向量的点乘和叉乘,以及几何意义

所谓点乘（也常称作内积），数学定义如下：

点乘只是表达这个结果的一种方式，符号不重要，叫法也不重要，我可以叫点乘，内积，也可以叫"相乘"，定义"#"字符代替“·” 符号都可以，只是人们约束习惯这么这么写，那我们就也都这么写。而且，也不要纠结为什么是这么定义，没有为什么，人们就是这么“龟腚”这个公式的，我们要研究的是这个规定到底能干嘛？有啥具体意义？

a.点乘的具体几何意义：

根据公式，我们可以得出a·b=|a| |b|cosθ我试着证明为什么会是这样（为了能让大家看的方便，我将向量标为蓝色，具体长度标为红色）：

定义向量c=a - b这样就形成了一个封闭的三角形，c向量为他的第三边

由于余弦定理我们可以知道c² =a² +b² - 2ab cos(θ) (这里的a,b,c全部都是每一边的具体长度)根据定义我们可以推导出c·c=c²(有兴趣的朋友可以去试着推导一下)

所以：c·c=a·a+b·b- 2ab cos(θ)

因为向量的点乘满足分配率：a·(b+c)=a·b+a·c

c=a - b

c·c=(a -b)·(a - b)

c·c=(a·a-2a·b+b·b)

(a·a - 2a·b + b·b)=a²+b²- 2ab cos(q)

约掉a·a=a²,b·b=b²;

-2a·b= -2ab cos(θ)

a·b=ab cos(θ)

因为a=|a|

所以a·b=|a| |b|cosθ

跟据这个公式，我们能拿到两个向量之间的夹角，这对于判断两个向量是否同一方向，是否正交(也就是垂直)，很有用处。具体判断如下：

a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间

a·b=0 正交

a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间

所以，点乘的几何意义和用处就是计算两个向量之间的夹角，以及在某一方向上的投影。至于为什么要判断两个向量是否方向一致，这在3D中很有用处。比如：3D技术中的光栅化（光栅化的任务是为了绘制每个三角形单元，如何计算构成三角形单元的每个像素的颜色值）过程中，我们可以根据两个面的法向量的点乘判断两个面是否处于同一面，如果不是，那么只要光栅化其中需要显示出来的一面，而另一面我们就不用光栅化它（因为我们根本看不到被遮住的面），这样就节省了很多很多计算，能加快效率。

向量的叉乘(也叫做叉积)

为什么是这样，上面已经说过，规定就这样。

同样，我们给出叉乘的几何解释：

在3维几何中，我们可以一眼看出来，叉乘的结果也是一个向量，而且这个向量不是一般的向量，而是大名鼎鼎的"法向量"，3D技术中法向量有多重要我就不吹了，反正是个VIP概念。

在2维集合中，axb等于由向量组成的平行四边形的面积（证明很简单，你们可以自己试着证明）

总之：向量的叉积最重要的应用就是创建垂直于平面，三角形，或者多边形的向量。