微积分向量的乘法运算

0,
| a|
0,
| b | 0,
sin 0,
0或 ,
a//
b.
()
a//
b,
0或 , sin 0,
|
a
b ||
a||
b|
sin
0,
a
b
0
.
3. 向量积符合下列运算律：
(1)
a
b
b
a;
(2)
分配律（力矩）：(a
b)
c
a
c
b
c.
(3)
若
l为数：
(la)
b
a
(lb )
第三节 向量的乘法运算
一、向量的数量积 二、向量的向量积 三、向量的混合积 四、小结 五、思考与练习
一、两向量的数量积
引例 设一物体在常力 F 作用下, 沿与力夹角为
的直线从点M1移动到点M2, 位移为 s ,
则力F
所做的功为
W
|
F ||
s|cos
1.为即则定向称义a量数设ba量向与|量|aab||||ab的b、||数ccboo夹量ss角积. (为点积，、b内积aM).
(a
b)
(
a
b)
a
a
b
b
2 a
b
|
a
|2
|
b
|2
2|
a
||
b
|cos
a
|
a|,
b
|
b |,
c
|
c|,
b
C
c2 a2 b2 2abcos .
4. 数量积的坐标表示
设
a
axi
ay
j
azk,
b bxi by j bzk
a
b
(axi
a
y
j
az k )
(bxi
i
j)
axbz (
i
k)
k
O i
j
aybx ( j i ) ayby ( j j ) aybz ( j k )
azbx (k i ) azby (k j ) azbz (k k )
(a ybz azby ) i (azbx axbz ) j (axby aybx )k
,
且a,
b,
a
b符合右手法则.
向量积也称为“叉积”、“外积”.
a
b
引例中的力矩
M OP F
a
思考 右图三角形面积
b
1
|
a
b|
S＝__2________
a
b
2. 关于向量积的说明：
(1)
a
a
0.
( 0 sin 0)
(2)
a//
b
a
b
0.
(a
0,
b 0)
Baidu Nhomakorabea
证
()
a
b
向量积的分解表达式
5. 向量积的几何意义
向量积还可用三阶行列式表示
a
b
i ax
j ay
k az
bx by bz
( 三阶行列式计算见课本 P319～P320 )
4. 向量积的坐标表示
设
a
axi
ay
j
azk,
b bxi by j bzk
a
b
(axi
ay
j
az
k
)
(bx
i
by
j
bzk )
a
xbx
(i
i)
axby (
求向量 x的坐标.
解 设 x la,则 9 a x l(a a) 9l , l 1,
x a (2,1,2).
例4
设
a
0
,
b
0
,
且
c
0
,并且有
a
c
b
c,
问是否有 a b？
解
取
a
i,
b j,
c
i
j
k,
则有
a
c
b
c
1,
但
a
b.
例5
证明向量
c与向量
(a
c)b
(b
c)a垂直.
证
[(a
c)b
(b
c)a]
c
(a
c)b
c
(b
c)a
c
(a
c)(b
c)
(b
c)(a
c)
0,
[(a
c)b
(b
c)a]
c
二、向量的向量积
引例 设 O 为一根杠杆 L 的支点，
F
有一力 F 作用于这杠杆上 P 点处．
力F 与
OP
的夹角为，力F
对支点
O
O 的力矩是一向量 M ，它的模
l
(a
b ).
4. 向量积的坐标表示
设
a
axi ay j azk,
b bxi by j bzk
a
b
aybz
azby
,
azbx
axbz , axby
a ybx
向量积的分解表达式
ay az , ax az , ax ay
by bz bx bz bx by
向量积的坐标表达式
by
j
bz
k)
i,
j,
k相互垂直,
i j
j k k i 0,
| i || j || k | 1, i i j j k k 1.
a
b
a x bx
a yby
azbz
数量积的坐标表示式
4. 数量积的坐标表示
设
a
ax
i
a
y
j
az
k,
b bxi by j bzk
1
记为
s W
a
b
,
F
M s
2
注意：a
b
中的“.”不能省.
若
a
0,
b
在a
上的投影为
a
b
|
a|
Prjab Prjab
|
b
|
cos
,
若
b
0,
a
b
|
b|
Prjba.
b
a
2. 数量积符合下列运算规律：
(1) a a | a|2 .
(2)
交换律：a
b
b
a;
(3) 分配律：(投影)
(a
a
b
a
x
bx
ayby
azbz
数量积的坐标表达式
当
a
0
,
b
0时,
由 a
b |
a||
b|
cos
,
得
cos | aa||bb|
axbx a yby azbz ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz2
两向量夹角余弦的坐标表达式
由此可知 ab axbx a yby azbz 0
b)
c
a
c
b
c;
(4)
若l为数：(la)
b
a
(lb )
l ( a
b ),
若l、m为数：(la)
( mb )
l
m
(a
b ).
3. 关于两向量垂直的说明：
设向量 a与
b的夹角
，则称向量 a与
b
正交 ( 或垂直 ),
记为
a
b
.
2
(
a
,
0
a
.)
定理
设
a
0
,
b
0
,
a
b
0
ab.
证
()
a
例 (2)
2a与设ba的 夹(1角,1； ,4(3)，) ab在
b(1上 ,2的,2投)，影求. (1)
a
b；
例解3((32)设()1c)aaoasb2bi||baa1j|||Pb1br2j|kb1a,向, (3量2P2)9xrj与3b(aa4共)a|b线12b2|,,且9a3.9 x334.9.,
b
|
a||
b|
cos
0,
| a|
0,| b |
0,
cos 0, , ab.
()
ab,
,
2
2
cos 0,
a
b
|
a||
b|
cos
0.
例1 证明三角形余弦定理 c2 a2 b2 2abcos .
证 如图：设
A
CB
a,
CA b ,
AB
c,
c
则
c
a
b,
Ba
|
c|2
P
L
Q
| M || F || OQ | | F || OP | sin
M
的方向垂直于OP
与F
所决定的平面,
OP
、
F、
M
的方向符合右手法则.
MF M OP
二、向量的向量积
1. 定义
向量a与b 的向量积为
a
b,
它的模为：| a
b ||
a||
b|
sin
(
(a,b) );
a
b同时垂直于a和b