第5章 带约束的寻优方法

第五章：带约束的寻优方法● 问题：{}⎩⎨⎧=≥==m i X g X R x x x X X f Min i n ,,2,1,0)(|},,,{)(21● 约束函数：等式约束、不等式约束 ● 内点、外点、边界点● 约束非线性规划问题：方法：直接处理约束的方法：约束随机法、复合形法 线性规划去逐次逼近非线性规划问题 有约束化为无约束方法：罚函数法（外点、内点）5.1：有约束最优化问题化为无约束最优化问题的方法（罚函数法）附加一项修正函数（惩罚、障碍） 外点法：由外点开始寻优收敛至最优解 内点法：由内点开始寻优收敛至最优解 ● 外点法 原理设)(X g u i =⎩⎨⎧<∞+≥=000)(u u u p 当当 则：()∑=+=mi i X g p X f X 1)()()(ϕ当R X ∈时，()0)(1=∑=mi iX g p当R X ∉时，()+∞=∑=mi iX g p 1)(()∑=mi iX g p 1)(为惩罚项则：{}⎩⎨⎧=≥==m i X g X R x x x X X f Min i n ,,2,1,0)(|},,,{)(21 )(X Min ϕ⇒ 方法：()∑=+=mi i X g p X f X 1)()()(ϕ，因为当+∞=)(u p 时，数据溢出，因此在其上进行改进1：取充分大的罚因子)(X g u i =⎩⎨⎧<+≥=0100)(2u u u u p 当当()∑=+=mi i X g p M X f M X 1)()(),(ϕ分析：p (u )不连续，当u =0时，导数不存在。

寻优：只能用直接法，不能用方向加速法。

2：一次外点法（1-UMT ）)(X g u i =⎩⎨⎧<-≥=000)(u uu u p 当当()()∑∑==-=+=mi i mi i X g Min M X f X g p M X f M X 11)(,0)()()(),(ϕ分析：p (u )连续，但不可微。

寻优：只能用直接寻优法3：外点罚函数法)(X g u i =⎩⎨⎧<≥=000)(2u uu u p 当当()()[]∑∑==+=+=mi i mi i X g Min M X f X g p M X f M X 121)(,0)()()(),(ϕ分析：p (u )连续，又可微。

寻优：可以用直接寻优法和间接寻优法。

M 的选取 取01>M ，若R M X ∉)(1，说明1M 不够大再取12M M >，若R M X ∈)(1，则停止迭代迭代步骤：1：取01>M ，给定允许误差0>ε，令k =1 2：求无约束问题()[]),()(,0)(),(12k k mi i k k E X M X X g Min M X f Min M X Min nϕϕ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=∑=∈的最优解，设为)(k k M X X = 3：判断 若存在)1(,m j j ≤≤使得ε≥-)(k i X g则取k k M M >+1（如取k k aM M =+1，a=10），令k =k +1，转向2否则迭代停止，得到k X X ≈min迭代框图内点法（障碍函数法）原理： 在可行域R 的边界上，设一道障碍，迭代到边界则自动碰回（障碍），保证迭代在可行域内。

方法：障碍函数：∑=mi i X g r 1)(1障碍因子：r新目标函数：∑=+=mi iX g rX f r X 1)(1)(),(ϕ当迭代点趋近R 的边界时，0)(→X g i ，+∞→)(1X g i则：+∞→),(r X ϕ逐次求解：0lim 021=>>>>∞→k k k r r r r则： 0)(1lim 1=∑=∞→mi i k X g)(),(lim X f r X k =∞→ϕ惩罚逐步消失 迭代步骤1：给定允许误差0>ε，取01>r ，k r 的缩小率0>β 2：求出可行域R 的一个内点R X ∈0，令k =1 3：以R X k ∈-)1(为起始点，对),(k r X ϕ在保持对于R 的可行性前提下，求无约束优化问题),(),(k k k RX M X M X Min ϕϕ=∈的最优解，其中，R r X X k k ∈=)( 4：检验是否满足收敛性判别准则ε≤--1k k X X或ε≤--)()(1k k X f X f或ε≤--)()()(1kk k X f X f X f 若满足，则可以停止迭代，得到kX X ≈min ，否则，取k k r r β=+1，令k =k +1转向3 迭代框图起始点的求法 1：经验选取2：改型时原方案做设计起始点3：以未满足的约束条件负值作为函数，满足的约束条件作约束条件，用内点罚函数法进行迭代，最后求得一个满足所有约束条件的可行点作为内点法的起始点 ● 外点法和内点法的比较1：收敛速度：外〉内2：起始点：外无限制，内在可行域内 3：等式约束：外可用，内不可用4：目标函数在可行域外没有定义或者性质复杂时：外不可用，内可用 5：约束条件要求：外无法近似解满足约束条件的要求，内可以满足 6：可行域内设计点对应的目标函数变化情况：外无法观察，内可提供 7：与无约束法配合：外导数存在且连续，二阶导数不存在，内不受限制5.2：直接处理约束的方法约束随机法和复合形法 ● 约束随机法原理：与随机方向法和步长加速法的思想相似的一种约束随机法随机方向法：加速前进新点搜索方向和步长随机产生起始点→→步长加速法：参考点模式性移动基点探测性移动参考点→→约束随机法：加速前进移动模式性有利方向搜索方向和步长随机产生某点→→优点：在设计变量不多的情况下使用效果还不错，原理简单，计算方便缺点：耗时多 迭代步骤1：在可行域R 内选取一起始点0X ，给定精度0>ε，常数a ，缩矢系数α，令0121X R B B ===2：产生随机方向],,,[21n d d d D =⎩⎨⎧<⋅-≥⋅+==0.50.5an an an an an an i i i R R R R R R c ac d 当当 3：随机探索，得到新点D R R +=12 a ：判断2R 是否在可行域内，若超出了，则转向2，否则转向bb ：比较)()(12R f R f ≤，若满足转向4，否则转向cc ：若随机向量已反向搜索过，则转向2，否则令D =-D 转向3，当连续进行c 的次数超过10n 次时，转向4中的b 4：作模式性移动。

先判断)()(22B f R f ≤，若满足则转向a ，否则转向ba ：当ε≤-)()(22B f R f ，转向c ，否则换基点并进行模式性移动1212B B R -=判断1R 是否在可行域内，若超出则令21B R =并转向2，否则直接转向2b ：判断1R 是否已经是基点2B ，若不是，则将1R 退至前基点2B ，即21B R =，并转向2，否则判断ε≤-)()(22B f R f若满足转向c ，否则判断ε≤a ，满足则转向c ，否则缩小随机失最大长度，即a a α=c ：输出若由a 转来，则2min R X ≈若由b 转来，则2min B X ≈迭代框图复合形法近似于单纯形法原理：简单易懂，适于变量约束较少的情况 现在可行域内产生一个具有k >n +1个顶点的初始复合形，对其各顶点函数进行比较，不断去掉最坏点，以使目标函数有所改进，又满足约束条件的新点代替，逐步逼近最优点 特点：简单易掌握，仅需要计算目标函数值 适于变量约束较少的问题 迭代步骤1：给定：精度21,εε，变量变化区间[a ,b ]，取复合形顶点数k 和反射系数α 2：确定起始可行点利用随机数i c 确定一个可行点1X 作为第一个顶点[]),,1()(,,,)1()1()1(2)1(1)1(n i a b c a xx x x X i i i i in=-+==判断)1(X 是否在可行域内，若超出则另产生随机数再求)1(X，直到)1(X为可行点，转向33：随机地产生复合形的其余k -1个顶点),,3,2(),,,1()()()(k j n i a b c a x i i j i i j i ==-+=在产生k -1个顶点过程中，每产生一个顶点，就检查一次是否在可行域内，若超出可行域则作如下处理：若第l +1个点出现不可行点，则求出l 个可行点的中心点∑==l j j c X l X1)()(1 将不可行点向)(c X收缩，得到新的第l +1点)(5.0)()1()()1(c l c l X X X X -+=++检查此点是否在可行域内，若超出则仍如此重复，直到)1(+l X 成为可行点。

4：选坏点)(b X和好点)(g X，转向55：进行收敛性判别[]ε≤-∑2)()()()(1j g X f X f k若满足，则)(min g XX ≈，停止迭代，否则转向66：计算除坏点外其余各顶点的中心点∑≠=-=k b j j j X k X)(1)()0(11 检查)0(X是否在可行域，若超出则从k 个顶点中取好点作为下界，以)0(X为上界，按此新的变量变化区间[a,b]),,2,1(,,],,,[],,,[],,,[],,,[)0()()0()0(2)0(1)0(21)()(2)(1)(21n i x b x a x x x X b b b b x x x X a a a a i i g i i n n g n g g g n =======转向2，否则转向77：反射 现以坏点)(b X 对中心点)0(X的反射，求的反射点)()()0()0()(b r X X a X X -+=检查)(r X是否在可行域，如果超出则将a 折半在反射，否则，比较函数)()()()(b r X f X f <若反射点比坏点好，则以反射点代替坏点，即)()(r b X X=转向4，否则看2ε≥a 是否成立，若成立则令)(min g X X ≈停止迭代，否则再将α折半，进行反射迭代框图。