解直角三角形超经典例题讲解

课 题 解直角三角形 授课时间：

备课时间：

教学目标

1. 了解勾股定理

2. 了解三角函数的概念

3. 学会解直角三角形

重点、难点

三角函数的应用及解直角三角形

考点及考试要求

各考点

教学方法：讲授法

教学内容

（一）知识点（概念）梳理 考点一、直角三角形的性质

1、直角三角形的两个锐角互余

可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°

2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下： ⇒BC=

2

1AB ∠C=90°

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90°

可表示如下： ⇒CD=2

1

AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理

直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2

2

2

c b a =+ 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD •=2

⇒ AB AD AC •=2

CD ⊥AB AB BD BC •=2 6、常用关系式

由三角形面积公式可得： AB •CD=AC •BC

7.图中角α可以看作是点A 的 角 也可看作是点B 的 角；

（1）

9、（1）坡度（或坡比）是坡面的 铅直 高度（h ）和水平长度（l ）的比。

记作i,即i = l h

；

（2）坡角——坡面与水平面的夹角。记作α，有i ＝l h

=tan α

（3）坡度与坡角的关系：坡度越大，坡角α就越 大 ，坡面就越 陡

考点二、直角三角形的判定

1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2

2

2

c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

考点三、锐角三角函数的概念

1、如图，在△ABC 中，∠C=90°

①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即

c a

sin =∠=

斜边的对边A A

②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即

c b

cos =∠=

斜边的邻边A A

③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即

b

a

tan =∠∠=

的邻边的对边A A A

④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即a

b

cot =∠∠=的对边的邻边A A A

2、锐角三角函数的概念

锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值

三角函数 0° 30°

45°

60° 90° sinα

21 22

23 1

cos α 1

23 2

2

21 0

tan α 0 33 1

3

不存在

cot α 不存在 3

1

3

3 0

4、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系

1cos sin 22=+A A

（3）倒数关系 tanA •tan(90°—A)=1

∴tan A = cot A =

2、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，由下列条件解直角三角形： （1）已知a ＝43，b ＝23，则c= ； （2）已知a ＝10，c ＝102，则∠B= ； （3）已知c ＝20，∠A ＝60°，则a= ； （4）已知b ＝35，∠A ＝45°，则a= ；

3、若∠A = ︒30，10=c ，则___________,==b a ；

4、在下列图中填写各直角三角形中字母的值．

7、设Rt △ABC 中，∠C ＝90゜，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，根据下列所给条件求∠B 的四个三角函数值.

（1）a =3,b =4; （2）a =6,c =10.

8、在Rt △ABC 中，∠C ＝90゜，BC ：AC ＝3：4，求∠A 的四个三角函数值.

9、△ABC 中,已知0

045,60,22=∠=∠=C B AC ，求AB 的长

A

B

C

9题

（4）、实例分析

1、斜坡的坡度是3:1，则坡角.____________=α

2、一个斜坡的坡度为1=ι︰3，那么坡角α的余切值为 ；

3、一个物体A 点出发，在坡度为7:1的斜坡上直线向上运动到B ，当30=AB m 时，物体升高 （ ）

A

730m B 8

30m C 23m D 不同于以上的答案 4、某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度3:1=i ，坝外斜坡的坡度1:1=i ，则两个坡角的和为 （ ） A ︒90 B ︒60 C ︒75 D ︒105

5、电视塔高为350m ，一个人站在地面，离塔底O 一定的距离A 处望塔顶B ，测得仰角为0

60，若某人的身高忽

略不计时，__________=OA m.

6、如图沿AC 方向修隧道,为了加快施工进度,要在小山的另一边同时进行.已知∠ABD=1500

,BD=520m,∠B=600,那么开挖点E 到D 的距离DE=____m 时,才能使A,C,E 成一直线.

7、一船向东航行，上午8时到达B 处，看到有一灯塔在它的南偏东0

60，距离为72海里的A 处，上午10时到

达C 处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为（ ） A 18海里/小时 B 318海里/小时 C 36海里/小时 D 336海里/小时

8、如图，河对岸有铁塔AB ，在C 处测得塔顶A 的仰角为30°，向塔前进14米到达D ，在D 处测得A 的仰角为45°，求铁塔AB 的高。

A C D B