第二节向量的乘法运算

( ax i + ay j + az k ) × (bx i +by j +bz k )
= axbx ( i ×i )
+ ayby ( j × j )
+ azbz ( k ×k )
= (aybz − azby ) i + (azbx − axbz ) j + (axby − aybx ) k
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B
= c⋅ a⋅ sin B
CB×CA = a⋅ b⋅ sinC
所以
c
A
b
a
C
a b c = = sin A sin B sinC
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备用题 1. 已知向量 a , b 的夹角 θ = 解：
3 π ,且 | a | = 2, | b | = 3, 4
( a −b ) ⋅ ( a −b )
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D
C
(1 a⋅a = ) (2) a,b为两个非零向量, 则有
a⋅b = 0
3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律
a
a⋅ (λb)
b
(a+b)
(λ a) ⋅ (µb) = λ ( a ⋅ (µ b) ) = λ µ(a⋅ b)
(3) 分配律
c
r r Prjc a Prjc b r Prjc (a +b)
a⋅ b = axbx + ayby + azbz
i j k a×b = ax ay az
bx by bz
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ax ay az 混合积: [ a b c ]= ( a×b ) ⋅ c = bx by bz cx cy cz 2. 向量关系: bx by bz = = a×b = 0 ax ay az axbx + ayby + azbz = 0
a,b, c共 面
( a×b ) ⋅ c = 0
ax ay az bx by bz = 0 cx cy cz
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思考与练习
1. 设 a = i + 2 j − k , b = −i + j , 计算 a⋅ b 及a×b,并求
a, b 夹角θ 的正弦与余弦 .
答案: 答案 a⋅b =1,
C
1
2
4
1 2 2 2 = 4 + (−6) + 2 = 14 2
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例5. 证明四点 A(1,1,1), B( 4,5, 6),C( 2,3,3),
D(10,15,17)共面 .
解: 因
B
C
[ AB AC AD ]
3 = 1 9
4 5 2 2 =0 14 16
A
D
故 A , B , C , D 四点共面 .
a b sinθ = 0 sinθ = 0， θ = 0 或π 即
a∥ b
(1 a×b = −b×a )
(2) 分配律 ( a +b) ×c =a×c +b×c (3) 结合律 (λ a) ×b =a×(λb) = λ ( a×b)
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(证明略)
4. 向量积的坐标表示式 设 a = ax i + ay j + az k , b = bx i +by j +bz k , 则
P=
v
为单位向量
= ρ A v⋅ n
θ
A
单位时间内流过的体积
v
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二、向量的向量积
引例. 引例 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为 的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力 矩是一个向量 M :
Q M = O F = O F sinθ P
k
i
返回
j
结束
向量积的行列式计算法
(aybz − azby ) i + (azbx − axbz ) j + (axby − aybx ) k
i j = ax ay k az
a = ax i + ay j + az k b = bx i +by j +bz k
bx
by bz
ax az − , bx bz
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4. 数量积的坐标表示 设 a = ax i + ay j + az k , b = bx i +by j +bz k , 则
( ax i + ay j + az k ) ⋅ (bx i +by j +bz k )
i⋅ j = j⋅ k = k⋅ i = 0
a⋅ b=axbx + ayby + azbz
( 行列式计算见 P339～P342 )
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例4. 已知三点 A(1, 2,3), B(3, 4,5),C( 2, 4 , 7), 求三 角形 ABC 的面积
B
解: 如图所示, 1 S∆ABC = AB AC sinθ θ 2 A 1 = AB× AC 2 i j k 1 1 = 2 2 2 = ( 4, − 6, 2 ) 2 2
r W = F⋅ s
M2
a⋅ b
为与的 a b 数量积 (点积) .
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r r b 在a上 投 为 的 影
b
故
记作
r Prja b
r a⋅b = a Prja b r r 同 ,当b ≠ 0 时 理 ,
θ
2. 性质
a ≠ 0, b ≠ 0
则a⋅b = 0
⊥
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B A
AB = ( 0, 2, − 2 )
三角形 ABC 的面积为 1 1 S = | AC× AB| = (−2)2 + 02 + 02 =1 2 2 1 2 2 而 | AC | = 4 + (−3) = 5, S = | AC | ⋅ | BD| 2 1 2 1= ⋅ 5 ⋅ | BD| 故有 ∴ | BD| = 2 5
= a⋅ a
2
+ b⋅ b
2
= a − 2 a ⋅ b cosθ + b 3 π 2 2 = ( 2) − 2 2⋅ 3⋅ cos +3 4 =17
∴ a −b = 17
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2. 在顶点为 A(1−1 2) , B(1,1, 0) 和C(1,3, −1 的 , , ) 三角形中, 求 AC 边上的高 BD . 解： AC = ( 0, 4, −3)
r r ( a +b ) ⋅ c = c Prjc ( a +b ) = c ( Prjc a + Prjc b )
事实上, 当 c = 0 时, 显然成立 ; 当 ≠ 0时 c
r r = c Prjc a + c Prjc b = a⋅ c +b⋅ c
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例1. 证明三角形余弦定理
A B M
A 解: M = (1, 1, 0 ), M = ( 1, 0, 1) B
则
A⋅ B cos ∠AM = M M B M M A B 1+0 +0 = 2 2
故
∠AM = B
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例3. 设均匀流速为 的流体流过一个面积为 A 的平 面域 , 且 与该平面域的单位垂直向量 为ρ). 解: 的夹角为 求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度
c2 = a2 +b2 − 2abcosθ 证: 如图 . 设
A
CB = a, CA = b, AB = c
则
2
c
B
b
θ
a
C
c =( a −b) ⋅ ( a −b)= a⋅ a +b⋅ b −2a⋅ b = a + b − 2 a b cosθ
2 2
a= a ,b= b ,c= c
c2 = a2 +b2 − 2abcosθ
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内容小结
设 a = (ax , ay , az ) , b = (bx ,by ,bz ), c = (cx , cy , cz ) 1. 向量运算 加减: 数乘: 点积: 叉积:
a ±b = (ax ±bx , ay ±by , az ±bz )
λ a = (λax , λay , λaz )
第二节向量的乘法运算
第七章 七
一、向量的数量积 二、向量的向量积
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一、向量的数量积
引例. 引例 设一物体在常力 F 作用下, 沿与力夹角为 的直线移动, 位移为 s , 则力F 所做的功为
r W = F s cosθ
1. 定义 设向量 a, b 的夹角为θ , 称
源自文库记作
θ
M1
s
a×b = (1, 1, 3) 1 11 cosθ = , sinθ = 2 3 12
2. 用向量方法证明正弦定理: a b c = = sin A sin B sinC
B
c
A
机动
a
b
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C
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证: 由三角形面积公式
因
1 S∆ABC = AC× AB 2 1 1 = BA× BC = CB×CA 2 2 AC× AB = b⋅ c⋅ sin A
F
O
OP ⇒F ⇒M 符合右手规则 M ⊥ OP
M ⊥F F
θ P
Q
θ
L
o
M
P
O = O sinθ Q P
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1. 定义
设a, b的 角 θ， 夹 为 定义
向量 c 方向 : c⊥ a, c ⊥ b 且符合右手规则 模 : c = a b sinθ
称 c 为 量a 与b的 向量积 , 记作 向
两向量的夹角公式 当 为非零向量时, 由于
a b cosθ , 得
2 2 2 bx +by +bz
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cosθ =
a b
=
axbx + ayby + azbz
2 2 ax + a2 + az y
例2. 已知三点 M(1,1,1), A( 2, 2,1), B( 2,1, 2), 求 ∠ AMB .
b
c = a×b (叉积)
引例中的力矩 思考: 思考 右图三角形面积 S＝
a
c = a×b a θ
b
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2. 性质
(1 a×a = 0 ) (2) a, b为非零向量, 则 a×b = 0
证明: 证明 当a ≠ 0, b ≠ 0时 ,
a∥ b
a×b = 0
3. 运算律