Matlab在线性代数中的应用
Matlab在线性代数中的应用
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现在的MATLAB新版本早已不只停留在工程计 算的功能上了，它由主包、Simulink以及功能各异 的工具箱组成，以矩阵运算为基础，把计算、可视 化、程序设计融合到了一个简单易用的交互式工作
环境中。在这里可以实现工程计算、算法研究、符
号运算、建模和仿真、原型开发、数据分析及可视
化、科学和工程绘图、应用程序设计(包括图形用户
2018年11月20日星期二
Matlab 软件在线性代数的应用
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（3）矩阵的输入 A=[2,3,5;1,3,5;6,9,4] %行之间要用分号隔开 A= 2 3 5 1 3 5 6 9 4 m=input('请输入初始量，m=')； 请输入初始量，m= 问题：输入A(2,3)，结果如何？输入A(7)又如何？ 注意：变量名开头必须是英文字母，变量名对字母 大小写是区分的.
士在New Mexico大学讲授线性代数课程时，看到了
用高级语言编程解决工程计算问题的诸多不便，因
而构思开发了MATLAB软件(MATrix LABoratory,矩
阵实验室)，该软件利用了Moler博士在此前开发的
LINPACK(线性ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数软件包)和EOSPACK(基于特征
值计算的软件包)中可靠的子程序，用Fortran语言编 写而成，集命令翻译、工程计算功能于一身。
Matlab以矩阵运算为基础，把计算、可视化、
程序设计融合到一个简单易用的交互式工作环境中，
可实现工程计算、算法研究、符号运算、建模和仿
真、原型开发、数据分析及可视化、科学和工程绘
图、应用程序设计等功能．
2018年11月20日星期二
Matlab 软件在线性代数的应用
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MATLAB06Matlab在线性代数中的应用PPT课件
第零个月#0 ：一开始只有一对兔子 第一个月#1 ：经过一个月，两只兔子都有繁殖能力，
但是怀孕期是一个月，所以还是只有一对兔子。 第二个月#2 ：经过两个月後，原来两只兔子生出一对
一公一母的兔子，所以现在有两对兔子。 第三个月#3 ：经过三个月後，最开始的一对兔子又生
出一对兔子，但第二对兔子才刚有繁殖能力，所以 现在是三对兔子。 第四个月#4 ：以此类推，现在是五对兔子。 第五个月#5 ：以此类推，现在是八对兔子。
通常，矩阵除法可以理解为
X=A\B X=B/A
<==> A*X=B <==> X*A=B
A 和 B 行数相等时才可进行左除
A 和 B 列数相等时才可进行右除
（3）用矩阵除法求解求解恰定方程
Ax = b x = A\b
利用除法求解时，不用 先对矩阵A求逆，而是 直接进行计算，即保证 计算的精度，又节省大 量的计算时间。
F n A*F n, 其中：
a1 a2
1
0
A0 1
0 0
a3 0 0
1
am
0
0
0 m m
f n 1
，
F
n
f
n
2
f n m m 1
于是：
F n A * F n 1 A2 * F n 2 AkF n k AniF i
例：Fibonacci序列
在1202年，Fibonacci 注意到了一个兔 子的繁殖问题，他假设一开始有一只公的兔 子与一只母的兔子刚出生，每只兔子再经过 一个月後就有繁殖能力，而兔子的怀孕期是 一个月，而一旦母兔子拥有繁殖能力时，它 每个月都会生产，而且生出来的兔子是一公 一母，最後一个条件是，兔子不会死掉。在 这种理想状况下，问题来了：经过一年（十 二个月）後，总共运算高
数学建模-matlab在线性代数中的应用
-310-附录二Matlab 在线性代数中的应用§1 向量组的线性相关性求列向量组A 的一个最大线性无关组可用命令rref(A)将A 化成阶梯形的行最简形式，其中单位向量对应的列向量即为最大线性无关组所含向量，其它列向量的坐标即为其对应向量用最大线性无关组线性表示的系数。
例1 求下列矩阵列向量组的一个最大无关组。
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−=3 3 3 3 42 1 0 2 32 4 2 6 61 2 1 0 2A解编写M 文件ex1.m 如下：format rata=[1,-2,-1,0,2;-2,4,2,6,-6;2,-1,0,2,3;3,3,3,3,4];b=rref(a)求得b = 1 0 1/3 0 16/30 1 2/3 0 -1/90 0 0 1 -1/30 0 0 0 0记矩阵A 的五个列向量依次为1α、2α、3 α、4α、5 α，则1α、2α、4腹有诗书气自华α是列向量组的一个最大无关组。
且有3 1 2 323α= 1α+ α， 5 1 2 4 31913α= 16α−α−α.例2 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−= =1 2 22 1 22 2 1[ , , ] 1 2 3 A a a a ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−= =4 20 31 4[ , ] 1 2 B b b ，验证1 2 3 a ,a ,a 是R3的一个基，并把1 2 b ,b 用这个基线性表示。
解编写M 文件ex2.m 如下：format rat腹有诗书气自华a=[2,2,-1;2,-1,2;-1,2,2];b=[1,4;0,3;-4,2];c=rref([a,b])求得c= 1 0 0 2/3 4/30 1 0 -2/3 10 0 1 -1 2/3§2 线性方程组Matlab 中解线性方程组可以使用“\”。
虽然表面上只是一个简简单单的符号，而它的内部却包含许许多多的自适应算法，如对超定方程用最小二乘法，对欠定方程它将给出范数最小的一个解，解三对角阵方程组时用追赶法等。
MATLAB软件在线性代数教学中的应用
MATLAB软件在线性代数教学中的应用【摘要】MATLAB软件在线性代数教学中的应用日益重要。
本文从向量和矩阵运算、线性方程组求解、特征值和特征向量计算、线性代数可视化教学以及矩阵分解和奇异值分解等方面探讨了MATLAB的应用。
通过实际案例展示了MATLAB在教学中的实际应用，有助于学生更好地理解线性代数的概念和应用。
结合结论部分讨论了MATLAB在线性代数教学中的重要性以及未来的发展方向，强调了MATLAB在提升学生学习效果和培养解决实际问题能力方面的巨大潜力。
MATLAB在线性代数教学中的应用有着广阔的发展前景，为教学提供了更加丰富和多样化的教学手段。
【关键词】MATLAB, 线性代数, 教学应用, 向量, 矩阵运算, 线性方程组, 特征值, 特征向量, 可视化教学, 矩阵分解, 奇异值分解, 重要性, 发展方向1. 引言1.1 MATLAB软件在线性代数教学中的应用概述MATLAB是一种强大的数学软件，广泛应用于高等教育领域，尤其在线性代数教学中发挥着重要作用。
在在线性代数教学中，MATLAB可以帮助学生更好地理解抽象的数学概念，提高他们的数学建模和问题求解能力。
通过MATLAB软件，学生可以直观地进行向量和矩阵运算，求解线性方程组，计算特征值和特征向量，进行矩阵分解和奇异值分解等操作。
MATLAB软件提供了丰富的数学函数和工具箱，使得学生可以方便地进行各种数学计算和仿真实验。
通过MATLAB的可视化功能，学生可以直观地观察数学概念的几何意义，加深对数学知识的理解。
MATLAB还支持编程功能，学生可以通过编写脚本和函数来实现复杂的数学运算和算法，培养他们的编程能力。
在线性代数教学中，MATLAB软件的应用不仅可以帮助学生更好地掌握数学知识，提高数学建模和问题求解能力，还可以激发学生的学习兴趣，培养他们的创新思维和实践能力。
MATLAB软件在线性代数教学中的应用具有重要意义，对提升教学效果和培养学生的数学素养具有积极作用。
关于MATLAB软件在线性代数教学中的应用探讨
关于MATLAB软件在线性代数教学中的应用探讨一、引言线性代数作为数学的一个重要分支，在各个领域都有广泛的应用。
线性代数的教学过程中，理论与实践相结合，能够更好地培育同砚的分析和解决问题的能力。
而MATLAB软件作为数学建模、仿真和计算的工具，能够为线性代数的教学提供有力的支持。
本文将探讨MATLAB软件在线性代数教学中的应用。
二、MATLAB软件的介绍MATLAB是一种强大的高级计算机语言和交互式环境，该软件提供了丰富的数学、图形和数据分析工具，适用于各种科学与工程计算。
MATLAB在科研领域有广泛的应用，尤其在线性代数、信号处理和图像处理方面具有突出的优势。
三、MATLAB在线性代数教学中的应用1. 线性方程组的求解线性方程组是线性代数的基本内容之一，而MATLAB提供了直接求解线性方程组的工具。
同砚可以通过编程的方式输入线性方程组，使用MATLAB求解方程组，并将结果可视化展示。
这样不仅可以加深同砚对线性方程组求解方法的理解，还能提高他们的编程能力。
2. 矩阵运算与特征值分解矩阵运算是线性代数的重要内容，而MATLAB提供了丰富的矩阵运算函数。
同砚可以通过编写MATLAB程序，实现矩阵的加减乘除、转置和求逆等操作，并进行相应的结果验证。
此外，MATLAB还能够进行特征值分解，对于矩阵的特征向量和特征值进行计算。
通过这些实践操作，同砚可以更好地理解矩阵运算的观点和原理，提高解决实际问题的能力。
3. 图形绘制与可视化MATLAB具备强大的图形功能，能够进行二维和三维图形的绘制。
在线性代数教学中，同砚可以通过编写MATLAB程序，将矩阵、向量或线性方程组的解表示为图形，从而更直观地展示线性代数的观点和应用。
这种图形化的可视化方式有助于同砚理解和记忆线性代数的重要观点，提高他们的进修爱好和乐观性。
四、MATLAB在线性代数教学中的优势1. 提高同砚的编程能力MATLAB作为一种编程语言，可以提高同砚的编程能力。
Matlab在线性代数中的应用
利用Matlab的控制设计方法，如PID控制、状态反馈控制等，可以 设计出有效的控制系统。
THANKS
感谢观看
利用Matlab的图像处理函数，可以从图像中提取 特征，如边缘、角点等，用于目标检测和识别。
在控制系统中的应用
系统建模
使用Matlab的控制系统工具箱，可以对系统进行建模，如线性时 不变系统、非线性系统等。
系统分析和仿真
通过Matlab的控制系统函数，可以对系统进行稳定性分析、控制 性能分析和仿真测试。
向量运算
向量的基本运算
包括向量的加法、减法、数乘、向量的模等。
向量的内积和外积
内积和外积是描述向量之间关系的运算，用于计算向量的长度、角 度等。
向量运算的实际应用
向量运算在物理、工程等领域有广泛应用，如描述物体运动轨迹、计 算力的合成等。
特征值与特征向量
01
特征值和特征向量 的定义
特征值和特征向量是描述矩阵特 性的重要概念，用于描述矩阵变 换的性质。
04
Matlab在线性代数中的优势与 局限性
优势
高效计算能力
Matlab提供了强大的矩阵运算 和数值计算功能，使得线性代
数问题的求解更加高效。
可视化工具
Matlab内置了丰富的可视化工 具，可以直观地展示线性代数 中的向量、矩阵和线性变换等 概念。
易于学习和使用
Matlab的语法相对简单，使得 线性代数运算变得容易理解和 实现。
解的精度和稳定性
Matlab在线性方程组求解过程中考虑了精 度和稳定性问题，能够提供可靠的解。
向量运算和特征值问题
向量运算
Matlab支持向量的基本运算 ，如加法、减法、数乘、点 积等。
#实验1 MATLAB续：MATLAB在线性代数中的应用
6 x3 5 x3
6
x4
0 0
x3 5x4 6x5 0
x4 5x5 1
A=[5 6 0 0 0 15600 01560 00156 0 0 0 1 5];
B=[1 0 0 0 1]'; R_A=rank(A) %求秩 X=A\B %求解
例2
求解方程组
3xx112xx2253xx333xx44
>>B=null(A,'r') %求解空间的有理基
得到：B =
2
5/3
-2 -4/3
1
0
0
1
MATLAB初步
于是，我们得到原线性方程组的解：
syms k1 k2 % 定义两个符号 X=k1*B(:,1)+k2*B(:,2) %写出方程组的通解 pretty(X) %让通解表达式更加精美
求解的完整代码如下：
%V已经被归一化为单位向量了
例 4： 求矩阵
MATLAB初步
2 1 1
A
0 4
2 1
0 3
的特征值和特征向量.
A=[-2 1 1;0 2 0;-4 1 3]; [V,D]=eig(A)
V=
-0.7071 -0.2425
0
0
-0.7071 -0.9701
0.3015 0.9045 0.3015
1 2
有否解? 2x1 x2 2x3 2x4 3
MATLAB初步
A=[1 -2 3 -1;3 -1 5 -3;2 1 2 -2];%输入系数矩阵A的值
% first,input the coefficient matrix A
matlab在线性代数中的应用
A(2,:) = -A(2,1)/A(1,1)*A(1,:)+A(2,:); A1=A, A(3,:) = -A(3,1)/A(1,1)*A(1,:)+A(3,:); A2=A, A(3,:) = -A(3,2)/A(2,2)*A(2,:)+A(3,:); A3=A,
得 A1 =
A2=
A3=
1 0 2 1 0 0 1 0 0
0 1 -1 0 1 -1 0 1 0
7 -23 9 7 -23 -5 7 -23 -28
B1= 1 -4 0 B2 = 1 0 -2 B3 = 1 0 0 B0 = 1 -4 -6
0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
请读者从三次消元中归纳出消元法的语法规则.如果选第i 行为基准行,其第k列的元素为基准元素,则要把第j行第k列的 元素消元为零,应该执行下列程序: A(j,:)=-A(j,k)/A(i,k)*A(i,:)+A(j,:) 可以专门编成一个消元子程序. 读者还可以观察这几个初等变换矩阵的构成特点.不难验证 B0=B3*B2*B1.要注意,这几个乘子相乘的次序是不能颠倒的.
解这个矩阵方程可以用下列几种方法.
方法一: 用消元法将其增广矩阵[A,b]化为最简行阶梯形 式(Reduced Row Echelon Form) .MATLAB用它第一个字母的缩 写rref作为命令.程序如下: A=[6,1,6,-6; 1,-1,9,9; -2,4,0,-4; 4,2,7,-5]; b=[7; 5; -7; -9] U=rref([A,b]) 程序运行的结果为: 1.00
0 3 0 1 0 2 0 0 1 8 (柠檬酸) , (小苏打) , (碳酸钠) , (水) , (二氧化碳) 6 0 1 6 1 2 7 1 3 8
MatLab在线性代数中的应用
例 1 定义多项式 p 4x4 2x3 x2 5.
输入语句:
在上面表达中, a 可以是一个向量.
继续输入
⑵多项式的复数根
格式： roots( p)
使用举例：
p 4x4 2x3 x2 5.
（3）其它关于多项式的函数
polyr 返回由根决定的多项式的系数
使用举例：设有一多项式的根为-1,2,3
1
0
5 / 4 1/ 2 1
则有
2 2 3
MA
0
2
1/
2
.
0 0 5 / 4
记
1 0 0
L M 1 1/ 2
1
0
,
1 1/ 2 1
则
A LU. 这样的分解称为 LU分解. 其中L为下三角阵, U为上三
结果为
可解 唯一解
若将常数列修改为 b 2,1, 1,1, 则结果为
例 求解方程组
结果为:
x1 x2 x3 x4 1, x1 x2 x3 x4 1, 2x1 2x2 x3 x4 1.
四、特征值与特征多项式
1.相关函数
trace(A) 求方阵的迹
2 x2
1 2
x3
3 2
,
5
5
4 x3 4 .
2x1 2x2 3x3 9,
13 2x2 2 x3 2 ,
5 4
x3
5 4
.
2
x1
2x2 2x2
MATLAB软件在线性代数教学中的应用
MATLAB软件在线性代数教学中的应用
MATLAB是一个具有强大计算和图形处理功能的数学软件，它广泛应用于各个领域，包括线性代数教学。
在线性代数教学中，MATLAB可以帮助学生更好地理解和应用矩阵和线性方程组等基础概念。
首先，在矩阵的操作方面，MATLAB可以用来进行矩阵的创建、转置、逆矩阵计算、乘法运算、矩阵方程求解等操作。
例如，通过输入命令行“A=[1 2;3 4]”创建一个
$2\times 2$矩阵，通过输入命令行“B=A'”可以得到A的转置矩阵，通过输入命令行
“inv(A)”可以得到A的逆矩阵，通过输入命令行“C=A*B”可以得到A和B的乘积矩阵，在输入命令行“x=A\b”可以求解矩阵方程$Ax=b$。
其次，在解决线性方程组的问题上，MATLAB可以用来求解线性方程组、得到线性方程组解的唯一性和存在性，并且可以比较不同求解方法的效率。
例如，通过输入命令行
“x=A\b”就可以得到线性方程组$Ax=b$的解，通过输入命令行“rank(A)”可以得到矩阵
A的秩，通过输入命令行“cond(A)”可以得到矩阵A的条件数。
此外，在线性代数的复杂问题求解上，MATLAB可以用来进行特征值和特征向量的计算、矩阵的奇异值分解等问题的求解。
例如，通过输入命令行“[V,D]=eig(A)”可以得到矩阵
A的特征值和特征向量，通过输入命令行“[U,S,V]=svd(A)”可以得到矩阵A的奇异值分解。
总之，MATLAB的强大计算和图形处理功能，可以为线性代数教学的理解和应用提供很好的帮助。
通过学生编写MATLAB程序，实现矩阵和线性方程组的数值求解，可以加深对
线性代数基础概念的理解，提高线性代数教学的效果。
MATLAB 在线性代数中的应用
9 10 11 12 在MATLAB中，若要建立空矩阵、单位矩阵、零矩阵或上（下）三角矩阵等，则需要调用与 其相对应的命令及格式 . MATLAB中常用矩阵命令见表8-6所示 .
MATLAB 在线性代数中的应用
表8-6
MATLAB 在线性代数中的应用
MATLAB中矩阵的加（+）、减（ ）、乘（ ）、乘方（ ^ ）、转置（′）与线性代数中的运算规则一
MATLAB 在线性代数中的应用
例6
解
clear A [1，2 ，4 ，6 ， 3，2 ，4 ；2 ，4 ， 4 ，5 ，1， 5 ，3 ；3 ，6 ，2 ，0 ，5 ， 9 ，1；
2 ，3，0 ，4 ，0 ，1，8 ；0 ， 4 ， 5 ，2 ，1，4 ， 5 ；5 ，5 ， 3 ，6 ，6 ， 4 ，2] ；
解
clear
A 1，2 ，5 ，1；1，1，2 ，2 ；2 ，3，8 ，3
%增广矩阵A
A
1 2 51
1 22 3
8 12 3
A1 rref A
%增广矩阵A的标准阶梯型矩阵
A1
10 03
0 1 0 1
0 010
由于系数矩阵的秩和增广矩阵的秩及未知数的个数都相等，故该方程组有唯一解，即
x1 3，x2 1，x3 0 .
例7
解
C 2 ，3，1 ； A 1，4 ，2 ；3，2 ，0 ; b 8；6 ；
x ，s linprogC， A， b， ， ，zeros3，1
MATLAB 在线性代数中的应用
x 0.8066 1.7900 0.0166
s= 7.0000
所以最优解为x1 0.8066 ，x2 1.7900 ，x3 0.0166 ，最优值为Smin 7.0000 .
Matlab在线性代数中的应用
(2) [L,U,P]=lu(X)：产生一个上三角阵 U和一个下三角阵L以及一个置换矩阵P， 使之满足PX=LU。当然矩阵X同样必须 是方阵。 实现LU分解后，线性方程组Ax=b 的解x=U\(L\b)或x=U\(L\Pb)，这样可以 大大提高运算速度。
例:用LU分解求解例AX=b中的线性方程组。 命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]'; [L,U]=lu(A); x=U\(L\b) 或采用LU分解的第2种格式，命令如下： [L,U ,P]=lu(A); x=U\(L\P*b)
函数 svd 格式 s = svd (X) %返回矩阵X 的奇异值向量 [U,S,V] = svd (X) %返回一个与X 同大 小的对角矩阵S，两个酉矩阵U 和V，且满足 X= U*S*V'。若A 为m×n 阵，则U 为m×m 阵，V为n×n 阵。奇异值在S 的对角线上，非 负且按降序排列。 [U,S,V] = svd (X,0) %得到一个“有效大 小”的分解，只计算出矩阵U 的前n列，矩阵S 的大小为n×n。
Ax=b 其解为：x=A-1b
2．矩阵的伪逆
如果矩阵A不是一个方阵，或者A是一个 非满秩的方阵时，矩阵A没有逆矩阵，但可以 找到一个与A的转置矩阵A‘同型的矩阵B，使 得： A· A=A B· B· B=B A· 此时称矩阵B为矩阵A的伪逆，也称为广义逆 矩阵。在MATLAB中，求一个矩阵伪逆的函 数是pinv(A)。
数学实验
Matlab 在线性代数 中的应用
矩阵分析
对角阵与三角阵 1．对角阵 只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角矩 阵，对角线上的元素相等的对角矩阵称为数量 矩阵，对角线上的元素都为1的对角矩阵称为 单位矩阵。
在线性代数中的Matlab简单应用
1
6
2
5
17
5.0000 -7.5000 （2） 向量的点积 >>x*y’ %向量的点积 ans = -12
2.5000
12.5000
17.5000
20.0000
(3)向量组的规范正交化 利用施密特正交化过程可以对向量组规范正交化，在 MATLAB 中，利用 qr 函数： 例：将向量组 a1=(1,2,-1),a2=(-1,3,1),a3=(4,-1,0) 规范正交化 >> A=[1,-1,4; 2,3,-1;-1,1,0] A= 1 -1 4 2 3 -1 -1 1 0 >>[Q,R]=qr(A); >>Q %矩阵 Q 的列向量组就是所求的规范正交化向量组 Q= -0.4082 0.5774 0.7071 -0.8165 -0.5774 0.0000 0.4082 -0.5774 0.7071 即 q1=（-0.4082，-0.8165，0.4082） ，q2=（0.5774，0.5774，-0.5774） ，q3=（0.7071，0.0000， 0.7071） 为所求的规范正交向量组。 我们还可以用下述命令验证 q1， q2， q3 的规范正交性。 >>Q’*Q %验证规范正交性，应得到 E，说明 Q 是正交矩阵。 ans = 1.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000
（4） 向量组的线性相关性 利用向量组构成的矩阵的秩 rank(A)，判定该向量组是否线性相关。 判定向量组 a1=（1,2,-1,4） ，a2=（9,100,10,4） ，a3=（-2，-4,2，-8） ，a4=（3,1,2,0）的线性 相关性。 >>A=[1,9,-2,3;2,100,-4,1;-1,10,2,2;4,4,-8,0]; >> rank(A) ans = 3 因为 rank（A）<4，所以该向量组线性相关。 (5) 向量组的秩与最大无关组 向量组的秩等于它构成矩阵 A 的秩，再利用 rref(A)函数将 A 化成行最简型，即可求得 向量组的最大无关组。 >> rref(A) ans = 1 0 -2 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 即 a1，a2，a4 构成了向量组的一个最大无关组，且 a3 = -2a1
基础篇-第9章-Matlab在线性代数中的应用
9.1.4 混合积
定义： 三个向量 a ， b ， c 共面的充分必要条件是 (a,b,c)=0。 混合积的性质：
(1) (a,b,c) = (b,c,a) = (c,a,b) = - (b,a,c) = - (a,c,b) = - (c,b,a)。
(2) (a×b)c=a(b×c)。 定义：设 a ，b ，c 是空间中三个向量，则 (a*b)*c 称为三个向量 a ，b ，c 的 混合积，记作[a b c] 或 (a,b,c) 或 (abc)。 【例9-9】 向量a=(1,2,3),b=(2,3,4),c=(5,2,1),求a·(b×c)的混合积。 a=[1 2 3] a=1 b=2 c =5 v = -2 2 3 2 3 4 1 >> b=[2 3 4] >> c=[5 2 1]
2
-2 1 0
5/3
-4/3 0 1
写出通解： syms k1 k2 x=k1*B(:,1)+k2*B(:,2) x= [ 2*k1+5/3*k2] [ -2*k1-4/3*k2] [ k1] %写出方程组的通解
[
k2]
%让通解表达式更加精美 [2 k1 + 5/3 k2 ] [ [ [ [ [ k2 k1 ] ] ] ] ] [-9.3.3
因此步骤为：
求非齐次线性方程组的通解
非齐次线性方程组需要先判断方程组是否有解，若有解，再去求通解。 第一步：判断AX = b是否有解，若有解则进行第二步； 第二步：求AX = b的一个特解；
第三步：求AX = 0的通解；
第四步：AX = b的通解 = AX = 0的通解+AX = b的一个特解。 【例9-20】 求解方程组的解。
MATLAB在线性代数中的应用[文献综述]
![MATLAB在线性代数中的应用[文献综述]](https://img.taocdn.com/s3/m/77c2acec0066f5335a8121d8.png)
文献综述信息与计算科学MATLAB在线性代数中的应用一、前言部分线性代数是大学理、工、经管、医、农等学科所有专业必修的一门重要数学基础课。
它作为离散性数学在工科数学中的代表，随着计算机科学日新月异的发展，许多非线性问题高精度地线性化与大型线性问题的可计算性正在加快逐步实现，因此无论从理论上还是从应用上看，线性代数的地位更趋重要。
]1[MATLAB软件是目前教学与科研中最具影响力、最有活力、最具可靠性的数学软件]2[。
它起源于矩阵运算，MATLAB名字由MATrix和LABoratory两词的前三个字母组合而成。
]3[作为高度集成的计算机语言，它携带几十个软件包，提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计，与其他语言的接口也非常便捷。
在欧美的大学里，诸如应用统计分析、自动控制、数字信号处理、模拟与数字通信、时间序列分析、动态系统仿真等课程都把MATLAB作为教学内容。
}4[线性代数作为代数的一个主要分支，以向量空间与线性变换作为研究对象，就其在数学、物理学以及经济学等分支的应用来说，线性代数的离散化思想具有非常特殊的作用，因此也成为我国大学生必修的公共基础课之一。
此外，线性代数思想特别使用于计算机编程，它以坐标法和向量法作为主要的研究工具，通过矩阵和向量性质研究多变量之间的线性关系，因此，MATLAB与线性代数的紧密结合有着非常广阔的前景。
]6,5[二、主题部分线性代数是一门应用性很强，但又在理论上进行了高度抽象的数学学科。
一方面，中学生就学过了二元一次代数方程的解法，代入法和消去法大概每个人都会记忆一辈子，这就是做简单的线性代数。
当把方程的阶次提高到了三元一次以上时，它不但要求较高级的抽象思维能力，而且也要求用十分烦琐的计算步骤才能解决问题。
对于数学家，他们重视前者，这无可厚非；但对于大多数工科学生，他们更需要的是能应用它的理论，指导完成实际的计算。
事实上，线性代数的那种单调、机械、枯燥的运算，只是由于计算机的出现才赋予了在应用方面的生命力。
Matlab在线性代数中的应用
A\B <==> A 的逆左乘 B <==> inv(A)*B
2 矩阵的基本运算
• 幂运算 ^ A*A*A=A^5 • 转置 ´ 理论学习中，A的转置表示为AT，在Matlab中用“´”表示
3 行列式与方程组求解
• 相关命令 det(A), 计算矩阵A的行列式 B(: , i)=b, 把向量b赋给矩阵B的第i行 A(i, j), 引用矩阵A中第i行j列的元素 [A, eye(5)], 创建5×10矩阵，前5列为A，后5列为单位矩阵 syms x, 定义x为符号变量
解：这个问题可以用矩阵乘法来描述。令人口变量
Xn
xn yn
,
其中 xn为市区人口所占比例，yn 为郊区人口所占比例。在
n+1年的人口分布状态为：
xn1 yn1
0.95xn 0.05xn
0.15 yn 0.85 yn
用矩阵乘法可写成：
Xn1
xn1 yn1
0.95 0.05
0.15 0.85
D=det(A)
% 计算含符号变量矩阵A的行列式D
f=factor(D)Biblioteka % 对行列式D进行因式分解
% 从因式分解的结果，可以看出方程的解
X=solve(D)
% 求方程“D＝0”的解
平面上线性变换的几何意义
• 例 设x为二维平面上第一象限中的一个单位方块，其四个 顶点的数据可写成
x
0 0
1 0
1 1
对角矩阵的幂次可以化为元素的幂次
Ak = pΛp-1pΛp-1 pΛp-1 pΛkp-1
k
xk = Ak x0 = pΛkp-1x0
Matlab应用线性代数
矩阵的行列式
可用函数det求矩阵的行列式大小。 例：
a=[1 2 0;2 5 -1;4 10 -1]; b=det(a) b=
1
矩阵的四则运算
❖ 数组和矩阵的加减运算使用加号和减号，即 “+”和“-”。
❖ 矩阵相乘使用“*”运算符。
❖ 如果只是将两个矩阵中相同位置的元素相乘， 使用“.*”运算符。
线性方程组的求解
❖ 方形系统 p135 ❖ 超定系统 ❖ 不定系统
符号矩阵
❖ 符号矩阵的四则运算 ❖ 符号矩阵的转置运算 ❖ 符号矩阵的行列式运算 ❖ 符号矩阵的求逆运算 ❖ 符号矩阵的求秩运算 ❖ 符号矩阵的常用函数运算 ❖ 符号矩阵常用线性方程(组)的求解
符号矩阵运算的函数： symadd(a,d) —— 符号矩阵的加 symsub(a,b) —— 符号矩阵的减 symmul(a,b) —— 符号矩阵的乘 symdiv(a,b) —— 符号矩阵的除 sympow(a,b) —— 符号矩阵的幂运算 symop(a,b) —— 符号矩阵的综合运算
load mri; montage(D,map);
❖ Imwrite;将图像写成图像文件 （bmp,hdf,jpeg,tiff等）; imwrite(A,文件名，‘格式’)；
❖ Warp 显示图像为纹理映射表面 warp(x,y,z,….) [x,y,z]=sphere; d=imread('test.jpg'); warp(x,y,z,d); warp(x,y,z,X,map);%% load trees; 具有颜色图map的索引图X
0000
矩阵的秩
用函数rank求矩阵的秩。 例：
a=[1 2 0;2 5 -1;4 10 -1]; b=rank(a) b=
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（3）矩阵的输入 A=[2,3,5;1,3,5;6,9,4] %行之间要用分号隔开 A= 2 3 5 1 3 5 6 9 4 m=input('请输入初始量，m=')； 请输入初始量，m= 问题：输入A(2,3)，结果如何？输入A(7)又如何？ 注意：变量名开头必须是英文字母，变量名对字母 大小写是区分的.
环境中。在这里可以实现工程计算、算法研究、符
号运算、建模和仿真、原型开发、数据分析及可视
化、科学和工程绘图、应用程序设计(包括图形用户
界面设计)等等功能。
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Matl出的优势，它现在已 成为世界上应用最广泛的工程计算软件。在美国等发 达国家的大学里MATLAB是一种必须掌握的基本工具， 而在国外的研究设计单位和工业部门，更是研究和解
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7.联机求助 例： help sqrt %将显示出平方根sqrt 命令的功能和使用方式
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8. 数据格式命令说明
format short 1.4142 短格式，显示5位 format long 1.41421356237310 长格式，显示15位 format short e 1.4142e+000 最优化短格式，5位加指数 format long e 1.41421356237310 e+000 最优化长格式，15 位加指数 format hex 3ff6a09e667f3bed 十六进制,货币银行格式， 小数点后2位 format bank 1.41 货币银行格式，小数点后2位 format rat 1395/985 有理格式 format + + 紧密格式，显示数据+，－，
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3．矩阵的翻转操作 flip(抛、弹、翻转)，rotation（旋转） flipud(A) %A进行上下翻转 fliplr(A) %A进行左右翻转 rot90(A) %A逆时针旋转90°
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2．矩阵的块操作 A(2,:) %取出A的第2行的所有元素 A([1,3],:) %取出A的第1，3行的所有元素 A(2:3,1:2) %取出A的2，3行与1，2列交叉的元素 A([1,3],:) = A([3,1],:) %将A的1行和3行互换 问题：如何将A的2，3列互换？ A(2,:) = 4 %将A的第2行的所有元素用4取代 A(find(A==3))=-3 %将A中等于3所有元素换为-3 A(2,:) = [] %删除A的第2行 reshape（A,2,3） %返回以A的元素重新构造的2×6维矩阵 [A(1:3,2:3),A(2:4,1:2);A,A(:,2)] %由小矩阵构造大矩阵。
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80年代初期，Cleve Moler和John Little采
用C语言改写了MATLAB的内核。不久，他们
成立了Mathworks软件开发公司并将MATLAB
正式推向市场。
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现在的MATLAB新版本早已不只停留在工程计 算的功能上了，它由主包、Simulink以及功能各异 的工具箱组成，以矩阵运算为基础，把计算、可视 化、程序设计融合到了一个简单易用的交互式工作
士在New Mexico大学讲授线性代数课程时，看到了
用高级语言编程解决工程计算问题的诸多不便，因
而构思开发了MATLAB软件(MATrix LABoratory,矩
阵实验室)，该软件利用了Moler博士在此前开发的
LINPACK(线性代数软件包)和EOSPACK(基于特征
值计算的软件包)中可靠的子程序，用Fortran语言编 写而成，集命令翻译、工程计算功能于一身。
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A*B %和A.*B进行比较 A/B %(和A./B进行比较) A\B %(和A.\B进行比较) A^2 %A^2相当于A*A(和A.^2进行比较) 注意：“.* ” ， “. / ”， “ .\ ” ，“ . ^ ” 称为点运算 （或称数组运算，又称元素群运算），点运算是前后矩阵 对应元素之间的运算.
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例 randperm(6) ans = 3 2 1 5 4
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问题： 生成一个在区间[10,20]内均匀分布的4阶随机矩阵.
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5.数的运算 sqrt(square root),exp(exponent),log(logarithm) 4+2 4*2 4/2 %4右除2，等于2 4\2 %4左除2，等于0.5 4^3 %4的3次方 sqrt(4) %4的算术平方根 ，和4^0.5比较 exp(3) %e的3次方，不能输成e^3 log(4) %4的自然对数，log10(4)是以10为 底，log2(4)是以2为底
M a tlab 软 件 在 线性代 数中 的 应用
第一章 Matlab介绍 一、概述
MATLAB是一套功能十分强大的工程计 算机及数据分析软件，它的应用范围覆盖了 当今所有的工业、电力、电子、医疗、建筑 等各领域。
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1980年前后，MATLAB的首创者Cleve Moler博
含 义 默认相对浮点精度 函数输出变量个数 函数中输出的可选参数 圆周率 不定值 输入参数名
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3．矩阵变换和矩阵函数
函数名 flipud rot90 tril eye ones linespace det trice rref
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函数名 sech/csch exp log abs imag conj fix round rem gcd perms
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含 义 双曲正割/双曲余割函数 指数函数 对数函数 绝对值函数 复数虚部函数 共轭复数函数 朝零方向取整 四舍五入取整 求余函数 最大公约数 排列
(2)矩阵除法 矩阵求逆 inv(A)，如果det(A)等于或很接近零， Matlab会提示出错。 “左除”与“右除”，左乘或右乘矩阵的逆，A\或 /A (3)幂运算 ^
A*A*A=A^5
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二、基本操作
1．数、数组、矩阵的输入 （1）数的输入 a=5 b=2-5i 注意：在行尾加“；”，该行结果不显示；标点符号一 定要在英文状态下输入! （2）数组的输入 b=[1,3,5,7,9,11] c=1:2:11 d=linspace(1,11 ,6) 问题： 若b为在0～2π（π用pi表示）之间均匀分布的22 个数据，c=(1.3,2.5,7.6,2,－3)，d=(23,20,17,14,11,8,5,2)，各 用何种方法输入较简单？
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函数名 asin/acos atan/acot asec/acsc asinh/acosh atanh/acoth
含 义 反正弦/反余弦函数 反正切/反余切函数 反正割/反余割函数 反双曲正弦/反双曲余弦函数 反双曲正切/反双曲余切函数
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2．特殊变量与函数
函数名 ans nargin varargin i inf flops
含 义 默认返回变量 函数输入变量个数 函数中输入的可选参数 虚数单位 无穷值 浮点运算次数
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函数名 eps nargout varargout pi nan inputname
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三、函数
1. 基本的数学函数
函数名 sin/cos tan/cot sec/csc sinh/cosh tanh/coth 含 义 正弦/余弦函数 正切/余切函数 正割/余割函数 双曲正弦/双曲余弦函数 双曲正切/双曲余切函数
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4. 特殊矩阵的产生 random（随意, 任意），randn（Normally distributed random numbers.）randperm（Random permutation. （排列）） A = eye(n) %产生n维单位矩阵 A = ones(n,m) %产生n×m维1矩阵 A = zeros(n,m) %产生n×m维0矩阵 A = rand(n,m) %产生n×m维随机矩阵（元素在 0～1之间） randn(m,n) %产生m×n正态分布随机矩阵 randperm(n) %产生1～n之间整数的随机排列
决工程计算问题的一种标准软件。在国内也有越来越
多的科学技术工作者参加到学习和倡导这门语言的行
列中来。在大家的共同努力下，MATLAB正在成为计
算机应用软件中的一个热点。
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二、Matlab 的主要功能