向量的点积叉积与混合积
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向量之间的位置关系
面积与体积的计算
=？
=？
常力做功
力作用在杠杆上的力矩
向量的数量积向量的向量积
向量的混合积
定义1
是 数量积
数量积点积内积
记作
定理1 ，
数量积
θ
A
O
向量，的夹角θ也记作
θ
柯
西
-
施
瓦
茨
不
等
式
的夹角为，正交垂直
(4)
例1
【例1解】即向量与
例2
例3 【例3解】
向量的投影
向量在上的投影
向量在上的投影
为非零向量, 则有 =
向量的投影
【例4解】
例4 的流体流过一个面积为与
233112
123
233112
123
=++
i j k
i j k
a a a a a a
a a a
b b b b b b
b b
b
定义2 向量积叉积外积
例5
与、分别垂直;
例5
、与服从右手法则;
与、分别垂直;
、与服从右手法则;
与、分别垂直;
，其中为与的夹角.
为
、与服从右手法则;
与、分别垂直;
，其中为与的夹角.
//
例6
【例6解】
例6
【例6解】
定义3
为 混合积
几何意义
记作
]
]|
混合积的坐标表示
(
x y z
x y z
x y z
a a a
b b b
c c c
性质
向量 共面的
例7 证明四点
【例7解】
三向量