向量的乘法(课堂PPT)

ax bx 2 ay by 2 az bz 2
axbx ayby azbz
4
于是
ab
ax, ay , az
bx,by ,bz
axbx
ayby
azbz
运算律:
如果 a,b , c 是任意向量,
λ,μ是任意实数,那么 a a a2 ,
交换律
a
b
b
a
分配律
a
b
c
a
b
那么
(a
b)
c
a
c
b
c.
分配律
(a)
(b )
(a
b ).
结合律
例5 设 a, b 是两个向量,证明:
a
∥b
a
b
0
15
证 设 a, b 均为非零向量(否则命题不证自明)
()
a
b
0,
| a| 0,
| b | 0,
sin 0, 0或
a//
b
() a//b 0或 sin 0
j i k, k j i , i k j.
(a ybz azby )i (azbx axbz ) j (axby a ybx )k
17
向量积还可用行列式表示
a
b
ay
az
i
az
ax
j
ax
a
y
k
by bz
bz bx
bx by
i jk
即
a
b
ax
ay
az
bx by bz
12
二、两向量的向量积
实例
设O 为一根杠杆L 的支点，有一力F 作用
于这杠杆上P 点处．力F 与OP 的夹角为 ，力
F 对支点O 的力矩是一向量M ，它的模
F
| M || OQ || F |
O
P Q
L
| OP || F | sin
M 的方向垂直于OP 与F 所决
定的平面, 指向符合右手系.
13
18
两向量的向量积的几何意义:
(ⅰ) | a b|表示以a和b为邻边
的平行四边形的面积.
b h b sin
a
(ⅱ) 又a平b行与于一b切的既平平面行垂于直a
a
c
a
b
b
19
例6 设平面Π过空间三点A(1,0,0)、
|
a
b ||
a||
b|
sin
0.
16
向量积的分解表达式:
设
a
axi
ay
j
azk,
b bxi by j bzk
a
b
(a
x
i
a
y
j
az
k)
(bx
i
by
j
bz
k)
i i j j k k 0,
i j k, j k i , k i j,
两向量作这样的运算, 结果是一个数量.
2
定义
向量a与b的数量积为a
b
a
b
|
a||
b|
cos
(其中 为a与b的夹角)
数量积也称为“点积”、“内积”.
显然，对任何向量 a，有 a·0 = 0·a = 0
| b | cos Pr jab,
| a| cos Pr jba,
a
b
由此得
|
b|
a c
数乘结合律
a
b
a
b
5
两向量夹角余弦满足
cos | aa||bb| ,
若
a
ax, ay , az
,b
bx,by ,bz
,
则
cos
axbx a yby azbz
ax2
a
2 y
az2
bx 2 by2 bz 2
若向量 a与
b夹角
2
,
则称
a与
b
正交(或垂直),记作 a b
定义
向量a与b的向量积为
c
a
b
,并规定
(ⅰ)
|
c||
a||
b|
sin
(其中 为a与b的夹角)
(ⅱ) c的方向既垂直于a，又垂直于b，指向符合
右手系.
向量积也称为“叉积”、“外积”.
关于向量积的说明：a
0
0
a
0
a
a
0.
a
b
b
a.
(反交换律)
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向量积符合下列运算规律：
如果 a,b , c 是任意向量, λ,μ是任意实数,
MA
12 12 02
2,
MB
12 02 12
2
带入公式
cos
|
aa ||bb |
MA MB MA MB
1 2
AMB
3
10
例 3 设 ai ,bi R(i 1,2,3), 证明不等式
1
1
3 aibi 3 ai2 2 3 bi2 2
i 1
i1 i1
证
设向量
a
(a1 ,
2
(3)
a
b
|
b|
Pr
jba
3 .
Pr
4
jba
a b |b|
3.
9
例2 已知点M(1,1,1),A(2,2,1),B(2,1,2),求 ∠AMB．
解 ∠AMB可以看成向量 MA与 MB 的夹角,而
MA =(2-1,2-1,1-1)=(1,1,0)
MB =(2-1,1-1,2-1)=(1,0,1) 故 MA ·MB =1×1+1×0+0×1=1
第三节 向量的乘法
❖一、向量的数量积 ❖二、向量的向量积 ❖三、向量的混合积 ❖四、小结、思考题
1
一、两向量的数量积
实W到例点|M一F2物|，| s体以| c在so表s常示力位F移作，用则下力沿F直所线作从的点功M为1移动
(其中
为F
与s
的夹角)
F
s
M1
F cos
M2
启示 我们可以定义
向量的一种乘法运算
6
定理
ab.
a
b
0
证
若 a与
不妨设
ba,有b一个0为 0 ,结论显然成立
()
a
b
0,
| a|
0,
| b |
0,
cos 0, , ab.
()
ab,
a
b
|
,
a||
b|
2
cos
2
cos
0.
0,
7
定理的坐标形式为
若
a ax, ay, az ,b bx,by,bz ,
Pr
jba
Pr jab
| a| Pr
aab ea
ja b .
b
3
推导数量积的坐标表达式
b
a
b
如右图,由余弦定理得:
a
a
b cos
1 2
a2
2 b
2 a b
设
a
ax, ay , az
,b
bx,by ,bz
,
则上式可写成
源自文库a b cos
1
2
ax2 ay2 az2 bx2 by2 bz2
则
a
b
a x bx
a yby
a z bz
0
8
例
a
b1；已（知2）aa与{1b,1的,夹4}角，；b （ {31）,a2,在2}b，上求的（投1）影.
解
(1)
a
b
1
1
1
(2)
(4)
2
9.
(2) cos
axbx a yby azbz
ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz2
1 ,
a2
,
a3
)
，
b
(b1 , b2
, b3
)
，
由于
a
b
abcos ,
故
a
b
ab
用
a,
b 的坐标代入上式即得所要求证的
不等式。
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例 4 设流体流过平面 S 上一个面积为 A 的区域，流体在该区域上各点处的流 速为常向量为 ，又设 是垂直于 S 的单位向量，试用数量积表示单位时间
内经过且流向 该区域所指一侧的流 体的质量（已知流体的密度为常数 ）