数控车床插补

定义偏差判别式为：F =XeY- YeX
下午1时33分
Y
A (Xe,Ye）
F＞0
P (Xi,Yi）
F＜0
X
13
下午1时33分
Y
A (Xe,Ye）
（2）偏差函数的递推计算
F＞0
P (Xi,Yi）
F＜0
X
F≥0时，应向+X发出一进给脉冲，刀具从现加工点（Xi,Yi）向+X方向 前进一步，达到新加工点（Xi+1,Yi），则新加工点的偏差值为：
28
2.直线插补算法
下午1时33分
在设计直线插补程序时，通常 将插补计算坐标系的原点选在被 插补直线的起点，如图所示，设 有一直线OPe， O(0,0)为起点， Pe (Xe,Ye)为终点，要求以速度 F(mm/min)，沿OPe 进给。
Y
Pe (Xe,Ye)
Pi+1 (Xi+1,Yi+1)
△Yi △L
10
数字增量插补(时间标量插补)
下午1时33分
¾ 3）数字增量插补的实现算法较脉冲增量插补复杂，它对计算机 的运算速度有一定的要求，不过现在的计算机均能满足要求。
¾ 4）这类插补方法有：数字积分法(DDA)、二阶近似插补法、双 DDA插补法、角度逼近插补法、时间分割法等。这些算法大多是 针对圆弧插补设计的。
下午1时33分
5.4.2 插补的概念
插补(Interpolation)：根据给定进给速度和给定 轮廓线形的要求，在轮廓的已知点之间，确定一 些中间点的方法，这种方法称为插补方法或插补 原理。
插补算法：对应于每种插补方法(原理)的各种实 现算法。
插补功能是轮廓控制系统的本质特征。
6
5.4.3 插补方法的分类
脉冲增量插补(行程标量插补)
9 这类插补算法有：逐点比较法；最小偏差法；数字积分 法；目标点跟踪法；单步追综法等
9 它们主要用早期的采用步进电机驱动的数控系统。 9 由于此算法的速度指标和精度指标都难以满足现在零件加
工的要求，现在的数控系统已很少采用这类算法了。
9
数字增量插补(时间标量插补)
逐点比较法是以折线来逼近直线或圆弧曲线的，它与规定的直线或 圆弧之间的最大误差不超过一个脉冲当量，因此，只要将脉冲当量 (每走一步的距离)取得足够小，就可达到加工精度的要求。
12
1. 直线插补
（1）偏差函数的构造
若点（X ,Y）在直线上， 则：XeY- YeX = 0； 若点（X ,Y）位于直线上方， 则：XeY- YeX > 0； 若点（X ,Y）位于直线下方， 则：XeY- YeX < 0。
=Fi + Xe
15
（3）终点判别方法
Σ=|Xe | + | Ye |
下午1时33分
Y
A (Xe,Ye）
F＞0
P (Xi,Yi）
F＜0
X
16
（4）插补计算过程
插补开始 偏差判别 坐标进给
偏差计算
到达终点？ 插补结束 Y
下午1时33分 17
下午1时33分
第一象限偏差公差
第一象限偏差公式与进给关系如表所示：
⎪⎩∆Yi = Yi+1 − Yi
Pi+1 (Xi+1,Yi+1)
△Yi △L
Pi (Xi,Yi)
△Xi
(1)
β α
O
tgα = Ye
Xe
cosα = Xe
X e + Ye2
X
30
下午1时33分
上述算法是先计算△Xi后计 算△Yi，同样还可以先计算 △Yi后计算△Xi，即：
⎧∆Yi = ∆L cos β
插补周期Δt与位置控制周期ΔtP 的关系
Δt= nΔtP
n=0，1，……
由于插补运算的输出是位置控制的输入，因此插补周期要 么与位置控制周期相等、要么是位置控制周期的整数倍，只有 这样才能使整个系统协调工作。例如，日本FANUC 7M系统的插 补周期是8ms，而位置控制周期是4ms。华中I型数控系统的 插补周期也是8ms，位置控制周期可以设定为1ms、2ms、 4ms、8ms 。
P≥0
P<0
进给
计算
进给
计算
+∆X
Pi+1,j= Pi,j-ye
+∆Y
Pi,j+1= Pi,j+Xe
按照逐点比较法插补过程，在计算偏差的同时，还 要进行一次终点判断，以确定是否到达程序加工终 点，如已到达，就不再进行运算，发出停机或转换 新程序段输入信号。
18
下午1时33分
7
6
5
4
A
3
2
1
O 1234567
N y = Ya − Yb
24
5.4 CNC装置的插补原理
下午1时33分
5.4.3 脉冲增量插补算法
2. 圆弧插补
（4）插补计算过程
Y
B F>0
F<0
Pi（Xi，Yi）
A
X
圆弧插补的计算过程和直线插补的计算过程基本相同，但由于偏
差公式中含有动点坐标，故在偏差计算的同时还要进行坐标计
算，以便为下一点的偏差计算做好准备。
下午1时33分
¾ 特点：
1）插补程序以一定的时间间隔定时(插补周期)运行，在每个周期内 根据进给速度计算出各坐标轴在下一插补周期内的位移增量 （数字量）。其基本思想是：用直线段（内接弦线，内外均差 弦线，切线）来逼近曲线（包括直线）。
2）插补运算速度与进给速度无严格的关系。因而采用这类插补算法
时，可达到较高的进给速度（一般可达 10m/min以上）。
⎪⎪⎪⎨YXi +i1+
= Yi + ∆Y
1 = Yi+1tg β
i
(2 )
⎪⎩ ∆ X i = X i+1 − X i
tg α = X e
Ye
cos α =
Y
Pe (Xe,Ye)
Pi+1 (Xi+1,Yi+1)
△Yi △L
Pi (Xi,Yi) β
α
△Xi X
O
Ye X e + Ye2
31
插补公式的选用
序号
起点 1 2 3 4 5 6 7 8
偏差判别
P0，0=0 P1，0<0 P1,1>0 P2,1<0 P2,2>0 P3,2>0 P4,2<0 P4,3>0
工作节拍
进给
偏差计算
+△X +△Y +△X +△Y +△X +△X +△Y +△X
P0，0=0 P1，0=0-3=-3 P1,1=-3+5=2 P2,1=2-3=-1 P2,2=-1+5=4 P3,2=4-3=1 P4,2=1-3=-2 P4,3=-2+5=3 P5,3=3-3=0
Fi
=
X
2 i
+ Yi2
−
R2
若Fi=0，表示加工点位于圆上； 若Fi>0，表示加工点位于圆外； 若Fi<0，表示加工点位于圆内
A
X
21
5.4 CNC装置的插补原理
下午1时33分
5.4.3 脉冲增量插补算法
2. 圆弧插补
（2）偏差函数的递推计算
Y
B F>0
F<0
Pi（Xi，Yi）
1） 逆圆插补 若F≥0，规定向-X方向
（2）偏差函数的递推计算
Y
B F>0
F<0
Pi（Xi，Yi）
2）顺圆插补 若Fi≥0，规定向-Y方向
走一步 若Fi<0，规定向+x方向
走一步
A
X
⎧Yi+1 =Yi −1
⎨ ⎩Fi+1
=
Xi2
+ (Yi
−1)2
− R2
=
Fi
− 2Yi
+1
⎨⎧Xi+1 ⎩Fi+1
= Xi = (Xi
+1 +1)2
+Yi2
终点判别 n=8 n=7 n=6 n=5 n=4 n=3 n=2 n=1 n=0
6 5
4 3
A（5,3）
2
1
O 1234567
20
5.4 CNC装置的插补原理
下午1时33分
5.4.3 脉冲增量插补算法
2. 圆弧插补
（1）偏差计算公式
Y
B F>0
F<0
Pi（Xi，Yi）
任意加工点Pi（Xi，Yi），偏差函数Fi可表示为
¾ 这类插补算法主要用于交、直流伺服电机为伺服驱动系统 的闭环，半闭环数控系统，也可用于以步进电机为伺服驱动系 统的开环数控系统。
11
5.4.3 脉冲增量插补算法
下午1时33分
原理：CNC系统在控制过程中，能逐点地计算和判别运动轨迹与给定轨 迹的偏差，并根据偏差控制进给轴向给定轮廓靠扰，缩小偏差，使加工 轮廓逼近给定轮廓。
插补周期Δt与插补运算时间 T 的关系
一旦系统各种线形的插补算法设计完毕，那么该系统插补
运算的最长时间Tmax就确定了。显然要求： Tmax < Δt
在采用分时共享的CNC系统中，
Tmax < Δt/2
这是因为系统除进行插补运算外，CPU还要执行诸如位置控制、 显示等其他任务。
27
下午1时33分
Fi+1= XeYi – Xi+1Ye= XeYi – (Xi+1)Ye = XeYi – XiYe - Ye
=Fi – Ye
14
下午1时33分
Y
A (Xe,Ye）
（2）偏差函数的递推计算
F＞0
P (Xi,Yi）
F＜0
X
F<0时，应向+Y发出一进给脉冲，刀具从现加工点（Xi,Yi）向+Y方向 前进一步，达到新加工点（Yi+1,Yi），则新加工点的偏差值为： Fi+1= XeYi+1 – XiYe= Xe(Yi+1) – XiYe = XeYi – XiYe +Xe
下午1时33分
可以证明，从插补精度的角度考虑，插补公式的选用原则 为：
X e ≥ Ye
时
选用公式 (1 )
X e < Ye
时
选用公式 (2 )
这个结论的实质就是在插补计算时总是先计算大的坐标增
量，后计算小的坐标增量。
为什么？请同学们思考！
32
∆yi = (xi + ∆xi ) tanα − yi ∆xi = ( yi + ∆yi ) tan β − xi
限制。因而进给速度指标难以提高，当脉冲当量为10μm时，采
用该插补算法所能获得最高进给速度是3-4 m/min。 9 脉冲增量插补的实现方法较简单，通常仅用加法和移位运算方法
就可完成插补。因此它比较容易用硬件来实现，而且，用硬件实 现这类运算的速度很快的。但是也有用软件来完成这类算法的。
8
下午1时33分
例:现要加工第一象限直线OA，终点坐标为xe=5,ye=3 解：总步数E=5+3=8
开始时，刀具对准在直线OA的起点，表示在直线
上，此时P0,0=0。加工运算过程如表所示。
19
进给 +∆X
第一象限偏差公差
P≥0
计算
进给
Pi+1,j= Pi,j-ye
+∆Y
下午1时33分
P<0 计算
Pi,j+1= Pi,j+Xe
d (∆yi ) = ye / xe d (∆xi ) d (∆xi ) = xe / ye d (∆yi )
下午1时33分
在插补计算时总是先计算大的坐标增量， 后计算小的坐标增量。
33
公式的归一化处理
下午1时33分
为程序设计的方便，引入引导坐标的概念，即将进给增量 值较大的坐标定义为引导坐标G，进给增量值较小的定义为非 引导坐标N。这样便可将八组插补公式归结为一组：
5.4 CNC装置的插补原理
下午1时33分
5.4.1 数控多轴联动的实现方法
数控机床加工复杂轮廓时，通过插补运算程 序，运算、判断出每一步应进哪一个坐标，进多 少，从而实现坐标轴联动，加工出所需曲线。
1
下午1时33分 2
下午1时33分 3
下午1时33分 4
下午1时33分 5
5.4 CNC装置的插补原理
25
5.4.4 数字增量插补
下午1时33分
1 . 插补周期的选择 插补周期Δt 与精度δ、速度F 的关系
δ = ρ − ρ 2 − ⎜⎛ ∆ L ⎟⎞ 2
Y
⎝2⎠
∆L = F∆t
δ
△L
ρ
δ = ρ − ρ 2 − ⎜⎛ F ∆ t ⎟⎞ 2
⎝2⎠
≈ (F ∆ t )2
X
8ρ
26
下午1时33分
⎧∆Gi = ∆Lcosα
下午1时33分
脉冲增量插补(行程标量插补) ¾ 特点：
9 每次插补的结果仅产生一个单位的行程增量（一个脉 冲当量）。以一个一个脉冲的方式输出给步进电机。 其基本思想是：用折线来逼近曲线（包括直线）。
7
下午1时33分
脉冲增量插补(行程标量插补)
9 插补速度与进给速度密切相关,还受到步进电机最高运行频率的
走一步 若Fi<0，规定向+Y方向
走一步
A
X
⎩⎨⎧FXi+i+11==(XXii
−1 −1)2
+Yi2
− R2
=
Fi
−2Xi
+1
⎧Yi+1 = Yi +1
⎨ ⎩Fi+1
=
X
2 i
+
(Yi
+1)2
−
R2
=
Fi
+
2Yi
+1
22
5.4 CNC装置的插补原理
下午1时33分
5.4.3 脉冲增量插补算法
2. 圆弧插补
− R2
=
Fi
+ 2Xi
+1
23
5.4 CNC装置的插补原理
下午1时33分
5.4.3 脉冲增量插补算法
2. 圆弧插补
（3）终点判别法
Y
B F>0
F<0
Pi（Xi，Yi）
ABiblioteka Baidu
X
1）判断插补或进给的总步数： N = X a − X b + Ya − Yb
2）分别判断各坐标轴的进给步数； N x = X a − X b
Pi (Xi,Yi) β
α
△Xi X
O
29
下午1时33分
直线插补公式的推导
设插补周期为Δt(ms)，则在Δt内的合成进给量△L为：
若Δt =8ms 则：
∆L = F∆t / 60
(µm )
Y
Pe (Xe,Ye)
∆L = 2F /15 (µm)
式中：
⎧∆X i = ∆L cosα ⎪⎪⎪⎨YXi+i1+1==XXi+i1t+gα∆X i