第五章作业

所以不能有穿越。 即为在 所以
（2）使系统稳定的 值范围
令
57.3c
17.72 0.138 57.3c 57.3 2.236
故使系统稳定的 值范围

0 0.138
Z P 2N 0 2 0 0
故系统在虚轴右边有0个根，系统稳定。 (3) P 0, N 1
Z P 2 N 0 2 (1) 2
故系统在虚轴右边有2个根，系统不稳定。 (4) P 0, N 0
Z P 2N 0 2 0 0
故系统在虚轴右边有0个根，系统稳定。
(5) P 0, N ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
Z P 2 N 0 2 (1) 2
故系统在虚轴右边有2个根，系统不稳定。
(6) P 0, N 0
Z P 2N 0 2 0 0
故系统在虚轴右边有0个根，系统稳定。 (7) P 0, N 0
K G( s) s(0.5s 1)(s 1)
其幅频特性 由题意
A( )
K
(1 0.25 2 )(1 2 )
c
2 arctan c 30
180 (c ) 180 90 arctan
11 3 arctan arctanc 60 c 0.79 2 2
L( ) 20lg K 20lg 2 6.02(dB)
在交接频率1 处斜率变为－20dB/dec；在交接频率 2 处斜率变 为－40dB/dec。
( ) arctan2 arctan8
(2)该系统为Ι型系统， v 1, K 8，交接频率依次为：
1 0.1
20 lg h 20 lg G ( j g ) 3.86dB
（2）求 20lg h 20dB时，K的变化
因为
20lg h 20dB h 10
G ( j g ) 1 0.1 h
G( jg ) G ( jg )

0.1 0.156 0.64
故增益K变成原来的0.156倍。 （3）求 50 时，K的变化 若 50 ，应有 G ( jc ) 130。查表知，c 3 ，应有
2 1
3 2
对数幅频渐近特性曲线低频段的斜率为－20dB/dec，
L() 20lg K 20v lg 0.01 58(dB)
在交接频率 1 处斜率变为0dB/dec；在交接频率 2 处斜率变为 －40dB/dec；在交接频率 3 处斜率变为－60dB/dec。
( ) 90 arctan10 arctan0.5 arctan 1 2
G( jc ) 1
G( jc )
1 0.208 G( j3) 4.8
故增益K变成原来的0.208倍。
例5、已知某单位负反馈系统的开环传递函数为
100e s G( s) s( s 1)(s 20)
（1）绘出 0时系统的开环对数幅频渐近特性曲线，并判断 闭环系统的稳定性。 （2）确定 0时，使系统稳定的值范围。
Z P 2N 0 2 0 0
故系统在虚轴右边有0个根，系统稳定。
1 1 Z P 2N 1 2 ( ) 0 2 2 故系统在虚轴右边有0个根，系统稳定。
(8) P 1, N
(9)
P 1, N 0
Z P 2N 1 2 0 1
解：（1） 0 时的及闭环系统稳定性
5 G( s) s( s 1)(s 20 1)
低频段：
5 , K 5,20 lg K 14 dB s
1 1 ；斜率变化为-20
2 20；斜率变化为-20
系统开环对数幅频渐近特性曲线如图所示：
由于
20 lg K 0 40 lg1 lg c
在交接频率 1 处斜率变为－40dB/dec；在交接频率 2 处斜率变 为－80dB/dec。
( ) 90 arctan 6 arctan 1 2
5-7、 (1)
P 0, N 1
Z P 2 N 0 2 (1) 2
故系统在虚轴右边有2个根，系统不稳定。 (2) P 0, N 0
故系统在虚轴右边有1个根，系统不稳定。
1 1 Z P 2 N 1 2 ( ) 2 2 2 故系统在虚轴右边有2个根，系统不稳定。
(10) P 1, N
例1：设单位反馈控制系统的开环传递函数为
as 1 G(s) s2
试确定相角裕度为45°时参数a的值。
G ( j ) 1 a
5-1、
4 G ( j ) 2 j 3
G ( j )
4 4 9 2 3 2
( ) arctan
4 4 9 3 2
2
2 时 3
G ( j )
2
( ) arctan 45
2 css (t ) 2 A0 sin t 3
2
n 1.848
0.65
5-5、
10[(2.5 2 3 ) j (1 2 2 )] G( j ) (1 4 2 )[(1 2 ) 2 (0.5 ) 2 ]
0
与实轴的交点：
G( j ) 25 j G( j ) 0 360
1 得 T 2
K 40
G( s)
1 2 2 T
L(1 ) 20 lg K 20 lg 1 0 1 K 40
3 L(2 ) 20 lg K 20 lg 2 40 lg 3 4 5 2
40 80 G (s) s (0.5s 1) s ( s 2)
因 A(c ) 1 ，有
c
K c (1 0.25c )(1 c ) 1.08
2 2
所以系统开环传递函数
1.08 G( s) s(0.5s 1)(s 1)
例4、设单位反馈系统的开环频率特性的数据如下表所示：
试确定： （1）系统的幅值裕度和相角裕度； （2）系统幅值裕度为20dB时，增益K的变化； （3）系统相角裕度为50°时，增益K的变化。

2
j

幅频特性 相频特性
A( )
a 2 2 1
2
( ) 180 arctana
Saturday, March 04, 2017
12
要求相角裕度 180 (c ) 45 ，即
(c ) 180 arctanac 45 180 135
ac 1
A(c ) a 2c 1
2
c 2
1 c a 2c 1
4 2
c 1.19
a 0.84
Saturday, March 04, 2017
13
例2、已知某单位负反馈系统的开环频率特性如图所示， （1）写出开环传递函数。 （2）确定1 , 2 , 3 的数值 （3）求出闭环系统 和 n 值。
() 180 arctan arctan10
(4)该系统为Ⅰ型系统， ，交接频率依次为： v 1, K 100 1 1 2 1 6
对数幅频渐近特性曲线低频段的斜率为－20dB/dec，
L() 20lg K 20v lg 0.01 80(dB)
(3)该系统为Ⅱ型系统， ，交接频率依次为： v 2, K 200
1 0.1
2 1
对数幅频渐近特性曲线低频段的斜率为－40dB/dec，
L() 20lg K 20v lg 0.01 126(dB)
在交接频率 1 处斜率变为－60dB/dec；在交接频率 2 处斜率变 为－80dB/dec。
2 , 2 40 ( , j 0) 3
与虚轴的交点：
5 , 2
8 5 (0, j ) 3
5-6、(1)该系统为0型系统，且包含两个惯性环节，交接频率依 次为： 1 1 1 0.125 2 0.5 8 2 对数幅频渐近特性曲线低频段的斜率为0dB/dec，起始 L( ) 值为
20lg K 40lg c
求出系统截止频率为 相角裕度
c K 2.236
180 G ( jc ) 180 90 arctan c arctan
故闭环系统稳定。
c
20
17.72
引入延迟环节后，对数幅频特性不变，对数相频特性滞后
•
相角递减。若有穿越，则只为负穿越。
解：（1）求幅值裕度 h 和相角裕度
由表中数据可知
G( jc ) 1,
所以
c 8,
G( jc ) 170
180 G( jc ) 10
g 10,
G ( jg ) 0.64
因
G ( jg ) 180 ,
所以
1 h 1.56 G( jg )
n
2
5 80 2 n 2 n 4 5 20
例3、已知某最小相位系统的开环相频特性表达式为
2 试求相角裕度 30 时系统开环传递函数 G ( s) 。
解：由给定的 ( )知，系统开环传递函数应该具有如下形式
( ) 90 arctan

arctan
2 2

1
n 2
(n 12 ) 2 4 2n
2 2
1
2 n (1) arct an 2 n 2
2 n arct an 2 45 n 1 1
n (n 1 ) 4 n