5-2向量的乘法运算

r r r r r r r 垂直. 例 2 证明向量c 与向量(a c )b (b c )a 垂直 r r r r r r r 证 [(a c )b (b c )a ] c r r r r r r r r = [(a c )b c (b c )a c ] r r r r r r = (c b )[a c a c ]
cx cy cz
混合积的坐标表达式
关于混合积的说明： 关于混合积的说明： （1）向量混合积的几何意义： ）向量混合积的几何意义：
r r向量的混合积 r r r r [ab c ] = (a × b ) c 是这样
的一个数， r 的一个数，它的绝对值表 r r 示以向量a 、b 、c 为棱的 平行六面体的体积. 平行六面体的体积
r r r r r r r r 设 a = a x i + a y j + a z k , b = bx i + b y j + bz k r r r r r r r r a b = (a x i + a y j + a z k ) (bx i + b y j + bz k ) r r r r r r r r r Q i ⊥ j ⊥ k , ∴ i j = j k = k i = 0, r r r Q| i |=| j |=| k |= 1, r r r r r r ∴ i i = j j = k k = 1. r r a b = axbx + ayby + azbz
第二节 向Biblioteka Baidu的乘法运算
一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 三、向量的混合积 四、小结
一、两向量的数量积
r 实例 一物体在常力 F 作用下沿直线从点 M 1 移动 r r 表示位移， 到点 M 2 ，以 s 表示位移，则力 F 所作的功为 r r r r 的夹角) (其中θ 为 F 与 s 的夹角 其中 W =| F || s | cosθ
二、两向量的向量积
r r r r r 定义 向量 a 与b 的向量积为 c = a × b 向量积为 r r r r r | c |=| a || b | sinθ 其中 的夹角 (其中θ 为a 与b 的夹角) r r r c 的方向既垂直于a ，又垂直于b ，指向符合
向量积也称为“叉积”、“外积”. 向量积也称为“叉积” 外积”
= 4 × 2 × 1 = 8,
r r r 同向， 依题意知 m × n 与 p 同向， r r ∧r ∴θ = ( m × n , p ) = 0 r r r r r r ( m × n ) p =| m × n | | p | cosθ = 8 3 = 24.
r r 例 7： 设 a = ( 2 , - 3 , 1 ) , ( 1 , - 2 , 3 ) , b= r r r r c= ( 1 , 2 , - 7 ) , 已 知 向 量 d同 时 垂 直 a和 b r r 且 与 c内 积 为 1 0 , 求 d .
数量积的坐标表达式
r r ab r r r r a b =| a || b | cosθ cos θ = r r , | a || b | axbx + ayby + azbz cosθ = 2 2 2 2 2 2 ax + ay + az bx + by + bz
两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为
r r r r （1） a × b = b × a . ） r r r r r r r （2）分配律： (a + b ) × c = a × c + b × c . ）分配律： r r r r r r 为数： （3）若 λ ） 为数： (λa ) × b = a × (λb ) = λ (a × b ).
r r r 两两垂直，符合右手规则， 例 6 设向量 m , n, p 两两垂直，符合右手规则，且 r r r r r r | m |= 4 ，| n |= 2 ，| p |= 3 ，计算( m × n) p . r r r r r∧ r 解 | m × n |=| m || n | sin( m , n )
三、向量的混合积
r r r r r r 定义 设已知三个向量a 、b 、c ，数量(a × b ) c rrr 称为这三个向量的混合积 混合积， 称为这三个向量的混合积，记为[ab c ]. r r r r r r r r 设 a = a x i + a y j + a z k , b = bx i + b y j + bz k , r r r r c = c x i + c y j + cz k , ax ay az r rr r r r [abc]= (a ×b) c = bx by bz
例5
解
在顶点为 A(1,1,2) 、 B(5,6,2)和
C (1,3,1) 的三角形中，求 AC 边上的高 BD . 的三角形中，
AC = {0,4,3} AB = {4,5,0}
三角形ABC的面积为 的面积为 三角形
A
B
D
C
1 1 25 2 2 2 S = | AC × AB |= 15 + 12 + 16 = , 2 2 2 1 2 2 | AC | = 4 + ( 3) = 5, S = | AC | | BD | 2 25 1 = 5 | BD | ∴| BD |= 5. 2 2
启示 两向量作这样的运算 结果是一个数量 两向量作这样的运算, 结果是一个数量.
r r r r 数量积为 定义 向量a 与b 的数量积为a b r r r r r r a b =| a || b | cosθ (其中θ 为a 与b 的夹角 的夹角) 其中
r b
r a r r r r Q | b | cos θ = Pr ja b , | a | cos θ = Pr jb a , r r r r r r ∴ a b =| b | Pr jb a = | a | Pr ja b .
结论 两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积. 乘积. 数量积也称为“点积” 内积” 数量积也称为“点积”、“内积”.
θ
r r r r a b =| a || b | cosθ
关于数量积的说明： 关于数量积的说明：
r r r 2 (1) a a =| a | . r r r r r 2 证 Qθ = 0, ∴ a a =| a || a | cosθ =| a | . r r r r ( 2) a b = 0 a⊥b . r r r r 证 () Q a b = 0, | a |≠ 0, | b |≠ 0, r r π ∴ a ⊥b . ∴ cosθ = 0, θ = , 2 π r r () Q a⊥b , ∴θ = , ∴ cosθ = 0, 2 r r r r a b =| a || b | cosθ = 0.
( 2) cosθ =
a x bx + a y b y + a z bz a x + a y + az
2 2 2
bx + b y + bz
2 2
2
1 , = 2 r r r r ( 3) a b =| b | Pr jb a
r r r ab ∴ Pr jb a = r = 3. |b |
3π π . ∴θ = 4
a x a y az 例如， 例如， = = a x = 0, a y = 0 0 0 bz
补充
r r r r | a × b |表示以a 和b 为邻边
的平行四边形的面积. 的平行四边形的面积
r r r c = a×b r b
r a
r r r r r r r r b 例 4 求与 a = 3i 2 j + 4k ， = i + j 2k 都垂
直的单位向量. 直的单位向量
解
r r r c = a × b = ax bx
r i
r j ay by
r k
r i
r j
r k
r r 4 = 10 j + 5k ,
az = 3 2 bz 1 1 2
r 2 2 Q | c |= 10 + 5 = 5 5 ,
r c 2 r 1 r 0 ∴ c = ± r = ± j+ k . 5 |c | 5
r r r r r r r r 设 a = a x i + a y j + a z k , b = bx i + b y j + bz k r r r r r r r r a × b = (a x i + a y j + a z k ) × (bx i + b y j + bz k ) r r r r r r r Q i × i = j × j = k × k = 0, r r r r r r r r r Q i × j = k, j × k = i , k × i = j, r r r r r r r r r j × i = k , k × j = i , i × k = j . r r r = (aybz azby )i + (azbx axbz ) j + (axby aybx )k
=0
r r r r r r r ∴ [(a c )b (b c )a ]⊥c
r r r r r r r 例2:设a ≠ 0, ≠ 0, c ≠ 0,并且有a c = b c b r r 能否推出a = b
r r r r r r 例 3:设 a =2i-j+2k,向 量 x与 a共 线 ,且 r r r a x=-9,求 x .
向量积的坐标表达式
向量积还可用三阶行列式表示
r i r r a × b = ax bx
由上式可推出
r j ay by
r k az bz
a x a y az r r a // b = = bx b y bz
不能同时为零，但允许两个为零， b x 、 b y 、bz 不能同时为零，但允许两个为零，
r r a⊥b axbx + ayby + azbz = 0
r r r r 例 1 已知 a = (1,1,4) ， b = (1,2,2) ，求（1）a b ； r r r r 的夹角；（ （2） a 与 b 的夹角；（3）a 在b 上的投影.
r r 解 (1) a b = 1 1 + 1 ( 2) + ( 4) 2 = 9.
数量积符合下列运算规律： 数量积符合下列运算规律：
r r r r 交换律： （1）交换律：a b = b a; r r r r r r r 分配律： （2）分配律： a + b ) c = a c + b c ; (
r r r r r r 为数： （3）若 λ 为数： ( λa ) b = a ( λb ) = λ ( a b ), r r r r 为数： 若 λ 、为数： ( λa ) ( b ) = λ ( a b ).
右手系. 右手系.
关于向量积的说明： 关于向量积的说明：
r r r (Qθ = 0 sinθ = 0) (1) a × a = 0. r r r r r r r r r ( 2) a // b a × b = 0. (a ≠ 0, b ≠ 0)
r r r 证 ( ) Q a × b = 0,
r | b |≠ 0, r r ∴ sinθ = 0, θ = 0, a // b r r ( ) Q a // b ∴θ = 0或 π ∴ sinθ = 0 r r r r | a × b |=| a || b | sinθ = 0.
r | a |≠ 0,
向量积符合下列运算规律： 向量积符合下列运算规律：
r rr a ×b c
r a
r b
rrr r r r （3）三向量a 、b 、c 共面 [ab c ] = 0. ）
rrr r r r r r r r r r ( 2) [ab c ] = (a × b ) c = (b ×c) a = (c × a) b.
rrr 例8 已知[ab c ] = 2， r r r r r r 计算[(a + b ) × ( b + c )] ( c + a ) . r r r r r r 解 [(a + b ) × ( b + c )] ( c + a ) r r r r r r r r r r = [ a × b + a × c + b × b + b × c ] (c + a ) r r r r r r r r r r r = (a × b ) c + (a × c ) c + 0 c + (b × c ) c =0 =0 r r r r r r r r r r r + (a × b ) a + ( a × c ) a + 0 a + (b × c )ra r r =0 =0 = (a ×b) c r r r rrr = 2(a × b ) c = 2[ab c ] = 4.