人教版-空间向量及其运算完美课件
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1.1空间向量及其运算课件(人教版)
空间向量数量积的直接计 算
空间向量的数量 积
A
8.用向量方法证明：在平面内的一条直线，如果与这个平面的 一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直 （三垂线定理）
空间向量及其运算总结
加法
减法
线
性
加法运算律
运
算 数乘
数乘运算律
分配律 结合律
b+a a+(b+c)
相同 相反
空间向量及其运算总结
空
共线(平行)向量
间
表示空间向量的有向线段所
向 定义 在的直线互__相___平__行__或__重___合_，
量
则这些向量叫做共__线___向__量__或
共
平行向量
线
、 充要 共 条件 面
共面向量
平行于_同__一__个__平___面_的向 量叫做共面向量
空间向量及其运算总结
数乘向量与数量积的结合
共线(平行)向量
定义
充要 条件
互相平行或重合 共线向量
方向向量：
空间向量的共线与共面
共面向量 定义 平行于_同__一__个___平__面___的向
量叫做共面向量
充 要 条 件
此知识点可用来证明四 点共面，即通过证明三 个向量共面证明四点共 面
1.举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实 例. 一间教室的三面墙，每个平面取一个向
量
（1）根据向量加法的首尾相连法则，x=1 ；
共线与共面向量基本定 理
空间向量的共线定理与共 面
空间向量的夹角
定义：
夹角范围：
空间向量的数量积及运算律
定义：
运算律： 交换律 分配律
数量积的性 质
1.1空间向量及其运算课件(人教版)
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
运算 减法:三角形法则
具有大小和方向的量
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
加法交换律 a b b a 加法结合律 (a b) c a (b c)
课本P106习题3.1， A组 第1题（1）、（2）
空间向量及其运算
一块均匀的正三角形的钢板所受重力为
500N，在它的顶点处罚别受力F1，F2，F3， 每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹
角都是60度，且| F1|=|F2|=|F3|=200N，这块 钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三
个力至少多大时，才能提起这块钢板？
2、平面向量的加法、减法与数乘运算
（1）CB BA1
（2）AC （3）AA1
CB
AC
AA1
CB
3．已知空间四边形 ABCD，连结 AC, BD，设
M ,G分别是 BC,CD 的中点，
化简下列各表达式，并标出化简结果向量：
（1）AB BC CD
（2）AB BD GC
（3）CM DG GA
B
D
M
G
C
小结
类比思想 数形结合思想
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB BC (2) AB AD AA1
D1 A1
C1 B1
D A
C B
1．课本P92练习1-3
2．如图，在三棱柱 ABC A1B1C中1 ，M是 BB1 的中点，化简下列各式， 并在图中标出化简得到的向量：
数学人教A版选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算共24张ppt
0
单位向量
模为__的向量
1
―→
|a|＝1 或| AB |＝1
相反
相等
与向量 a 长度______而方向______的
相反向量
－a
向量称为 a 的相反向量
相等向量
相同
相等
方向______且模______的向量
共线向量或平 表示若干空间向量的有向线段所在的
行向量
直线互相平行或重合
―→ ―→
a＝b 或 AB ＝ CD
的两个向量．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)零向量与任意向量平行．
(
)
―→
―→
(2)向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等．
(
)
(3)空间向量 a 用几何表示法表示时，表示该向量的有向线段的起点可任意选取．
(
答案：(1)√
(2)√
(3)√
)
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
个;单位向量有
个;模为√5的向量有
.
解析:(1)①错误.两个空间向量相等,其模相等且方向相同,但与起点和终
点的位置无关.
②错误.向量的模可以比较大小,但向量不能比较大小.
③正确.由正方体的定义知, 与1 1 模相等,方向相同,故 与1 1 是相
等向量.
④错误.由 = ,知| |=| |,且向量 与同向,但点 A 与 C,点 B 与
所以 + 1 =
1
2
1
+
2 1
1
2
+
1
=-2a+
高中数学人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算课件
• 2.直观想象：向量运算的几何意义；
学习重难点
• 重点：理解空间向量的概念
• 难点：掌握空间向量的运算及其应用
空间向量及其运算
向量
平面向量VS空间向量
左图是一个做滑翔运动员的场景，
可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到
来自不同方向大小各异的力，例如绳索
的拉力，风力，重力等，显然这些力不
在同一个平内。
向量．
另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可
以得到:有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其
和不变.
A'
B'
D
A
C
B
知识点二 空间向量的加减运算及运算律
探 对任意两个空间向量与，如果=λ (λ∈R)，与有什么位置关系?反过来，
究 与有什么位置关系时，=λ?
类似于平面问量共线的充要条件，对任意两个空间向量, (≠0)， ∥
联想，用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广
到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动员呢？
下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从空间上的概念和
表示开始。
知识点一 空间向量的概念
思考1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.
在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量。
空间向量的大小叫做向量的长度或模.
―→ ―→ ―→
(2)AA′＋ AB ＋B′C′.
解
→
→
→
→
→
→
AA′ ＋AB ＋B′C′ ＝(AA′ ＋AB )＋B′C′ ＝
→
→
→
→
→
AB′＋B′C′＝AC′.向量AD′、AC′如图所示.
课堂检测
如图，E，F分别是长方体ABCD -A'B'C'D'的棱AB，CD的中点．
学习重难点
• 重点：理解空间向量的概念
• 难点：掌握空间向量的运算及其应用
空间向量及其运算
向量
平面向量VS空间向量
左图是一个做滑翔运动员的场景，
可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到
来自不同方向大小各异的力，例如绳索
的拉力，风力，重力等，显然这些力不
在同一个平内。
向量．
另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可
以得到:有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其
和不变.
A'
B'
D
A
C
B
知识点二 空间向量的加减运算及运算律
探 对任意两个空间向量与，如果=λ (λ∈R)，与有什么位置关系?反过来，
究 与有什么位置关系时，=λ?
类似于平面问量共线的充要条件，对任意两个空间向量, (≠0)， ∥
联想，用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广
到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动员呢？
下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从空间上的概念和
表示开始。
知识点一 空间向量的概念
思考1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.
在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量。
空间向量的大小叫做向量的长度或模.
―→ ―→ ―→
(2)AA′＋ AB ＋B′C′.
解
→
→
→
→
→
→
AA′ ＋AB ＋B′C′ ＝(AA′ ＋AB )＋B′C′ ＝
→
→
→
→
→
AB′＋B′C′＝AC′.向量AD′、AC′如图所示.
课堂检测
如图，E，F分别是长方体ABCD -A'B'C'D'的棱AB，CD的中点．
人教版高中数学选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算第一课时【课件】
= + +
= +
( + = )
= + +
( + + = )
小结
1、空间向量的定义及表示方法
2、特殊的向量
3、向量的加减法
4、向量的数乘运算
5、共线向量与共面向量
规定：零向量与任意向量平行
练习
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向
量的模就越大．( √
)
(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不
是共面向量．( × )
(3)零向量是长度为 0，没有方向的向量．( × )
果的向量.(如图)
D1
() +
() + +
() ( + + )
() + +
C1
A1
B1
M
G
D
A
解：(1) + ＝
(2) + + 1 = + 1 = + 1 = 1
1
1
(3) ( + + 1 ) = =
3
3
1
(4) + + 1 ＝.
2
C
B
12. 向量共线定理
՜ ՜ ՜ ՜ ՜
՜
对任意两个空间向量 ， ( ≠ ), //
՜
՜
⇔ 存在实数，使 = 。
12. 方向向量
数学人教A版选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算共20张ppt
ab
c
一.空间向量的概念
相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量， 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.
空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过 平移使它们的起点重合.因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不 共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空问向量都可以平移到同一个 平面内，成为同一平面内的两个向量。
一.空间向量的概念
空间中具有大小和方向的量叫做空间向量， 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
表示：用字母a，b，c，…表示，或用有向线段表示， 有向线段的长度表示向量的模，a的起点是A，终点是B， 则a也可记作AB，其模记为|a|或|AB|.
A
a B A
C
O
B
一.空间向量的概念
特殊向量
A 零向量：规定长度为0的向量叫零向量，
A1A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
A1
An 1
An A2
A3
A4
首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终 点的向量．
二.空间向量的线性运算
在空间中，任意两个向量都可以平 移到同一个平面内，所以空间向量的 加法和减法运算与平面向量相同.
（2）空间向量的减法运算： AB OB OA
注：起点相同，差向量为减向量终点指向被减向量的终点
二.空间向量的线性运算
数乘运算
实数与向量a的积是一个向量，这种 运算叫向量的数乘 . 记作 a，它的长度和方向规定 如下： (1) a a ; (2)当 0时， a的方向与a的方向相同；
当 0时， a的方向与a的方向相反； 当 0时， a 0.
向量的加、减、数乘运算统称向量的线性运算.
人教A版选择性必修第一册1.1空间向量及其运算课件
当 λ＝0 时，λa＝0．
a
O
A
a
P
Q
M
λa(λ＞0)
λa(λ＜0)
N
？
想一想，向量线性运算的结
果，与向量起点的选择有关系吗？
一、知识讲解
2．空间向量的线性运算
空间向量的线性运算满足以下运
算律（其中 λ，μ∈R）：
？
你能证明这些运算律吗？证
交换律：a＋b＝b＋a；
明结合律时，与证明平面向量的
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，
如果表示若干空间向量的有向线段所在
b，以任意点 O 为起点，作向
的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做
量＝a，＝b，我们就可
共 线 向 量 （ colliner vectors ） 或 平 行 向 量
以把它们平移到同一个平面 α
（parallel vectors）．我们规定：零向量与任
内．
意向量平行，即对于任意向量 a，都有 0∥a．
线上分别取点 E，F，G，H，使
＝k．求证：E，F，G，H
O
＝ ＝ ＝
D
四点共面．
A
C
B
H
分析：欲证 E，F，G，H 四点共面，只需证明
G
，， ， 共面的
表达式推得 ，， 共面的表达式．
a
α
A
l
一、知识讲解
3．空间向量的共线与共面
如果两个向量 a，b 不
探究
对平面内任意两个不共线向量 a，b，由
共线，那么向量 p 与向量 a， 平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一
b 共面的充要条件是存在唯
个向量 p 可以写成 p＝xa＋yb，其中 (x，y) 是
a
O
A
a
P
Q
M
λa(λ＞0)
λa(λ＜0)
N
？
想一想，向量线性运算的结
果，与向量起点的选择有关系吗？
一、知识讲解
2．空间向量的线性运算
空间向量的线性运算满足以下运
算律（其中 λ，μ∈R）：
？
你能证明这些运算律吗？证
交换律：a＋b＝b＋a；
明结合律时，与证明平面向量的
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，
如果表示若干空间向量的有向线段所在
b，以任意点 O 为起点，作向
的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做
量＝a，＝b，我们就可
共 线 向 量 （ colliner vectors ） 或 平 行 向 量
以把它们平移到同一个平面 α
（parallel vectors）．我们规定：零向量与任
内．
意向量平行，即对于任意向量 a，都有 0∥a．
线上分别取点 E，F，G，H，使
＝k．求证：E，F，G，H
O
＝ ＝ ＝
D
四点共面．
A
C
B
H
分析：欲证 E，F，G，H 四点共面，只需证明
G
，， ， 共面的
表达式推得 ，， 共面的表达式．
a
α
A
l
一、知识讲解
3．空间向量的共线与共面
如果两个向量 a，b 不
探究
对平面内任意两个不共线向量 a，b，由
共线，那么向量 p 与向量 a， 平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一
b 共面的充要条件是存在唯
个向量 p 可以写成 p＝xa＋yb，其中 (x，y) 是
空间向量及其运算(共22张PPT)
向量场的点乘
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
人教版必修二4.4.3空间向量及运算课件
矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )
A．存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直
B．存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直 课
核 心
C．存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直
时 限
考
时
向
D．对任意位置，三对直线“AC 与 BD”，“AB 与 CD”，
基
础 AD，CD 的中点，计算：
知
识
点
方 法 技 能
课
核 心
图 7－6－4
时 限
考
时
向
①E→F·B→A；
检 测
②EG 的长．
菜单
【尝试解答】 设A→B＝a，A→C＝b，A→D＝c，则|a|＝|b|＝
基 础
|c|＝1，
知
识 点
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
方 法 技 能
E→F＝12B→D＝12c－12a，
法 技
能
1,1,2)．
①a－b 与 a 夹角的余弦值为
；
②若 ka＋b 与 a－2b 平行，则 k＝
；
核
③若 ka＋b 与 a＋3b 垂直，则 k＝
.
课 时
心
限
考 向
【答案】 ①5147 ②－12 ③175
时 检 测
菜单
(2)(2015·安阳模拟)如图 7－6－4 所示，已知空间四边形
ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，点 E，F，G 分别是 AB，
核
＝32b－12c.
课 时
心
限
考 向
∴H→G与 b、c 共面，即 E、F、G、H 四点共面．
时 检
1.1.1空间向量及其线性运算课件(人教版)
(x，y)，使A→P＝x_A→_B__＋__y_A→__C__，或
对空间任意一点 O 来说，有O→P＝
若在 l 上取A→B＝a，则上式可 O→A＋xA→B＋yA→C
化为O→P＝O→A＋tA→B
例 题 解 析 例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量表
达式,并标出化简结果的向量.(如图)
件是存在唯一的有序实数对 在实数λ，使 a＝λb
(x，y)，使 p＝xa＋yb
课堂探究
如果 l 为经过 A 且平行于已知
非零向量 a 的直线，那么对于
空间任一点 O，点 P 在直线 l源自上的充要条件是存在实数 t，
推论
使O→P＝O→A＋ta，其中 a 叫作 如图，空间一点 P 位于平面 ABC 直线 l 的_方__向__向_量__，如图所示． 内的充要条件是存在有序实数对
已知 ABCD ，从平面AC外一点O引向量
OE kOA,OF kOB,OG kOC,OH kOD
求证：四点E、F、G、H共面；
证明：∵四边形ABCD为
O
∴AC AB AD
EG OG OE kOC kOA k(OC OA) kAC k( AB AD) k(OB OA OD OA)
练习巩固
【解析】 因为 M，N 分别是 AC，BF 的中点，
四边形 ABCD，ABEF 都为平行四边形，
所以M→N＝M→A＋A→F＋F→N＝1C→A＋A→F＋1F→B
2
2
＝1C→A＋A→F＋1(A→B－A→F)
2
2
＝12C→A＋12A→F＋12A→B＝12(A→B＋A→F－A→C)．
又C→E＝C→A＋A→F＋F→E＝A→F－A→C＋A→B＝A→B＋A→F－A→C，所以
对空间任意一点 O 来说，有O→P＝
若在 l 上取A→B＝a，则上式可 O→A＋xA→B＋yA→C
化为O→P＝O→A＋tA→B
例 题 解 析 例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量表
达式,并标出化简结果的向量.(如图)
件是存在唯一的有序实数对 在实数λ，使 a＝λb
(x，y)，使 p＝xa＋yb
课堂探究
如果 l 为经过 A 且平行于已知
非零向量 a 的直线，那么对于
空间任一点 O，点 P 在直线 l源自上的充要条件是存在实数 t，
推论
使O→P＝O→A＋ta，其中 a 叫作 如图，空间一点 P 位于平面 ABC 直线 l 的_方__向__向_量__，如图所示． 内的充要条件是存在有序实数对
已知 ABCD ，从平面AC外一点O引向量
OE kOA,OF kOB,OG kOC,OH kOD
求证：四点E、F、G、H共面；
证明：∵四边形ABCD为
O
∴AC AB AD
EG OG OE kOC kOA k(OC OA) kAC k( AB AD) k(OB OA OD OA)
练习巩固
【解析】 因为 M，N 分别是 AC，BF 的中点，
四边形 ABCD，ABEF 都为平行四边形，
所以M→N＝M→A＋A→F＋F→N＝1C→A＋A→F＋1F→B
2
2
＝1C→A＋A→F＋1(A→B－A→F)
2
2
＝12C→A＋12A→F＋12A→B＝12(A→B＋A→F－A→C)．
又C→E＝C→A＋A→F＋F→E＝A→F－A→C＋A→B＝A→B＋A→F－A→C，所以
空间向量及其线性运算(26张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
C D
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
1.1.1空间向量及其线性运算课件(人教版)
当 AM、BN 最短时， AM 平面 BCD， BN AC ，
所以 M 为 BCD 的中心，N 为 AC 的中点，
此时， 2 | MC | 2 4 3 ，| MC | 2 3 ，
sin 60 3
3
AM 平面 BCD， MC 平面 BCD，AM MC ，
2
| MA |
| AC |2 | MC |2
④若 a b ，则 a b ；
⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同.
A.0
B.1
C.2
D.3
解析
零向量与它的相反向量相等，①错；由相等向量的定义知，②正确； 两个向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，③错； a b ，可能两个向量模相等而方向不同，④错；两个向量相等， 是指它们方向相同，大小相等，向量可以在空间自由移动， 故起点和终点不一定相同，⑤错.故选 B.
练一练
2.在空间四边形 ABCD 中，若 E，F，G，H 分别为 AB，BC，CD，DA 边上的中点，
则下列各式中成立的是( B )
A.
EB BF EH GH 0
B. EB FC EH GE 0
C. EF FG EH GH 0
D. EF FB CG GH 0
解析
EB FC EB BF EF ， EH GE GH
练一练
4.在棱长为 2 的正四面体 ABCD 中， 点 M 满足 AM x AB y AC (x y 1)AD ，
点 N 满足 BN BA (1 )BC ，当 AM、BN 最短时， AM MN ( A )
A. 4
B. 4
3
3
C. 1
D. 1
3
3
解析
由共面向量定理和共线向量定理可知， M 平面 BCD， N 直线 AC，
高中数学选择性必修一(人教版)《1.1.1空间向量及其线性运算》课件
(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定， 即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分 条件；
(2)熟练掌握好空间向量的概念，零向量、单位向量、相等 向量、相反向量的含义以及向量加减法的运算法则和运算律是 解决问题的关键；
(3)判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素： 大小和方向，两者缺一不可，相互制约．
(2)直线可以由 其上一点 和它的 方向向量 确定．
3．空间向量共面的充要条件 (1)共面向量：平行于 同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)空间向量共面的充要条件：向量 p 与不共线向量 a，b 共
面的充要条件是存在 唯一 的有序实数对(x，y)，使 p＝x_a_＋__y_b_.
(二)基本知能小试 1．判断正误
又―C→D 与―D→E 不共线，根据向量共面的充要条件可知―M→N ，
―C→D ，―D→E 共面．
[方法技巧] 证明空间三向量共面或四点共面的方法
(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向 量的线性组合，即若 p＝xa＋yb，则向量 p，a，b 共面．
3．化简：5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________.
答案：3a－2b
知识点三 空间向量共线、共面的充要条件 (一)教材梳理填空 1．空间向量共线的充要条件 对任意两个空间向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在 实数 λ，使__a_＝__λ_b__.
2．直线的方向向量 (1)如图，O 是直线 l 上一点，在直线 l 上取非零向量 a，则 对于直线 l 上的任意一点 P，由数乘向量的定义及向量共线的充 要条件可知，存在实数 λ，使得―O→P ＝λa，把与__向__量__a__平__行___ 的 非零 向量称为直线 l 的方向向量．
(2)熟练掌握好空间向量的概念，零向量、单位向量、相等 向量、相反向量的含义以及向量加减法的运算法则和运算律是 解决问题的关键；
(3)判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素： 大小和方向，两者缺一不可，相互制约．
(2)直线可以由 其上一点 和它的 方向向量 确定．
3．空间向量共面的充要条件 (1)共面向量：平行于 同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)空间向量共面的充要条件：向量 p 与不共线向量 a，b 共
面的充要条件是存在 唯一 的有序实数对(x，y)，使 p＝x_a_＋__y_b_.
(二)基本知能小试 1．判断正误
又―C→D 与―D→E 不共线，根据向量共面的充要条件可知―M→N ，
―C→D ，―D→E 共面．
[方法技巧] 证明空间三向量共面或四点共面的方法
(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向 量的线性组合，即若 p＝xa＋yb，则向量 p，a，b 共面．
3．化简：5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________.
答案：3a－2b
知识点三 空间向量共线、共面的充要条件 (一)教材梳理填空 1．空间向量共线的充要条件 对任意两个空间向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在 实数 λ，使__a_＝__λ_b__.
2．直线的方向向量 (1)如图，O 是直线 l 上一点，在直线 l 上取非零向量 a，则 对于直线 l 上的任意一点 P，由数乘向量的定义及向量共线的充 要条件可知，存在实数 λ，使得―O→P ＝λa，把与__向__量__a__平__行___ 的 非零 向量称为直线 l 的方向向量．
人教A版选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算课件
空间向量及其线性运算
一、空间向量的有关概念
一、空间向量的有关概念
情景引入
这是一个做滑翔伞运动 的场景.可以想象,在滑翔过 程中,飞行员会受到来自不同 方向、大小各异的力.
一、空间向量的有关概念
已知F1=10N, F2=15N，F3=15N，这三个力两两之间的夹角都为90度，它们的协力的
大小为多少N？
可以发现,空间两个向量a , b不共线, 向量 p与向量a, b共面 ⇔存在唯一的有序实数对( x, y), 使 p xa yb.
共面定理
p
空间两个向量a, b不共线, 那么向量 p与向量a, b共面 存在唯一的有序实数对( x, y), 使 p xa yb.
B
C
b
a
O
A
三、共线定理、共面定理及其应用
解（1）由图可知，O→Q＝P→Q－P→O＝P→Q－12(P→A＋P→C)＝P→Q－12P→A－12P→C， ∴x＝y＝－12.
（2）∵P→A＋P→C＝2P→O，∴P→A＝2P→O－P→C. ∵P→C＋P→D＝2P→Q，
∴P→C＝2P→Q－P→D，∴P→A＝2P→O－(2P→Q－P→D)＝2P→O－2P→Q＋P→D.
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即： A1A2 + A2A3 + A3A4 + + An-1An = A1An
⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：
A1A2 +A2A3 +A3A4 + +An-1An +AnA1 = 0 ⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．
例4 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C 1 D1中，设 AA1 a，BC b，C1D1 c, M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
一、空间向量的有关概念
一、空间向量的有关概念
情景引入
这是一个做滑翔伞运动 的场景.可以想象,在滑翔过 程中,飞行员会受到来自不同 方向、大小各异的力.
一、空间向量的有关概念
已知F1=10N, F2=15N，F3=15N，这三个力两两之间的夹角都为90度，它们的协力的
大小为多少N？
可以发现,空间两个向量a , b不共线, 向量 p与向量a, b共面 ⇔存在唯一的有序实数对( x, y), 使 p xa yb.
共面定理
p
空间两个向量a, b不共线, 那么向量 p与向量a, b共面 存在唯一的有序实数对( x, y), 使 p xa yb.
B
C
b
a
O
A
三、共线定理、共面定理及其应用
解（1）由图可知，O→Q＝P→Q－P→O＝P→Q－12(P→A＋P→C)＝P→Q－12P→A－12P→C， ∴x＝y＝－12.
（2）∵P→A＋P→C＝2P→O，∴P→A＝2P→O－P→C. ∵P→C＋P→D＝2P→Q，
∴P→C＝2P→Q－P→D，∴P→A＝2P→O－(2P→Q－P→D)＝2P→O－2P→Q＋P→D.
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即： A1A2 + A2A3 + A3A4 + + An-1An = A1An
⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：
A1A2 +A2A3 +A3A4 + +An-1An +AnA1 = 0 ⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．
例4 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C 1 D1中，设 AA1 a，BC b，C1D1 c, M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
高中数学人教版A版选择性必修一1.1.1空间向量及其线性运算课件
D1
C1
A1
B1
M
D C
A
B
共线向量与共面向量
a
b
回顾
B
b
O
a
结论：空间任意两个向量都可平移到同 一个平面内，成为同一平面内的向量.
回顾
平面向量数乘的定义
a 一般地，我们规定实数λ与向量 的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘，记作 ， a
它的长度和方向规定如下：
（1） | a || || a |;
零向量
模为0的向量
模为0的向量
单位向量
模为1的向量
模为1的向量
相等向量 方向相同且模相等的向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量 方向相反且模相等的向量
三、探究新知
3．提出问题：平面向量可以在平面内平移，那么空间 向量能否在空间中平移？
任意两个空间向量，我们总可以把它们平移到 同一个平面内
a // b(b 0)
作用：由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题
如图，l为经过已知点A且平行已知非零向 量的直线，若点P是直线l上任意一点，则
由 l //知a 存在唯一的t, 满足
AP ta
A
对空间任意一点O,
l
AP OP OA,
所以
OP
OA
ta
即
OP OA ta
①
aP
B
O
构成一个半径为1的球
三、理解新知 2 ． 在 平 行 六 面 体 ABCD A1B1C1D1 中 ， 分 别 标 出
AB AD AA1 ， AB AA1 AD 表示的向量。能否
得出三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关 系？
3.1 空间向量及其运算(共22张PPT)
巩固：
1．已知空间向量四边形ABCD，连接AC、BD，设M， G分别是BC、CD的中点，化简下列各表达式，并标出 化简结果的向量
(1) AB BC CD 1 (2) AB ( BD BC ) 2 1 (3) AG ( AB AC ) 2
A
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同 一平面内的两条有向线段表示。因此凡是涉及空间任意两 个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。
空间两个向量的加减法
C
a b
O
+
A
b
B
OB OA AB
a
空间向量的数乘
CA OA OC
ka
加法交换律
(k>0)
数乘分配律
ka
(k<0)
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中 (如图),化简下列 向量表达式,并标出化简结果的向量
D1 A1
G
E
C1 B1
M
(4)E为上底面中心 AE ？ AA1 ？ AB ？ AD A
D B
C
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向 量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线 所示向量
解
' (2) AE AA x AB y AD
A'
E
D'
C'
F D C
B
'
A
1 (2) x y 2 1 (3) x y 2
(1) x 1
B
小结
1、空间向量的概念 2、空间向量的运算及运算律
9.5空间向量及其运算[下学期]课件人教新课标
![9.5空间向量及其运算[下学期]课件人教新课标](https://img.taocdn.com/s3/m/7e771655b80d6c85ec3a87c24028915f804d849a.png)
点 O，连结 AO，求证：AO CD。
A'
D'
B'
C'
O
A B
D C
思考题：利用向量知识证明三垂线定理
已知：PO, PA分别是平面a , 且a OA
求证：a PA
证明：在a上取非零向量a
P
而PO , PO a PO a 0
OA a
又OA a,OA a 0 又P O, OA相交，得P O, OA不平行，由共面向量
二、 课堂练习
1.已知a 2 2 , b 2 , a b 2 2
则a , b所夹的角为________.
2.判断真假： 1）若a b 0,则a 0,b 0 ( )
2) (a b) c a (b c)
()
3) p2 q2 ( p q)2
()
4) p q p q p2 q2 ( )
M B
A
证明：因为 MN MA AD DN
所以 AB MN AB (MA AD DN )
AB MA AB AD AB DN
D
1 a2 1 a2 1 a2 0
244
N C
MN AB
同理，MN CD
3.已知空间四边形OABC , OB OC , AOB AOC
a2 b2
CD a2 b2
例4 已知在平行六面体 ABCD ABCD中，AB 4 ,
AD 3 , AA 5 , BAD 90 , BAA DAA 60,
求对角线 AC 的长。
D'
A'
B'
C' 解： AC AB AD AA
| AC |2 ( AB AD AA)2 | AB |2 | AD |2 | AA |2
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b a
b D'
| CA|2 | AB |2 | BD |2 2CA AB 2CA BD 2AB BD
A
B
b2 a2 b2 2b2 cos120
A
E
F
B
D
C
人教版-空间向量及其运算完美课件
人教版-空间向量及其运算完美课件
三、典型例题
例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且 l⊥m，l⊥n，求证：l⊥ 分析：由定义可知，只需证l与平面内 任意直线g垂直。
l
g m
lm gn n
要证l与g垂直，只需证l·g＝0 而m，n不平行，由共面向量定理知， 存在唯一的有序实数对(x,y)使得 g=xm+yn
要证l·g＝0,只需l· g= x而l·l·m+my＝l·0 n，=0l·n＝0
故 l·g＝0
人教版-空间向量及其运算完美课件
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三、典型例题
例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且 l⊥m，l⊥证n明，：求在证：内l⊥作不与m、n重合的任一条
直线g,在l、m、n、g上取非零向
()
4) p q p q p2 q2 ( )
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3.如图：已知A 空B间 C 的D 四 每边 条形 边和等 对1于 角 ，线 E 点 、 F长 分别 A是 B 、 AD 的中点。 计（ 算 1） E： F BA(2)EF BD(3)EF DC(4)EF AC
2
3) a a a
注意： ①性质2）是证明两向量垂直的依据； ②性质3）是求向量的长度（模）的依据；
人教版-空间向量及其运算完美课件
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5)空间向量的数量积满足的运算律
1) (a)b (ab)
2) ab ba (交换律） 3）a(bc) abac (分配律）
注意： 数量积不满足结合律
例3 如图，已知线段 A B 在平面 内，线段 AC
，线段BDAB，线段 DD ，DBD30，如 果 A B a,A C B D b，求 C 、D 之间的距离。
解：由 AC，可知 ACAB.
C
由DBD30知 C A,B D 120.
D
| CD |2 CD CD (CA AB BD)2
量l、m、n、g，因m与n相交，得向量
m、n不平行，由共面向量定理
l
可知，存在唯一的有序实数对（x，y），
g m
lm gn n
使
g=xm+yn, l·g=xl·m+yl·n ∵ l·m=0,l·n=0 ∴ l·g=0
∴ l⊥g
∴ l⊥g
这就证明了直线l垂直于平面内的 任一条直线，所以l⊥
人教版-空间向量及其运算完美课件
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例2：已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC， OB⊥AC，求证：OC⊥AB
O
所以 证O明 AB： C由 0O, O已 A BBC A知 ， CO 0BAC
OA(OCOB) 0
OB(OCOA) 0
A
C
B
所以OAOCOAOB
OBOCOBOA 所以OAOCOBOC 0
B
e
A1
A
B1
l
注意：A B 是轴l上的正射影A1B1是一个可正可负的实数， 它的符号代表向量 A B 与l的方向的相对关系，大小代表 在l上射影的长度。
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4)空间向量的数量积性质
对于非零向量 a , b ，有：
1) a e a cos a , e 2) a b a b 0
又 OA a, OA a 0
OPAa
又 PO , OA 相交，得 PO , OA不平行，由共面向量
定理可知，存在唯一的 有序实数对 x, y , 使
PA x PO yOA
PA a PO a OA a 0
a PA,即a PA.
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(OAOB)OC 0
BAOC 0
所以 OC AB
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巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理
已知P： O ,PA 分别是平 的面 垂线，O斜是 A线 PA，
在内的射a影 ,， 且aOA
求证 a： PA
证明：在 a上取非零向量 a
而 PO , PO a PO a 0
（aห้องสมุดไป่ตู้)ca(bc)
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二、 课堂练习
1.已知 a2 2, b 2,ab 2 2
则a,b所夹的_角__为__.___
2 .判断真假： 1）若 a b 0, 则 a 0, b 0 ( )
2) (a b) c a (b c)
()
3) p 2 q 2 ( p q)2
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-1
3.1.3《空间向量及其运算 --数量积》
教学目标
▪ ⒈掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法； ▪ ⒉掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法
及运算律； ▪ ⒊掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决
立体几何中的一些简单问题． ▪ 教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应
注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
3）射影
已知向A量 B＝a和轴 l， e是l上与 l同方向的单位向 点A量 在。作 l上的射A1影 ,作点 B在l上的射B1， 影则 A1B1叫做向A量 B在轴 l上的 或在 e方向上的正射影 射， 影简 。称
A1B1 ABcosa,eae
用． ▪ 教学难点：两个向量数量积的几何意义． ▪ 授课类型：新授课. ▪ 课时安排：1课时.
教学过程
一、几个概念
1） 两个向量的夹角的定义
如图，已知两个 量a,非 b.在零空向间任取 O， 一点
作OAa,OBb,则角 AO叫 B 做向a与 量 b的夹角，
记作a,： b a
A
a
B O
b
b
范围 0： a,b在这个规定下量 ，的 两夹 个角 向就
被唯一确定了 a,， b＝并 b,a且
如果 a,b,则称 a与b互相垂直， a 并 b 记作：
2
2）两个向量的数量积
设OAa,则有向线O段 A的长度叫做a向 的量 长度或,记模作a： 已知空间两个a,向 b，量 则a b cosa,b叫做向a量 ,b的数量积， 记作a： b,即
ab abcosa,b