(优选)向量的点积与叉积.

ax ay az bx by bz
(3) i i j j k k 0 ; i j k, j k i , k i j; j i k, k j i , i k j
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向量积满足下列运算规律
（1） a b b a
（2） (a b ) c a c b c
（3） (a ) b a (b ) (a b )
向量积的坐标表达式
设
a
axi
ay j
azk,
b bxi by j bzk
a b (axi ay j azk ) (bxi by j bzk )
(aybz azby ) i (azbx axbz ) j (axby aybx )k
a, b, c 共面。
证法二： a b b c c a 0 的两端点乘 c
(a b) c 0
a, b, c 共面 。
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混合积的几何意义
| a
|
(ba
)
b
(a b
)
设 a axi ay j azk, b bxi by j bzk
a b (axi ay j azk ) (bxi by j bzk )
axbx a yby azbz
cos a, b a b | a || b |
axbx a yby azbz
c a, b所定的平面。
方向：
依a, b, c序成右手系。
向量积也称为“叉积”、“外积”。
几何解释：
|
a
b
|等于a
和b
所决定
的平行四边形的面积 S。
c ab
b S ab
a
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向量积的性质：
(1) a a 0 ( 0 sin 0)
(2)
a //b
ab
0
a b
m n m n sin m, n 4 21 8
(m n) p 8 31 24
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例9 设 a b b c c a 0 , 则 a, b, c 共面。
证法一： a b b c c a 0 ab cb ac
(a c ) b a c b ac , 又 a ac , c ac
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称为 a, b , c 的混合积。
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例
5
求同时垂直a
3i
2
j
4k ，b
i
j
2k
的单位向量。
例 6 已知△ABC 顶点坐标为 A(1,2,3)、B(3,4,5)、 C(2,4,7)，求△ABC 的面积。
解： S
1 ABC 2 AB AC
例 7 已知△ABC 顶点坐标为 A(1,-1,2)、B(5,-6,2)、
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向量积还可用三阶行列式表示
a b (a ybz azby ) i (azbx axbz ) j (axby a ybx )k
i jk ax ay az
bx by bz 记住：欲求同时垂直于 a、b 的向量，请用叉积吧！
a,b,c 共面
(a b) c 0
ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz2
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4
ba
Pr
ja b
ab a
axbx a yby ax2 ay2
azbz az2
a Pr j a a b axbx ayby azbz
b
b
b
bx2 by2 bz2
例
1
a
b ab 证明c与(a
0 c)b
证明（第一个等式）
(5) (a) b a (b ) (a b ); (a) (b ) (a b )
证明（第一个等式）
2
2
2
(6) i j i j j k 0, i j k 1
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a b | a || b | cos a, b
数量积的坐标表示：
(baxcb)xa垂a直yb。y
azbz
0
证明：
[(a c)b (b c)a] c
[(a
c)b
(b
c)a]c
[(a c )b c (b c )a c] 0
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例 2 已知a {1,1,4}，b {1,2,2}，求：
（1）a 与b 的夹角；（2）a 在b 上的投影。
b a
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2
数量积的若干性质：
(1) a a | a |2
(2) a b 0 a b
a b | a || b | cos a, b
|
a
|
(ba
)
b
(a b
)
(3) a b b a
(4) a (b c ) a b a c; (a b) c a c b c
（优选）向量的点积与叉积
第二节 数量积、向量积与混合积
一、两向量的数量积
引例：求质点在常力F 作用
F
下，沿直线从点 A 移动到点
B 所作的功？
A
B
W F AB AB F AB cos F , AB
定义 a b | a || b | cos a, b
|
a
|
(ba
)
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(a b
)
数量积也称为“点积”、“内积”。
C(1,3,-1)，求 AC 边上的高BD。
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例8
设向量m ,
n,
p 两两垂直，符合右手规则，且
|
m
|
4，|
n
|
2，|
p
|
3，计算(m
n)
p 。
解： (m n) p | m n || p | cos m n, p | m n || p | cos 0
A作用点
力臂l 力 F
方向：向外（拧松） 向内（拧紧）
力矩 M 大小：M F l F OA sin F ,OA
方向总是依 OA, F , M 成右手系，且垂直于OA, F 平面。
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定义
两个向量a
与b
的向量积为：c
ab
c ab
模：| c | a b | a || b | sin a,b
解： (1) 3 ;
4
( 2 ) Pr jba 3
例3 证明三角函数的余弦定理： c2 a2 b2 2ab cos
证明： 如图
A
c
b
B
a
C
例4 在xoy平面上，求一单位向量，使它与 a i j k 垂直。
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二、两向量的向量积
力F
A作用点
支点O
力臂l
支点O