微积分向量的乘法运算
微积分第七章空间解析几何与向量代数
第七章 空间解析几何与向量代数 为了学习多元函数微积分的需要，本章首先建立空间直角坐标系，并引进在工程技术 上有着广泛应用的向量，介绍向量的一些运算．然后以向量为工具来讨论空间的平面与直线 方程，最后介绍空间曲面与空间曲线及二次曲面.第一节 空间直角坐标系一、 空间直角坐标系众所周知，实数x 与数轴上的点是一一对应的，二元数组(x ,y )与坐标平面上的点是一一对应的，从而可以用代数的方法讨论几何问题．类似地，通过建立空间直角坐标系，把空间中的点与一个三元有序数组(x ,y ,z )建立一一对应关系，用代数的方法研究空间问题.1.空间直角坐标系的建立过空间定点O 作三条互相垂直的数轴，它们都以O 为原点，并且通常取相同的长度单位．这三条数轴分别称为x 轴、y 轴、z 轴．各轴正向之间的顺序通常按下述法则确定：以右手握住z 轴，让右手的四指从x 轴的正向以π/2的角度转向y 轴的正向，这时大拇指所指的方向就是z 轴的正向．这个法则叫做右手法则(图7-1)．这样就组成了空间直角坐标系．O 称为坐标原点，每两条坐标轴确定的平面称为坐标平面，简称为坐标面．x 轴与y 轴所确定的坐标面称为xOy 坐标面．类似地有yOz 坐标面、zOx 坐标面．这些坐标面把空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限(图7-2)．x 、y 、z 轴的正半轴的卦限称为第Ⅰ卦限，从第Ⅰ卦限开始，从z 轴的正向向下看，按逆时针方向，先后出现的卦限依次称为第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限，第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限下方的空间部分依次称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限。
图7-1 图7-22.空间中点的直角坐标设M 为空间的一点，若过点M 分别作垂直于三坐标轴的平面，与三坐标轴分别相交于P ，Q ，R 三点，且这三点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标依次为x ，y ，z ，则点M 唯一地确定了一个有序数组(x ，y ，z )．反之，设给定一个有序数组(x ，y ，z )，且它们分别在x 轴、y 轴和z 轴上依次对应于P ，Q 和R 点，若过P ，Q 和R 点分别作平面垂直于所在坐标轴，则这三个平面确定了唯一的交点M ．这样，空间的点就与一个有序数组(x ，y ，z )之间建立了一一对应关系(图7-3)．有序数组(x ，y ，z )就称为点M 的坐标，记为M (x ，y ，z )，它们分别称为横坐标、纵坐标和竖坐标．显然，原点O的坐标为(0，0，0)，坐标轴上的点至少有两个坐标为0，坐标面上的点至少有一个坐标为0．例如，在x轴上的点，均有y＝z＝０；在xOy坐标面上的点，均有z ＝０．图7-3 图7-4二、空间两点间的距离公式设空间两点M１（x1, y1, z1)、M2 (x2, y2, z2),求它们之间的距离d=12M M．过点M 1,M2各作三个平面分别垂直于三个坐标轴，形成如图7-4所示的长方体．易知 2222121212()d M M M Q QM M QM==+∆是直角三角形222121()M P PQ QM M PQ=++∆是直角三角形222122M P P M QM''''=++()()()222212121x x y y z z=-+-+-所以d=（7-1-1 ）特别地，点M(x，y，z)与原点O(0，0，0)的距离(图7-3)d OM==例1在z轴上求与两点A(-4，1，7)和B(3，5，-2)等距离的点．解因所求的点M在z轴上，故设该点坐标为M(0，0，z)，依题意MA MB=，即=解得z＝149，所求点为M ( 0，0，149)．习题7-11．在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：A (1，3，2)，B (1，2，-1)，C (-1，-2，3)，D(0，-2，0)，E (-3，0，1)．2． 求点(a ,b ,c )关于(1) 各坐标面；(2) 各坐标轴；(3) 坐标原点的对称点的坐标．3． 自点P 0(x 0, y 0, z 0)分别作各坐标面和坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标．4． 求点M (4，-3，5)到各坐标轴间的距离．5． 在y Ｏz 面上，求与三个已知点A (3，1，2)，B (4，-2，2)和C (0，5，1)等距离的点．6． 试证明以三点A (4，1，9)，B (10，-1，6)，C (2，4，3)为顶点的三角形是等腰直角三角形．第二节 向量及其运算一、 向量的概念在物理学和工程技术中经常会碰到一些既有大小又有方向的量，如力、速度等，我们把这类量称为向量(或矢量)．空间中的向量常用具有一定长度且标有方向的线段(称为有向线段)来表示。
向量乘矩阵求导
向量乘矩阵求导全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：向量乘矩阵求导是矩阵微积分中的重要知识点，它在许多领域都有着广泛的应用。
在此篇文章中，我们将探讨向量乘矩阵求导的基本原理和具体计算方法，帮助读者更好地理解这一概念。
一、向量与矩阵的乘法在矩阵乘法中，两个矩阵相乘的定义是，如果矩阵A是一个m×n 的矩阵，矩阵B是一个n×p的矩阵，那么矩阵A乘以矩阵B得到的结果是一个m×p的矩阵。
具体来说，矩阵乘法的计算方法是将矩阵A的每一行与矩阵B的每一列进行点乘，然后将结果相加得到新矩阵的每个元素。
而向量乘矩阵的计算方法也是类似的，只是向量可以看作是一个特殊的矩阵，即只有一行或一列的矩阵。
向量与矩阵相乘的结果是一个新的向量，其维度与原始矩阵中的列数一致。
对于向量乘矩阵的求导，需要使用链式法则来进行计算。
具体来说，如果有一个向量y是由一个矩阵X乘以一个向量x得到的，即y = X*x，那么它的导数可以表示为dy/dx = d(X*x)/dx。
根据矩阵乘法的性质，可以将y展开为y = [y1, y2, ..., yn]，其中每个yi都是由X的一行与x进行点乘得到的。
可以将dy/dx表示为一个行向量，其每个元素就是对应的yi关于x的导数。
在实际应用中，向量乘矩阵求导的计算通常可以通过以下步骤进行：1. 定义原始向量y = X*x，其中X是一个m×n的矩阵，x是一个n×1的向量，y是一个m×1的向量。
2. 将y展开为y = [y1, y2, ..., yn]，其中每个yi都是由X的一行与x进行点乘得到的。
3. 分别求解每个yi关于x的导数，然后将其组合成一个行向量，即dy/dx。
4. 最后得到的dy/dx即是向量y关于向量x的导数。
示例：假设有一个2×3的矩阵X = [[1,2,3],[4,5,6]]，一个3×1的向量x = [[1],[2],[3]]，现在要求向量y = X*x的导数。
大学高等数学公式大全
大学高等数学公式大全第一部分：微积分基础一、导数1. 导数的定义：导数是一个函数在某一点上的瞬时变化率，表示为f'(x)或dy/dx。
2. 导数的运算法则：常数函数的导数为0。
幂函数的导数为指数乘以底数的指数减1，即d/dx(x^n) =nx^(n1)。
指数函数的导数为指数函数乘以指数，即d/dx(a^x) = a^xln(a)。
对数函数的导数为1除以x乘以底数的对数，即d/dx(ln(x)) =1/x。
三角函数的导数：d/dx(sin(x)) = cos(x)，d/dx(cos(x)) =sin(x)，d/dx(tan(x)) = sec^2(x)。
3. 高阶导数：函数的导数可以继续求导，得到高阶导数。
例如，f''(x)表示二阶导数。
二、积分1. 定积分的定义：定积分是一个函数在某个区间上的累积和，表示为∫[a,b]f(x)dx。
2. 积分的运算法则：常数函数的积分为其乘以区间长度，即∫[a,b]c dx = c(ba)。
幂函数的积分为其指数加1除以指数加1乘以区间长度，即∫[a,b]x^n dx = (b^(n+1)a^(n+1))/(n+1)。
指数函数的积分为其指数函数除以指数，即∫[a,b]a^x dx = (a^ba^a)/ln(a)。
对数函数的积分为其对数函数乘以区间长度，即∫[a,b]ln(x) dx = (xln(x)x)。
三角函数的积分：∫[a,b]sin(x) dx = cos(x) + C，∫[a,b]cos(x) dx = sin(x) + C，∫[a,b]tan(x) dx = ln|cos(x)| + C。
3. 积分的性质：积分与导数互为逆运算，即d/dx(∫f(x)dx) = f(x)。
积分区间可以改变顺序，即∫[a,b]f(x)dx = ∫[b,a]f(x)dx。
积分可以分解为多个区间上的积分，即∫[a,c]f(x)dx =∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx。
向量微积分的基本概念和定义
向量微积分的基本概念和定义在数学中，向量微积分是研究向量值函数关于时间或空间的变化率和积分的一种分支。
向量是一种具有方向和大小的量，它可以表示为一组有序的实数。
向量微积分在现代数学、物理、工程及计算机科学中都有广泛的应用，掌握向量微积分的基本概念和定义对于理解这些学科非常重要。
1. 向量的定义和运算向量是指具有大小和方向的物理量，如力、速度等。
一般地，向量用加粗的小写字母表示，例如a。
向量的大小又称向量的模，用竖线表示，如|a|。
向量的方向可以用一个有向线段表示，其中箭头表示向量的方向。
向量的几何运算包括加法和数乘。
向量的加法和数乘可以分别表示为：a +b = (a1+b1, a2+b2, …, an+bn)k · a = (ka1, ka2, …, kan)其中a，b均为n维向量，k是实数。
向量还有重要的运算符，如点积和叉积。
点积是一个二元运算，用符号“·”表示，它的定义为：a ·b = a1b1 + a2b2 + … + anbn其中a，b均为n维向量。
叉积也是一个二元运算，用符号“×”表示，它的定义为：a ×b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)其中a，b均为三维向量。
2. 导数和微分向量值函数是指将实数域中的一个区间映射到向量空间中的函数。
向量值函数的导数被称为导向量或者微分，用符号“dF/dt”表示。
导向量的定义为：dF/dt = lim(h→0) [F(t+h) - F(t)]/h其中F(t)表示向量值函数，h为无穷小量。
微分可以反映向量值函数的局部变化率，它的物理意义非常重要。
3. 曲线积分和曲面积分曲线积分是指沿曲线路径对向量值函数进行积分的过程。
它的定义为：∫c F·ds = ∫c F·drt其中F为向量值函数，C为曲线，rt为其参数方程。
曲线积分可以表示向量场在曲线上的流量，也可用于计算环路积分和势力场等物理量。
向量数乘运算及其几何意义新
解释力和力矩的方向
在分析力学中，向量数乘可以用来解释力和力矩的 方向，以及它们对物体运动状态的影响。
描述磁场和电场的变化
在电磁学中，向量数乘可以用来描述磁场和 电场的变化，以及它们对电荷和电流的作用 。
在数学中的应用
描述向量的缩放
向量数乘可以用来描述向量的缩 放，即改变向量的长度而不改变 其方向。
实例分析
标量与向量的数乘实例
在二维平面中，假设有一个向量$overset{longrightarrow}{a} = (1,2)$，当标量为 $k = 2$时，数乘后的向量为$overset{longrightarrow}{b} = (2,4)$；当标量为$k = -3$时，数乘后的向量为$overset{longrightarrow}{c} = (-3,-6)$。
详细描述
向量数乘在数学中可以丰富数学理论体系，例如在解析几 何中，通过向量数乘运算可以描述平面几何图形的旋转和 缩放，从而丰富了平面几何的理论基础。
总结词
促进数学与其他学科的交叉融合
总结词
解决数学难题
详细描述
向量数乘在数学与其他学科的交叉融合中也有着重要的应 用，例如在生物力学中，通过向量数乘运算可以描述肌肉 收缩和骨骼运动的关系，从而促进了生物学和力学的交叉 融合。
在物理建模过程中，向量数乘运算可以简化复杂的物理模 型，例如在力学中，通过向量数乘运算可以描述力的合成 与分解，从而简化了对物体运动轨迹的分析。
详细描述
向量数乘在物理中有着广泛的应用，例如在电磁学中，通 过向量数乘运算可以描述电荷的运动轨迹和电场线的分布 ，从而揭示电磁现象的本质。
总结词
提高物理实验的精度
案例三：向量数乘在工程中的运用
微积分下册知识点
微积分下册知识点第一章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算1、 向量,向量相等,单位向量,零向量,向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a =,),,(z y x b b b b = ,则),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±,),,(z y x a a a a λλλλ=；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++= ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rzr y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα5） 投影：ϕcos Pr a a j u =,其中ϕ为向量a 与u 的夹角;（二） 数量积,向量积1、 数量积：θcos b a b a=⋅12a a a =⋅2⇔⊥b a 0=⋅b az z y y x x b a b a b a b a ++=⋅2、 向量积：b a c⨯=大小：θsin b a ,方向：c b a,,符合右手规则10 =⨯a a 2b a //⇔0 =⨯b azy x zy x b b b a a a kj i b a=⨯运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面：yoz 面上曲线0),(:=z y f C ,绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：),(=y x F 表示母线平行于z轴,准线为⎪⎩⎪⎨⎧==0),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面不考1） 椭圆锥面：22222z by a x =+ 2） 椭球面：1222222=++c z b y a x旋转椭球面：1222222=++cz a y a x3） 单叶双曲面：1222222=-+czb y a x4） 双叶双曲面：1222222=--cz b y a x5） 椭圆抛物面：z by a x =+22226） 双曲抛物面马鞍面：z b y a x =-22227） 椭圆柱面：12222=+b y a x 8） 双曲柱面：12222=-b y a x9） 抛物柱面：ay x =2（四） 空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ,如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===bt z t a y t a x sin cos3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ,消去z ,得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H（五） 平面及其方程 1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n =,过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax截距式方程：1=++czb y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ,),,(2222C B A n = ,222222212121212121cos CB AC B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000C B A DCz By Ax d +++++=（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A2、 对称式点向式方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s =,过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nty y mt x x 0004、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ,),,(2222p n m s =,222222212121212121cos pn m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L212121p p n n m m ==5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角,222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L pCn B m A ==第二章 多元函数微分法及其应用 （一） 基本概念1、 距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集;2、 多元函数：),(y x f z =,图形：3、 极限：A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00 4、 连续：),(),(lim 00),(),(00y x f y x f y x y x =→5、 偏导数：xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆), (), (lim ),(0000000yy x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0000000 6、 方向导数：βαcos cos y fx f l f ∂∂+∂∂=∂∂其中βα,为l的方向角; 7、 梯度：),(y x f z =,则j y x f i y x f y x gradf y x),(),(),(000000+=;8、 全微分：设),(y x f z =,则d d d z z z x y x y∂∂=+∂∂ （二） 性质1、 函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系：2、 闭区域上连续函数的性质有界性定理,最大最小值定理,介值定理3、 微分法 1） 定义：u x2） 复合函数求导：链式法则 z若(,),(,),(,)z f u v u u x y v v x y ===,则v yz z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂,z z u z vy u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 充分条件3） 隐函数求导：两边求偏导,然后解方程组 （三） 应用 1、 极值1） 无条件极值：求函数),(y x f z =的极值解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==00yx f f 求出所有驻点,对于每一个驻点),(00y x ,令),(00y x f A xx =,),(00y x f B xy =,),(00y x f C yy =,① 若02>-B AC ,0>A ,函数有极小值, 若02>-B AC ,0<A ,函数有极大值；② 若02<-B AC ,函数没有极值； ③ 若02=-B AC ,不定;2） 条件极值：求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的极值 令：),(),(),(y x y x f y x L λϕ+= ———Lagrange 函数解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),(0y x L L y x ϕ2、 几何应用1） 曲线的切线与法平面曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===Γ)()()(:t z z t y y t x x ,则Γ上一点),,(000z y x M 对应参数为0t 处的切线方程为：)()()(00000t z z z t y y y t x x x '-='-='- 法平面方程为：))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x2） 曲面的切平面与法线曲面0),,(:=∑z y x F ,则∑上一点),,(000z y x M 处的切平面方程为：))(,,())(,,())(,,(0=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F zyx法线方程为：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-第三章 重积分（一） 二重积分一般换元法不考1、 定义：∑⎰⎰=→∆=nk k k k Df y x f 1),(lim d ),(σηξσλ2、 性质：6条3、 几何意义：曲顶柱体的体积;4、 计算：1） 直角坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=b x a x y x y x D )()(),(21ϕϕ,21()()(,)d d d (,)d bx ax Df x y x y x f x y y φφ=⎰⎰⎰⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=d y c y x y y x D )()(),(21φφ,21()()(,)d d d (,)d dy cy Df x y x y y f x y x ϕϕ=⎰⎰⎰⎰2） 极坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=βθαθρρθρθρ)()(),(21D21()()(,)d d (cos ,sin )d Df x y x y d f βρθαρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰（二） 三重积分 1、 定义： ∑⎰⎰⎰=→Ω∆=nk k k k kv f v z y x f 1),,(limd ),,(ζηξλ2、 性质：3、 计算：1） 直角坐标⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩDy x z y x z zz y x f y x v z y x f ),(),(21d ),,(d d d ),,(-------------“先一后二”⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩZD bayx z y x f z v z y x f d d ),,(d d ),,(-------------“先二后一”2） 柱面坐标⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===zz y x θρθρsin cos ,(,,)d (cos ,sin ,)d d d f x y z v f z z ρθρθρρθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰3） 球面坐标⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin r z r y r x 2(,,)d (sin cos ,sin sin ,cos )sin d d d f x y z v f r r r rr φθφθφφφθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（三） 应用 曲面D y x y x f zS ∈=),(,),(:的面积：y x yz x z A Dd d )()(122⎰⎰∂∂+∂∂+=第五章 曲线积分与曲面积分 （一） 对弧长的曲线积分 1、 定义：1(,)d lim (,)ni i i Li f x y s f s λξη→==⋅∆∑⎰2、 性质： 1[(,)(,)]d (,)d (,)d .LLLf x y x y s f x y sg x y s αβαβ+=+⎰⎰⎰ 212(,)d (,)d (,)d .LL L f x y s f x y s f x y s =+⎰⎰⎰).(21L L L +=3在L上,若),(),(y x g y x f ≤,则(,)d (,)d .LLf x y sg x y s ≤⎰⎰4l s L=⎰d l 为曲线弧 L 的长度3、 计算：设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为)(),(),(βαψϕ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧==t t y t x ,其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数,且0)()(22≠'+'t t ψϕ,则(,)d [(),( ,()Lf x y s f t t t βαφψαβ=<⎰⎰（二） 对坐标的曲线积分1、 定义：设 L 为xoy 面内从 A 到B 的一条有向光滑弧,函数),(y x P ,),(y x Q 在 L 上有界,定义∑⎰=→∆=nk k k k Lx P x y x P 1),(lim d ),(ηξλ,∑⎰=→∆=nk k k kLy Q y y x Q 1),(lim d ),(ηξλ.向量形式：⎰⎰+=⋅LLy y x Q x y x P r F d ),(d ),(d2、 性质：用-L 表示L 的反向弧 , 则⎰⎰⋅-=⋅-LL r y x F r y x F d ),(d ),( 3、 计算： 设),(,),(y x Q y x P 在有向光滑弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为):(),(),(βαψϕ→⎪⎩⎪⎨⎧==t t y t x ,其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数,且0)()(22≠'+'t t ψϕ,则(,)d (,)d {[(),()]()[(),()LP x y x Q x y y P t t t Q t t βαφψφφψ'+=+⎰⎰4、 两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为⎪⎩⎪⎨⎧==)()( t y t x L ψϕ：,L 上点),(y x 处的切向量的方向角为：βα,,)()()(cos 22t t t ψϕϕα'+''=,)()()(cos 22t t t ψϕψβ'+''=, 则d d (cos cos )d LLP x Q y P Q s αβ+=+⎰⎰.（三） 格林公式1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,函数),(,),(y x Q y x P 在D 上具有连续一阶偏导数, 则有⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂LD y Q x P y x y P x Q d d d d2、G 为一个单连通区域,函数),(,),(y x Q y x P 在G 上具有连续一阶偏导数,则y Px Q ∂∂=∂∂ ⇔曲线积分 d d LP x Q y +⎰在G 内与路径无关 ⇔曲线积分d d 0LP x Q y +=⎰⇔ y y x Q x y x P d ),(d ),(+在G 内为某一个函数),(y x u 的全微分 （四） 对面积的曲面积分1、 定义：设∑为光滑曲面,函数),,(z y x f 是定义在∑上的一个有界函数,定义 i i i i ni S f S z y x f ∆=∑⎰⎰=→∑),,(lim d ),,(10ζηξλ 2、 计算：———“一投二换三代入”),(:y x z z =∑,xy D y x ∈),(,则x z y x z y x z y x f S z y x f y x D yx ,(),(1)],(,,[d ),,(22++=⎰⎰⎰⎰∑（五） 对坐标的曲面积分1、 预备知识：曲面的侧,曲面在平面上的投影,流量2、 定义：设∑为有向光滑曲面,函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 是定义在∑上的有界函数,定义1(,,)d d lim (,,)()ni i i i xy i R x y z x y R S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰同理,1(,,)d d lim (,,)()ni i i i yz i P x y z y z P S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰1(,,)d d lim (,,)()ni i i i zx i Q x y z z x R S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰3、 性质： 121∑+∑=∑,则12d d d d d d d d d d d d d d d d d d P y z Q z x R x yP y z Q z x R x y P y z Q z x R x y ∑∑∑++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰2-∑表示与∑取相反侧的有向曲面 , 则d d d d R x y R x y -∑∑=-⎰⎰⎰⎰4、 计算：——“一投二代三定号”),(:y x z z =∑,xy D y x ∈),(,),(y x z z =在xy D 上具有一阶连续偏导数,),,(z y x R 在∑上连续,则(,,)d d [,,(,)]d d x yD R x y z x y R x y z x y x y ∑=±⎰⎰⎰⎰,∑为上侧取“ + ”, ∑为下侧取“ - ”. 5、 两类曲面积分之间的关系：()R Q P y x R x z Q z y P dcos cos cos d d d d d d ⎰⎰⎰⎰∑∑++=++γβα其中γβα,,为有向曲面∑在点),,(z y x 处的法向量的方向角;（六） 高斯公式1、 高斯公式：设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面∑所围成, ∑的方向取外侧, 函数,,P Q R 在Ω上有连续的一阶偏导数,则有⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂yx R x z Q z y P z y x z R y Q x P d d d d d d d d d或()⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂S R Q P z y x z R y Q x P d cos cos cos d d d γβα（七） 斯托克斯公式1、 斯托克斯公式：设光滑曲面 ∑ 的边界 Γ是分段光滑曲线, ∑ 的侧与 Γ 的正向符合右手法则,),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含∑ 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有⎰⎰⎰Γ∑++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂z R y Q x P y x y P x Q x z x R z P z y z Q y R d d d d d d d d d为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂z R y Q x P RQ P zy x y x x z z y d d d d d d d d d 第六章 常微分方程1、微分方程的基本概念含未知函数的导数或微分的方程称为微分方程； 未知函数是一元函数的微分方程,称为常微分方程;未知函数是多元函数的微分方程,称为偏微分方程；微分方程中未知函数的导数的最高阶数,称为微分方程的阶.能使微分方程成为恒等式的函数,称为微分方程的解. 如果微分方程的解中含任意常数,且独立的即不可合并而使个数减少的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解为微分方程的通解. 不包含任意常数的解为微分方程特解.2、典型的一阶微分方程可分离变量的微分方程： 对于第1种形式,运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：)()(d )(d )(y g x h dxdyx x f y y g ==或2、 齐次微分方程：代入微分方程即可;3、 一阶线性微分方程型如称为一阶线性微分方程; 其对应的齐次线性微分方程的解为利用常数变异法可得到非齐次的线性微分方程的通解4、 伯努利方程： 于是U 的通解为：5、 全微分方程：7、可降阶的高阶常微分方程 12型的微分方程),(6.4.2 )1()(-=n n y x f y 3型的微分方程),(6.4.3 y y f y '='' 8、线性微分方程解的结构 1函数组的线性无关和线性相关 2线性微分方程的性质和解的结构叠加原理：二个齐次的特解的线性组合仍是其特解；二个线性无关齐次的特解的线性组合是其通解 3刘维尔公式4二阶非齐线性微分方程解的结构特解的求解过程主要是通过常数变异法,求解联立方程的解：⎰⎰=xx f y y g d )(d )( )( )( yxx x y y ψϕ='='或者 ,)( 可将其化为可分离方程中，令在齐次方程xy u x y y =='ϕ , xu y x y u ==，则令,u dx du x dx dy +=.)()1(的方程形如c by ax f y ++=',y b a u '+=').(u f bau =-'原方程可化为)()(x q y x p y =+' d )(。
[微积分常用公式]学好微积分的技巧换元公式如何运用
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相关资料一: 学好微积分的技巧换元公式如何运用学好微积分的技巧换元公式如何运用第一类换元法，也称为凑微分法，顾名思义，就是把f[g(x)]g’(x)dx转化为f[g(x)d(g(x))的形式，所以用好这一方法的关键就是把给定的积分里的被积分式写成f[g(x)]g’(x)dx。
要求对基本初等函数的导数，基本初等函数与其导数的关系很清楚（比如有些函数求导后，函数的形式不变，像露幂函数，指数函数）。
除此，多项式的因式分解，三角函数恒等式等等都会用到。
学习的方法就是多做题，多看典型的例题，并做好总结。
第二类换元法，模式是把f(x)dx经过代换x＝g(t)转化为f[g(t)]g’(t)dt，求出原函数后再回代x＝g(t)的反函数t＝h(x)。
常用的代换是根式代换，三角代换，倒代换。
适用于含有简单的根式，根式下是一次函数，如1/（√x+1）的积分，就可以考虑把√x代换；或被积函数里有√（a±x），√（x－a）；还有些题目可以适用到代换，把1/x代换一下，如1/（x√（1+x））的积分。
熟能生巧！！相关资料二: 微积分常用公式及运算法则(下册)同济二版微积分(下)微积分公式等价无穷小：当x→0时,x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx ～ln(1+x)～ex1;21?cosx～x2;(1+x)a?1～ax(a≠0);ax?1～xlna(a>0,a≠1).基本积分表∫kdx=kx+C(k=1时,∫dx=x+C)∫xμdx=xμ+1μ+1+C∫1xdx=ln|x|+C∫11+x2dx=arctanx+Cx=arcsinx+C∫cosxdx=sinx+C∫sinxdx=?cosx+C∫1sec2cos2xdx=∫xdx=tanx+C∫1sin2xdx=∫csc2xdx=?cotx+C∫secxtanxdx=secx+C∫cscxcotxdx=?cscx+C ∫exdx=ex+C∫xdx=axalna+C(a>0,a≠1)∫sinhxdx=coshx+C∫coshxdx=sinhx+C不定积分线性运算法则∫[αu(x)+βv(x)]dx=α∫u(x)dx+β∫v(x)dx不定积分的换元法∫f[?(x)]?′(x)dx=??∫f(u)du?u=(x)∫f(x)dx=[f[υ(t)]υ′(t)dt]t=υ?1(x)积分公式∫dx1xa2+x2=aarctana+C=arcsinxa+C=1barcsinbxa+C(a>0,b>0)∫dxx2?a2=12alnx?ax+a+C∫secxdx=ln|secx+tanx|+C∫cscxdx=ln|cscx?cotx|+C=ln(x++C(a>0)=ln|x+C不定积分的分部积分法∫uv′dx=uv?∫u′vdx或∫udv=uv?∫vdu定积分的换元法设函数f∈C[a,b].如果函数x=?(x)满足：(1)?(α)=a,?(β)=b,且?([α,β])?[a,b]或?([β,α])?[a,b];(2)?′∈C[α,β](或?′∈C[β,α])那么：∫baαf[?(t)]?′(t)dt1微积分常用公式微积分常用公式及运算法则(下册) 同济二版微积分(下)若f∈C[?a,a],并且为偶函数，则∫aaf(x)dx=2∫af(x)dx;若f∈C[?a,a],并且为奇函数，则∫a?af(x)dx=0∫ππ20f(sinx)dx=∫20f(cosx)dx∫ππxf(sinx)dx=π∫20∫ππ2nsi nxdx=∫20cosnxdx定积分的分部积分法∫buv′dx=[uv]bbaa?∫avu′dx∫baudv=[uv]bba∫avdum=1,2,3,?第五章向量代数与空间解析几何向量的运算1??．向量的加法a??+??b(a+??=b+b)+??ac=??a+(b??+??c)2．向量与数的乘法（数乘）λ(μ??a)=(λμ)??a(λ+μ)??a=λ??a+μ??a λ(??a+??b)=λ??a+λ??b3．不等式||??a|?|??b||≤|??a±b??|≤|??a|+|??b|4．单位向量eaa=|a|空间两点间的距离公式|PP12|=向量的坐标表示以点M1(x1,y1,z1)为起点,M2(x2,y2,z2)为终点的坐标M??1M??ab=|??a||??b|cosθ a0=??0???a=0 ab=|??a|Prj??=|b??|Prj??abba即:Prja???ab=??|a|=ea?bab=(ax,ay,az)?(bx,by,bz)=axa??bx+ayby+azbz a=|??2a? b??a|??a?(??=b???a(λ??b+c)a)?(μ??=a?b+a?cb)=λμ(??ab)向量??a与??b的夹角满足公式cosθ=a?|b(其中0≤θ≤π)若??a||b|a=(a?? x,ay,az),b=(bx,by,bz),则cosθ=ab+ab+ab2微积分常用公式微积分常用公式及运算法则(下册)同济二版微积分(下)若??a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),则a⊥b??的充要条件是a+a xbxyby+azbz=0向量的向量积设??a和b??是两个向量,规定??a 与???a??b??的充要条件是??a×??b=??0=(a?aybz?azby)i+(azbxxbz)j+(axby?aybx)k=ayaz??ax??bbi+azj+axay??b??y??zbxbxbkyijzk=axayazbxbybz两向量的向量积的几何意义(i)??a×b??由于|??的模a×??:b|=|??a||b??|sinθ=|所以|??a|h(h=|b|sinθ),a×??b|表示以??a和b??为邻边的平行四边形的面积.(??ii)??a×??b的方向:a×b??与一切既平行于??a又平行于?? b的平面垂直.向量的混合积(a×b)?c=ayazbcazaxx+cxayy+aybzbzbxbxbczyaxayaz=bxbybzcxcycz[abc]=[bca]=[cab三向量??a,b??,?? ]c共面的充要条件是axayazbxbybz=0cxcycz平面的方程1．点法式方程过点My??0(x0,0,z0)且以n=(A,B,C)为法向量的平面Π的方程为A(x?x0)+B(y?y0)+C(z?z0)=02．一般方程三元一次方程Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时为零)的图形是平面,其中x,y,z的系数A,B,C 是平面的法向量的坐标即n??,=(A,B,C)是平面的法向量.特殊的平面：A=0,平行于x轴的平面；B=0,平行于y轴的平面；C=0,平行于z轴的平面；D=0,过原点的平面；A=B=0,垂直于z轴的平面；B=C=0,垂直于x轴的平面；C=A=0,垂直于y轴的平面.平面的夹角cosθ=n??1?n2|nn=1||2|3微积分常用公式微积分常用公式及运算法则(下册)同济二版微积分(下)平面Π1和Π2相互垂直的充要条件是:A1A2+B1B2+C1C2=0 相互平行的充要条件是:A1B1CA=B=122C2点到平面的距离点P0(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为:d=直线的方程1．参数方程过M,y??0(x00,z0)且以s=(m,n,p)为方向向量的直线L的方程为x=x0+tm?y=y0+tn.??z=z0+tp2．对称式方程（点向式方程）过M(x,z??00,y00)且以s=(m,n,p)为方向向量的直线L的方程为x?x0y?y0z?z0m=n=p.3．一般方程直线L可以看作两个平面Π1:A1x+B1y+C1z+D1=0与Π2:A2x+B2y+C2z+D2=0的交线.空间一点M(x,y,z)在直线L上,当且仅当它的坐标x,y,z同时满足Π1与Π2的方程,的下面的直线方程:??A1x+B1y+C1z+D1=0,?A2x+B2y+C2z+D2=0.其中A1=B1=C1AB不成立.22C2两直线的夹角直线??L1与L2的方向向量分别是s??1=(m1,n1,p1),s2=(m2,n2,p2),则夹角公式为:cos?=s1?s2|s=1||s2|直线L1和L2相互垂直的充要条件是:m1m2+n1n2+p1p2=0相互平行的充要条件是:m1n1p1m==2n2p2直线与平面的夹角直线??L与平面Π法线的方向向量分别是s=(m,n,p),n?? =(A,B,Csin?=|n??),则夹角公式为:s||n||s|=直线L和平面Π相互垂直的充要条件是:ABCm=n=p;相互平行的充要条件是:Am+Bn+Cp=0.旋转曲面若在曲线C的方程f(y,z)=0中z保持不变而将y改写成±就得到曲线C绕z轴旋转而成的曲面的方程f(z)=0;若在f(y,z)=0中y保持不变而将z改写成就得到曲线C绕y轴旋转而成的曲面的方程f(y,=0.二次曲面图形及方程1．椭球面4微积分常用公式微积分常用公式及运算法则(下册)同济二版微积分(下)x2y2z2a2+b2+c2=1??x=asinθcos??y=bsinθsinz=ccosθ其中θ∈[0,π],?∈[0,2π]2．抛物面（1）椭圆抛物面x2y2a2+b2=±z??x=avcosu?y=bvsinuz=v2其中u∈[0,2π],v∈[0,+∞)（2）双曲抛物面x2y2a2?b2=±z??x=a(u+v)?y=b(u?v)??z=4uvx=或?auy=bvz=u2v2u,v∈R3．双曲面（1）单叶双曲面x2y2z2a2+b2?c2=1??x=acoshucosv?y=bcoshusinv ??z=csinhuu∈R,v∈[0,2π]（2）双叶双曲面x2a2+y2b2?z2c2=?1??x=v??y=vz=cuu∈(?∞,?1]∪[1,+∞),v∈[0,2π] 4．椭圆锥面x2y2z2a2+b2=c2??x=avcosu?y=bvsinuz=cvu∈[0,2π],v∈R第六章多元函数微分学偏导数的几何意义偏导数fx(x0,y0)在几何上表示曲线??z=f(x,y),?y=y在点M(x0,y0,f(x0,y))处的0,切线对x轴的斜率;偏导数fy(x0,y0)在几何上表示曲线??z=f(x,y),?y=y在点M(x0,y0,f(x0,y))处的0,切线对y轴的斜率.全微分若函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处都可微,则f(x,y)在每点处连续且可偏导,其全微分为:dz=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy,或dz=zxdx+zydy复合函数的求导法则1．复合函数的中间变量均为一元函数5微积分常用公式微积分常用公式及运算法则(下册)同济二版微积分(下)如果函数u=?(t),v=υ(t)都在点t可导,函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数z=f[?(t),υ(t)]在点t可导,且有:dz?zdu?zdv=?+?dt?udt?vdt设三元函数F(x,y,z)在区域?内是C(1)类函数,点(x0,y0,z0)∈?且满足F(x0,y0,z0)=0,Fz(x0,y0,z0)≠0,则方程F(x,y,z)=0,在点(x0,y0,z0)的某领域内唯一确定了一个C(1)类的二元函数z=z(x,y),它满足条件z0=z(x0,y0),FyFx?z?z且有=?,=?.xFzyFz3．2．复合函数的中间变量均为多元函数如果函数u=?(x,y),v=υ(x,y)都在点(x,y)可微,函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数z=f[?(x,y),υ(x,y)]在点(x,y)可微,且有:?z?z?u?z?v=?+?,?x?u?x?v?x?z?z?u?z?v=?+??y?u?y?v?y 3．复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数。
高等数学-第8章-空间解析几何与向量代数
-。
b与a的差b a．向量加法的性质〔运算律〕②结合律+的模一般地不等于a的模加b的模，而有a b a ba b+≤+，即三角形两边之和大于等于第三向量与数的乘法Array、向量的定义：向量a与数m的乘积是一个向量，它的模等于m a，方向与a相同〔假设反〔假设m<0〕。
、向量与数量乘法的性质(运算律)②分配律≠，则向量b平行于a得充分必要条件是：存在唯一实数λ，使b=λa。
a0在实际问题中，有些向量与其起点有关，有些向量与其起点无关。
由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所以在数学上我们研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量〔以后简称向量〕，即只考虑向量的大小和方向，而不管它的起点在什么地方。
当遇到与起点有关的向量时〔例如，谈到某一质点的运动速度时，这速度就是与所考虑的那一质点的位置有关的向量〕，可在一般原则下作特别处理。
上的射影。
投影向量的定义：AB 的始点A B ''就定义AB 在轴u 上的投影向量。
向量在轴上的投影：向量A B ''在轴AB 在轴u 上的投影，记为投影AB 。
向量在轴上的投影性质：性质1〔投影定理〕AB =cos AB ϕ与向量AB 的夹角。
推论：相等矢量在同一轴上的射影相等。
性质2：Prj(12a a +)=Prj 1a +Prj 2a 。
性质2可推广到有限个向量的情形。
性质3：Prj u λa =λPrj u a 。
向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标：向量a 在坐标轴上的投影向量,,y z i a j a k 称为向量在坐标轴上的分向量。
向量a 在三条坐标轴上的投影,y z a a 叫做向量的坐标，记为：a ={,,x y a a 由向量在轴上的投影定义，a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标{,,x y z a a a a ，由此可知，向量的投影具有与坐标相同的性质。
利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下：a ={,x y a a ，{,,}x y zb b b b =利用向量加法的交换律与结合律，以及向量与数乘法的结合律与分配律，有{,x y z z a b a b b a b +=+++{x a b a b -=-{,}x y a a a λλλ=由此可见，对向量进行加、减及与数相乘，只须对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算就行了。
高等数学知识点总结
高等数学知识点总结高等数学知识点总结（上）一、微积分微积分是数学中的一个重要分支，包括微分和积分两部分。
微分是研究函数变化率和极值，积分是求解曲线下面的面积。
1.导数和微分导数是函数变化率的衡量指标，定义为函数在一点处的切线斜率。
微分是导数的微小增量，通常用dx来表示。
常见的微分公式：（1）（x^n）' = nx^(n-1)（2）(sinx)’=cosx（3）(cosx)’=-sinx（4）(ex)’=ex2.微分应用微分在科学工程中的应用非常广泛，如曲线的近似计算、变化率的分析和优化问题的求解等。
常见的微分应用题：（1）求解函数在某个点处的导数；（2）求解曲线y=f(x)在某一点x=x0处的切线方程；（3）求解函数极值的位置；（4）求解函数的最大值和最小值。
3.积分积分是微积分的另一大分支，通常被用来求解曲线下的面积。
三种积分：（1）定积分（2）不定积分（3）曲线积分常见的定积分计算方法：（1）换元法（2）分部积分法（3）长条法4.积分应用积分在工程科学中的应用非常广泛，如求解曲线下的面积、物理量的计算、概率分布的求解等。
常见的积分应用题：（1）求解曲线下的面积；（2）求解物理量的分布规律；（3）求解概率分布函数。
二、数学分析数学分析是研究实数域函数极限、连续、可导性以及积分的方法和应用的分支。
可分为实数的函数分析和向量的函数分析两部分。
1.实数的函数分析实数函数的极限，连续性以及可导性是实数的函数分析中研究的重点。
常见的函数分析公式：（1）函数极限的定义（2）连续函数的定义（3）可导函数的定义2.向量的函数分析向量的函数分析是研究向量值函数的极限、连续、可导性以及曲线积分的方法和应用。
常见的向量的函数分析公式：（1）向量函数的极限（2）向量函数的连续性（3）向量函数的导数（4）向量函数的曲线积分3.数列和级数数列和级数是数学分析中的重要概念，常用于求解无限积分与求和等问题。
常见的数列公式：（1）数列极限的定义（2）数列序列收敛定理（3）调和数列发散定理常见的级数公式：（1）级数收敛的定义（2）级数收敛和发散判定标准（3）比值判别法和根值判别法三、线性代数线性代数是数学中的一个重要分支，主要研究向量、矩阵、行列式和线性方程组等内容。
考研数学常见公式推导与应用
考研数学常见公式推导与应用在考研数学中，掌握常见公式的推导与应用是非常重要的。
这些公式不仅能够帮助我们解决各种数学问题，同时也是我们理解数学背后原理的基础。
本文将为大家介绍一些常见的数学公式，并对其推导和应用进行详细说明。
一、微积分公式1.导数的定义与公式导数是微积分中最基础也是最重要的概念之一。
其定义如下：设函数y=f(x)，当x在x0处有定义时，若极限lim(h→0)[f(x0+h)-f(x0)]/h存在，则该极限称为函数f(x)在x0处的导数，记为f'(x0)。
常见的导数公式如下：（1）常数函数：y=C，导数为0，即f'(x)=0。
（2）幂函数：y=x^n，其中n为任意实数，其导数为f'(x)=n*x^(n-1)。
（3）指数函数：y=a^x，其中a>0且a≠1，其导数为f'(x)=a^x*ln(a)。
（4）对数函数：y=log_a(x)，其中a>0且a≠1，其导数为f'(x)=1/(x*ln(a))。
2.积分的定义与公式积分也是微积分的重要概念之一，其定义如下：设函数y=f(x)，若存在函数F(x)，使得对于所有[a,b]区间内任意x∈[a,b]，有F'(x)=f(x)，则称F(x)为函数f(x)在[a,b]区间上的一个原函数，记为∫f(x)dx=F(x)+C，其中C为常数。
常见的积分公式如下：（1）幂函数积分：∫x^n dx=x^(n+1)/(n+1)+C，其中n≠-1。
（2）指数函数积分：∫a^x dx=(a^x)/ln(a)+C。
（3）对数函数积分：∫1/x dx=ln|x|+C。
二、线性代数公式1.向量运算公式线性代数中，向量运算是非常重要的。
常见的向量运算公式如下：（1）向量点乘：若向量a=(a1,a2,...,an)和向量b=(b1,b2,...,bn)，则向量a与向量b的点乘为a·b=a1*b1+a2*b2+...+an*bn。
向量微积分理解向量微积分的概念与计算方法
向量微积分理解向量微积分的概念与计算方法向量微积分是微积分学中的重要分支，是研究向量函数导数、积分、微分方程和曲线、曲面的基础工具。
本文将从向量微积分的概念入手，逐步介绍向量微积分的计算方法。
一、向量微积分的概念向量是具有大小和方向的量，常用箭头表示。
向量微积分则是对向量进行微积分运算的过程，包括求导、求积分等。
在向量微积分中，我们经常用到矢量的点乘和叉乘。
矢量的点乘表示为“·”，计算方法为将两个矢量对应分量相乘后求和。
矢量的叉乘表示为“×”，计算方法为用行列式的形式计算。
利用矢量的点乘，我们可以计算出向量的模长，两个向量的夹角以及向量的投影。
利用矢量的叉乘，我们可以计算出两个向量的乘积向量及其模长。
二、向量的导数在向量微积分中，我们常常需要对向量函数进行求导。
向量函数的导数表示为关于自变量的导数矢量，即函数值在各个自变量分量上的导数。
向量函数的导数计算方法与标量函数的导数类似，只需要对每个分量分别求导即可。
求导的规则包括基本的四则运算法则以及链式法则等。
通过求导，我们可以获得向量函数的切向量，从而研究曲线的切线方向以及曲面的法线方向。
三、向量的积分向量函数的积分表示为函数的定积分对应的矢量。
向量函数的积分可以用于计算曲线以及曲面的面积、体积等物理量。
与求导相反，求积分需要对向量函数的每个分量进行积分。
求积分的规则包括基本的定积分法则以及换元法等。
通过积分，我们可以得到曲线的弧长、曲面的面积以及体积等重要信息。
四、向量微分方程向量微分方程是包含矢量未知函数及其导数的微分方程。
求解向量微分方程的方法主要包括变量分离法、常数变易法、矢量积分因子法等。
通过求解向量微分方程，我们可以得到矢量未知函数的解析表达式，从而研究物理现象以及工程问题。
综上所述，向量微积分是研究向量函数导数、积分、微分方程以及曲线、曲面的基础工具。
通过了解向量微积分的概念和计算方法，我们可以更好地理解和应用微积分学中的向量运算。
经典力学的数学方法
经典力学的数学方法
经典力学是研究物体的运动和力的学科，其数学方法主要涉及以下几个方面：
1. 向量运算：经典力学中常用向量来描述物体的位移、速度和加速度。
向量运算包括向量的加法、减法、乘法等，用来求解物体的运动轨迹、速度和加速度的变化。
2. 微积分：微积分是研究函数的变化率和区间的面积的数学分支。
在经典力学中，微积分常用于求解物体的速度和加速度变化的问题，以及物体的位移和力的计算。
3. 线性代数：线性代数是研究向量空间和线性变换的数学学科。
在经典力学中，线性代数被用来描述物体在空间中的运动以及力的作用，其中包括向量的投影、坐标变换等内容。
4. 微分方程：微分方程是研究函数和它的导数之间关系的数学方程。
在经典力学中，物体的运动常常可以建模为微分方程，通过求解微分方程可以得到物体的运动轨迹、速度和加速度等信息。
5. 正则变换：正则变换是研究哈密顿量力学中的变换方法，用于将一个动力学系统的描述从一个坐标、动量对的形式转化为另一个坐标、动量对的形式。
正则变换在研究复杂系统的动力学过程中起到了重要的作用。
总之，经典力学的数学方法包括向量运算、微积分、线性代数、微分方程和正则变换等，在研究物体的运动和力的变化过程中起到了重要的作用。
向量在解析几何中的应用
向量在解析几何中的发展及应用摘要：向量又称为矢量，最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．在现代数学中向量是一个重要概念，向量在解析几何整个知识体系中占有非常重要的地位, 它可以使图形量化,使图形间关系代数化.向量是研究图形问题的有力工具.本文主要介绍向量在解析几何中的一些简单应用。
关键词：向量解析几何定理前言向量在整个解析几何中占有非常重要的地位,因此它的应用在解决几何问题时是最基础最普遍的方法,尤其是在几何的证明问题中,使用向量的分解定理和向量的基础知识以及向量的一些定理可以起到事半功倍的效果.除此之外,用向量可以将一些代数问题几何化,这样借助向量的性质可以快速明了的解决一些难题。
另外,向量在推导一些几何公式时,使得问题简化了很多。
第一章研究背景第一节向量的起源向量又称为矢量，最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿．课本上讨论的向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头表示方向．但是在高等数学中还有更广泛的向量．例如，把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间，这里的多项式都可看成一个向量．在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的．这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象．这样，就可以指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了．因此，向量空间的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用．而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型．从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系．向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a＋bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学．但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系．19世纪中期，英国数学家哈密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量．他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析．三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪80年代各自独立完成的．他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数．他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积．并把向量代数推广到变向量的向量微积分．从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具。
微积分公式、三角公式和向量运算法则表
微积分公式、三角公式和向量运算法则表一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵()1uu xux-'= ⑶()sin cos x x '=⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅⑼()xxee'= ⑽()ln xxaaa '= ⑾()1ln x x'=⑿()1log ln xax a'= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arccot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n nxn = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d xxdx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅ ⑼()xxd ee dx = ⑽()ln xxd a aadx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1log ln xad dx x a= ⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arccot 1d x dx x =-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰ ⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰ ⑽21arctan 1dx x c x=++⎰ ⑾arcsin x c =+八、补充积分公式2211arctan xdx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsinxc a=+ ln x c =+九、下列常用凑微分公式十、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令nu x =，axdv e dx =形如sin n x xdx ⎰令nu x =，sin dv xdx =形如cos n x xdx ⎰令nu x =，cos dv xdx = ⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos axu e x x =均可。
向量微分归纳(全)
向量微分归纳(全)向量微分是微积分中的重要概念之一。
通过对向量的微分，我们可以了解向量的变化率和导数。
本文将介绍向量微分的基本概念和常见的计算方法。
向量微分的定义向量微分是指对向量函数进行微积分运算的过程。
对于向量函数 $\mathbf{f}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} f_1(\mathbf{x}) \\f_2(\mathbf{x}) \\ \vdots \\ f_n(\mathbf{x}) \end{bmatrix}$，其中$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m\end{bmatrix}$ 是自变量向量，向量函数的微分定义如下：$$d\mathbf{f}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} df_1(\mathbf{x}) \\ df_2(\mathbf{x}) \\ \vdots \\ df_n(\mathbf{x}) \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1(\mathbf{x})}{\partial x_1} &\frac{\partial f_1(\mathbf{x})}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_1(\mathbf{x})}{\partial x_m} \\ \frac{\partialf_2(\mathbf{x})}{\partial x_1} & \frac{\partialf_2(\mathbf{x})}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partialf_2(\mathbf{x})}{\partial x_m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_n(\mathbf{x})}{\partial x_1} & \frac{\partialf_n(\mathbf{x})}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partialf_n(\mathbf{x})}{\partial x_m} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} dx_1 \\ dx_2 \\ \vdots \\ dx_m \end{bmatrix}$$其中，$\frac{\partial f_i(\mathbf{x})}{\partial x_j}$ 表示$f_i(\mathbf{x})$ 对 $x_j$ 的偏导数。
向量微积分的向量运算和向量代数
向量微积分的向量运算和向量代数向量微积分是数学中一个非常重要的分支，它将微积分和向量代数相结合，大大拓展了微积分的应用范围。
向量微积分中有许多关于向量运算和向量代数的概念，我们将在本文中讨论这些概念。
一、向量的基本概念在向量微积分中，我们首先需要了解的是向量的基本概念。
向量是指既有大小又有方向的量，通常用带箭头的字母来表示。
向量的大小或者长度被称为模，向量的方向用与其平行的一条直线来表示。
向量的起点和终点分别被称为向量的起点和终点。
向量用三元组表示，通常写成：A=B+C其中，A、B、C均为向量。
向量加法遵循平行四边形法则。
即：两个向量之和等于他们相加所围成的平行四边形对角线的向量。
二、向量运算向量运算是指将两个或多个向量进行组合或者变形的操作，其中包括向量的加减、数乘、点乘和叉乘等。
1.向量加减运算向量加减运算非常简单，规则也非常容易理解：将每个向量的相应分量加减即可。
例如，在三维空间中，向量A=(a1,a2,a3)，向量B=(b1,b2,b3)，则：A +B = (a1+b1,a2+b2,a3+b3)A -B = (a1-b1,a2-b2,a3-b3)2.向量数乘运算向量数乘指将一个向量乘以一个标量，得到一个新的向量。
例如，在三维空间中，向量A=(a1,a2,a3)，标量k，则：kA = (ka1,ka2,ka3)3.向量点乘运算向量点乘是指将两个向量进行运算，得到一个标量的操作。
例如，在三维空间中，向量A=(a1,a2,a3)，向量B=(b1,b2,b3)，则：A·B = a1b1+a2b2+a3b3其中“·”表示点乘符号。
4.向量叉乘运算向量叉乘是指将两个向量进行运算，得到一个新的向量的操作。
例如，在三维空间中，向量A=(a1,a2,a3)，向量B=(b1,b2,b3)，则：A ×B = (a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1)其中“×”表示叉乘符号。
向量乘法分配律
向量乘法分配律三个向量组成的空间内有几种可能性？向量乘法分配律，就是给出这种特殊情况下向量之间的运算规则。
比如我们所熟知的几何定理中，两条线段之间的垂直关系，实际上也是一种向量的相关关系。
有趣的是，向量乘法分配律是大数学家欧拉发现的，它的起源至今已有300多年了。
看来人类对于简单事物的认识总是很晚才深入，而大数学家们早就注意到了其中的问题，并且通过自己的研究给予了解答。
把点放在坐标原点，在平面上作一条向量，就形成了一个坐标轴，我们用这个坐标轴与x轴、 y轴和z轴一起构成了平面内的直角坐标系，称之为第一坐标系。
如果向量a的起点位于原点，向量b的起点在原点以东10度，向量c的起点在原点以西10度，那么我们用向量a(b)和向量c(b)表示向量a和向量c的大小关系。
如果在坐标系内作垂直于某条坐标轴的向量a和向量b，就构成了一个平行于坐标轴的向量组，记为a(b)，这样的向量组在坐标系中表示为(a)(b)。
对于平面内的向量，有几种不同的乘法规则，比如三维向量的加法规则：(a)b+c=a(b+c); (b)a+c=a(b+c)。
在第一坐标系中，任意两个向量的积=向量a(b)，这里的a和c都是正数。
当平面内的向量组成一个二维空间时，乘法规则还是沿用三维空间的加法规则。
但是要注意，两个向量的加法满足的公式是三维空间加法规则的特例。
比如两个向量a和b的积= a(b+c)。
正交变换，就是平面内坐标系的变换。
这个变换将向量转化为向量组，叫做向量的正交化。
也就是说，将向量的起点移动一个单位长度，即将一个向量分解成了向量组，把每一个向量都化为了一个向量组。
在这种变换下，如果两个向量分别在两个平面内，则它们可以转化成一个平面内的向量。
这是因为两个向量与一个向量之间的夹角可以互补，所以可以把它们转化成一个平面内的向量。
正交变换，不仅存在于平面内，也存在于三维空间，甚至更高的维度。
正交变换在现代物理学和数学中扮演着重要角色。
在微积分中，正交变换起着承前启后的作用。
向量值函数的链式法则
向量值函数的链式法则链式法则是微积分中一条重要的求导法则，它用于计算复合函数的导数。
在向量值函数的情况下，链式法则的应用与标量值函数类似，只是需要对向量进行求导运算。
假设有两个向量值函数：向量函数f的自变量为t，因变量为向量y；向量函数g的自变量为x，因变量为向量u。
那么复合函数的形式为h(t)=g(f(t))。
为了使用链式法则，我们需要求解h(t)对于t的导数。
记f(t)的导数为f'(t)，g(u)的导数为g'(u)，则h(t)的导数可以表示为：h'(t)=(g(f(t)))'=g'(f(t))⋅f'(t)这里的"⋅"表示向量的点乘运算。
推导链式法则的核心思想是假设对于t的微小变化Δt，f(t)发生了微小变化Δy，g(u)发生了相应的微小变化Δu。
则有以下近似关系：Δh≈h'(t)⋅ΔtΔh=g'(u)⋅ΔuΔu=f'(t)⋅Δt将上述三个式子联立起来，可以得到：h'(t)⋅Δt≈g'(u)⋅f'(t)⋅Δt通过令Δt无限接近于零，可以得到：h'(t)=g'(u)⋅f'(t)这就是向量值函数的链式法则。
举例说明链式法则在向量值函数中的应用。
假设有一个自变量为时间t的向量函数f(t)=[x(t),y(t),z(t)]，其中x(t)、y(t)和z(t)分别是t的函数。
同时，有一个自变量为位置向量x的向量函数g(x)=[u(x),v(x),w(x)]，其中u(x)、v(x)和w(x)分别是x 的函数。
现在我们想要计算复合函数h(t)=g(f(t))的导数。
根据链式法则，我们先计算f(t)和g(x)的导数。
f(t)的导数为：f'(t)=[x'(t),y'(t),z'(t)]g(x)的导数为：g'(x)=[u'(x),v'(x),w'(x)]则h(t)的导数可以表示为：h'(t)=g'(f(t))⋅f'(t)即：h'(t)=[u'(f(t)),v'(f(t)),w'(f(t))]⋅[x'(t),y'(t),z'(t)]将上述式子展开，可以得到：h'(t)=[u'(f(t))⋅x'(t),v'(f(t))⋅y'(t),w'(f(t))⋅z'(t)]这样就得到了复合函数h(t)的导数。
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求向量 x的坐标.
解 设 x la,则 9 a x l(a a) 9l , l 1,
x a (2,1,2).
例4
设
a
0
,
b
0
,
且
c
0
,并且有
a
c
b
c,
问是否有 a b？
解
取
a
i,
b j,
c
i
j
k,
则有
a
c
b
c
1,
但
a
b.
例5
证明向量
c与向量
(a
c)b
(b
例 (2)
2a与设ba的 夹(1角,1； ,4(3)，) ab在
b(1上 ,2的,2投)，影求. (1)
a
b；
例解3((32)设()1c)aaoasb2bi||baa1j|||Pb1br2j|kb1a,向, (3量2P2)9xrj与3b(aa4共)a|b线12b2|,,且9a3.9 x334.9.,
l
(a
b ).
4. 向量积的坐标表示
设
a
axi ay j azk,
b bxi by j bzk
a
b
aybz
azby
,
azbx
axbz , axby
a ybx
向量积的分解表达式
ay az , ax az , ax ay
by bz bx bz bx by
向量积的坐标表达式
1
记为
s W
a
b
,
F
M s
2
注意：a
b
中的“.”不能省.
若
a
0,
b
在a
上的投影为
a
b
|
ห้องสมุดไป่ตู้a|
Prjab Prjab
|
b
|
cos
,
若
b
0,
a
b
|
b|
Prjba.
b
a
2. 数量积符合下列运算规律：
(1) a a | a|2 .
(2)
交换律：a
b
b
a;
(3) 分配律：(投影)
(a
向量积的分解表达式
5. 向量积的几何意义
向量积还可用三阶行列式表示
a
b
i ax
j ay
k az
bx by bz
( 三阶行列式计算见课本 P319～P320 )
4. 向量积的坐标表示
设
a
axi
ay
j
azk,
b bxi by j bzk
a
b
(axi
ay
j
az
k
)
(bx
i
by
j
bzk )
a
xbx
(i
i)
axby (
P
L
Q
| M || F || OQ | | F || OP | sin
M
的方向垂直于OP
与F
所决定的平面,
OP
、
F、
M
的方向符合右手法则.
MF M OP
二、向量的向量积
1. 定义
向量a与b 的向量积为
a
b,
它的模为：| a
b ||
a||
b|
sin
(
(a,b) );
a
b同时垂直于a和b
0,
| a|
0,
| b | 0,
sin 0,
0或 ,
a//
b.
()
a//
b,
0或 , sin 0,
|
a
b ||
a||
b|
sin
0,
a
b
0
.
3. 向量积符合下列运算律：
(1)
a
b
b
a;
(2)
分配律（力矩）：(a
b)
c
a
c
b
c.
(3)
若
l为数：
(la)
b
a
(lb )
,
且a,
b,
a
b符合右手法则.
向量积也称为“叉积”、“外积”.
a
b
引例中的力矩
M OP F
a
思考 右图三角形面积
b
1
|
a
b|
S＝__2________
a
b
2. 关于向量积的说明：
(1)
a
a
0.
( 0 sin 0)
(2)
a//
b
a
b
0.
(a
0,
b 0)
证
()
a
b
i
j)
axbz (
i
k)
k
O i
j
aybx ( j i ) ayby ( j j ) aybz ( j k )
azbx (k i ) azby (k j ) azbz (k k )
(a ybz azby ) i (azbx axbz ) j (axby aybx )k
b
|
a||
b|
cos
0,
| a|
0,| b |
0,
cos 0, , ab.
()
ab,
,
2
2
cos 0,
a
b
|
a||
b|
cos
0.
例1 证明三角形余弦定理 c2 a2 b2 2abcos .
证 如图：设
A
CB
a,
CA b ,
AB
c,
c
则
c
a
b,
Ba
|
c|2
b)
c
a
c
b
c;
(4)
若l为数：(la)
b
a
(lb )
l ( a
b ),
若l、m为数：(la)
( mb )
l
m
(a
b ).
3. 关于两向量垂直的说明：
设向量 a与
b的夹角
，则称向量 a与
b
正交 ( 或垂直 ),
记为
a
b
.
2
(
a
,
0
a
.)
定理
设
a
0
,
b
0
,
a
b
0
ab.
证
()
a
by
j
bz
k)
i,
j,
k相互垂直,
i j
j k k i 0,
| i || j || k | 1, i i j j k k 1.
a
b
a x bx
a yby
azbz
数量积的坐标表示式
4. 数量积的坐标表示
设
a
ax
i
a
y
j
az
k,
b bxi by j bzk
a
b
a
x
bx
ayby
azbz
数量积的坐标表达式
当
a
0
,
b
0时,
由 a
b |
a||
b|
cos
,
得
cos | aa||bb|
axbx a yby azbz ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz2
两向量夹角余弦的坐标表达式
由此可知 ab axbx a yby azbz 0
c)a垂直.
证
[(a
c)b
(b
c)a]
c
(a
c)b
c
(b
c)a
c
(a
c)(b
c)
(b
c)(a
c)
0,
[(a
c)b
(b
c)a]
c
二、向量的向量积
引例 设 O 为一根杠杆 L 的支点，
F
有一力 F 作用于这杠杆上 P 点处．
力F 与
OP
的夹角为，力F
对支点
O
O 的力矩是一向量 M ，它的模
(a
b)
(
a
b)
a
a
b
b
2 a
b
|
a
|2
|
b
|2
2|
a
||
b
|cos
a
|
a|,
b
|
b |,
c
|
c|,
b
C
c2 a2 b2 2abcos .
4. 数量积的坐标表示
设
a
axi
ay
j
azk,
b bxi by j bzk
a
b
(axi
a
y
j
az k )
(bxi
第三节 向量的乘法运算
一、向量的数量积 二、向量的向量积 三、向量的混合积 四、小结 五、思考与练习
一、两向量的数量积
引例 设一物体在常力 F 作用下, 沿与力夹角为
的直线从点M1移动到点M2, 位移为 s ,
则力F
所做的功为
W
|
F ||
s|cos
1.为即则定向称义a量数设ba量向与|量|aab||||ab的b、||数ccboo夹量ss角积. (为点积，、b内积aM).