向量积的行列式计算法

记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作
a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,
记作－a ; 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称
两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
此式称为向量 r 的坐标分解式 ,
C M r k j B o y i A N x
11
z
沿三个坐标轴方向的分向量.
6.矢量的模 方向余弦 方向数
则有 设 r ( x , y , z ), 作 OM r , r OM OP OQ OR
由勾股定理得 1. 向量的模与两点间的距离公式
A B 0
17
2) 交换律 3) 结合律
a
a ( b)
b
(a b)
( a ) ( b ) a ( b ) (a b)
4) 分配律
c
a Pr j b Pr jc c (a b) Pr jc
事实上, 当 c 0 时, 显然成立 ; 当c 0时
24
4. 向量积的坐标表示式
设 a a x i a y j a z k , b bx i by j bz k , 则
( a x i a y j a z k ) ( bx i by j bz k )
a x bx ( i i )
a y by ( j j )
i j ax a y k az
a ax i a y j az k b bx i by j bz k
ax bx az bz
ຫໍສະໝຸດ Baidu
bx
b y bz

,
26
例4. 已知三点 A(1, 2 , 3 ) , B( 3 , 4 , 5 ), C ( 2 , 4 , 7 ) , 求三
角形 ABC 的面积
证
A
A

B
B
Pr ju AB Pr ju AB
B
u u
| AB | cos
9
定理1的说明：
(1) 0 , 投影为正； 2
( 2) , 投影为负； 2 ( 3) , 投影为零； 2
c
b

a
u
(4) 相等向量在同一轴上投影相等；
(a b ) a b 1 a . 因此 a a a 则有单位向量 a a
6
分配律
4. 矢量的射影
空间一点在轴上的投影
A
u

A
过点A 作轴u 的垂直 平面，交点 A 即为点 A 在轴u 上的投影.
7
空间一向量在轴上的投影
B
解: 如图所示, 1 S ABC AB AC sin 2 A 1 AB AC 2 i j k 1 1 2 2 2 ( 4, 6, 2 ) 2 2
C
1
2
4
1 2 4 (6) 2 2 2 14 2
27
例5. 设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转,导出刚体上 一点 M 的线速度 的表示式 .
解: 在轴 l 上引进一个角速度向量 , 使 , 其
方向与旋转方向符合右手法则 , 在 l 上任取一点 O, 作 向径 它与 的夹角为 , 则

a
l
点 M离开转轴的距离
a r sin
且
符合右手法则
M
v r

O
28
§6.2.4 两矢量的混合积
1. 定义 已知三向量 a , b , c , 称数量
两向量的夹角公式 当 为非零向量时, 由于
cos
a b

a b cos , 得 a x bx a y by a z bz
2 2 2 bx by bz
23
2 2 ax a2 a y z
2. 性质
1) A A 0
2) A , B 为非零向量, 则 A B 0
M
故
20
§6.2.3 两矢量的矢量积
引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为
的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力
矩是一个向量 M :
M OQ F OP F sin
F
O
OP F M 符合右手规则 M OP
P
Q

L
F
M F
o
M
P
OQ OP sin
记作
M1
s
W Fs
M2
a b
为a 与b 的数量积 (点积) .
16
b 在 a 上的投影为
b
a b a 同理 ,当 b 0 时,
故
记作
Pr ja
b Pr ja
b

数量积的基本性质
特别 A, B 为两个非零向量, 则有
a 0, b 0
则 a b 0 1) A B 0 A 0，或B 0，或A B.
R
z
M Q y
N
2 2 2
o
P x
r OM
对两点 与 因
x y z
得两点间的距离公式:
( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2
12
方向角与方向余弦 设有两非零向量 记作
类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角 , , 为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦. x x cos r x2 y2 z 2
A
C B a , C A b , AB c
则
c
B
b

a
C
c
2
( a b ) ( a b ) a a b b 2 a b a b 2 a b cos
2 2
a a ,b b ,c c
c a b 2ab cos
19
2
2
2
第二节
表示法: 向量的模 :
矢量代数
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量). 有向线段 M1 M2 , 或 a , 向量的大小,
向径 (矢径): 起点为原点的向量. 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,
M1 M2
1
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,
a Pr j b a b c c Pr jc a b c Pr jc c
b ac bc a c Pr jc c Pr jc
18
例1. 证明三角形余弦定理
c 2 a 2 b 2 2ab cos 证: 如图 . 设
( a b )c 为 a , b , c 的混合积 .
几何意义
记作
a b c
ab
c
a
b
以 a , b , c 为棱作平行六面体, 则其
底面积 A a b , 高 h c 故平行六面体体积为
V Ah
a b c
( a b )c
29
2. 混合积的坐标表示 设 a (a x , a y , a z ) , b (bx , by , bz ) , c (c x , c y , c z )
证明: 当 a 0 , b 0 时,
A B
ab 0
a b sin 0 sin 0， 即 0 或
a∥ b
3) A B B A 4) 结合律 ( a ) b a ( b ) ( a b )
5) 分配律 ( a b ) c a c b c

cz
ax a y az bx b y bz cx c y cz
30
3. 性质
(1) 三个非零向量 a , b , c 共面的充要条件是
a b c 0
(2) 轮换对称性 :
[ a b c ] [ b c a ] [ c a b]
B A
A
B
u
已知向量的起点 A 和终点B 在 轴u 上的投影分别为 A, B 那 么轴u 上的有向线段 AB 的 u 上的投影. 值，称为向量在轴
8
u 上的投影记为 Pr ju AB AB. 向量 AB 在轴
关于向量的投影定理（1）
u 上的投影等于向量的模乘以 向量 AB 在轴 轴与向量的夹角的余弦： Pr ju AB | AB | cos
21
定义
定义 设 a , b 的夹角为 ， 向量 c
方向 : c a , c b 且符合右手规则 模 : c a b sin
称 c 为向量 a 与 b 的向量积 , 记作
b
c ab
引例中的力矩
(叉积)
a c ab a

思考: 右图三角形面积
S＝
b
22
4. 数量积的坐标表示
2
§6.2.1 矢量运算
1. 矢量的加法 平行四边形法则:
(a b) c a (b c)
c
bc b
b ab
三角形法则:
a
ab b
ab
a
运算规律 : 交换律
ab ba 结合律 ( a b ) c a ( b c ) a b c
a
三角形法则可推广到多个向量相加 .
方向余弦的性质:
z
o
r


x
y
14
作业：p-25 习题6.1-6.2
10，18，
15
§6.2.2 两矢量的数量积
引例. 设一物体在常力 F 作用下, 沿与力夹角为
的直线移动, 位移为 s , 则力F 所做的功为
W F s cos
1. 定义 设向量 a , b 的夹角为 , 称
a z bz ( k k )
(a y bz a z by ) i (a z bx a x bz ) j (a x by a y bx ) k
k
i
j
25
向量积的行列式计算法
(a y bz a z by ) i (a z bx a x bz ) j (a x by a y bx ) k
任取空间一点 O ,
称 =∠AOB (0≤ ≤ ) 为向量
的夹角. a ,b
z
o
r


x
y
13
x x cos r x2 y2 z 2 y y cos r x2 y2 z 2 z z cos 2 2 2 r x y z
设 a a x i a y j a z k , b bx i by j bz k , 则
( a x i a y j a z k ) ( bx i by j bz k )
i j j k k i 0
a b a x bx a y by a z bz
i j k ax az ax a y a y az , a b ax a y az , bx b y b x bz b y bz bx b y bz ax a y ax az a y az a b c ( a b ) c b b c x b b c y b b x y x z y z
10
5. 矢量的分解与矢量的坐标
以 i , j , k 分别表示 x , y , z 轴上的单位向量 , 设点 M
的坐标为 M ( x , y , z ) , 则
在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示.
OM ON NM OA OB OC
r x i y j z k (x , y , z )
例2. 已知三点 M (1,1,1) , A( 2 , 2 ,1), B( 2 ,1 , 2 ) , 求 AMB . 解: MA ( 1, 1, 0 ) , MB ( 1, 0 , 1 ) 则
A B
cos AMB MA MB MA MB 1 0 0 2 2 AMB
3
s a1 a2 a3 a4 a5 a4 a3 a5
s
a2 a1
4
2. 矢量的减法
a
三角不等式
5
3. 数量与矢量的乘法 规定 :
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
可见 总之: a a 1 a a ; 运算律 : 结合律 ( a ) ( a ) a 1 a a ;