第二节向量的乘法运算
两向量相乘的计算公式
两向量相乘的计算公式向量的乘法有两种形式：数量积和向量积。
下面将详细介绍这两种向量乘法的计算公式。
一、数量积（也称为点积或内积）：数量积是指两个向量的标量积，用于计算向量之间的角度、长度和投影等问题。
设有两个向量A和B，它们的数量积计算公式为：A·B = ，A，B，cosθ其中，A·B表示向量A和向量B的数量积；A，和，B，分别表示向量A和向量B的模长（长度）；θ表示向量A和向量B之间的夹角。
根据数量积计算公式，可以得到以下几个重要的结论：1.如果A·B=0，则向量A和向量B垂直（即夹角为90度）。
2.如果A·B>0，则向量A和向量B的夹角小于90度（即为锐角）。
3.如果A·B<0，则向量A和向量B的夹角大于90度（即为钝角）。
数量积可以用于计算向量的长度、向量之间的平行关系等。
例如，如果向量A与向量B平行，则有A·B=，A，B。
二、向量积（也称为叉积或外积）：向量积是指两个向量的矢量积，用于计算向量之间的平行四边形的面积、法向量、旋转等问题。
设有两个向量A和B，它们的向量积计算公式为：A×B = ，A，B，sinθn其中，A×B表示向量A和向量B的向量积；A，和，B，分别表示向量A和向量B的模长（长度）；θ表示向量A和向量B之间的夹角；n表示A和B所在平面的法向量。
根据向量积计算公式1.向量A和向量B的向量积A×B与向量B和向量A的向量积B×A大小相等，但方向相反。
2.如果向量A和向量B平行（即夹角为0度或180度），则它们的向量积为零向量（即长度为0的向量）。
3.向量积满足交换律，即A×B=-(B×A)。
4.向量积满足分配律，即A×(B+C)=A×B+A×C，(A+B)×C=A×C+B×C。
向量积可以用于计算两个向量所构成平行四边形的面积、判断向量的方向、计算旋转轴等。
向量相乘运算公式
向量相乘运算公式
向量相乘是在向量运算中常用的一种操作，有两种形式：点积和叉积。
1.点积（又称为内积、数量积）：点积是指两个向量按照相同位置的元素分别相乘，并将得到的乘积相加的运算。
点积的计算公式如下：
对于两个n维向量A和B：A·B=A1B1+A2B2+...+AnBn
其中，A1、A2、...、An和B1、B2、...、Bn分别表示两个向量A和B在对应位置的元素。
点积的结果是一个标量（即一个实数），表示两个向量的夹角的余弦值乘以两个向量的模的乘积。
2.叉积（又称为外积、向量积）：叉积是指根据右手法则，通过两个向量的模和夹角计算出一个与这两个向量同时垂直的新向量的运算。
叉积的计算公式如下：
对于三维空间中的向量A=(A1,A2,A3)和B=(B1,B2,B3)：A×B=(A2B3A3B2,A3B1A1B3,A1B2A2B1)
叉积的结果是一个新的向量，它的模表示两个向量张成的平行四边形的面积，方向垂直于两个向量所在的平面，并符合右手法则。
需要注意的是，点积和叉积只适用于特定维度的向量运算，分别是点积适用于任意维度的向量，而叉积只适用于三维空间中的向量。
此外，点积和叉积具有不同的性质和应用领域，在物理、数学等领域都有广泛的应用。
向量的乘法运算
启示 两向量作这样的运算 结果是一个数量 两向量作这样的运算, 结果是一个数量.
数量积为 定义 向量a 与b 的数量积为a b
a b =| a || b | cosθ (其中θ 为a 与b 的夹角 的夹角) 其中
b
θ
a b =| a || b | cosθ
a ∵ | b | cos θ = Pr ja b ,
( 2) cosθ =
a x bx + a y b y + a z bz a x + a y + az
2 2 2
bx + b y + bz
2 2
2
1 , = 2
( 3) a b =| b | Pr jb a
ab ∴ Pr jb a = = 3. |b |
3π π . ∴θ = 4
直径所对的圆周角是直角。 例2. 直径所对的圆周角是直角。
b = bx i + b y j + bz k
a × b = (a x i + a y j + a z k ) × (bx i + b y j + bz k )
∵ i × i = j × j = k × k = 0, ∵ i × j = k, j ×k = i , k ×i = j, j × i = k , k × j = i , i × k = j .
已知向量 a ≠ 0 ， b ≠ 0 ， 证明| a × b | =| a | | b | ( a b ) .
2 2 2 2
思考题解答
| a × b |2 =| a |2 | b |2 sin 2 (a,∧ b ) =| a |2 | b |2 [1 cos 2 (a,∧ b )]
向量的乘法运算法则公式
向量的乘法运算法则公式好的，以下是为您生成的关于“向量的乘法运算法则公式”的文章：在数学的奇妙世界里，向量就像是一群有着特定方向和大小的小精灵，而向量的乘法运算法则公式则是指挥它们有序舞蹈的神奇乐谱。
咱先来说说向量的点乘，也叫数量积。
假设咱有两个向量 A（x1,y1）和 B（x2, y2），那它们的点乘公式就是 A·B = x1×x2 + y1×y2 。
这就好比你和朋友一起搬东西，你出的力是向量 A，朋友出的力是向量 B，那点乘的结果就代表着你们共同做功的多少。
我记得有一次在课堂上，我给同学们出了一道题：有向量A（3, 4）和向量 B（2, -1），让大家计算它们的点乘。
同学们有的抓耳挠腮，有的埋头苦算。
有个调皮的同学还小声嘀咕：“这向量咋这么难搞啊！”我笑着鼓励大家：“别着急，慢慢想，就像咱们走路一样，一步一步来。
”最后，大家都算出了结果是 2 。
当大家算出正确答案时，脸上那兴奋的表情，让我觉得教学真是一件特别有成就感的事儿。
再来说说向量的叉乘，也叫向量积。
对于向量 A（x1, y1, z1）和 B （x2, y2, z2），它们的叉乘结果是一个向量 C（y1z2 - y2z1, z1x2 - z2x1, x1y2 - x2y1）。
这个叉乘在解决几何问题的时候特别有用。
比如说，在判断两个向量是否垂直的时候，如果它们的点乘为 0，那就垂直；而在判断两个向量的平行关系时，就得看看它们叉乘的结果是不是零向量啦。
给大家举个例子，假设一个平面上有三个点A（1, 2）、B（3, 4）、C（5, 6），要判断向量 AB 和向量 AC 是否平行，咱们就可以通过计算它们的叉乘来判断。
向量 AB = （2, 2），向量 AC = （4, 4），叉乘之后得到（0, 0），这就说明它们是平行的。
总之啊，向量的乘法运算法则公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多数学难题的大门。
只要大家多练习、多思考，就能熟练掌握这把钥匙，在数学的世界里畅游无阻。
向量的乘法运算该如何进行
向量的乘法运算该如何进行
向量之间的乘法有两种，一种叫点积，一种叫叉积。
若是刚到线代里混的，要理解这事或可借助一下中学里的物理：点积如同力学里的求功，一个作用力在一个方向上移动一段距离，求其做的功。
这就是点积运算。
你看，作用力F是一个矢量，作用距离是另外一个矢量，二者之间有夹角的。
功的大小实力上就是作用力F在距离上的分量与距离的乘积。
这与向量a,b的点积定义一模一样。
计算结果是一个数值。
叉积是啥？这在物理里也有案例，就是一个电子在磁场中运动产生其受力就是叉积。
物理老师咋教的？右手定则，对吧，食指朝前(电子运动方向)，中指朝左(磁场方向)，拇指就是电子的受力方向了。
你看，两个矢量的互动下出现第三个矢量的与前两个矢量都垂直。
线代里把两个向量的叉积就定义的与求电子受力大小一个意思，计算的结果是另外一个向量，其方向与两个相乘的向量都垂直，其大小相当于两个向量为边围城的一个平行四边行的面积。
不过，请特别记住，向量的点积对n维向量都是适用的，而叉积仅仅对3维向量适用。
一般老师和教材都不跟你说后一点。
补
有评对向量叉积只在三维里有效的说法不认可。
这事是这样的，举两个例子，一个二维的，一个四维的。
在二维空间，不存在与两个不共线的非零向量同时垂直的向量，叉积不可行。
而在四维里，与两个不共线的向量同时正交的向量不只是分布在一个秩1的空间里，而是分布在一个秩2的空间里，这些向量可指向很多方向，完全没有一个确定的方向，就没有唯一的结果，叉积不成立。
n维的道理与四维的差不多，叉积从原理(定义)上就是算不出的。
两个向量相乘公式
两个向量相乘公式向量的乘法有多种形式，常见的有数量积和向量积。
下面将对这两种向量乘法进行详细介绍。
1.数量积（内积、点积）数量积，也称为内积或点积，是最常见的一种向量乘法。
它可以用来求取两个向量的夹角、判断向量是否垂直以及计算向量在一些方向上的投影等。
两个 n 维向量 a = (a1, a2, ..., an) 和 b = (b1, b2, ..., bn) 的数量积可以表示为：a ·b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn其中"·"表示点乘。
数量积的几何意义是，向量a在向量b上的投影的长度与b的模长的乘积。
假设b的模长为，b，a在b上的投影长度为h，则：a ·b = ，a，，b，cosθ = ，b， h其中θ是a和b之间的夹角。
数量积的计算过程如下：1)将两个向量的对应分量相乘。
2)将乘积相加得到数量积。
数量积的性质如下：1)a·b=b·a(交换律)2) (ka) · b = k(a · b) = a · (kb) (结合律)3)a·(b+c)=a·b+a·c(分配律)4)如果a·b=0，则a和b垂直。
2.向量积（叉积、外积）向量积，也称为叉积或外积，是另一种常见的向量乘法。
它只适用于三维空间中的向量。
两个三维向量a=(a1,a2,a3)和b=(b1,b2,b3)的向量积可以表示为：a×b=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)其中"×"表示叉乘。
向量积的结果是一个新的向量，它垂直于原来两个向量所在的平面。
向量积的模长等于原来两个向量所构成的平行四边形的面积。
向量积的计算过程如下：1)计算新向量的x分量：a2b3-a3b22)计算新向量的y分量：a3b1-a1b33)计算新向量的z分量：a1b2-a2b1向量积的性质如下：1)a×b=-b×a(反交换律)2) (ka) × b = k(a × b) = a × (kb) (结合律)3)a×(b+c)=a×b+a×c(分配律)4)a×b垂直于a和b所在的平面。
向量的点乘和叉乘以及几何意义
向量的点乘和叉乘以及几何意义一、向量的点乘1.定义：向量的点乘，又称为数量积或内积，是两个向量之间的一种乘法运算。
对于两个n维向量a和b，它们的点乘定义为a·b = ，a，b，cosθ，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模的大小，θ表示a和b之间的夹角。
2.计算方法：（1）向量坐标表示计算方法：如果a=(a₁,a₂,...,aₙ)和b=(b₁,b₂,...,bₙ)是两个n维向量，它们的点乘可以用下面的公式来计算：a·b=a₁b₁+a₂b₂+...+aₙbₙ。
（2）向量模和夹角计算方法：如果，a，和，b，分别是向量a和b的模的大小，θ是向量a和b之间的夹角，则向量的点乘可以用下面的公式来计算：a·b = ，a，b，cosθ。
3.几何意义：（1）判断两个向量是否相互垂直：如果两个向量的点乘结果为0，即a·b=0，那么这两个向量相互垂直。
（2）计算向量在一些方向上的投影：如果向量a的模为，a，θ是a与b之间的夹角，那么向量a在向量b的方向上的投影长度为，a，cosθ。
（3）计算两个向量之间的夹角：如果向量a和b的点乘为a·b = ，a，b，cosθ，那么两个向量之间的夹角θ可以通过反余弦函数计算：θ = arccos(a·b / ，a，b，)。
二、向量的叉乘1.定义：向量的叉乘，又称为向量积或外积，是两个三维向量之间的一种乘法运算。
对于两个三维向量a和b，它们的叉乘定义为a×b = ，a，b，sinθn，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模的大小，θ表示a和b之间的夹角，n表示与a和b所在平面垂直的单位向量。
2.计算方法：向量的叉乘的计算可以利用行列式的方法进行计算：a×b=，ijk，，a₁a₂a₃，，b₁b₂b₃，其中，ijk，表示三个单位向量i、j、k所组成的行列式，a₁、a₂、a₃和b₁、b₂、b₃分别表示向量a和b的坐标。
向量的运算的乘法公式
向量的运算的乘法公式向量的运算是线性代数的基础，用向量乘法可以实现复杂的数学关系。
本文旨在讨论向量乘法的定义以及其内部运行的机制。
我们将研究向量的乘法的一般公式，以及如何将其应用到实际问题中。
首先，我们来看看向量的乘法是什么。
通常情况下，向量乘法是一种将两个向量相乘的法则，也就是说，它是将两个向量的值相乘并得出结果的运算，它就是乘法，但是应用到向量中时，它有一些不同的规则。
下面，让我们来探讨向量乘法的一般公式。
一般地，我们可以将向量的乘法定义为将两个向量的坐标相乘相加得出结果，即：a = (a1, a2, a3....an)b = (b1, b2, b3....bn)那么，向量a和b之间的乘法结果是：a xb = a1b1 + a2b2 + a3b3 +…+anbn实际上，这个公式也可以进一步简化，也可以使用索引运算符来表示。
索引运算符也就是分号和加号：a xb =i（ai bi）这里，Σ表示求和运算符，i表示维度，也就是元素的数量，而ai bi表示将每个元素相乘的结果。
现在，我们可以使用向量乘法的公式来解决实际问题了，以下是一些例子：1.求两个向量的叉乘：这里我们使用叉乘公式：a xb = (a2 b3-a3 b2,a3 b1-a1 b3,a1 b2-a2 b1)2.求两个向量的点积：点积是将两个向量的每个元素相乘之和的一种运算，可以使用向量乘法的公式来计算：a b =i（ai bi）3.求两个向量的投影：投影是将一个向量投射到另一个向量上的运算，我们可以使用向量乘法的公式求出投影的大小：a xb = |a| |b| cosθ上面就是向量乘法的一般公式以及如何应用到实际问题中的一些例子，希望能对大家有所帮助。
在使用向量乘法时，一定要牢记其中的运算规则，以便能够正确地求出结果。
人教版高中数学必修2《向量的数乘运算》PPT课件
)
2.4(a-b)-3(a+b)-b等于(
)
A.a-2b B.a
C.a-6b D.a-8b
答案 D
解析 原式=4a-4b-3a-3b-b=a-8b.
1
3.在△ABC 中,D 是 AB 边上一点.若 = , = +λ,则
2
λ=
.
1
答案
2
解析 ∵ = ,∴D 是 AB 的中点.
|| ||
,则是以 A 为起点,向量
与
所在线段为邻边的菱形对角线对应
|| ||
的向量,即在∠BAC 的平分线上.
∵=λ,∴, 共线.
∴点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.
方法点睛 (1)三角形的内心:三角形内切圆的圆心,三角形三条角平分线的
交点,内心到三角形三边的距离相等.
=x+y 且 x+y=1.
2.利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ,
使得b=λa(a≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向
量系数相等求解,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得λ的值.若两向
量不共线,必有向量的系数为零.
(2)三角形的外心:三角形外接圆的圆心,三角形三条边的中垂线的交点,外
心到三角形三个顶点的距离相等.若M是△ABC内一点,且满足
||=| |=| |,则点 M 为△ABC 的外心.
(3)三角形的垂心:三角形三条高线的交点.
(4)三角形的重心:三角形三条中线的交点.若 G 是△ABC 内一点,且满足 +
C.b-a D.a-b
(2)已知2a-b=m,a+3b=n,那么a,b用m,n可以表示为
向量的乘法运算
向量的乘法运算在数学中，向量的乘法是指两个向量的乘法运算，它可以产生一个新的结果向量，其中包含两个输入向量的混合特征。
通常，在二维和三维空间中，两个向量可以乘以获得结果向量，但也可以在更高维空间中应用。
本文将重点介绍向量的乘法运算，包括它是如何使用及其特性，以及它在实际应用中的作用。
首先，让我们来谈谈在实际应用中，向量乘法有什么重要的作用。
首先，它可以提供某种程度的数学表达能力。
例如，在二维空间中，两个向量可以乘以获得一个新向量，这新向量的方向为两个输入向量的线性组合，其大小为两个输入向量的数量积。
此外，向量乘法还可以提供一种方法来解决许多物理和数学问题。
例如，在三维空间中，可以使用向量乘法来计算一个面的法向量，从而可以计算出一个物体的体积。
其次，让我们来介绍向量乘法的定义。
它有两种形式：内积和外积。
内积是指将两个向量的大小相乘，得到的结果为标量值。
而外积是指将两个向量的方向相乘，得到的结果为一个新的向量。
在三维空间中，两个向量的外积表示为乘机叉乘，它使用这种计算方法：取两个向量的坐标，并计算出叉乘结果，它可以得到结果为另一个向量。
第三，让我们来看看向量乘法在实际应用中的一些特点。
首先，它是可交换的，这意味着无论以什么顺序将两个向量相乘，得到的结果都是一样的。
其次，它也是可分配的，意思是可以将乘法操作分解为两个独立操作。
此外，它具有对称性，意思是给定任意几个向量，它们乘积的结果总是与它们的顺序无关。
最后，乘法运算还满足叠加性，即给定两个向量，如果它们的标量大小或者方向不变，那么它们的乘积也将不变。
综上所述，本文简要介绍了向量乘法的定义和特性，以及它在实际应用中的作用。
它的重要性在于提供了一种可视化表达以及一种解决数学和物理问题的方法。
向量乘法有很多种特性，例如可交换性、可分配性、对称性、叠加性等，这些特性为它在实际应用中提供了便利。
向量的运算的乘法公式
向量的运算的乘法公式向量是数学中最基本的概念，也是运算的基础。
向量可以用来表示位置、速度和加速度等，它的运算也在各个领域中有着广泛的应用。
其中，向量的乘法作为一种最基本的运算形式，它能够计算出向量之间的变换关系，并帮助我们解决许多实际问题。
本文将介绍向量的乘法的公式，并以一些实例为例来说明如何使用它。
向量的乘法公式包括点乘、叉乘和数量乘法这三个部分。
其中，点乘是指对两个向量求内积，它可以计算出向量之间的夹角。
叉乘是指两个向量的外积，它计算出的是两个向量之间的距离。
数量乘法则是把一个数乘以一个向量，它可以计算出向量的变换结果。
点乘的公式为：$$vec{a}cdotvec{b}=|vec{a}|cdot|vec{b}|cos{theta}$$其中，$vec{a}$和$vec{b}$分别代表两个向量，$|vec{a}|$和$|vec{b}|$分别代表两个向量的模，$theta$代表两个向量之间的夹角。
而叉乘的公式为：$$vec{a}timesvec{b}=|vec{a}|cdot|vec{b}|sin{theta}$$其中，$vec{a}$和$vec{b}$分别代表两个向量，$|vec{a}|$和$|vec{b}|$分别代表两个向量的模，$theta$代表两个向量之间的夹角。
而数量乘法的公式为：$$kcdot vec{a}=kcdot|vec{a}|cdot hat{n}$$其中，$k$代表一个实数，$|vec{a}|$代表向量$vec{a}$的模，$hat{n}$代表向量$vec{a}$的单位向量。
下面以一些实例来说明如何使用以上的运算公式：例１：求两个向量的夹角设，$$vec{a}=(1,0,1)$$$$vec{b}=(2,0,2)$$则，两个向量的夹角为：$$vec{a}cdotvec{b}=|vec{a}|cdot|vec{b}|cos{theta}$$$$theta=cos^{-1}{frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}|cdot|vec{b}|} }$$$$=cos^{-1}{frac{1cdot2+0cdot0+1cdot2}{sqrt{1^2+0^2+1^2}cdots qrt{2^2+0^2+2^2}}}$$$$=cos^{-1}{frac{4}{sqrt{2}cdotsqrt{6}}}$$$$=cos^{-1}{frac{2}{3}}$$$$=arccos{frac{2}{3}}$$$$thetaapprox35.3°$$例２：求两个向量的距离设，$$vec{a}=(1,0,1)$$$$vec{b}=(2,0,2)$$则，两个向量的距离为：$$vec{a}timesvec{b}=|vec{a}|cdot|vec{b}|sin{theta}$$$$d=|vec{a}|cdot|vec{b}|sin{theta}$$$$=sqrt{1^2+0^2+1^2}cdotsqrt{2^2+0^2+2^2}sin{arccos{frac{2}{3 }}}$$$$=sqrt{2}cdotsqrt{6}sin{arccos{frac{2}{3}}}$$$$=2sin{arccos{frac{2}{3}}}approx1.26例３：求一个数与一个向量的乘积设，$$k=2$$$$vec{a}=(1,0,1)$$$$kcdot vec{a}=kcdot|vec{a}|cdot hat{n}$$$$=(2)(sqrt{1^2+0^2+1^2})(frac{1}{sqrt{2}}hat{i}+0+frac{1}{sq rt{2}}hat{k})$$$$=(2)(sqrt{2}) (frac{1}{sqrt{2}}hat{i}+frac{1}{sqrt{2}}hat{k})$$$$=2hat{i}+2hat{k}综上，向量的乘法是一种常用的运算符，它可以帮助我们求出向量之间的夹角、距离以及数量与向量的乘积。
《向量的乘法》课件
2 张量乘法
张量乘法是向量乘法的更高维推广，用于处理多维数据和复杂计算。
五、课堂练习
1
练习题解析
通过解析一些典型的练习题，巩固和应用向量乘法的知识。
2
小结
总结本节课的重点内容，强化对向量乘法的理解和应用能力。
六、参考文献
序号 1 2 3
参考文献 《线性代数》（第三版），清华大学出版社 《高等数学》（第七版），高等教育出版社 《数学物理方法》（第二版），高等教育 出版社
2
性质
点乘具有交换律、分配律和结合律等基本性质。
3
应用
点乘可以用于计算向量夹角和向量之间的投影。
二、向量的叉乘
定义
向量的叉乘是两个向量 的矢量积，表示为 \( \mathbf{A} \times \mathbf{B} \)。
性质
叉乘具有反交换律、分 配律和结合律等基本性 质。
应用
叉乘可以用于计算平面 的法向量和计算行列式。
《向量的乘法》PPT课件
欢迎来到《向量的乘法》PPT课件！本课程将介绍向量的点乘、叉乘和混合积， 以及向量乘法的推广。通过生动的示例和实践练习，让您轻松理解和应用向 量的乘法。
，表示为\( \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \)。
三、向量的混合积
定义
向量的混合积是三个向量的 数量积，表示为\( \mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) \)。
性质
混合积具有分配律和结合律 等基本性质。
应用
混合积可以用于计算平行六 面体的体积和判断向量组是 否共面。
四、向量乘法的推广
1 矩阵乘法
向量的数乘和点乘
向量的数乘和点乘一、向量数乘（一）定义1. 实数λ与向量→a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λ→a。
2. 当λ > 0 时，λ→a 的方向与→a 的方向相同；当λ < 0 时，λ→a 的方向与→a 的方向相反；当λ = 0 时，λ→a=→0。
3. 设→a=(x,y)，则λ→a=(λ x,λ y)。
（二）运算律1. 结合律：λ(μ→a) = (λμ)→a。
- 例如，设→a=(1,2)，λ = 2，μ=3。
- 先计算μ→a=3(1,2)=(3,6)，再计算λ(μ→a) = 2(3,6)=(6,12)。
- 而 (λμ)→a=(2×3)→a=6(1,2)=(6,12)，两者相等。
2. 第一分配律：(λ+μ)→a=λ→a+μ→a。
- 例如，设→a=(2, - 1)，λ = 1，μ = 2。
- 左边：(λ+μ)→a=(1 + 2)(2,-1)=3(2,-1)=(6,-3)。
- 右边：λ→a+μ→a=1×(2,-1)+2×(2,-1)=(2,-1)+(4,-2)=(6,-3)，等式成立。
3. 第二分配律：λ(→a+→b)=λ→a+λ→b。
- 设→a=(1,3)，→b=( - 1,2)，λ = 2。
- 左边：→a+→b=(1 - 1,3 + 2)=(0,5)，λ(→a+→b)=2(0,5)=(0,10)。
- 右边：λ→a+λ→b=2(1,3)+2(-1,2)=(2,6)+(-2,4)=(0,10)，等式成立。
（三）向量共线定理1. 向量→a(→a≠→0) 与→b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使→b=λ→a。
2. 例如，已知→a=(2,4)，→b=(4,8)，可以发现→b = 2→a，所以→a 与→b 共线。
二、向量点乘（数量积）（一）定义1. 已知两个非零向量→a 和→b，它们的夹角为θ(0≤slantθ≤slantπ)，则把数量 |→a||→b|cosθ叫做→a 与→b 的数量积（或内积），记作→a·→b，即→a·→b=|→a||→b|cosθ。
2.2.3向量的乘积运算
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义向量数乘运算实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫作向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a ，b 及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ＋λμ2b ．．已知a ＝e 1＋2e 2，b ＝3e 1－2e 2，则3a －b ＝( ) A ．4e 2 B ．4e 1 C ．3e 1＋6e 2 D ．8e 2类型一 向量的线性运算【例1】 (1)若3(x ＋a )＋2(x －2a )－4(x －a ＋b )＝0，则x ＝ ．(2)化简下列各式：①3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋13b ；②12⎣⎡⎦⎤（3a ＋2b ）－⎝⎛⎭⎫a ＋12b －2⎝⎛⎭⎫12a ＋38b ； ③2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a .类型二 向量共线条件的应用【例2】 (1)已知e 1，e 2是两个不共线的向量，若AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，求证：A ，B ，D 三点共线．(2)已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP →＝xOA →＋yOB →，求x ＋y 的值．跟踪训练1．本例(1)中把条件改为“AB →＝e 1＋2e 2，BC →＝－5e 1＋6e 2，CD →＝7e 1－2e 2”，问A ，B ，C ，D 中哪三点共线？2．本例(1)中条件“AB →＝2e 1－8e 2”改为“AB →＝2e 1＋k e 2”且A ，B ，D 三点共线，如何求k 的值？ 3．试利用本例(2)中的结论判断下列三点共线吗？例2 已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证A ，B ，D 三点共线； (2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．方法归纳向量共线定理的应用(1)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行．(2)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若AB →＝λAC →，则AB →与AC →共线，又AB →与AC →有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法． 跟踪训练2 (1)已知e 1，e 2是平面内不共线的两个向量，a ＝2e 1－3e 2，b ＝λe 1＋6e 2，若a ，b 共线，则λ等于( )A.－9 B ．－4 C ．4 D ．9(2)设a ，b 为不共线的两个非零向量，已知向量AB →＝a －k b ，CB →＝2a ＋b ，CD →＝3a －b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值等于( )A.10 B ．－10 C ．2 D ．－2 类型三 用已知向量表示其他向量例3 如图，ABCD 是一个梯形，AB →∥CD →且|AB →|＝2|CD →|，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB →＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示下列向量．(1)AC →＝________；(2)MN →＝________.方法归纳用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．跟踪训练3 在本例中，若条件改为BC →＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示向量MN →.【例4】 (1)如图，▱ABCD 中，E 是BC 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，则DE →＝( )A ．12a －bB ．12a ＋bC ．a ＋12bD ．a －12b(2)如图所示，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，M ，N 分别是DE ，BC 的中点，已知BC →＝a ，BD →＝b ，试用a ，b 分别表示DE →，CE →，M N →.1．本例(1)中，设AC 与BD 相交于点O ，F 是线段OD 的中点，AF 的延长线交DC 于点G ，试用a ，b 表示AG →.2．本例(1)中，若点F 为边AB 的中点，设a ＝DE →，b ＝DF →，用a ，b 表示DB →.是两个不共线的向量，且向量m a －3b 与a ＋(2－a ，b 表示AD →，则＋34b，BC →＝3e ，则3．已知E ，F 分别为四边形能力提升](20分钟，40分．设D 为△ABC 所在平面内一点，A.AD →＝－13AB →＋43AC →33边上的一点，且BD ＝2DC ，若→14．如图所示，在△ABC 中，点D 是边BC 的中点，A ，D ，E 三点共线，求证：存在一个实数λ，使得AE →＝λ(AB →＋AC →)．。
《向量的乘法运算》PPT课件
a
b
|b|
3.
例2. 直径所对的圆周角是直角。 8
二、两向量的向量积
定义
向量a
与b
的向量积为
c
a
b
c
|
c
||
a
||
b
|
sin
的方向既垂直于a
(其中
为a
与b
的夹角)
，又垂直于b ，指向符合
右手系. 向量积也称为“叉积”、“外积”.
补充说明
|
a
b
|表示以a
和b为邻边c Nhomakorabeaa
b
0.
0
向量积符合下列运算规律：
（1）
a b b
（2）分配律：(a
a. b)
c
a
c
b
c.
（3）若
为数：
(a)
b
a
(b )
(a
b ).
10
1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的 开关按键来实现功能的一种设计方式。
传统机械按键结构层图 ：
按
PCBA
a
b
|
a
||
b
|
cos
cos
a b
,
| a || b |
cos
axbx a yby azbz
ax2
a
2 y
az2
bx 2 by2 bz 2
两向量夹角余弦的坐标表示式
由此可知两向量垂直的充要条件为
ab
a x bx
ayby
azbz
0
7
例 （21）a已与知b a的 夹(1角,1,；4（)，3）b a
向量的乘法运算
向量的乘法运算
向量的乘法是指将两个向量相乘以获得一个新向量的运算，它作为一种代数运算在科学、工程实践和日常生活中都被广泛运用。
它以许多不同的方式可以实现，其中两种最常见的方法是、点乘和叉乘。
在学习这两种乘法运算之前，我们首先需要了解什么是向量，它们有什么特性，以及它们怎样应用于科学和工程上。
首先，让我们来看看什么是向量。
向量是一种有序的数量，它可以用来表示量、力、速度或其他物理量的方向和大小。
它具有一定的角度、方向和大小，可以用空间中的位置来表示，并且可以用数学方法来表示，这使得它们能够用来表示空间形状的结构。
例如，科学家可以用向量来表示分子结构，工程师可以用它们来表示飞机航线，而常识者则可以用它们来表示以某一点为起始点、终点为目标点的路线。
点乘是向量乘法中最常见的一种形式，也叫做向量积。
它是把两个向量按照一定的规则相乘，得到一个新的结果。
它用来求出两个向量之间的余弦夹角，也可以用来推断出某个事物的属性，如量、力或速度之间的关系。
具体的计算方法是，将两个向量的坐标每个分量分别乘以对应的另一个向量的坐标，然后将所有分量的乘积相加，以获得点乘的最终结果。
例如，点乘 (5,5) (2,2)到：5×2+5×2= 20。
叉乘是向量乘法中另一种常见的形式，它是把两个向量相互做叉乘，得到一个新的结果。
它用来衡量两个向量相互垂直的程度，也可以用来推断出某些属性之间的关系。
叉乘的计算方法是，将两个向量的坐标分量分别相乘，然后用一个符号把它们分开，即可得到叉乘的
结果。
例如，叉乘 (5,5) (2,2)到：5×2-5×2= 0。
向量的乘法运算
向量的乘法运算
向量乘法是数学中操作向量的重要方法，它可以将两个向量相乘来获取一个新的向量。
1. 向量乘法的定义是什么？
向量乘法是指将两个向量相乘来获取新的向量的运算，也叫矢量乘积。
它的基本形式是将两个向量（a 和b）通过內积（内积）进行乘法运算，即a×b。
2.向量乘法有哪几种？
向量乘法主要有3种：点乘、叉乘、内积。
3. 向量乘法的应用
总之，向量乘法的应用非常广泛，用于建模几何关系，计算物理量，乃至日常生活中的报价计算等，它可以说是数学中最重要的操作之一。
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a b cosθ , 得
2 2 2 bx +by +bz
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cosθ =
a b
=
axbx + ayby + azbz
2 2 ax + a2 + az y
例2. 已知三点 M(1,1,1), A( 2, 2,1), B( 2,1, 2), 求 ∠ AMB .
( 行列式计算见 P339～P342 )
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例4. 已知三点 A(1, 2,3), B(3, 4,5),C( 2, 4 , 7), 求三 角形 ABC 的面积
B
解: 如图所示, 1 S∆ABC = AB AC sinθ θ 2 A 1 = AB× AC 2 i j k 1 1 = 2 2 2 = ( 4, − 6, 2 ) 2 2
( ax i + ay j + az k ) × (bx i +by j +bz k )
= axbx ( i ×i )
+ ayby ( j × j )
+ azbz ( k ×k )
= (aybz − azby ) i + (azbx − axbz ) j + (axby − aybx ) k
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a⋅ b = axbx + ayby + azbz
i j k a×b = ax ay az
bx by bz
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ax ay az 混合积: [ a b c ]= ( a×b ) ⋅ c = bx by bz cx cy cz 2. 向量关系: bx by bz = = a×b = 0 ax ay az axbx + ayby + azbz = 0
c2 = a2 +b2 − 2abcosθ 证: 如图 . 设
A
CB = a, CA = b, AB = c则2cBb
θ
a
C
c =( a −b) ⋅ ( a −b)= a⋅ a +b⋅ b −2a⋅ b = a + b − 2 a b cosθ
2 2
a= a ,b= b ,c= c
c2 = a2 +b2 − 2abcosθ
第二节向量的乘法运算
第七章 七
一、向量的数量积 二、向量的向量积
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一、向量的数量积
引例. 引例 设一物体在常力 F 作用下, 沿与力夹角为 的直线移动, 位移为 s , 则力F 所做的功为
r W = F s cosθ
1. 定义 设向量 a, b 的夹角为θ , 称
记作
θ
M1
s
a b sinθ = 0 sinθ = 0， θ = 0 或π 即
a∥ b
(1 a×b = −b×a )
(2) 分配律 ( a +b) ×c =a×c +b×c (3) 结合律 (λ a) ×b =a×(λb) = λ ( a×b)
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(证明略)
4. 向量积的坐标表示式 设 a = ax i + ay j + az k , b = bx i +by j +bz k , 则
a,b, c共 面
( a×b ) ⋅ c = 0
ax ay az bx by bz = 0 cx cy cz
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思考与练习
1. 设 a = i + 2 j − k , b = −i + j , 计算 a⋅ b 及a×b,并求
a, b 夹角θ 的正弦与余弦 .
答案: 答案 a⋅b =1,
r W = F⋅ s
M2
a⋅ b
为与的 a b 数量积 (点积) .
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r r b 在a上 投 为 的 影
b
故
记作
r Prja b
r a⋅b = a Prja b r r 同 ,当b ≠ 0 时 理 ,
θ
2. 性质
a ≠ 0, b ≠ 0
则a⋅b = 0
⊥
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B
= c⋅ a⋅ sin B
CB×CA = a⋅ b⋅ sinC
所以
c
A
b
a
C
a b c = = sin A sin B sinC
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备用题 1. 已知向量 a , b 的夹角 θ = 解：
3 π ,且 | a | = 2, | b | = 3, 4
( a −b ) ⋅ ( a −b )
B A
AB = ( 0, 2, − 2 )
三角形 ABC 的面积为 1 1 S = | AC× AB| = (−2)2 + 02 + 02 =1 2 2 1 2 2 而 | AC | = 4 + (−3) = 5, S = | AC | ⋅ | BD| 2 1 2 1= ⋅ 5 ⋅ | BD| 故有 ∴ | BD| = 2 5
(1 a⋅a = ) (2) a,b为两个非零向量, 则有
a⋅b = 0
3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律
a
a⋅ (λb)
b
(a+b)
(λ a) ⋅ (µb) = λ ( a ⋅ (µ b) ) = λ µ(a⋅ b)
(3) 分配律
c
r r Prjc a Prjc b r Prjc (a +b)
a×b = (1, 1, 3) 1 11 cosθ = , sinθ = 2 3 12
2. 用向量方法证明正弦定理: a b c = = sin A sin B sinC
B
c
A
机动
a
b
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C
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证: 由三角形面积公式
因
1 S∆ABC = AC× AB 2 1 1 = BA× BC = CB×CA 2 2 AC× AB = b⋅ c⋅ sin A
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内容小结
设 a = (ax , ay , az ) , b = (bx ,by ,bz ), c = (cx , cy , cz ) 1. 向量运算 加减: 数乘: 点积: 叉积:
a ±b = (ax ±bx , ay ±by , az ±bz )
λ a = (λax , λay , λaz )
= a⋅ a
2
+ b⋅ b
2
= a − 2 a ⋅ b cosθ + b 3 π 2 2 = ( 2) − 2 2⋅ 3⋅ cos +3 4 =17
∴ a −b = 17
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2. 在顶点为 A(1−1 2) , B(1,1, 0) 和C(1,3, −1 的 , , ) 三角形中, 求 AC 边上的高 BD . 解： AC = ( 0, 4, −3)
k
i
返回
j
结束
向量积的行列式计算法
(aybz − azby ) i + (azbx − axbz ) j + (axby − aybx ) k
i j = ax ay k az
a = ax i + ay j + az k b = bx i +by j +bz k
bx
by bz
ax az − , bx bz
b
c = a×b (叉积)
引例中的力矩 思考: 思考 右图三角形面积 S＝
a
c = a×b a θ
b
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2. 性质
(1 a×a = 0 ) (2) a, b为非零向量, 则 a×b = 0
证明: 证明 当a ≠ 0, b ≠ 0时 ,
a∥ b
a×b = 0
3. 运算律
r r ( a +b ) ⋅ c = c Prjc ( a +b ) = c ( Prjc a + Prjc b )
事实上, 当 c = 0 时, 显然成立 ; 当 ≠ 0时 c
r r = c Prjc a + c Prjc b = a⋅ c +b⋅ c
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例1. 证明三角形余弦定理
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4. 数量积的坐标表示 设 a = ax i + ay j + az k , b = bx i +by j +bz k , 则
( ax i + ay j + az k ) ⋅ (bx i +by j +bz k )
i⋅ j = j⋅ k = k⋅ i = 0
a⋅ b=axbx + ayby + azbz
A B M
A 解: M = (1, 1, 0 ), M = ( 1, 0, 1) B
则
A⋅ B cos ∠AM = M M B M M A B 1+0 +0 = 2 2
故
∠AM = B
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例3. 设均匀流速为 的流体流过一个面积为 A 的平 面域 , 且 与该平面域的单位垂直向量 为ρ). 解: 的夹角为 求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度