直线与圆的方程典型例题

高中数学圆的方程典型例题

类型一：圆的方程

例1求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y=0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系.

分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P与圆的位置关系，只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内.

解法一：(待定系数法)

设圆的标准方程为(x —a)2• (y —b)2 = r2.

•••圆心在y = 0上，故b = 0 .

圆的方程为(x-a)2、y2=r2.

又•••该圆过A(1,4)、B(3,2)两点.

厂 2 2

.(1 —a) +16 =r

• •丿

2 2

(3—a) +4 = r

解之得：a=—1 , r2 =20 .

所以所求圆的方程为(x • 1)2 y2 =20 .

解法二：(直接求出圆心坐标和半径)

因为圆过A(1,4)、B(3, 2)两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线I上，又因为4一2

k AB 1，故I的斜率为1，又AB的中点为(2,3)，故AB的垂直平分线I的方程为：1-3

y -3 = x -2 即x - y 1=0 .

又知圆心在直线y =0上，故圆心坐标为C(-1,0)

•半径r = AC|=J(1+1)2+42=』云.

故所求圆的方程为(x • 1)2• y2 =20 .

又点P(2,4)到圆心C(-1,0)的距离为

d =|PC =$(2+1)2 +42=JN>r .

•••点P在圆外.

2 2

例2求半径为4,与圆x y -4x-2y-4 =0相切，且和直线y = 0相切的圆的方程.

分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解.

解：则题意，设所求圆的方程为圆C：(x-a)2• (y-b)2二r2.

圆C与直线y =0相切，且半径为4,则圆心C的坐标为C1(a , 4)或c2(a,_4).

又已知圆x2 y2—4x-2y_4=0的圆心A的坐标为(2,1)，半径为3.

若两圆相切，贝U CA = 4 -3 = 7或CA = 4—3 = 1.

2 2 2 2 2 2

(1)当C i(a,4)时，(a-2) • (4-1) =7 ,或(a-2) (4-1) =1 (无解)，故可得

a =2 _2.、10 .

•••所求圆方程为(X -2 -2.10)2 (y 一4)2 =42，或(x-2 2. 10)2 - (y 一4)2 =42.

(2)当C2(a,-4)时，(a-2)2 (-4-1)2=72,或(a - 2)2 (-4 -1)2 = 12(无解),故a = 2 士2 . 6 .

•••所求圆的方程为(x - 2 - 2、、6)2，(y • 4)2=42，或(x -2 2. 6)2 (y 4)^42.

说明：对本题，易发生以下误解：

由题意，所求圆与直线y=0相切且半径为4 ,则圆心坐标为C(a,4),且方程形如

2 2 2 2 2 2 2 2

(x -a) (y -4) = 4 .又圆x y -4x -2y-4 = 0，即(x-2) (y -1) = 3 ,其圆心为

A(2,1)，半径为3.若两圆相切,则CA = 4+3 •故(a —2)2 +(4—1)2 =72，解之得a = 2±2(10 •所以欲求圆的方程为(x-2-2 一10)2，(y-4)2=42，或(^2 2. 10)2 (y-4)2=42.

上述误解只考虑了圆心在直线y = 0上方的情形，而疏漏了圆心在直线y = 0下方的情形•另外，误

解中没有考虑两圆内切的情况•也是不全面的.

例3求经过点A( 0,5)，且与直线x-2y=0和2x ■ y = 0都相切的圆的方程.

分析：欲确定圆的方程.需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A，故只需确定圆心坐标.又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上.

解：•••圆和直线x-2y=0与2x，y=0相切，

•圆心C在这两条直线的交角平分线上，

又圆心到两直线x -2y =0和2x ^0的距离相等.

•x-2y|_|x+2y|

・・

5 5

•两直线交角的平分线方程是x，3y=0或3x-y=0.

又•••圆过点A(0,5),

•••圆心C只能在直线3x-y=0上.

设圆心C(t, 3t)

•/ C到直线2x+y=0的距离等于AC ,

2t 3t 2 2

=t2(3t -5)2.

化简整理得t2 -6t • 5 = 0 .

解得：t =1或t=5

•圆心是(1,3)，半径为,5或圆心是(5,15)，半径为5、、5 .

•••所求圆的方程为(x-1)2• (y 一3)2=5或(x-5)2• (y-15)2=125 .

说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法.

例4、设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2；(2)被x轴分成两段弧，其弧长的比为3:1，在满足条件(1) (2)的所有圆中，求圆心到直线丨：x-2y=0的距离最小的圆的方程.

分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程.满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程.

解法一：设圆心为P(a , b)，半径为r .

贝U P到x轴、y轴的距离分别为b和a .

由题设知：圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为90，故圆截x轴所得弦长为,2r .

2 〜2

•r = 2b

又圆截y轴所得弦长为2 .

•r2二a2 1.

又••• P(a,b)到直线x-2y =0的距离为