向量的数量积和向量积PPT课件

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空间向量的数量积运算完整版课件

O→M、O→N、B→C，最后证O→G·B→C＝0 即可． [规范解答]连结 ON，
设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，
则|a|＝|b|＝|c|.
2分
又O→G＝12(O→M＋O→N)＝12[12O→A＋12(O→B＋O→C)]
＝14(a＋b＋c)，
B→C＝c－b. ∴O→G·B→C＝14(a＋b＋c)·(c－b)
数量特别地：a·a＝|a|2或|a|＝ a·a
积的性质
(3)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝
a·b |a||b|
.
(4)|a·b|≤|a|·|b|.
想一想：类比平面向量，你能说出a·b的几何意义吗？提示数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 |b|·cos θ的乘积．
名师点睛
所以O→A·B→C＝O→A·A→C－O→A·A→B
＝|O→A||A→C|cos〈O→A，A→C〉－|O→A||A→B|cos〈O→A，A→B〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°
＝－16 2＋24.
所以 cos〈O→A，B→C〉＝O|→O→AA·||B→B→CC|＝24－8×165
2＝3－52
1．空间向量夹角的理解 (1)任意两个空间向量均是共面的，故空间向量夹角范围同两平面向量夹角范围一样，即[0，π]； (2)空间向量的夹角在[0，π]之间，但空间两异面直线夹角
π 在(0， 2 ]内，利用向量求两异面直线夹角时注意转化，两
异面直线的夹角余弦值一定为非负数．
2．平面向量与空间向量数量积的关系由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号、向量的模的概念和表示符号、以及运算律等都与平面向量相同．

向量的数量积第2课时向量的向量积课件(1)-人教A版高中数学必修第二册(共17张PPT)

【解析】由于 a2≥0，b2≥0，所以，若 a2＋b2＝0，则 a＝b＝0，故①正确；若 a＋b＝0，则 a＝－b，又 a，b，c 是三个非零向量，所以 a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b 共线⇔a·b＝±|a||b|，所以③不正确；对于④应有|a||b|≥a·b；对于⑤，应该是 a·a·a＝|a|2a； ⑥a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故正确；当 a 与 b 的夹角为 0 时，也有 a·b>0，因此⑦错；
小结：
数量积运算律
(1)a b b a（交换律） (2)(a) b (a b) (a) b（数乘结合律）
(3)(a b) c a c b c （分配律）
所以
(a b) c a c b c
思考：向量的数量积满足结合律 ( a b ) c a ( b c ) 吗？
说明： (a b) c 表示一个与 c 共线的向量，而 a (b c) 表示一个与a 共线的向量但 c 与 a 不一定共线，
(a b) c a (b c)
∴ 向量数量积不满足结合律 .
例1.对任意a,b R ,恒有 (a b)2 a2 2ab b2，(a b)(a b) a2面类似的结论？
(1)(a
2(a
b)2 b)
a
2
(a b)
2a
a
b b 2 2 b2
解：（1）(a b)2 (a b)(a b) a a a b b a b b
即a2
k
2
2
b
0
因为
2
a
32
2
9, b
42
16
所以 9 16k 2 0
所以,当 k 3时, 4

1.1.2 空间向量的数量积运算课件(人教版)

同理,AO⊥CO,BO⊥CO.
所以AO,BO,CO两两垂直.
2.两个非零向量a,b的夹角〈a,b〉的范围是③ [0,π] ;若〈a,b〉=0,则向量a,b方向④相同;若〈a,b〉=π,则向量a,b方向⑤ 相反 ;若〈a,b〉=π ,则向量a,b⑥ 互相垂直 .
2
空间向量的数量积
1.定义已知两个非零向量a,b,则⑦ |a||b|cos〈a,b〉叫做a,b的数量积,记作⑧ a·b . 即a·b=|a||b|cos〈a,b〉. 规定:零向量与任意向量的数量积为⑨ 0 . 2.运算律 (1)(λa)·b=⑩ λ(a·b) ,λ∈R; (2)交换律:a·b= b·a ; (3)分配律:a·(b+c)= a·b+a·c .
3.由于向量的夹角的取值范围为[0,π],而异面直线所成的角的取值范围为
0,
π 2
,因此利用向
量的数量积求异面直线所成的角时,要注意角度之间的关系,当〈a,b〉∈
0,
π 2
时,它们相等;
当〈a,b〉∈
π 2
,π
时,它们互补.
利用空间向量的数量积求距离(或线段长)
1.用数量积求两点间距离的步骤 (1)用向量的模表示此距离; (2)用已知模和夹角的向量表示此向量; (3)用公式a·a=|a|2求|a|; (4)|a|即为所求距离. 2.求模公式的推广由公式|a|= a a 可以推广为|a±b|= （a b）= a2 2abb2.
(1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则 AE
·AF =
;
(2)在四面体OABC中,棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,G为△ABC的重心,则OG ·

人教A版必修第二册6.2.1向量的数量积与向量投影课件

考虑a,b, a+b在c上的投影，以及向量数量积的几何意义
思考3：(a b) c a c b c成立吗？
bB
A
a
c A1 O B1
C
(1)交换律:a b b a
(2)数乘结合律:(a) b (a b) a (b)
(3)分配律:(a b) c b c b c
a, b,c是任意三个向量， R
知 1. 向量数量积的物理背景，定义及几何意义. 识 2. 向量数量积公式的应用及重要性质.
3.数量积的运算律.
技 1. 灵活应用数量积公式解决垂直，距离等问题. 能 2. 向量数量积是一个工具性知识点，是沟通几何
和代数的桥梁，具有很强的功能作用。
思想方法
1. 转化化归（将物理知识转化为数学知识） 2. 数形结合（灵活应用数量积的投影） 3. 分类讨论（讨论投影、数量积的正负等）
在物理课中，我们学过功的概念，一个物体在力 F 的
作用下产生位移 S，夹角为，那么力所做的功怎么求？
则力 F 所做的功为: W F S cos
F'
F
G
火箭弹在发射后受到内燃机的推力F，和火箭弹的位移方向相同，所做的功为 W F S
火箭弹在发射后受到重力G，和火箭弹的位移方
向夹角为钝角，所做的功为 W G S cos
例.我们知道，对任意 a,b R 恒有 (a b)2 a2 2ab b2，(a b)(a b) a2 b2.
对任意向量 a，b，是否也有下面类似的结论？
(1)(a
b)2
2
a
2a b
2
b ;
(2)(a
b)(a
b)
2
a
2

《向量代数》课件

详细描述
向量的向量积定义为两个向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的模长之积与它们夹角的正弦值的乘积，记作$mathbf{A} times mathbf{B}$。其几何意义是向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$所围成的平行四边形的面积。
总结词：向量的混合积是三个向量之间的混合乘积，其结果是一个标量。
VS
矩阵是实现向量线性变换的一种常用工具，它可以表示和操作向量的变换。
详细描述
矩阵是实现向量线性变换的一种常用工具，它可以表示和操作向量的变换。设有一组向量$mathbf{v}_1, mathbf{v}_2, ldots, mathbf{v}_n$经过线性变换得到一组新的向量$mathbf{w}_1, mathbf{w}_2, ldots, mathbf{w}_n$，这个变换可以用一个矩阵表示，即$[mathbf{w}] = [mathbf{v}]A$，其中$A$是一个矩阵。
向量的模是描述向量大小的量，掌握向量的模的计算方法是学习向量代数的重要内容。
总结词
向量的模是指从原点到该向量的有向线段的长度。在二维空间中，向量的模可以用勾股定理计算；在三维空间中，向量的模则可以用勾股定理的推广计算。向量的模具有一些基本性质，如非负性、齐次性、三角不等式等。
详细描述
总结词
向量的加法与数乘是向量代数中的基本运算，掌握这些运算法则是理解向量代数的重要基础。
《向量代数》ppt课件
Contents
目录
向量代数概述向量的数量积与向量积向量的线性变换向量的空间几何意义向量代数在实际问题中的应用
向量代数概述
总结词
向量的定义与表示是学习向量代数的基础，需要掌握向量的基本概念和表示方法。
详细描述

数学人教A版(2019)必修第二册6.2.4平面向量数量积(共15张ppt)

，求

∙ .
设 =12， =9， ∙ =-54 ，求与的夹角
向量的数量积的几何意义是什么？
B
a
A
b
C A1
B2
D
两个非零向量、，他们的夹角为，
探究向量在上的投影向量的情况.
两个非零向量、，他们的夹角为，是与方向相同的单位
向量.
（1） ∙ = , = .（求向量长度的工具）
如何规定向量的乘法.
向量的乘法的结果是什么量？这个值由那些量决定？符号
由什，我们把数量
cos量叫做、的数量积，记作 ∙
即 ∙ = cos
规定零向量与任一非零向量的数量积为0.
已知 = , = , 与的夹角 =
6.2.4向量的数量积
学习目标
1、向量数量积的运算.
2、向量投影及投影向量的概念
重点、难点向量数量积的概念与运算律.
向量的概念源自哪一门学科？我们已经研究了向量的哪些
运算？这些向量的运算表运算结果是什么？
前面学习了向量的加，减，数乘（线性运算）.
其运算结果是向量.
向量能否相乘？如何规定向量的乘法？我们该怎样研究？
（2） ⊥ ⟺ ∙ =0.（直线垂直的重要条件）
（3） ∙ = ∙ = cos.
已知 = , = , 与的夹角 = °，求 ∙ ，
（ + ）2 ， + .
1、本节课学习了哪些知识和内容.
2、结合实例说明向量数量积的几何意义.
感谢聆听！

向量的数量积课件(共17张PPT)

则AOB （0 ）叫a与b 的夹角.
A
O
B
三、抽象概念，建构新知
特殊的夹角
0
O
B
2
A
O
B
A
O
a与b 方向相同
a与b垂直记作a b
B a与b 方向相反
三、抽象概念，建构新知
2、向量数量积的定义：
已知两个非零向量a与b ，它们的夹角为，
我们把数量积 a b cos 叫做向量a与b 的数量积（或内积），
记作a b ，即a b a b cos.
A
规定:零向量与任一向量的数量积为0.
O
B
四、小试牛刀，巩固落实
课本P17例9 已知 a 5, b 4, a与b 的夹角 2 ，求a b.
3
变式：已知 a 5, b 4, a b 10，求a与b 的夹角.
解：a b a b cos 分析：由a b a b cos
向量的数量积
册别：必修第二册学科：高中数学（人教A版）
一、温故知新，提出问题
问题1：前面我们学习了向量的加、减运算，类比数的运算，向量之间还可以
建立哪些运算？
二、借助物理，创设情境
问题2：类比研究向量运算中加法运算的基本路径，怎样来研究向量的乘法？
物理
力
力的合成
数学
向量
向量的加法
5 4 cos 2
3 5 4( 1)
2 10.
得到cos a b
ab
10 1 54 2
0，，
2 .
3
五、几何角度，深化理解
问题3：a b a b cos
其中 a cos，你能联想到其几何意义吗？
A b

《向量数量积》课件

适用于任何可以图形表示的向量，如二维和三维空间中的向量。
注意事项
需要确保向量的图形表示是准确的，并且测量过程中没有出
现误差。
向量分解法
定义
步骤
向量分解法是将一个向量分解为其他两个向量的和，然后利用这两个向量的数积来计算原向量的数量积。
首先，将一个向量分解为两个其他向量的和，然后分别计算这两个向量的数量积，最后将结果相加。
几何意义
总结词
向量数量积的几何意义是表示一个向量在另一个向量上的投影长度。
详细描述
向量数量积的几何意义可以理解为第一个向量在第二个向量上的投影长度，这个长度与两个向量的夹角有关，夹角越小，投影长度越大，反之则越小。
向量数量积的标量性
总结词
向量数量积的结果是一个标量，而不是向量。
详细描述
由于向量数量积的定义中对应坐标相乘后求和，其结果是一个标量，而不是向量。这个标量表示两个向量的相似程度，其值越大表示两个向量越相似或方向越一致，反之则越不相似或方向越不一致。
02
CATALOGUE
向量数量积的性质
非负性
总结词
向量数量积的非负性是指两个非零向量的数量积大于等于0，当且仅当两向量共线且方向相同时取等号。
详细描述
非负性是向量数量积的一个重要性质，它反映了向量之间的角度关系。如果两个非零向量的数量积为0，则这两个向量垂直。
向量数量积与模的关系
总结词
向量数量积与向量点积的区别与联系
总结词
向量数量积和点积都是两个向量的内积，但计算方式不同。点积计算时考虑向量的方向，而数量积不考虑方向只考虑大小。
VS
详细描述
点积计算时，将两个向量的每一个分量相乘后求和，得到的结果是一个标量。而数量积则只考虑两个向量的模长和夹角的余弦值，不考虑方向。因此，点积的结果不仅与向量的模长和夹角有关，还与向量的方向有关。而数量积的结果只与向量的模长和夹角有关，与方向无关。

空间向量的数量积运算ppt课件

g
l
m
m
存在唯一的有序数对(, )，
= + .
∴ ∙ = ∙ + ∙ .
∵ ∙ = 0， ∙ = 0
∴ ∙ = 0.∴ ⊥ .
因此直线垂直于平面内的任意一条直线，所以 ⊥ .
n
n
g
∠AOB
OB ＝b，则_______＝θ
范围：________
0≤θ≤π
B
b
b
特殊情况：

B
a
a
O
b B
O
b
a
A
B b
O
0
180
a 与 b 同向
a 与 b 反向
A
O
a
a
A
90
a 与 b 垂直，记作 a b
A
空间向量的夹角
定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 OA ＝a，
空间向量的数量积运算
新课导入
平面向量及其线性运算
推
广
空间向量及线性运算
平面向量数量积运算
推
广
空间向量数量积运算
探究
问题：回忆一下，我们当时是如何研究平面向量的数量积运算？
定义夹角
数量积定义
运算律
运用
知识回顾
定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作 OA ＝a，
<a,b>
叫做向量a与b的夹角．记作: ________
a

a
c
b
称为向
投影向量
向量a向直线l投影
a

a
c
l
投影向量

1.1.2空间向量的数量积运算课件(人教版)

解：（1） AB AD | AB || AD | cos AB, AD 5 3 cos 60 7.5 . （2）| AC |2 ( AB AD AA)2 | AB |2 | AD |2 | AA |2 2( AB AD AB AA AD AA) 52 32 72 2(5 3 cos 60 5 7 cos 45 3 7 cos 45 ) 98 56 2 ，所以 AC 13.3 .
2
B. AB AC1 2a2 D. BC DA1 a2
解析：
AB
A1C1
AB (AB
AD)
2
AB
a2
；
AB AC1 AB
AB AD AA1
2
AB
a2
；
AB
AO
AB
1 2
AC1
1 2
AB
AC1
1 2
a2
；
BC DA1 BC
BB1 CB
2
BC
a2
.故选
C.
5.已知| a | 3 2 ，| b | 4 ， m a b ， n a b ，a, b 135 ，m n ，则 _____32_____.
这就证明了直线 l 垂直于平面内的任意一条直线，所以l .
1.如图，空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，点 E, F,G 分别
B 是 AB, AD,CD 的中点，则 FG AB ( )
3
1
1
3
A. 4
B. 4
C. 2
D. 2
解析：由题意得
FG
1 2
AC
，所以
FG
AB
1 2
(a) b (a b) ， R ；

向量的数量积课件

详细描述
向量数量积在计算机图形学中也有着广可以用来计算光照和阴影的方向和强度，或者用来实现物理模拟和动画效果。此外，向量数量积还可以用于实现碰撞检测和运动控制等算法。
05
总结与展望
向量数量积的重要性和意义
数学基础
，数量积为ab。
几何意义
向量数量积的几何意义是表示一个向量在另一个向量上的投影长度。
当两个向量的夹角为锐角时，数量积为正，表示两向量方向相同；当夹角为钝角时，数量积为负，表示两向量方向相反；当夹角为直角时，数量积为0。
向量数量积的运算性质
向量数量积满足交换律和分配律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积的模的性质
总结词
两个向量的数量积的值等于它们的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
详细描述
向量的数量积的模的性质表明，两个向量的数量积等于它们的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。这个性质对于计算两个向量的数量积非常重要，因为它提供了一个公式来直接计算数量积的值。
向量数量积的交换律和结合律
向量的数量积ppt课件
目录
• 向量数量积的定义 • 向量数量积的性质 • 向量数量积的运算 • 向量数量积的应用 • 总结与展望
01
向量数量积的定义
定义
向量数量积定义为两个向量的模长之积与夹角的余弦值的乘积，
记作a·b=abcosθ。
其中，a和b分别为两个向量，θ 为两向量的夹角。
当两个向量的夹角为90°时，数量积为0；当夹角为0°或180°时
理论价值
向量的数量积是向量代数中的基本概念之一，是研究向量关系和进行数学分析的重要工具。
向量数量积的概念是线性代数和解析几何理论体系的重要组成部分，对于理解空间几何和线性变换的本质具有重要意义。

空间向量及其运算(共22张PPT)

向量场的点乘
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运算来分析这些力的作用和影响。
THANKS

高中数学(人教B版)教材《向量的数量积》完美课件1

向量的数量积满足模的性质，即 $|vec{a}| = sqrt{vec{a} cdot vec{a}}$。
03
CATALOGUE
向量的数量积的应用
在物理中的应用
力的合成与分解
通过向量的数量积，可以计算出合力的大小和方向，也可以计算
出分力的大小和方向。
速度和加速度
在物理中，速度和加速度都是向量，通过向量的数量积可以计算出物体在某段时间内的位移和速度变化。
01
分配律是数量积的一个基本性质，可以用来简化计算。
结合几何意义理解
02
通过结合向量的几何意义，可以更直观地理解数量积的计算过
程。
掌握特殊情况的处理方法
03
对于一些特殊情况，如两个向量垂直或平行，需要掌握相应的
处理方法。
易错点解析
理解概念不准确
对于数量积的概念理解不准确，导致在计算中出现错误。
运算错误
性质
01
02
总结词：向量的数量积的性质
详细描述
03
04
05
1. 向量的数量积满足交换律，即$mathbf{A} cdot mathbf{B} = mathbf{B} cdot mathbf{A}$。
2. 向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{A} + mathbf{B}) cdot mathbf{C} = mathbf{A} cdot mathbf{C} + mathbf{B} cdot mathbf{C}$。
向量与自身的数量积为该向量的模的平方，即$vec{a} cdot vec{a} = |vec{a}|^2$。
运算性质
向量的数量积满足非负性，即 $vec{a} cdot vec{b} geq 0$，当且仅当$vec{a}$与$vec{b}$同

向量的数量积、向量积、混合积

混合积
混合积在解析几何中可以用于表示向量的旋转和缩放。例如，在三维空间中，混合积可以用来计算三个向量的旋转角度和缩放因子。
在物理学中的应用
向量积
在物理学中，向量积可以用于描述矢量场中的矢量线。例如，在电磁学中，向量积可以用来计算磁场中的矢量线。
混合积
在物理学中，混合积可以用于描述物体的转动惯量。例如，在刚体动力学中，混合积可以用来计算刚体的转动惯量。
性质
混合积为标量，其值与三个向量的顺序有关，但与向量的排列顺序无关。
几何意义
几何意义
向量$mathbf{a}$、$mathbf{b}$、 $mathbf{c}$的混合积等于以这三个向量为邻边的平行六面体的体积。
VS
特殊情况
当其中一个向量是零向量时，混合积为零；当两个向量共线时，混合积为零。
运算性质
交换律
$(mathbf{a}, mathbf{b}, mathbf{c}) = (mathbf{c}, mathbf{b}, mathbf{a})$
分配律
$(mathbf{a} + mathbf{b}, mathbf{c}, mathbf{d}) = (mathbf{a}, mathbf{c}, mathbf{d}) + (mathbf{b}, mathbf{c}, mathbf{d})$
运算性质
要点一
分配律
$mathbf{A} times (mathbf{B} + mathbf{C}) = mathbf{A} times mathbf{B} + mathbf{A} times mathbf{C}$。
要点二
结合律
$(mathbf{A} + mathbf{B}) times mathbf{C} = mathbf{A} times mathbf{C} + mathbf{B} times mathbf{C}$。

课件：向量及其运算(15)

∴a(bc)0 ，故a,
b, c
共面。
B b
a
.a b 0
A
24
运算规律
1. a b b a;
反交换律
2.( a) b a ( b) (a b); 与数乘向量的结合律
3. (a b) c a c b c
分配律
c(a b) c a c b
例3 已知 a 2, b 3, 且a b 3, 则a b _____3______.
22
3)两个向量的向量积
(由两个向量造一个新的特殊的向量)
在并b,且许需要多要求方找面c另的,一模对个有于同某给时种定与特的a性两,.个b不垂共直线的l 的非非零零向向量量
a
,
c
,
如图, 由直观, 同时与 a ,
c B b
b 垂直的非零向量 c 在
O
直线 l 上,有无限多个,但方向可指向方上或下方.
三角形法则可推广到多个向量相加 .
4
s a1 a2 a3 a4 a5
a4
a5
a3 s
a2 a1
5
2. 向量的减法三角不等式
b
a
6
3. 向量与数的乘法
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
规定 :
总之:
a
a
运算律 : 结合律 ( a) ( a) a
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
3
二、向量的线性运算
1. 向量的加法平行四边形法则:
b ab
(a b) c
c
bc
a (bc)
a
三角形法则:
ab b