时， ， 在 上单调递增，
从而当 时， 取得最小值 ,
当 时， 取得最大值 .
7．垂直于直线 且与圆 相切于第Ⅰ象限的直线方程是
A． B．
C． D．
【解析】直接法可设所求的直线方程为： ，再利用圆心到直线的距离等于 ，求得 .选A.
8．设 为直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【解析】借助长方体判断，可知B正确..
分组（重量）
频数（个）
5
10
20
15
(1)根据频数分布表计算苹果的重量在 的频率；
(2)用分层抽样的方法从重量在 和 的苹果中共抽取4个，其中重量在 的有几个？
(3)在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在 和 中各有1个的概率．
【解析】（1）苹果的重量在 的频率为 ；
（2）重量在 的有 个；
【解析】：考查三角函数诱导公式， ，选C.
5．执行如图1所示的程序框图，若输入 的值为3，则输出 的值是
A．1 B．2 C．4 D．7
【解析】根据程序框图，s=1+0+1+2=4.选C.
6．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是
A． B． C． D．
【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则 ，选B.
（ii）当 ，即 时，令
解得： ,注意到 ,
(注：可用韦达定理判断 ， ,从而 ；或者由对称结合图像判断)
的最小值 ,
的最大值
综上所述，当 时， 的最小值 ,最大值
解法2（2）当 时，对 ，都有 ，故
故 ，而 ， ,
所以 ， .
数列 的通项公式为 .
（3）
20．（本小题满分14分）
已知抛物线 的顶点为原点，其焦点 到直线 的距离为 ．设 为直线 上的点，过点 作抛物线 的两条切线 ，其中 为切点．
(1)求抛物线 的方程；(2)当点 为直来自 上的定点时，求直线 的方程；
(3)当点 在直线 上移动时，求 的最小值．
【解析】（1）依题意 ，解得 （负根舍去）
2013年普通高等学校招生全国统一考试
文科（文科A卷）数学
（广东卷）
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
锥体的体积公式： ．其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合 ， ，则
二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分．
（一）必做题（11～13题）
11．设数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，则
【解析】依题意得a1=1,a2=-2,a3=4,a4=-8.所以
12．若曲线 在点 处的切线平行于 轴，则 ．
【解析】本题考查切线方程、方程的思想.依题意
13．已知变量 满足约束条件 ，则 的最大值是．
如图3，在矩形 中， ， ，垂足为 ，则 ．
【解析】由 ，可知
从而 ，
.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数 ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 ．
【解析】(1)
（2） ， ，
．
17．（本小题满分13分）
从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：
④给定正数 和 ，总存在单位向量 和单位向量 ，使 ；
上述命题中的向量 ， 和 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是
A．1B．2C．3D．4
【解析】本题是选择题中的压轴题，主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则.
利用向量加法的三角形法则，易知①是对的；利用平面向量的基本定理，易知②是对的；以 的终点作长度为 的圆，这个圆必和向量 有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须 ，所以④是假命题.综上，本题选B.
（3）设这4个苹果中 分段的为1， 分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：
（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在 和 中各有1个的事件为A，则事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以 .
18．（本小题满分13分）
如图4，在边长为1的等边三角形 中， 分别是 边上的点， ， 是 的中点， 与 交于点 ，将 沿 折起，得到如图5所示的三棱锥 ，其中 ．
19．（本小题满分14分）
设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，满足 且 构成等比数列．
(1)证明： ；
(2)求数列 的通项公式；
(3)证明：对一切正整数 ，有 ．
【解析】（1）当 时， ，
（2）当 时， ，
,
当 时， 是公差 的等差数列.
构成等比数列， ， ，解得 ,
由（1）可知，
是首项 ,公差 的等差数列.
(1)证明： //平面 ；
(2)证明： 平面 ；
(3)当 时，求三棱锥 的体积 ．
【解析】（1）在等边三角形 中，
,在折叠后的三棱锥 中
也成立， , 平面 ，
平面 ， 平面 ；
（2）在等边三角形 中， 是 的中点，所以 ， .
在三棱锥 中， ，
；
（3）由（1）可知 ，结合（2）可得 .
【解析】这个题是入门级的题，除了立体几何的内容，还考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容.
9．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为 ，离心率等于 ，则C的方程是
A． B． C． D．
【解析】基础题， ，选D.
10．设 是已知的平面向量且 ，关于向量 的分解，有如下四个命题：
①给定向量 ，总存在向量 ，使 ；
②给定向量 和 ，总存在实数 和 ，使 ；
③给定单位向量 和正数 ，总存在单位向量 和实数 ，使 ；
抛物线 的方程为 ；
（2）设点 , ， ，
由 ,即 得 .
∴抛物线 在点 处的切线 的方程为 ，
即 .
∵ ，∴ .
∵点 在切线 上,∴ .①
同理， .②
综合①、②得，点 的坐标都满足方程 .
∵经过 两点的直线是唯一的，
∴直线 的方程为 ，即 ；
（3）由抛物线的定义可知 ，
所以
联立 ，消去 得 ，
当 时， 取得最小值为
【解析】画出可行域如图，最优解为 ，故填5；
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）
已知曲线 的极坐标方程为 ．以极点为原点，极轴为 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线 的参数方程为．
【解析】先化成直角坐标方程 ，易得曲线C的参数方程为 （ 为参数）。
15．（几何证明选讲选做题）
A． B． C． D．
【解析】：先解两个一元二次方程，再取交集，选A！
2．函数 的定义域是
A． B． C． D．
【解析】：对数真数大于零，分母不等于零，选C！
3．若 ， ，则复数 的模是
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】：通过复数的运算和复数相等，得 ，模为5，选D.
4．已知 ，那么
A． B． C． D．