向量积的行列式计算法

矩是一个向量 M :
M OQ F OP F sin
OP F M 符合右手规则
M OP M F
F
oP
F
O
P L
Q
OQ OP sin
M 21
定义
设 a , b的夹角为 ，定义
(1) 0 , 投影为正；
2
(2) , 投影为负；
2
(3) ,
2
投影为零；
c
a
b
u
(4) 相等向量在同一轴上投影相等；
10
5. 矢量的分解与矢量的坐标
在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示.
以
i,
j,
k分别表示
x,
y , z 轴上的单位向量
,
设点
M
的坐标为 M (x , y , z), 则
3
s a1 a2 a3 a4 a5
a4
a5
a3 s
a2 a1
4
2. 矢量的减法 三角不等式
a
5
3. 数量与矢量的乘法
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a.
规定 :
总之:
a a
运算律 : 结合律 ( a) ( a) a
可见
1a a; 1a a;
分配律
(ab)
4) 分配律
(a b) c
Pr jc a Pr jc b Pr jc( a b)
事实上, 当 c 0 时, 显然成立 ; 当c 0时
a b c c Pr jc a b c Pr jc a Pr jc b
c Pr jc a c Pr jc b a c b c
b
Pr ja b
故
同理
,当
ab a
b
0
时,
Pr
ja
b
数量积的基本性质
a 0, b 0
1) A B 0 A 0，或B 0，或A B. 则 a b 0
特别 A, B 为两个非零向量, 则有
AB 0
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2) 交换律 3) 结合律
b a
a ( b)
( a ) ( b ) a ( b)
个向量共面 .
2
§6.2.1 矢量运算
1. 矢量的加法 平行四边形法则:
b ab
(a b) c
c
bc
a (b c)
三角形法则:
a
ab
b
ab b a
a 运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 ( a b ) c a (b c ) a b c
三角形法则可推广到多个向量相加 .
第二节 矢量代数
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,
向量的模 : 向量的大小,
向径 (矢径): 起点为原点的向量.
自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,
M2 M1
1
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ;
10，18，
15
§6.2.2 两矢量的数量积
引例. 设一物体在常力 F 作用下, 沿与力夹角为
的直线移动, 位移为 s , 则力F 所做的功为
W F s cos
1. 定义
设向量 a , b 的夹角为 , 称
记作
ab
M1 s
M2
W F s
为a与b的数量积 (点积) .
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b在 a上的投影为
记作
AMB .
A
解: MA (1, 1, 0 ), MB ( 1, 0, 1)
则 cos AMB MA MB MA MB
B M
10 0 22
故
AMB
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§6.2.3 两矢量的矢量积
引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为
的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力
z OM ON NM OA OB OC C
r
x
i
y
j
z
k
(
x
,
y
,
z
)
此式称为向量 r 的坐标分解式 ,
ko i
j
r
M B y
A
x
N
沿三个坐标轴方向的分向量.
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6.矢量的模 方向余弦 方向数
1. 向量的模与两点间的距离公式
设 r (x , y , z ), 作 OM r, 则有 r OM OP OQ OR
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ;
因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k
与三坐标轴的夹角 , ,
为其方向角.
方向角的余弦称为其方向余弦.
cos
x r
x x2 y2 z2
z
r
o
y
x
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cos
x r
x x2 y2 z2
cos
y r
cos
z r
y x2 y2 z2
z x2 y2 z2
方向余弦的性质:
z
r
o
y
x
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作业：p-25 习题6.1-6.2
(a
b)
a
b
则有单位向量 a
1 a
a. 因此 a
a a
6
4. 矢量的射影
空间一点在轴上的投影
•A
过点A 作轴u的垂直
A
u
平面，交点A 即为点 A 在轴u 上的投影.
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空间一向量在轴上的投影
B A
u
A
B
已知向量的起点A 和终点B 在
轴u上的投影分别为 A, B那
么轴u 上的有向线段AB 的
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例1. 证明三角形余弦定理
c2 a2 b2 2ab cos
证: 如图 . 设
CB a, C A b, AB c
则
A b
c
C
Ba
c 2 (a b)(a b) aa bb2ab
a 2 b 2 2 a b cos
a a ,b b ,c c
c2 a2 b2 2ab cos
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例2. 已知三点 M (1,1,1), A( 2, 2,1), B( 2,1 , 2), 求
值，称为向量在轴u 上的投影.
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向量AB在轴u 上的投影记为 Pr ju AB AB.
关于向量的投影定理（1）
向量AB 在轴u 上的投影等于向量的模乘以
轴与向量的夹角的余弦： Pr ju AB | AB | cos
证
B
A
B
A
B
Pr ju AB Pr ju AB
u u
| AB | cos
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定理1的说明：
由勾股定理得
r OM
z R
M
o
Q y
P
x
N
x2 y2 z2
对两点
与
因
得两点间的距离公式:
(x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
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方向角与方向余弦
设有两非零向量 任取空间一点 O , 称 =∠AOB (0≤ ≤ ) 为向量 a,b的夹角.
记作
类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 .