解直角三角形超经典例题讲解
解直角三角形大题及答案
解直角三角形大题及答案直角三角形是初中数学中比较基础而重要的知识点，下面给出几道解直角三角形的大题及答案。
大题一已知直角三角形的一条直角边为6cm，另一条直角边为8cm，求斜边长。
解析：根据勾股定理可以求出斜边长，即$c=\sqrt{a^2+b^2}$。
带入数据得$c=\sqrt{6^2+8^2}=10$，所以斜边长为10cm。
答案：10cm大题二如图，直角边AC长为12cm，BC长为16cm，连接AB并延长线段交CD于点D，且CE垂直于BD，求CE的长。
解析：首先要求出BD的长度。
由$AC^2+BC^2=BD^2$可得$BD=\sqrt{12^2+16^2}=20$。
然后根据相似三角形CC’E、B’BD可以列出比例$\frac{CE}{BD}=\frac{BC}{B'D}$，即$\frac{CE}{20}=\frac{16}{28}$，解之得$CE=\frac{80}{7}$。
答案：$\frac{80}{7}$cm大题三已知一艘轮船从岸边出发，航向为东北偏东，速度为20km/h，船行了300km到达目的地。
试画出向量图，并求出船行的时间。
解析：如图所示，$\vec{v}=(20\cos45\degree,20\sin45\degree)=(10\sqrt{2},10\sqrt{2})$。
由船行了300km可得船行时间为$\frac{300}{\|\vec{v}\|}=\frac{300}{20}=15$小时。
答案：15小时大题四如图，正方形ABCD中，P点在BC边上，$\anglePAD=45\degree$，PD=2，BP=4，则AP长为多少？解析：如图所示，由正方形ABCD的对称性可得$\angle PAD=\angle BCA=45\degree$，则$\triangle PAD$与$\triangle PBC$相似。
设$AP=x$，则$\frac{x}{4}=\frac{2}{x}$，解之得$x=2\sqrt{2}$。
解直角三角形.doc 例题
解直角三角形经典例题精析类型一、锐角三角函数1．（1）在△ABC中，∠C=90°.若sinA=，则tanA=______.【考点】锐角三角函数的定义与特殊角三角函数值.【解析】设∠A的对边为(也可设为1)，则斜边为2，由勾股定理得邻边为，所以由tanA===(也可由sinA=得∠A=30°，则tan30°=).【答案】.（2）（2010哈尔滨）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为（）．（A） 7sin35°（B）（C）7cos35°（D）7tan35°【考点】锐角三角函数的定义.【答案】C2．已知：cos=，则锐角的取值范围是( )A.0°＜＜30°B.45°＜＜60°C.30°＜＜45°D.60°＜＜90°【思路点拨】cos60°=，cos45°=，因为＜＜所以45°＜＜60°.【答案】B.3．当45°＜＜90°时，下列各式中正确的是( )A.tan＞cos＞sinB.sin＞cos＞tanC.tan＞sin＞cosD.cos＞sin＞tan 【考点】同一锐角不同三角函数比较大小.【提示】当一锐角在45°～90°范围内，正切值＞1，1＞正弦值＞，＞余弦值＞0.【答案】C.4．Rt△ABC中，如果一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的,那么锐角A的各个三角函数值( )A.都缩小B.都不变C.都扩大5倍D.无法确定【考点】三角函数值与角的度数有关，与边的比值有关.【思路点拨】因为一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的，但各边的比值不变.【答案】B.5．1-cos234°-cos256°=__________.【考点】(1) sin2A+cos2A=1；(2)互余两角的三角函数关系sinA=cos(90°-A)或cosA=sin(90°-A).【解析】1-cos234°-cos256°=1-(sin256°+cos256°)=1-1=0.【答案】0.6．方程有实数根，求锐角的取值范围.【考点】锐角三角函数的增减性及特殊角的三角函数值.【解析】∵方程有实数根∴△=≥0，即≤，∴0°＜≤30°.总结升华：应掌握特殊角的三角函数值及各个锐角三角函数之间的联系，注意锐角三角函数概念的理解领会及运用. 举一反三：【变式1】已知为锐角，下列结论正确的有( )(1)(2)如果，那么(3)如果，那么(4)A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【思路点拨】利用三角函数的增减性和有界性即可求解.【解析】由于为锐角知(1)不成立当时，有，即(2)正确当时，，即(3)成立又，即正确，即(4)成立.【答案】C.【变式2】A、B、C是△ABC的三个内角，则等于( )A. B. C. D.【考点】互余两角正余弦关系.【思路点拨】===.【答案】A.【变式3】已知△ABC中，∠C=90°，若∠A、∠B的余弦值是关于的方程的两个根.且△ABC的周长为24.试求BC的长度.【考点】锐角三角函数概念的理解和运用.【解析】∵∠A、∠B的余弦值是关于的方程的两个根∴由根与系数的关系得：又∵A＋B=900 ∴①平方并把②代入得：整理得：解得=3，=19当=3时，因=＜1不符题意，故舍去.∴=19此时原方程为：解得=，=又设＞∴设=，那么=，=∵=24 ∴=24 解得=2∴△ABC的斜边BC==10.类型二、解直角三角形7．（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC=5，BD=3，则sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____，tanB=_____.【考点】解直角三角形，利用已知元素求两锐角的三角函数值.【思路点拨】由∠ACB=90°，CD⊥AB可知，∠A=∠DCB，∵BC=5，BD=3 ∴由勾股定理得CD=4所以sinA=sin∠DCB==， cosA=cos∠DCB==tanA=tan∠DCB==， tanB==【答案】sinA=，cosA=，tanA=，tanB=.（2）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90o，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为（）（A） 2 （B）（C）（D）1【考点】解直角三角形、勾股定理.【思路点拨】过D作DE⊥AB于E，因为∠A=45°，设AE=DE=x, AD =x由tan∠DBA=，得BE=5x, AC=6AB=,即5x+x=,x=,AD =x=2.【答案】A8．如图，在中，AD是BC边上的高，.(1)求证：AC=BD； (2)若，求AD的长.【考点】利用锐角三角函数知识和已知条件解直角三角形.【思路点拨】由于AD是BC边上的高，则有和，这样可以充分利用锐角三角函数的概念使问题求解.【解析】(1)在中，有，中，有(2)由可设由勾股定理求得即.9．如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工速度，要在小山的另一边同时施工.从AC上的一点B，取米，.要使A、C、E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是( )A.米B.米C.米D.米【思路点拨】在中可用三角函数求得DE长.【解析】A、C、E成一直线在中，米，米 .【答案】B.总结升华：任何锐角都可以求三角函数值，并非只能在直角三角形中的锐角才可求三角函数值，此处易混淆.解直角三角形的关键是正确地选择公式，为了迅速准确地优选所需公式，应依题意画出图形，便于分析，并尽量利用原始数据，避免积累误差或链式错误.举一反三：【变式1】在△ABC中，∠C=30°，∠BAC=105°，AD⊥BC，垂足为D，AC=2cm，求BC的长.【思路点拨】在Rt△ADC中，利用sinC=，求出AD=1cm，cosC=，求出CD=在Rt△ABD中，利用tan∠BAD=，求出BD=1，所以BC=BD+CD=1+.【答案】(1+)cm.【变式2】如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，根据下列条件解直角三角形.(1)∠A=60°，CD⊥AB于D，CD=；(2)a=2，CD⊥AB于D，BD=.【考点】解直角三角形中运用已知元素求未知元素，恰当选用锐角三角函数求值.【解析】(1)∵ CD⊥AB，∠A=60°，CD=∴在Rt△CDA中，AC=∴在Rt△ABC中，∠B=90°-∠A=30°，AB=2AC=4，BC=ABsinA=4×=2；(2)∵BC=a=2，CD⊥AB于D，BD=，∴cosB=，∴∠B=30°∴在Rt△ABC中，∠A=90°-∠B=60°，∴AB=， AC=AB=.总结升华：大胆正确应用，虽然方法很多，但要总结最优解法.【变式3】某片绿地形状如图，其中AB⊥BC，CD⊥AD，∠A=60°，AB=200m，CD=100m，•求AD、BC的长.【思路点拨】设法补成含60°的直角三角形再求解.【解析】延长BC，AD交于E，∠E=30°在Rt△ABE中，在Rt△CDE中，AD=AE-DE=400-100，BC=BE-CE=200-200.类型三、解直角三角形的实际应用10．(1)（2010 山东东营）如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB＝，那么AB等于（）(A) m·sin米 (B) m·tan米 (C) m·cos米(D) 米【考点】解直角三角形与实际问题.【答案】B(2)已知，如图：AB∥DC，∠D=900，BC=，AB=4，=，求梯形ABCD的面积.【考点】解直角三角形在实际中的应用.【思路点拨】过B作BE⊥CD于E，设BE=，则结合=得CE=3，又BC=，利用勾股定理求，从而可求梯形ABCD的面积.【解析】过B作BE⊥DC于E，∵tanC=，∴设BE=，则EC=在Rt△BEC中，由勾股定理得：，即解得：=1，∴BE=1，EC=3，∴==.11．如图，在湖边高出水面50m的山顶A处看见一架直升机停留在湖面上空某处，观察到飞机底部标志P处的仰角为45°，又观察到其在湖中之像的俯角为65°，试求飞机距湖面的高度h.(精确到0.01m) tan65°≈2.145【考点】利用三角形函数解实际问题.【思路点拨】通过作点P至湖面的对称点P′，根据方向角平面成像的知识解决问题.【解析】作点P至湖面的对称点P′，连接AP′，设AE=x，在Rt△AEP中∠PAE=45°，则∠P=45°，所以PE=AE=x，由平面成像知识可得OP′=OP=PE+EO=x+50，•在Rt△AP′E中，tan∠EAP′==tan65°，又EP′=OE+OP′=x+100，所以=tan65°≈2.145，解得x≈87.34，所以OP=x+50≈137.34(m)，即飞机距湖面的高度h约为137.34m.12．已知：如图，山顶建有80米高的铁塔BC，为了测量山的高度，测量人员在一个小山坡的P处，测得塔的底部B点的仰角为45°，塔顶C的仰角为60°，若小山坡的坡角为30°，坡长MP=40米，请问，测量人员用这种方法能测量出山的高度吗？如果能，山的高度是多少？(精确到1米，参考数据)【思路点拨】如果能由已知数据计算出山高AB，那么该测量人员的方法可行，另外为计算方法，可将问题抽象成几何计算题【解析】这种方法可以测量出山高，理由如下：如图，作PE⊥AM的延长线于点E，设P点的水平视线与AB交于D点，由已知可得，∠C=30°，∠PBD=45°，BD=DP设BD=x米，则即又答：该测量人员用他的方法能测量出山的高度，其高度约为129米.13．如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度.已知小明的眼睛与地面的距离(AB)是1.7m，看旗杆顶部的仰角为45；小红的眼睛与地面的距离(CD)是1.5m，看旗杆顶部的仰角为.两人相距28米且位于旗杆两侧(点在同一条直线上).请求出旗杆的高度.(参考数据：，，结果保留整数)【解析】解法一：过点作于，过点作于，则在中，，设(不设参数也可)， 5分在中，，7分答：旗杆高约为12米.解法二：过点作于，过点作于，则，在中，，设，则在中，，解得答：旗杆高约为12米.总结升华：在运用本单元内容时要运用转化思想将所求问题转化到直角三角形中，利用三角函数建立已知与结论的联系，另外，在实际问题时，要注意分类讨论.举一反三：【变式1】如图所示的燕服槽是一个等腰梯形，外口AD宽10cm，燕尾槽深10cm，AB的坡度i=1：1，求里口宽BC及燕尾槽的截面积.【考点】坡度的概念.【解析】如下图，作DF⊥BC于点F.由条件可得四边形AEFD是矩形，AD=EF=10.AB的坡角为1：1，所以=1，所以BE=10.同理可得CF=10.里口宽BC=BE+EF+FC=30(厘米).截面积为×(10+30)×10=200(平方厘米).【变式2】如图，AB是江北岸滨江路一段，长为3千米，C为南岸一渡口，•为了解决两岸交通困难，拟在渡口C处架桥.经测量得A在C北偏西30°方向，B在C的东北方向，从C处连接两岸的最短的桥长多少？(精确到0.1)【考点】方向角的应用.【解析】过点C作CD⊥AB于点D.CD就是连接两岸最短的桥.设CD=x米.在直角三角形BCD中，∠BCD=45°，所以BD=CD=x.在直角三角形ACD中，∠ACD=30°，所以AD=CD×tan∠ACD=x·tan30°=x.因为AD+DB=AB，所以x+x=3，x=≈1.9(米).【变式3】气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛(设为点)的南偏东方向的点生成，测得.台风中心从点以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点处.因受气旋影响，台风中心从点开始以30km/h的速度向北偏西方向继续移动.以为原点建立如图所示的直角坐标系.(1)台风中心生成点的坐标为，台风中心转折点的坐标为；(结果保留根号)(2)已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭.如果某城市(设为点)位于点的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？【考点】利用三角函数解决实际问题.【解析】解：(1)，；(2)过点作于点，如图，则.在中，，，..，，台风从生成到最初侵袭该城要经过11小时.相似经典例题精析类型一、图形的相似1．在比例尺1：10 000 000的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是8 cm，那么甲、乙两个城市之间的实际距离应为__________km.考点：比例性质.思路点拨：地图上的比例尺是一种比例关系，即图上距离与实际距离的比.解析：1：10 000 000=8：80 000 000，即实际距离是80 000 000cm=800km.2．（1）将一个菱形放在2倍的放大镜下，则下列说法不正确的是( )A．菱形的各角扩大为原来的2倍B．菱形的边长扩大为原来的2倍C．菱形的对角线扩大为原来的2倍D．菱形的面积扩大为原来的4倍考点：相似图形的定义和性质.解析：从放大看到的菱形和原来的菱形相似，放大镜只能放大边长，而不能放大角.所以B、C正确，A不正确.D 中相似图形的面积比等于相似比的平方，所以D也正确.故选A.（2）（2010山西）在R t△ABC中，∠C＝90º，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值（）A．扩大2倍B．缩小2倍C．扩大4倍D．不变考点：相似图形的性质.答案：D3．（1）在同一时刻物高与影长成比例，小华量得综合楼的影长为6 米，同一时刻她量得身高 1.6米的同学的影长为0.6 米，则可知综合楼高为__________.考点：比例线段的基本性质，同一时刻物高与影长的比相等.解析：，则楼高==16，故填16米.（2）（2010四川内江）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距6m、与树相距15m，则树的高度为______________m.解析：答案：74．若四边形ABCD∽四边形，且AB：=1：2 ，已知BC=8，则的长是( ) A．4 B．16C．24D．64考点：相似图形的性质，相似四边形对应边的比等于相似比.解析：因为四边形ABCD∽四边形，所以AB：=BC：=1：2即=2BC=2×8=16，故选B.5．下列多边形中，一定相似的是( )A．两个矩形B．两个菱形C．两个正方形D．两个平行四边形考点：多边形相似的定义.解析：A中两个矩形只能满足对应角相等，而对应边不一定成比例；B中两个菱形只满足对应边成比例，而对应角不一定相等；D中两个平行四边形对应边不一定成比例，对应角也不一定相等；C中两个正方形满足对应角相等，对应边成比例.故选C.举一反三：【变式1】下列命题中正确的命题是( )A．相似多边形是全等多边形B．不全等的图形不是相似多边形C．全等多边形是相似多边形D．不相似的图形可能是全等图形解析：全等多边形是特殊的相似多边形，相似比为1.故选C.【变式2】证明：正六边形ABCDEF与正六边形相似.考点：边数相同的正多边形相似的判定.证明：∵正六边形的每个内角都等于120°∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，∠D=∠D′，∠E=∠E′，∠F=∠F′又∵AB=BC=CD=DE=EF=FA=====∴=====∴正六边形ABCDEF∽正六边形.总结升华：边数相同的正多边形都相似.【变式3】两地的距离是500 米，而地图上的距离为10 厘米，则这张地图的比例尺为()A．1：50B．1：500 C．1：5000 D．1：50000解析：图上距离与实际距离的比等于比例尺，即比例尺为10：50000=1：5000，故选C.【变式4】如图，在一张长10cm，宽6cm的矩形纸片上，剪下一个矩形，若剩下的矩形(图中阴影部分)和原来的矩形相似，那么剩下的矩形的面积是多少cm2？思路点拨：已知两个矩形相似，则它们的长的比等于宽的比.因此只能是矩形ABCD的长AD对应矩形CDEF的长CD，矩形ABCD的宽CD对应矩形CDEF的宽DE.解析：∵矩形ABCD∽矩形CFED，∴即解得DE=3.6，∴S矩形CDEF=CD×DE=6×3.6=21.6cm2.类型二、相似三角形6．（1）已知：如图，∠ADE=∠ACD=∠ABC，图中相似三角形共有( )(A)1对(B)2对(C)3对(D)4对考点：本题考查三角形相似的基本定理与判定定理的运用.思路点拨：有两角对应相等的两个三角形相似.解析：△ADE∽△ABC，△ACD∽△ABC，△ADE∽△ACD，△DCE∽△CBD，故选D.（2）（2010北京）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD∶AB=3∶4，AE=6，则AC 等于( )A．3 B．4 C．6 D．8解析：△ADE∽△ABC答案：D7．下列判断中，正确的是()(A)各有一个角是67°的两个等腰三角形相似(B)邻边之比都为2：1的两个等腰三角形相似(C)各有一个角是45°的两个等腰三角形相似(D)邻边之比都为2：3的两个等腰三角形相似考点：本题要求运用相似三角形的判定定理.思路点拨：设计出反例淘汰错误的选项.解析：A不成立的原因是当底角为67°时，顶角为46°，另一个三角形的顶角为67°时，底角为66.5°，这两个等腰三角形不相似.B两个等腰三角形的邻边之比都为2：1，结合三角形三边关系可知，这两邻边只能是腰和底的比为2：1，每个三角形三边之比均为腰：腰：底=2：2：1.C不成立的原因也是顶角不等.D不成立的原因是当一个等腰三角形的腰与底的比是2：3时，另一个等腰三角形的腰与底的比为3：2，它们三边之比分别为2：2：3与3：3：2.故选B.8．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则图中的相似三角形共有( )A．1对B．2对C．3对D．4对思路点拨：利用两组角对应相等的两个三角形相似判定.解析：考虑Rt△ABC与Rt△ACD和Rt△CBD相似情况.除直角外，∠A为Rt△ABC和Rt△ACD的公共角，故Rt△ABC∽Rt△ACD，又∠B为Rt△ABC和Rt△CBD的公共角，故Rt△ABC∽Rt△CBD，可得Rt△ACD∽Rt△CBD，故选C.9．如果两个相似三角形对应角平分线的比为16：25，那么它们的面积比为( )A．4：5B．16：25C．196：225 D．256：625考点：相似三角形的性质.思路点拨：相似三角形对应角平分线的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，所以相似三角形的面积比等于对应角平分线的比的平方.答案：D.10．如图，在边长为1的正方形网格上有P、A、B、C四点.(1)求证：△PAB∽△PCA；(2)求证：∠APB+∠PBA=45°.考点：相似三角形的判定.思路点拨：判定方法：两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似，或两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.解析：(1)∵PC=1，PA=，PB=5，∵∠APC=∠BPA，∴△PAB∽△PCA；(2)∵∠B=∠PAC∠ACB=45°，∴∠APB+∠PBA=∠APB+∠PAC=∠ACB=45°.11．如图，某测量工作人员与标杆顶端F、电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆为3.2米，且BC=1米，CD=5米，求电视塔的高ED.考点：利用相似三角形的性质和判定解决实际问题.思路点拨：过A点作AH⊥ED，构造三角形，并证明△AFG∽△AEH，再利用相似三角形的对应边的比相等求出结论.解：过A点作AH⊥ED，交FC于G，交ED于H.由题意，可得：△AFG∽△AEH，∴，即，解得：EH=9.6米.∴ED=9.6+1.6=11.2米.总结升华：判断两个多边形是否相似，必须同时具备对应角相等，对应边成比例.举一反三：【变式1】在△ABC中，DE∥BC，，若，求.考点：比例的基本性质及相似三角形的面积比等于相似比的平方.思路点拨：由得出，再利用DE∥BC可得△ADE∽△ABC解：∵，∴.∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，即，∴.【变式2】如图，△ABC是一块直角三角形的木块，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，AB=5cm，要利用它加工成一块面积最大的正方形木块，问按正方形CDEF加工还是按正方形PQRS加工？说出你的理由.思路点拨：要加工成一块面积最大的正方形木块，有两种方法，利用相似三角形的判定和性质求出两个正方形的边长，比较大小即可.解：(1)如图1，设正方形CDEF的边长为x，则有，得x=cm；(2)如图2，设正方形PQRS的边长为y，作CN⊥AB于N交RS于M，而知CN=，同样有得(cm)，x-y=＞0，故x＞y，所以按正方形CDEF加工，可得面积最大的正方形.【变式3】已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s 的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？思路点拨：用运动的时间t和速度表示线段的长，当△PBQ与△BDC相似时，利用对应边的比相等求出时间.解析：设经x秒后，△PBQ∽△BCD，由于∠PBQ=∠BCD= 90°，(1)当∠1=∠2时，有：，即；(2)当∠1=∠3时，有：，即∴经过秒或2秒，△PBQ∽△BCD.类型三、位似12．下列图形中不是位似图形的是( )考点：位似图形的定义.解析：A是以圆心为位似中心的图形，B、D根据定义可判断.C是相似但不是位似的图形.故选C.13．（1）（2010广东茂名）如图，已知△与△是相似比为1：2的位似图形，点O为位似中心，若△内一点（x，y）与△内一点是一对对应点，则点的坐标是_________．考点：位似图形的性质.答案：（-2x，-2y）（2）如图，直角坐标系中△ABC的A、B、C三点坐标为A(7，1)、B(8，2)、C(9，0).请在图中画出△ABC的一个以点P (12，0)为位似中心，相似比为3的位似图形(要求与△ABC同在P点一侧)；考点：位似图形的画法思路点拨：连接位似中心P和△ABC的各顶点，并延长，使PA′=3PA，PB′=3PB，PC′=3PC连接、、，则得到所要画的图形.解：画出，如图所示.14．如图，D，E分别AB，AC上的点.(1)如果DE∥BC，那么△ADE和△ABC是位似图形吗？为什么？(2)如果△ADE和△ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？考点：会利用位似图形的定义判定两个图形是位似图形，会利用位似图形的性质解决问题.思路点拨：(1)可先证明△ADE和△ABC相似，对应边在同一直线上或平行，再找出对应顶点的连线交于一点A 可判定是位似图形.(2)利用位似图形的性质，位似图形是相似图形.从而得到对应角相等，可得DE∥BC.解：(1)△ADE和△ABC是位似图形.理由是：DE∥BC，所以∠ADE和=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC.又∵点A是△ADE和△ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C是对应点，直线BD与CE交于点A，∴△ADE和△ABC是位似图形.(2)DE∥BC.理由是：△ADE和△ABC是位似图形，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC.总结升华：位似图形重点考查学生理解图形变换的意义，利用数形结合的思想解决问题.举一反三：【变式1】如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，△OAB的顶点O，A，B均在格点上，且O是直角坐标系的原点，点A在x轴上.以O为位似中心将△OAB放大，使得放大后的△OA1B1与△OAB对应线段的比为2：1，画出△OA1B1(所画△OA1B1与△OAB在原点两侧)；考点：位似图形坐标变换规律.思路点拨：问题关键是确定位似图形各个顶点的坐标：如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为2，那么位似图形对应点的坐标的比等于2或-2.由图形可知，A点坐标为(-2，0)，B点坐标为(-1，2)，要求所画△OA1B1与△OAB 在原点两侧，所以相似比为-2，即A1点坐标为(4，0)，B1点坐标为(2，-4).解：如图，△OA1B1就是△OAB放大后的图象.【变式2】如图，用下面的方法可以画出△AOB的“内接等边三角形”，•阅读后证明相应的问题.画法：(1)在△AOB内画等边△CDE，使点C在OA上，点D在OB上；(2)连结OE并延长，交AB于点E′，过E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，作E′D′∥ED，交OB于点D′；(3)连结C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接三角形.请判断△C′D′E′是否是等边三角形，并说明理由.考点：重点考查阅读理解能力和知识的迁移能力.思路点拨：由画法可知，△CDE和△C′D′E′是位似图形.答：△C′D′E′是等边三角形.证明：∵C′E′∥CE，∴△OEC∽△OE′C′，∴，∠C′E′D′=∠CED=60°，∴△C′D′E′∽△CDE.∵△CDE为等边三角形，•∴△C′D′E′为等边三角形.。
新人教版初中数学——解直角三角形-知识点归纳及中考典型题解析
新人教版初中数学——解直角三角形知识点归纳及中考典型题解析一、锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sin A=∠的对边=斜边A ac；余弦：cos A=∠的邻边=斜边A bc；正切：tan A=∠的对边=邻边A ab．根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.二、特殊角的三角函数值αsinαcosαtanα30°12323345°2222160°32123三、解直角三角形1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：（1）三边关系：a2+b2=c2；（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；（3）边与角关系：sin A=cos B=ac，cos A=sin B=bc，tan A=ab；（4）sin2A+cos2A=1．3．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.四、解直角三角形的应用1．仰角和俯角仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．2．坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=hl．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．3．方向角（或方位角）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．4．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.5．解直角三角形实际应用的一般步骤（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．考向一求三角函数的值（1）分清直角三角形中的斜边与直角边.（2）正确地表示出直角三角形的三边长，常设某条直角边长为k（有时也可设为1），在求三角函数值的过程中约去k．（3）正确应用勾股定理求第三边长．（4）应用锐角三角函数定义，求出三角函数值．典例1 2sin45 的值为A．22B3C2D．1【答案】C【解析】把sin45°=22代入原式得：原式=2×222．故选C．1．如图，在△ABC中，∠C=90°．若AB=3，BC=2，则sin A的值为A．23B．53C．255D．52考向二利用特殊角的三角函数值求值锐角三角函数值与三角形三边的长短无关，只与锐角的大小有关.典例2 已知∠A为锐角，且sin A=32，那么∠A等于A．15°B．30°C．45°D．60°【答案】D【解析】∵sin A=32，∴∠A=60°．故选D．2．已知α是锐角，sinα=cos60°，则α等于A．30°B．45°C．60°D．不能确定考向三解直角三角形的应用解此类题的一般方法：（1）构造直角三角形；（2）理清直角三角形的边角关系；（3）利用特殊角的三角函数值解答问题.典例3 某山的山顶B 处有一个观光塔，已知该山的山坡面与水平面的夹角∠BDC 为30°，山高BC 为100米，点E 距山脚D 处150米，在点E 处测得观光塔顶端A 的仰角为60°，则观光塔AB 的高度是A ．50米B ．100米C ．125米D ．150米【答案】A【解析】如图，作EF ⊥AC 于F ，EG ⊥DC 于G ，在Rt △DEG 中，EG =12DE =75， ∴BF =BC -CF =BC -CE =100-75=25，EF =tan tan30BF BFBEF =∠︒=253， ∵∠AEF =60°， ∴∠A =30°，∴AF =253tan 33EF A ==75，∴AB =AF -BF =50（米），故观光塔AB 的高度为50米， 故选A ．3．如图，某湖心岛上有一亭子A ，在亭子A 的正东方向上的湖边有一棵树B ，在这个湖心岛的湖边C 处测得亭子A 在北偏西45︒方向上，测得树B 在北偏东36︒方向上，又测得B 、C 之间的距离等于200米，求A 、B 之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据：2 1.414≈，sin360.588︒≈，cos360.809︒≈，tan360.727︒≈，cot36 1.376︒≈）1．如图，在△ABC 中，若∠C =90°，则A ．sin A =a cB ．sin A =b c C ．cos A =abD ．cos A =ba212sin45cos602︒-︒的值为 A ．(1132B ．(1132-C ．14D ．343．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，53B ∠=︒，若BC m =，则AB 的长为 A ．cos53m︒B ．cos53m ⋅︒C ．sin53m ⋅︒D ．tan53m ⋅︒4．在Rt △ABC 中，∠C =90°，13AC AB =，则cos A 等于A ．223B ．13C ．22D ．245．菱形ABCD 的对角线AC =10cm ，BD =6cm ，那么tan2B 为 A ．53B ．54C ．534D ．3346．如图是边长为1的小正方形组成的网格图，其中点A ，B ，C 均为格点，则sin ∠BAC 为A ．22B ．55C ．105D ．10107．在Rt △ABC 中，∠C =90°，若AB =10，sin A =35，则斜边上的高等于 A ．5B ．4.8C ．4.6D ．48．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan ∠ABC 的值为A ．35B ．34C ．105D ．19．如图，某水库堤坝横截面迎水坡AB 的坡度是1:3，堤坝高为40m ，则迎水坡面的是A ．80mB 3m ．C 40m ．D 3m ．10．如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔为2海里的点A 处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B 处，海轮航行的距离AB 长是A．2海里B．2sin55︒海里C．2cos55︒海里D．2tan55︒海里11．钓鱼是一项特别锻炼心性的运动，如图，小南在江边垂钓，河堤AB的坡度为1∶2.4，AB长为3.9米，钓竿AC与水平线的夹角是60°，其长为4.5米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角也是60°，则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为（参考数据：3≈1.732）A．1.732米B．1.754米C．1.766米D．1.823米12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tan A=125，则sin B=___________．13．在△ABC中，AB=25，AC=5，tan∠B=12，则BC的长度为__________．14．已知相邻的两根电线杆AB与CD高度相同，且相距50mBC=．小王为测量电线杆的高度，在两根电线杆之间某一处E架起测角仪，如图所示，分别测得两根电线杆顶端的仰角为45︒、23︒，已知测角仪EF高1.5m，则电线杆的高度约为________m．（精确到0.1m，参考数据：sin230.39︒≈，cos230.92︒≈，tan230.43︒≈）15．已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，对角线BD=8，tan∠CBD=12．（1）求边AB的长；（2）求cos∠BAE的值．16．如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台(矩形ABCD)靠墙摆放，高AD=80cm，宽AB=48cm，小强的身高为166cm，其中下半身FG=100cm，洗漱时下半身与地面成80°角(∠FGK=80°)，身体前倾成125°角(∠EFG=125°)，脚与洗漱台的距离GC=15cm(点D，C，G，K在同一直线上)．（1）此时小强的头部点E与地面DK的距离是多少？（2）小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少？(sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，2≈1.41，结果精确到0.1cm)1． 60sin 2的值等于 A ．1 B ．2 C ．3D ．22．已知∠α为锐角，且sin α=12，则∠α= A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°3．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin ∠BAC 的值为A ．43 B ．34C ．35D ．454．如图，有一斜坡AB ，坡顶B 离地面的高度BC 为30 m ，斜坡的倾斜角是∠BAC ，若 tan ∠BAC =25，则此斜坡的水平距离AC 为A ．75 mB ．50 mC ．30 mD ．12 m5．如图，小亮为了测量校园里教学楼AB 的高度，将测角仪CD 竖直放置在与教学楼水平距离为183的地面上，若测角仪的高度为1.5m ，测得教学楼的顶部A 处的仰角为30，则教学楼的高度是30°CD ABA ．55.5mB ．54mC ．19.5mD ．18m6．小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB 为1.5米，她先站在A 处看路灯顶端O 的仰角为35°，再往前走3米站在C 处，看路灯顶端O 的仰角为65°，则路灯顶端O 到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）A ．3.2米B ．3.9米C ．4.7米D ．5.4米7．如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边（OC ⊥OB ，点A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内），已知AB =a ，AD =b ，∠BCO =x ，则点A 到OC 的距离等于A ．a sin x +b sin xB ．a cos x +b cos xC ．a sin x +b cos xD ．a cos x +b sin x8．在△ABC 中，∠C =90°，tan A =33，则cos B =__________． 9．在直角三角形ABC 中，若2AB =AC ，则cos C =__________．10．如图，海面上一艘船由西向东航行，在A 处测得正东方向上一座灯塔的最高点C 的仰角为31°，再向东继续航行30m 到达B 处，测得该灯塔的最高点C 的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果取整数）．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．11．如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD=600米，AD⊥BC，施工队站在点D处看向B，测得仰角为45°，再由D走到E处测量，DE∥AC，ED=500米，测得仰角为53°，求隧道BC长．（sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）．12．数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°=0.83，tan34°≈0.67，3≈1.73）13．为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB=CD，AC=900mm，∠ACD=65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）14．图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B–A–O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO=6.8cm，CD=8cm，AB=30cm，BC=35cm．（结果精确到0.1）．（1）如图2，∠ABC=70°，BC∥OE．①填空：∠BAO=__________．②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC 的大小．（参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60）15．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离．（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）16．如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中OP为下水管道口直径，OB为可绕转轴O自由转动的阀门．平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中．若阀门的直径OB=OP=100cm，OA为检修时阀门开启的位置，且OA=OB．（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围；（2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达OB位置时，在点A处测得俯角∠CAB=67.5°，若此时点B恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度．（结果保留小数点后一位）（2=1.41，sin67.5°=0.92，cos67.5°=0.38，tan67.5°=2.41，sin22.5°=0.38，cos22.5°=0.92，tan22.5°=0.41）1．【答案】A【解析】在Rt △ABC 中，∵∠C =90°，AB =3，BC =2，∴sin A =BC AB =23，故选A ． 2．【答案】A【解析】∵sin α=cos60°=12，∴α=30°．故选A ． 3．【解析】如图，过点C 作CH AB ⊥，垂足为点H ，由题意，得45ACH ∠=︒，36BCH ∠=︒，200BC =， 在Rt △BHC 中，sin BH BCH BC ∠=，∴sin36200BH︒=， ∵sin360.588︒≈，∴117.6BH ≈， 又cos HC BCH BC ∠=，∴cos36200HC︒=， ∵cos360.809︒≈，∴161.8HC ≈， 在Rt △AHC 中，tan AHACH HC∠=， ∵45ACH ∠=︒，∴AH HC =，∴161.8AH ≈， 又AB AH BH =+，∴279.4AB ≈，∴279AB ≈（米）． 答：A 、B 之间的距离为279米．1．【答案】A 【解析】A 、sin A =ac，此选项正确； 考点冲关变式拓展B 、sin A =ac ，此选项错误； C 、cos A =bc ，此选项错误；D 、cos A =bc，此选项错误；故选A ． 2．【答案】D【解析】原式=2112222⨯-⨯=1–14=34，故选D ． 3．【答案】A 【解析】如图，∵cos53°=BC AB ， ∴AB =cos53m︒，故选A ． 4．【答案】B【解析】如图所示：∵13AC AB =，∴cos A =1133ABAC AB AB ==．故选B ．5．【答案】A【解析】如图，由题意得，AO ⊥BO ，AO =12AC =5cm ，BO =12BD =3cm ，则tan2B=tan ∠OBA 53AO BO ==.故选A.6．【答案】D【解析】如图所示：连接BD ，交AC 于点E ，由正方形的性质可得：BD ⊥AC ，故BD =2，AB =5，则sin ∠BAC =2102105EB AB ==．故选D ． 7．【答案】B【解析】如图所示，CD ⊥AB ，CD 即为斜边上的高，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =10，sin A =35， ∴sin A =10BC BC AB ==35，即BC =6， 根据勾股定理得：AC 22AB BC -=8，∵S △ABC =12AC •BC =12CD •AB ， ∴CD =6810AC BC AB ⋅⨯==4．8， 故选B ． 8．【答案】B【解析】∠ABC 所在的直角三角形的对边是3，邻边是4， 所以，tan ∠ABC =34． 故选B ． 9．【答案】A【解析】∵堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，∴13BC AC =， ∵BC =40m ，∴AC =403m ，∴AB =22AC BC +=80m ，故选A ．10．【答案】C【解析】记灯塔P 的正北方向为射线PC 的方向.根据题意可知∠APC =55°，PC ∥AB ，AP =2海里. ∵PC ∥AB ，∠APC =55°，∴∠P AB =55°. ∵在Rt △ABP 中，AP =2海里，∠P AB =55°， ∴AB =AP ·cos ∠P AB =2cos55°（海里）. 故选C. 11．【答案】C【解析】如图，延长CA 交DB 延长线与点E ，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，则∠CED =60°， ∵AB 的坡比为1∶2.4， ∴152.412AF BF ==，则设AF =5x ，BF =12x ， ∵AB =3.9米，∴在直角△ABF 中，由勾股定理知，3.92=25x 2+144x 2．解得x =310． ∴AF =5x =32，BF =12x =185，∴EF =333223tan 602sin 6033AF AFAE =====︒︒， ∵∠C =∠CED =60°， ∴△CDE 是等边三角形， ∵AC =4.5米，∴DE =CE =AC +AE 3 则BD =DE ﹣EF ﹣BF 33185≈1.766（米）， 答：浮漂D 与河堤下端B 之间的距离为1.766米． 故选C ． 12．【答案】513【解析】在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =12，tan A =125，得125BC AC =，即12125AC =， ∴AC =5．由勾股定理，得AB 22AC BC +．所以sin B =513AC AB =，故答案为：513． 13．【答案】5【解析】如图，过点A 作AD ⊥BC 交于D ．∵1tan 2AD B BD ∠==， 设AD =x ，则BD =2x ， ∵AB =25，∴在△ABD 中，由勾股定理得（25）2=x 2+（2x ）2， 解得，x 1=2，x 2=﹣2（不符合，舍去）， ∴BD =4，同理，在△ACD 中，由勾股定理得，22541DC AC AD =-=-=，∴BC =DC +BD =4+1=5， 故答案为：5． 14．【答案】16.5【解析】过点F 作AB 、CD 的垂线，垂足为点G 、H ，如图所示：设AG =x m ，则有DH =x m ， ∵tan45tan23AG AG BC +=︒︒，∴tan23°=50xx-，解得x ≈15.0， ∴AB =x +1.5=16.5．电线杆的高度约为16.5 m ．故答案是：16.5． 15．【解析】（1）连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，BO =12BD =4，∵Rt △BOC 中，tan ∠CBD =OC OB =12，∴OC =2， ∴AB =BC =22BO CO +=2242+=25；（2）∵AE ⊥BC ，∴S 菱形ABCD =BC ·AE =12BD ·AC ， ∵AC =2OC =4，∴25AE =12×8×4，∴AE =855，∴BE =22AB AE -=()2285255⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭=655， ∴cos ∠ABE =BE AB =65525=35．16．【解析】（1）如图，过点F 作FN ⊥DK 于N ，过点E 作EM ⊥FN 于M ．∵EF +FG =166，FG =100，∴EF =66， ∵∠FGK =80°，∴FN =100sin80°≈98，∵∠EFG =125°，∴∠EFM =180°–125°–10°=45°， ∴FM =66cos45°=332≈46.53，∴MN =FN +FM ≈144.5， ∴此时小强头部E 点与地面DK 相距约为144.5 cm ．（2）如图，过点E 作EP ⊥AB 于点P ，延长OB 交MN 于H ． ∵AB =48，O 为AB 中点，∴AO =BO =24，∵EM =66sin45°≈46.53， ∴PH ≈46.53，∵GN =100cos80°≈17，CG =15，∴OH =24+15+17=56，OP =OH –PH =56–46.53=9.47≈9.5， ∴他应向前9.5cm ．1．【答案】B【解析】锐角三角函数计算，︒60sin 2=2×23=3，故选A ． 2．【答案】A【解析】∵∠α为锐角，且sin α=12，∴∠α=30°．故选A ． 3．【答案】D【解析】如图，过C 作CD ⊥AB 于D ，则∠ADC =90°，∴AC =22AD CD +=2234+=5．∴sin ∠BAC =CD AC =45．故选D ．4．【答案】A【解析】∵∠BCA =90°，tan ∠BAC =25，BC =30m ，∴tan ∠BAC =25＝BC AC ＝30AC，解得AC =75， 故选A ． 5．【答案】C【解析】过D 作DE AB ⊥交AB 于E ，183DE BC ==Rt ADE △中，tan30AEDE=， 318318(m)AE ∴==，18 1.519.5(m)AB ∴=+=，故选C ． 30°CAE6．【答案】C【解析】如图，过点O 作OE ⊥AC 于点E ，延长BD 交OE 于点F ，直通中考设DF =x ，∵tan65°=OFDF ，∴OF =x tan65°，∴BF =3+x ， ∵tan35°=OFBF，∴OF =（3+x ）tan35°，∴2.1x =0.7（3+x ），∴x =1.5，∴OF =1.5×2.1=3.15，∴OE =3.15+1.5=4.65≈4.7，故选C ． 7．【答案】D【解析】如图，过点A 作AE ⊥OC 于点E ，作AF ⊥OB 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC =90°， ∵∠ABC =∠AEC ，∠BCO =x ，∴∠EAB =x ，∴∠FBA =x ，∵AB =a ，AD =b ，∴FO =FB +BO =a •cos x +b •sin x ， 故选D ．8．【答案】12【解析】∵tan A =33，∴∠A =30°，∵∠C =90°，∴∠B =60°，∴cos B =cos60°=12．故答案为：12． 9．【答案】32或255【解析】若∠B =90°，设AB =x ，则AC =2x ，所以BC =22(2)x x -=3x ，所以cos C =3322BC x AC x ==； 若∠A =90°，设AB =x ，则AC =2x ，所以BC =22(2)5x x x +=， 所以cos C =22555AC x BC x==；综上所述，cos C 的值为32或255． 故答案为：32或255． 10．【解析】在Rt △CAD 中，tan ∠CAD =CDAD， 则AD =tan 31CD ︒≈53CD ，在Rt △CBD 中，∠CBD =45°，∴BD =CD ， ∵AD =AB +BD ，∴53CD =CD +30，解得CD =45， 答：这座灯塔的高度CD 约为45 m ．11．【解析】如图，在Rt △ABD 中，AB =AD =600，作EM ⊥AC 于M ，则AM =DE =500，∴BM =100， 在Rt △CEM 中，tan53°=CM EM =600CM =43，∴CM =800， ∴BC =CM –BM =800–100=700（米）． 答：隧道BC 长为700米．12．【解析】∵∠ACE =90°，∠CAE =34°，CE =55m ，∴tan ∠CAE =CE AC ，∴AC =tan 34CE ︒=550.67≈82.1（m ），∵AB =21m ，∴BC =AC –AB =61.1（m ）， 在Rt △BCD 中，tan60°=CDBC=3， ∴CD =3BC ≈1.73×61.1≈105.7（m ）， ∴DE =CD –EC =105.7–55≈51（m ）. 答：炎帝塑像DE 的高度约为51m ．13．【解析】如图，连接BD ，作DM ⊥AB 于点M ，∵AB=CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，∴AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴∠C=∠ABD，AC=BD，∵∠C=65°，AC=900，∴∠ABD=65°，BD=900，∴BM=BD•cos65°=900×0.423≈381，DM=BD•sin65°=900×0.906≈815，∵381÷3=127，120＜127＜150，∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，∵815÷3≈272，260＜272＜300，∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．14．【解析】（1）①过点A作AG∥BC，如图1，则∠BAG=∠ABC=70°，∵BC∥OE，∴AG∥OE，∴∠GAO=∠AOE=90°，∴∠BAO=90°+70°=160°，故答案为：160；②过点A作AF⊥BC于点F，如图2，则AF=AB•sin∠ABF=30sin70°≈28.2（cm），∴投影探头的端点D到桌面OE的距离为：AF+AO–CD=28.2+6.8–8=27（cm）；（2）过点DH⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，过A作AF⊥BM于点F，如图3，则∠MBA=70°，AF=28.2cm，DH=6cm，BC=35cm，CD=8cm，∴CM=AF+AO–DH–CD=28.2+6.8–6–8=21（cm），∴sin∠MBC=CMBC=2135=0.6，∴∠MBC=36.8°，∴∠ABC=∠ABM–∠MBC=33.2°．15．【解析】如图，连接CO并延长，与AB交于点D，∵CD⊥AB，∴AD=BD=12AB=3（米），在Rt△AOD中，∠OAB=41.3°，∴cos41.3°=ADOA，即OA=3cos41.3=30.75=4（米），tan41.3°=ODAD，即OD=AD•tan41.3°=3×0.88=2.64（米），则CD=CO+OD=4+2.64=6.64（米）．16．【解析】（1）阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围为：90°≤∠POB≤0°；（2）如图，∵∠CAB=67.5°，∴∠BAO=22.5°，∵OA=OB，∴∠BAO=∠ABO=22.5°，∴∠BOP=45°，∵OB=100，∴OE=22OB=502，∴PE=OP–OE=100–502≈29.5cm，答：此时下水道内水的深度约为29.5cm．。
解直角三角形(5种题型)(解析版)
解直角三角形（5种题型）【知识梳理】一．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sin A=∠A的对边斜边=ac，cos A=∠A的邻边斜边=bc，tan A=∠A的对边∠A的邻边=ab．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）二．解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角；五．解直角三角形的应用-方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．【考点剖析】一．解直角三角形1．（2022春•闵行区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在边AC上，且AD ＝2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）∠ECB的余弦值．【分析】（1）根据题意，AC＝BC＝6，AD＝2CD，可得AD的长度，根据等腰直角三角形的性质可得AB=√2AC，由AE＝sin45°•AD的长度，则BE＝AB﹣AE，计算即可得出答案；（2）过点E作EF⊥BC，垂足为F，如图，根据等腰直角三角形的性质可得，EF＝BF＝sin45°•BE，则CF＝BC﹣BF，根据勾股定理可得CE=√EF2+CF2，在Rt△ECF中，由cos∠ECB=CFCE 计算即可得出答案．【解答】解：（1）∵AC＝BC＝6，AD＝2CD，∴AD＝4，∵∠ACB＝90°，∴AB=√2AC=6√2，∴∠DAE＝45°，DE⊥AB，∴AE＝sin45°•AD=√22×4=2√2，∴BE＝AB﹣AE＝6√2−2√2=4√2；（2）过点E作EF⊥BC，垂足为F，如图，∵∠B＝45°，∴EF＝BF＝sin45°•BE=√22×4√2=4，∴CF＝BC﹣BF＝2，∴CE=√EF2+CF2=√42+22=2√5，在Rt△ECF中，cos∠ECB=CFCE =2√5=√55．【点评】本题主要考查了解直角三角形及等腰直角三角形形的性质，应用等腰直角三角形性质进行计算是解决本题的关键．2．（2022春•浦东新区校级期中）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，AE是BC边上的中线，已知AD＝8，BD＝4，cos∠ABC=45．（1）求高CD的长；（2）求tan∠EAB的值．【分析】（1）在Rt△BCD中，由已知条件cos∠ABC=BDBC =45，即可算出BC的长，根据勾股定理即可得出答案；（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图，可得CD∥EF，由E为BC的中点，可得EF是△BCD的中位线，即可算出EF=12CD，DF的长度，即可算出AF＝AD+DF的长度，在Rt△AEF中，根据tan∠EAB=EFAF即可得出答案．【解答】解：（1）在Rt△BCD中，∵cos∠ABC=BDBC =45，∴4BC =45，∴BC＝5，∴CD=√BC2−BD2=√52−42=3；（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图，∵EF⊥BD，∴CD∥EF，∵E为BC的中点，∴EF是△BCD的中位线，∴EF=12CD=12×3=32，DF=12BD=12×4=2，∴AF＝AD+DF＝8+2＝10，在Rt△AEF中，∴tan∠EAB=EFAF =3210=15．【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．3．（2022•黄浦区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC=13，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点E．（1）求AD 的长； （2）求∠EBC 的正切值．【分析】（1）过C 点作CH ⊥AD 于H ，如图，利用等腰三角形的性质得到AH ＝DH ，再证明∠ACH ＝∠ABC ，则sin ∠ACH ＝sin ∠ABC =13，然后利用正弦的定义求出AH ，从而得到AD 的长；（2）在Rt △ABC 中先求出AB ＝9，则BD ＝7，再证明∠HCD ＝∠EBD ，则sin ∠EBD =DE BD =13，利用正弦的定义求出DE =73，接着利用勾股定理计算出BE ，然后根据正切的定义求解．【解答】解：（1）过C 点作CH ⊥AD 于H ，如图， ∵CD ＝CA ， ∴AH ＝DH ，∵∠ABC+∠BCH ＝90°，∠ACH+∠BCH ＝90°， ∴∠ACH ＝∠ABC ， ∴sin ∠ACH ＝sin ∠ABC =13， 在Rt △ACH 中，sin ∠ACH =AH AC =13，∴AD ＝2AH ＝2；（2）在Rt △ABC 中，sin ∠ABC =AC AB=13，∴AB ＝3AC ＝9，∴BD ＝AB ﹣AD ＝9﹣2＝7， ∵∠E ＝90°， 而∠EDB ＝∠HDC ， ∴∠HCD ＝∠EBD ， ∴sin ∠EBD =DE BD =13，∴DE =13BD =73，∴BE =√72−(73)2=14√23，在Rt △EBC 中，tan ∠EBC =EC EB=3+7314√23=4√27．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰直角三角形的性质． 二．解直角三角形的应用4．（2022•长宁区二模）冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机．某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面20米处要盖一栋高25米的新楼．已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°（参考数据：sin29°≈0.48；cos29°≈0.87；tan29°≈0.55）（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）【分析】（1）延长光线交CD 于点F ，过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，根据题意可得∠AFG ＝29°，GF ＝BC ＝20米，GB ＝FC ，然后在Rt △AGF 中，利用锐角三角函数的定义求出AG ，从而求出GB 的长，进行比较，即可解答；（2）延长光线交直线BC 于点E ，根据题意可得∠AEB ＝29°，然后在Rt △ABE 中，利用锐角三角函数的定义求出BE 的长，即可解答．【解答】解：（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光有影响，理由：延长光线交CD于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，则∠AFG＝29°，GF＝BC＝20米，GB＝FC，在Rt△AGF中，AG＝FG•tan29°≈20×0.55＝11（米），∵AB＝25米，∴GB＝AB﹣AG＝25﹣11＝14（米），∴FC＝GB＝14米，∵14米＞6米，∴冬至中午时，超市以上的居民住房采光有影响；（2）延长光线交直线BC于点E，则∠AEB＝29°，在Rt△ABE中，AB＝25米，∴BE=ABtan29°≈250.55≈45（米），∴若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距45米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．（2022•徐汇区二模）激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX观影标准，当观影水平视场角“θ”的度数处于33°到40°之间时（如图1），双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．（1）小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3.5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到0.1m，参考数据：sin33°≈0.54，tan33°≈0.65，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84，sin16.5°≈0.28，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36）（2）由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可得AB＝AC，当∠BAC＝33°时，当∠BAC＝40°时，利用锐角三角函数即可解决问题；（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．由题意列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可知：AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，当∠BAC＝33°时，∠BAD＝∠CAD＝16.5°，在△ABD中，BD＝AD×tan16.5°≈3.5×0.30＝1.05（m），∴BC＝2BD＝2.10（m），当∠BAC＝40°时，∠BAD＝∠CAD＝20°，在△ABD中，BD＝AD×tan20°≈3.5×0.36＝1.26（m），∴BC＝2BD＝2.52m，答：小佳家要选择电视屏幕宽为2.10m﹣2.52m之间的激光电视就能享受黄金观看体验；（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．由题意可得：＝，解得：x＝16000，经检验x＝16000是原方程的解，符合题意，答：今年这款激光电视每台的售价是16000元．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，视点，视角和盲区，解决本题的关键是根据题意找到等量关系准确列出方程．6．（2022•崇明区二模）为解决群众“健身去哪儿”问题，某区2021年新建、改建90个市民益智健身苑点，图1是某益智健身苑点中的“侧摆器”．锻炼方法：面对器械，双手紧握扶手，双脚站立于踏板上，腰部发力带动下肢做左右摆式运动．（1）如图2是侧摆器的抽象图，已知摆臂OA的长度为80厘米，在侧摆运动过程中，点A为踏板中心在侧摆运动过程中的最低点位置，点B为踏板中心在侧摆运动过程中的最高点位置，∠BOA＝25°，求踏板中心（精确到0.1厘米）（sin25°≈0.423，cos25°≈0.906，tan25°≈0.466）点在最高位置与最低位置时的高度差．（2）小杰在侧摆器上进行锻炼，原计划消耗400大卡的能量，由于小杰加快了运动频率，每小时能量消耗比原计划增加了100大卡，结果比原计划提早12分钟完成任务，求小杰原计划完成锻炼需多少小时？【分析】（1）过点B作BD⊥OA垂足为D，由题意得：OB＝OA＝80cm，然后在Rt△BOD中，利用锐角三角函数的定义求出OD的长，进行计算即可解答；（2）先设小杰原计划x小时完成锻炼，然后根据实际每小时的能量消耗﹣原计划每小时的能量消耗＝100，列出方程进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点B作BD⊥OA垂足为D，由题意得：OB＝OA＝80cm，在Rt△BOD中，∠BOA＝25°，∴OD＝BO•cos25°≈80×0.906＝72.48（cm），∴AD＝OA﹣OD＝80﹣72.48≈7.5（cm），∴踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差约为7.5厘米；（2）设小杰原计划x小时完成锻炼，由题意得：，解得：，经检验：都是原方程的根，但不符合题意，舍去，答：小杰原计划锻炼1小时完成．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．7．（2022•宝山区二模）某超市大门口的台阶通道侧面如图所示，共有4级台阶，每级台阶高度都是0.25米．根据部分顾客的需要，超市计划做一个扶手AD，AB、DC是两根与地平线MN都垂直的支撑杆（支撑杆底端分别为点B、C）．（1）求点B与点C离地面的高度差BH的长度；（2）如果支撑杆AB、DC的长度相等，且∠DAB＝66°．求扶手AD的长度．（参考数据：sin66°≈0.9，cos66°≈0.4，tan66°≈2.25，cot66°≈0.44）【分析】（1）根据每级台阶高度都是0.25米，然后计算出3个台阶的总高度，即可解答；（2）连接BC，根据题意可得：AB＝DC，AB∥DC，从而可得四边形ABCD是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，从而求出∠CBH＝66°，最后在Rt△CBH中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵每级台阶高度都是0.25米，∴BH＝3×0.25＝0.75（米），∴点B与点C离地面的高度差BH的长度为0.75米；（2）连接BC，由题意得：AB＝DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAB＝∠CBH＝66°，在Rt△CBH中，BH＝0.75米，∴BC＝≈＝1.875（米），∴扶手AD的长度约为1.875米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题8．（2021秋•闵行区期末）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB 的坡度为．【分析】根据坡度的概念计算，得到答案．【解答】解：斜面AB的坡度为20：30＝1：1.5，故答案为：1：1.5．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．9．（2022春•浦东新区校级期中）工厂的传送带把物体从地面送到离地面5米高的地方，如果传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，那么物体所经过的路程为米．【分析】根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理求出AB．【解答】解：∵传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，∴BCAC =12.4，即5AC=12.4，解得，AC＝12，由勾股定理得，AB=√AC2+BC2=√122+52=13（米），故答案为：13．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．10．（2022•黄浦区二模）某传送带与地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，如果它把物体从地面送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为米．【分析】根据坡度的概念求出水平距离，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：∵传送带与地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，它把物体从地面送到离地面10米高，∴水平距离为：2.4×10＝24，∴物体所经过的路程为：√102+242=26（米），故答案为：26．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．11．（2022•浦东新区二模）如图，一个高BE为√3米的长方体木箱沿坡比为1：√3的斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB＝3米，则木箱端点E距地面AC的高度EF为米．【分析】根据坡度的概念求出∠DAF＝30°，根据正弦的定义求出DE，进而求出BD，得到答案．【解答】解：设AB、EF交于点D，∵斜坡的坡比为1：√3，∴tan∠DAF=√3=√33，∴∠DAF＝30°，∴∠ADF＝90°﹣30°＝60°，∴∠BDE＝60°，在Rt△BDE中，sin∠BDE=BEDE，∴√3DE =√32，解得，DE＝2（米），∴BD＝1m，∴AD＝AB﹣BD＝2（米），在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，∴DF=12AD＝1（米），∴EF＝DE+DF＝3（米），故答案为：3．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题12．（2021秋•浦东新区期末）在离旗杆20米处的地方，用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如测角仪的高为1.5米，那么旗杆的高为（）米．A．20cotαB．20tanαC．1.5+20tanαD．1.5+20cotα【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了已知角的邻边求对边，用正切值计算即可．【解答】解：根据题意可得：旗杆比仪器高20tanα，测角仪高为1.5米，故旗杆的高为（1.5+20tanα）米．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．13．（2022•徐汇区二模）如图，小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球，已知小明与篮板底的距离BC＝5米，眼睛与地面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为α，已知tanα的值为0.3，则点D到地面的距离CD的长为米．【分析】根据题意可得AE＝BC＝5米，EC＝AB＝1.7米，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：AE＝BC＝5米，EC＝AB＝1.7米，在Rt△ADE中，tanα＝0.3，∴DE＝AE•tanα＝5×0.3＝1.5（米），∴DC＝DE+EC＝1.5+1.7＝3.2（米），∴点D到地面的距离CD的长为3.2米，故答案为：3.2．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．14．（2022•青浦区二模）小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在A点测得古树顶的仰角为α，向前走了100米到B点，测得古树顶的仰角为β，则古树的高度为米．【分析】设CD＝x米，用含x的代数式表示出AD和BD的长，再根据AD﹣BD＝100可得x的值．【解答】解：设CD＝x米，在Rt△ACD中，tanα=CDAD，∴AD=xtanα，在Rt△BCD中，tanβ=CDBD，∴BD=xtanβ，∵AD﹣BD＝100，∴xtanα−xtanβ=100，解得x=100⋅tanβ⋅tanαtanβ−tanα，故答案为：100⋅tanβ⋅tanαtanβ−tanα．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．五．解直角三角形的应用-方向角问题15．（2021秋•黄浦区期末）如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在距码头西端M的正西方向58千米处有一观测站O，现测得位于观测站O的北偏西37°方向，且与观测站O相距60千米的小岛A处有一艘轮船开始航行驶向港口MN．经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O的正北方向，且与观测站O相距30千米的B处．（1）求AB两地的距离；（结果保留根号）（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头MN靠岸？请说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37≈0.75．）【分析】（1）过点A作AC⊥OB于点C．可知△ABC为直角三角形．根据勾股定理解答．（2）延长AB交l于D，比较OD与OM+MN的大小即可得出结论．【解答】解：（1）过点A作AC⊥OB于点C．由题意，得OA＝60千米，OB＝30千米，∠AOC＝37°．∴AC＝OAsin37°≈60×0.60＝36（千米）．在Rt△AOC中，OC＝OA•cos∠AOC≈60×0.8＝48（千米）．∴BC＝OC﹣OB＝48﹣30＝18（千米）．在Rt△ABC中，AB＝．（2）如果该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸．理由：延长AB交l于点D．∵∠ABC＝∠OBD，∠ACB＝∠BOD＝90°．∴△ABC∽△DBO，∴，∴，∴OD＝60（千米）．∵60＞58+1，∴该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，此题结合方向角，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力．计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．16．（2021秋•嘉定区期末）如图，在航线l的两侧分别有两个灯塔A和B，灯塔A到航线l的距离为AC＝3千米，灯塔B到航线l的距离为BD＝4千米，灯塔B位于灯塔A南偏东60°方向．现有一艘轮船从位于灯塔B北偏西53°方向的N（在航线l上）处，正沿该航线自东向西航行，10分钟后该轮船行至灯塔A正南方向的点C（在航线l上）处．（1）求两个灯塔A和B之间的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米/小时）．（参考数据：，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【分析】（1）根据特殊角三角函数即可解决问题；（2）根据三角函数定义可得CN的长，进而可以求该轮船航行的速度．【解答】解：（1）由题意，得∠ACM＝∠BDM＝90°，AC＝3，BD＝4，∠CAM＝∠DBM＝60°，在Rt△ACM中，，∴cos60°＝，∴AM＝6，在Rt△BDM中，，∴cos60°＝，∴BM＝8，∴AB＝AM+BM＝14千米．答：两个灯塔A和B之间的距离为14千米．（2）在Rt△ACM中，，∴，∴，在Rt△BDM中，，∴， ∴， ∴，在Rt △BDN 中，，由题意，得∠DBN ＝53°∴， ∴DN ＝4tan53°，∴，设该轮船航行的速度是V 千米/小时，由题意，得，∴V ≈40.7（千米/小时 ），答：该轮船航行的速度是40.7千米/小时． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题、矩形的判定与性质等知识；掌握仰角俯角定义是解题的关键．【过关检测】一、单选题 九年级假期作业）已知在ABC 中，【答案】B 【分析】过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，根据60A ∠=︒，得出30ACD ∠=︒,进而求得CD ，由已知条件得出CD BD =，进而得出45BCD ∠=︒，即可求解．【详解】解：如图所示，过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，在Rt ADC 中，60A ∠=︒，∴30ACD ∠=︒, ∴sin ,cos CD AD A A AC AC ==sin 602CD =︒∴⨯=11BD AB AD ∴=−=∴CD BD =，在Rt BCD 中，CD BD =45BCD ∴∠=︒75ACB ACD BCD ∴∠=∠+∠=︒故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．【答案】D【分析】在直线y=2x 上任取一点P (a ，2a)，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点B ，则可求得α的正余弦、正余切值，从而可得答案．【详解】如图，在直线y=2x 上任取一点P (a ，2a)，过点P作x 轴的垂线，垂足为点B则OB=|a|，PB=2|a| 由勾股定理得：|OPa ==在直角△POB 中，sin 5PB OP α==，cos 5OB OP α===， 2tan =2a PB OB a α==，1cot =22a OB PB a α==故选项D 正确故选：D【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，锐角三角函数，关键是画出图形，并在直线任取一点，作x 轴的垂线得到直角三角形．【答案】D【分析】先求出120°的补角为60°，然后再把60°放在直角三角形中，所以过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，在Rt△ACD中可求出AD与CD的长，最后在Rt△BDC中利用勾股定理求出BC即可解答．【详解】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，∵∠BAC=120°，∴∠CAD=180°-∠BAC=60°，在Rt△ACD中，AC=2，∴AD=ACcos60°=2×12=1，CD=ACsin60°=2×∵AB=4，∴BD=AB+AD=4+1=5，∴tanB=CD BD=， 故选：D ．【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 4．（2023·上海·九年级假期作业）如图，45ACB ∠=︒，125PRQ ∠=︒，ABC 底边BC 上的高为1h ，PQR 底边QR 上的高为2h ，则有（ ）A ．12h h =B ．12h h <C ．12h h >D ．以上都有可能【答案】B 【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案．【详解】解：如图，分别作出两三角形的高12,h h∵45,5ACB AC ∠=︒=∴1sin 455sin 45h AC =⨯︒=︒ ∵125,5PRQ PR ∠=︒=∴()2sin 1801255sin55h PR =︒−︒=︒ ∵sin 55sin 45︒︒＞∴21h h ＞ 故选：B ．【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键．5．（2023·上海·九年级假期作业）小杰在一个高为h 的建筑物顶端，测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰【答案】C 【分析】过A 作AE BC ⊥于E ，在Rt ACE △中，已知了CE 的长，可利用俯角CAE ∠的正切函数求出AE 的值；进而在Rt ABE △中，利用仰角BAE ∠的正切函数求出BE 的长；从而可得答案．【详解】解：如图，过A 作AE BC ⊥于E ，则四边形ADCE 是矩形，CE AD h ==．∵在Rt ACE △中，CE h =，60CAE ∠=︒，∴tan 60CE AE ==︒，∵在Rt ABE △中，30BAE ∠=︒，∴1tan 303BE AE h =︒==，∴1433BC BE CE h h h =+=+=． 即旗杆的高度为43h ．故选C ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，是中考常见题型，解题的关键是作出高线构造直角三角形．6．（2021·上海·九年级专题练习）如图，把两条宽度都是1的纸条，其中一条对折后再两条交错地叠在一起，相交成角α，则重叠部分的面积是（ ）【答案】C【分析】根据题意可知：所得图形是菱形，设菱形ABCD，由已知得∠ABE=α，过A作AE⊥BC于E，由勾股定理可求BE、AB、BC的长度，根据菱形的面积公式即可求出所填答案．【详解】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD，则∠ABE＝α，过A作AE⊥BC于E，则AE＝1，设BE＝x，∵∠ABE＝α，∴AB＝1sin sinAEαα=，∴BC＝AB＝1sinα，∴重叠部分的面积是：1sinα×1＝1sinα．故选：C．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，菱形的面积公式等知识点，把实际问题转化成数学问题，利用所学的知识进行计算是解此题的关键．二、填空题7．（2023·上海·九年级假期作业）小球沿着坡度为1:1.5i=的坡面滚动了13m，则在这期间小球滚动的水平距离是___________m．【答案】【分析】设高度为x ，根据坡度比可得水平距离为1.5x ，根据勾股定理列方程即可得到答案；【详解】解：设高度为x ，∵坡度为1:1.5i =，∴水平距离为1.5x ，由勾股定理可得，222(1.5)13x x +=，解得：x =∴水平距离为1.5⨯=故答案为：【点睛】本题考查坡度比及勾股定理，解题的关键是根据坡度比得到高度与水平距离的关系．【答案】13【分析】根据斜坡AB 的坡度1i =AB 的值先求出AH ，再根据斜坡AC 的坡度21:2.4i =，求得AC ，即可求解．【详解】解：∵1i =∴tan 3ABH ∠==， ∴30ABH ∠=︒，∴152AH AB ==, ∵21:2.4i =，∴1tan 2.4AH ACB CH ∠==，∵5AH =，∴12=CH ，在Rt ACH 中，13AC ==,故答案为：13．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，坡度问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．【答案】10【分析】作BH AC ⊥于H ．由四边形ABCD 是矩形，推出OA OC OD OB ===，设5OA OC OD OB a ====，由余切函数，可得4BH a =，3OH a =，由题意：12104402a a ⨯⨯⨯=，求出a 即可解决问题．【详解】解：如图，作BH AC ⊥于H ．∵四边形ABCD 是矩形，∴OA OC OD OB ===，设5OA OC OD OB a ====，则10AC a =．∵根据题意得：3cot 4OH BOH BH ∠==， ∴4BH a =，3OH a =，由题意：12104402a a ⨯⨯⨯=，∴1a =，∴10AC =．故答案为10．【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 10．（2023·上海·九年级假期作业）已知：在ABC 中，60A ∠=︒，45B ∠=︒，8AB =．则ABC 的面积为____（结果可保留根号）．【答案】48−【分析】过C 作CD AB ⊥于D ，利用直角三角形的性质求得CD 的长．已知AB 的长，根据三角形的面积公式即可求得其面积．【详解】解：过C 作CD AB ⊥于D ，在Rt ADC 中，90CDA ∠=︒Q ，∴tan tan 60CD DAC AD =∠=︒=即AD 在Rt BDC 中，45B ∠=︒， 45BCD ∴∠=︒， CD BD ∴=．8AB DB DA CD =+==，12CD ∴=−．118(124822ABC S AB CD ∴=⨯=⨯⨯−=−故答案为：48−【点睛】本题考查解直角三角形，直角三角形的性质及三角形的面积公式，熟练掌握通过作三角形的高，构造直角三角形是解题的关键．分别在DEF 的边，ABE 沿直线 【答案】67【分析】根据题意和翻折的性质可得ABCABE 是等腰直角三角形，ABC 是等腰直角三角形，所以AC BE ∥，得23DA AC DE HE ==，设2AC AE x ==，则3HE x =，4AD x =，所以7FE x =，6DE x =，然后根据锐角三角函数即可解决问题．【详解】解：如图所示：90DEF ∠=︒，45EBA ∠=︒，ABE ∴是等腰直角三角形，AE BE ∴=，ABE 沿直线AB 翻折，翻折后的点E 落在DEF 内部的点C ，ABC ∴是等腰直角三角形，∴∥AC BE ，∴23DA AC DE HE ==，FH AD =，设2AC AE x ==，则3HE x =，4AD x =，7FE x ∴=，6DE x =， ∴67DE FE =，6cot 7DE D FE ∴==． 故答案为：67．【点睛】本题考查了翻折变换，解直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 统考二模）在ABC 中，，那么ABC 的重心到【答案】4【详解】解：如下图所示，设点D 为BC 的中点，点E 为三角形的重心，∵AB AC =，∴AD BC ⊥，∵152BD BC ==，5cos 13B =，cos BD B AB = ∴13AB =，∴12AD ==，∵点E 为三角形的重心，∴21AE ED =， ∴4ED =，∵AD BC ⊥，∴ABC 的重心到底边的距离为4，故答案为：4．【点睛】本题考查解直角三角形、三角形重心的性质和勾股定理，解题的关键是熟知重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1． 13．（2023·上海·一模）平面直角坐标系内有一点()1,2P ，那么OP 与x 轴正半轴的夹角为α，tan α=________．【答案】2【分析】过点P 作PA x ⊥轴于点A ，由P 点的坐标得PA 、OA 的长，根据正切函数的定义得结论．【详解】解：过点P 作PA x ⊥轴于点A ，如图：∵点PA x ⊥，∴2PA =，1OA =，∴2an 21t PA OA α===．故答案为：2．【点睛】本题考查了点在平面直角坐标系里的意义及解直角三角形．解决本题的关键是构造直角三角形． 一模）如图，已知在ABC 中， 【答案】95【分析】如图，设AP m =．证明AP MQ m ==，根据3cos cos 5A CMQ =∠=，构建方程求解．。
28.2.2解直角三角形应用举例PPT演示课件
B
D
40
C
8
利用解直角三角形的知识解决实际问题的 一般过程是:
1.将实际问题抽象为数学问题; (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题) 2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形; 3.得到数学问题的答案; 4.得到实际问题的答案.
9
例3. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方
A
45°
┓ 60° B C 27
练习
2.由于过度采伐森林和破坏植被,我国部分地区 频频遭受沙尘暴侵袭.近日,A城气象局测得沙尘暴 中心在A城的正南方向240km的B处,以每小时 12km的速度向北偏东30°方向移动,距沙尘暴中 心150km的范围为受害区. M (1)A城是否受到这次沙尘暴的 A F 影响,为什么? C (2)若A城受这次沙尘暴的影响, E 那么遭受影响的时间有多长？
B
28
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面 图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函 数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案．
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解直角三角形应用 中考题列举
30
1.（2014•四川巴中）如图，一水库大坝的横断 面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米， 斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30°， 求坝底AD的长度．
B
α=30° 120 D β=60°
C
6
如图,有两建筑物,在甲建筑物上从A到E点挂 一长为30米的宣传条幅,在乙建筑物的顶部D点测 得条幅顶端A点的仰角为45°,条幅底端E点的俯 角为30°.求甲、乙两建筑物之间的水平距离BC
解直角三角形的几种方法
解直角三角形的几种方法解直角三角形是中考必考内容，其中需构造含特殊角的直角三角形再解直角三角形的问题是最受命题者青睐的。
本文以近几年全国各地中考题为例说明解这类问题常用的方法。
一. 三角形作高法若三角形的内角（或外角）中有特殊角时，一般过非特殊角的顶点作三角形的高，可构造出含特殊角的直角三角形。
例1. 如图1所示，一渔船正以每小时30n mile （海里）的速度由西向东航行，在A 处看见小岛C 在船的北偏东60°方向，40min 后，渔船行至B 处，此时看见小岛C 在船的北偏东30°方向，若以小岛C 为中心，周围10n mile 是危险区，这艘渔船继续向东航行是否有进入危险区的可能？图1分析：在△ABC 中，∠CAB 和其外角∠CBM 均为特殊角，因此，过非特殊角的顶点C 作CD AM D ⊥于，可构造出含特殊角的Rt CDA Rt CDB ∆∆和。
若设CD x =，通过解Rt CDA Rt CDB ∆∆和可获解。
解：作CD AB ⊥，垂足为D ，设CD x x =>()0在中，°，故在中，°，故由，得Rt CDB BD CD BD x Rt CDA AD CDAD x AB AD BD x x ∆∆cot cot 60333033333023103=====-=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=⨯= CD =>10310，故这艘轮船继续向东航行不会进入危险区。
二. 梯形作高法若梯形的内角中有特殊角时，一般过较短的底作梯形的高，可构造出含特殊角的直角三角形。
例2. 如图2所示，塔AB 和楼CD 的水平距离为80m ，从楼顶C 处及楼底D 处测得塔顶A 的仰角分别为45°和60°，试求塔高和楼高。
图2分析：在直角梯形ABDC 中，有特殊角∠BAC ，过较短底CD 的端点C 作梯形的高CE ，可构造出含特殊角的Rt AEC ∆。
解Rt ABD Rt AEC ∆∆和，得AB 、AE ，从而获塔高AB 和楼高CD 。
初三数学解直角三角形试题答案及解析
初三数学解直角三角形试题答案及解析1.一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小岛高度AC，如图所示，他先在点B测得山顶点A的仰角为30°，然后向正东方向前行62米，到达D点，在测得山顶点A的仰角为60°（B、C、D三点在同一水平面上，且测量仪的高度忽略不计）．求小岛高度AC（结果精确的1米，参考数值：，）【答案】53米.【解析】首先利用三角形的外角的性质求得∠BAD的度数，得到AD的长度，然后在直角△ADC 中，利用三角函数即可求解．试题解析：∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠BAD=∠ADC-∠B=60°-30°=30°，∴∠B=∠BAD，∴AD=BD=62（米）．在直角△ACD中，AC=AD•sin∠ADC=62×=31≈31×1.7=52.7≈53（米）．答：小岛的高度约为53米．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．2.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．（1）求证：△ABC∽△BCD；（2）求x的值；（3）求cos36°-cos72°的值．【答案】(1)证明见解析；（2）；（3）．【解析】（1）由等腰三角形ABC中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线求出∠DBC的度数，得到∠DBC=∠A，再由∠C为公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形BCD相似；（2）根据（1）结论得到AD=BD=BC，根据AD+DC表示出AC，由（1）两三角形相似得比例求出x的值即可；（3）过B作BE垂直于AC，交AC于点E，在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值，代入原式计算即可得到结果．试题解析：（1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°，∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD；（2）∵∠A=∠ABD=36°，∴AD=BD，∵BD=BC，∴AD=BD=CD=1，设CD=x，则有AB=AC=x+1，∵△ABC∽△BCD，∴，即，整理得：x2+x-1=0，解得：x1=，x2=（负值，舍去），则x=；（3）过B作BE⊥AC，交AC于点E，∵BD=CD，∴E为CD中点，即DE=CE=，在Rt△ABE中，cosA=cos36°=，在Rt△BCE中，cosC=cos72°=，则cos36°-cos72°=-=．【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质；3.黄金分割；4.解直角三角形．3.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，AD=3，cosB=3/5，则AC等于（）A．4B．5C．6D．7【答案】B.【解析】∵∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∴∠BAD+∠CAD=90°，∠BAD+∠B=90°，∴∠CAD=∠B，∴cos∠CAD=cosB=，在直角△ACD中，∵∠ADC=90°，AD=3，∴cos∠CAD=，∴AC=5．故选B．【考点】解直角三角形．4.在△ACB中，∠C=90°，AB=10，，，.则BC的长为（）A．6B．7.5C．8D．12.5【答案】A．【解析】∵∠C=90°，∴.又∵AB=10，∴.故选A．【考点】1.解直角三角形；2.锐角三角函数定义．5.已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）【答案】(1)10米；（2）19米.【解析】（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H，利用斜坡AP的坡度为1：2.4，得出AH，PH，AH的关系求出即可；（2）利用矩形性质求出设BC=x，则x+10=24+DH，再利用tan76°=，求出即可．试题解析：：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴，设AH=5k，则PH=12k，由勾股定理，得AP=13k．∴13k=26．解得k=2．∴AH=10．答：坡顶A到地面PQ的距离为10米．（2）延长BC交PQ于点D．∵BC⊥AC，AC∥PQ，∴BD⊥PQ．∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH．∵∠BPD=45°，∴PD=BD．设BC=x，则x+10=24+DH．∴AC=DH=x-14．在Rt△ABC中，tan76°=，即，解得x=，即x≈19，答：古塔BC的高度约为19米．【考点】1.解直角三角形的应用-坡度坡角问题；2.解直角三角形的应用-仰角俯角问题．6.超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离(AC)为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC＝75°.(1)求B、C两点的距离；(2)请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？(计算时距离精确到1米，参考数据：sin 75°≈0.965 9，cos 75°≈0.258 8，tan 75°≈3.732，≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒)【答案】（1）112(米) （2）此车没有超过限制速度【解析】解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝75°，AC＝30，∴BC＝AC·tan ∠BAC＝30×tan 75°≈30×3.732≈112(米)．(2)∵此车速度＝112÷8＝14(米/秒)＜16.7(米/秒)＝60(千米/小时)∴此车没有超过限制速度．7.在△ABC中，若∠A、∠B满足|cos A－|＋＝0，则∠C＝________．【答案】75°【解析】∵|cos A－|＋＝0，∴cos A－＝0，sin B－＝0，∴cos A＝，sin B＝，∴∠A＝60°，∠B＝45°，则∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－45°＝75°.8.在△ABC中，∠C＝90°，，则（）．A．B．C．D．【答案】D．【解析】由sin A=，设∠A的对边是3k，则斜边是5k，∠A的邻边是4k．再根据正切值的定义，得tanA=．故选D．【考点】锐角三角函数．9.如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为cm.（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】2.7【解析】过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E.在△BOD中，∠BDO＝90°，∠DOB＝45°，∴BD＝OD＝2cm，∴CE＝BD＝2cm.在△COE中，∠CEO＝90°，∠COE＝37°，∵tan37°＝≈0.75，∴OE≈2.7cm.∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7 cm.10.如图，一段河坝的横截面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坝底宽AD.（i＝CE∶ED，单位：m）【答案】（7.5＋4）m【解析】解：作BF⊥AD于点F.则BF＝CE＝4m，在直角△ABF中，AF＝＝＝3m，在直角△CED中，根据i＝，则ED＝＝＝4m.则AD＝AF＋EF＋ED＝3＋4.5＋4＝（7.5＋4）m.11.如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°．则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果保留根号）【答案】（5+5-5）千米【解析】解：过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，∵AC=10，∠A=30°，∴DC=ACsin30°=5，AD=ACcos30°=5，在Rt△BCD中，∵∠B=45°，∴BD=CD=5，BC=5，则用AC+BC-（AD+BD）=10+5-（5+5）=5+5-5（千米）．答：汽车从A地到B地比原来少走（5+5-5）千米．12.在Rt△ABC中，若∠C=90°，cosA=，则sinA的值为（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A的值，再求出sinA的值即可．∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠A是锐角，∵cosA==，∴设AB=25x，BC=7x，由勾股定理得：AC=24x，∴sinA=.故选A．考点:同角三角函数的关系.13.如图，在△中，，，则△的面积是（）A．B．12C．14D．21【答案】A【解析】如图，作因为，所以.由勾股定理得.又，所以所以所以所以14.计算下列各题：（1）；（2）.【答案】（1）2 （2）【解析】解：（1）（2）15.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，设BC=3x，则AB=5x，∴AC=4x．∴cosB=．故选C．考点: 互余两角三角函数的关系.16.计算：【答案】-2.【解析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简、负整数指数幂以及绝对值等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．试题解析：考点: 实数的混合运算.17.若（为锐角），则=【答案】1.【解析】因为所以得,代入可得值为1【考点】正切和正、余弦函数的关系.18.如图所示，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是________【答案】.【解析】折叠后形成的图形相互全等，利用三角函数的定义可求出．根据题意，BE=AE．设CE=x，则BE=AE=8-x．在Rt△BCE中，根据勾股定理得：BE2=BC2+CE2，即（8-x）2=62+x2解得x=，∴tan∠CBE==考点:（1）锐角三角函数的定义；（2）勾股定理；（3）翻折变换（折叠问题）．19.（1）一个人由山底爬到山顶，需先爬450的山坡200ｍ，再爬300的山坡300ｍ，求山的高度（结果可保留根号）。
九年级数学：解直角三角形典型题型解析
解直角三角形典型题型解析一、仰角：指的是向上看时，视线与水平线的夹角。
视线在水平线以上时,在视线所在的垂直平面内,视线与水平线所成的角叫做仰角。
俯角指的是向下看时，视线与水平线的夹角。
1：在竖直面内的水平线与向下递降线段之间的角度(朝下看时，视线与水平面夹角为俯角) 2：从测量员的仪器到照准点所观测到的地平线以下的垂直角3：俯角范围0到180°4：视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角也叫俯角。
视角，视线与显示器等的垂直方向所成的角度，观察物体时，从物体两端（上、下或左、右）引出的光线在人眼光心处所成的夹角。
物体的尺寸越小，离观察者越远，则视角越小。
正常眼能区分物体上的两个点的最小视角约为1分。
坡度与坡角教案二、坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。
即ｉ＝，常写成i=1：m的形式如i=1:2.5。
把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．坡度i与坡角α之间具有什么关系？坡面水平宽度一定，铅直高度与坡度有何关系如图，铅直高度AB一定，水平宽度BC增加，α将变小，坡度减小，因为tan ＝，AB不变，tan 随BC增大而减小；当水平宽度BC不变，α将随铅直高度增大而增大，tanα也随之增大，因为tan = 不变时，tan 随AB的增大而增大教师点拨：一艘海轮位于灯塔P的北偏东65 方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34 方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)练习：(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；______，坡角______度．2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．习题：1.一段铁路路基的横断面是等腰三角形,路基顶宽为9.8米,路基高为5.8米,斜坡的坡度i=1:1.6.求坡角.(精确到1°)计算路基下底宽度的长;(精确导0.1米)解: 作BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为E,F.由题意,可知BE=5.8米,AE=FD,EF=BC=9.8米.在Rt△ABE 中,∵i=BE/AE=1/1.6,∴AE=.6BE=1.6×5.8=9.28AD=AE+EF+FD=2AE+EF=2×9.28+9.8≈28.4(米).设坡角为a,则i=tga=1/1.6,∴a≈32°.答:路基下底宽度为28.4米,坡角为32°.2.在△ABC中，∠C=90度，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，a+b=2,∠B =60度，则c=（0解：a+b=2,a=b√3（√3+1）a=2 a=2/(√3+1)c=4/(√3+1)=2(√3-1)3.如图，小岛A在港口P的南偏西45°方向上，一艘船从港口P沿正南方向以每小时12海里的速度航行，1小时30分后到达B处，在B处测得小岛A在它的南偏西60°的方向上，小岛A离港口P有多少海里（精确到0.1海里）？解：延长pb至c，使pc⊥ac ∵南偏西45°∴PAC为等腰直角三角形ac=pc pb=12*1.5=18设bc=x，因为南偏西60°，所以ac=pc=（根3）x 则x+18=（根3）x x=9（根3+1）ac=9（3+根3）AP=根2*ac=根2*9（3+根3）=1.414*9*（3+1.732）=60.2海里4.航行中的船，在A处看到它的南偏东30°方向上有一灯塔C，船以每小时30海里速度向东南方向航行，半小时后，到达B处，看到灯塔C在船的正西方向，则这时船与灯塔的距离BC=_____海里解1：AB=30*0.5=15 得AE=BE=15*二分之根号二（45度）EC=AE*三分之根号三（30度）BC=BE-CE解2：设原来船就在S点，船向南行驶半小时也就是30*（1/2）=15海里后到达C点此时C在A点正西方，所以三角形ASC是直角三角形∠S=30°船航行的距离SC=30*（1/2）=15（海里）∴AC=SC*tanS=5√3（海里）即船与灯塔的距离是5√3海里5.在高楼前点测得楼顶的仰角为，向高楼前进60米到点，又测得仰角为，则该高楼的高度大约为（）解：设楼顶点为A，楼底点为B，前进60米后到点C，因∠ABC=90°,∠ACB=45°,∠ADB=30°,所以AB=BC=1/2AD，再设楼高为H，即AB=BC=H，则AD=2H，BD=BC+CD=H+60由勾股定理，△ABD中，AB²+BD²=AD²即H²+(H+60)²=(2H)²解这个方程即可得H=60/（√3-1）6.一只船自西向东航行，上午9时到一座灯塔的西南68海里，上午11时到达这座灯塔的正南，求这只船的速度. 解：A、B为船，C为灯塔因为船自西向东航行，A在C的西南方，B在C的正南方所以角A=角C=45度，即三角形ABC为等腰直角三角形设AB、BC为x 所以x的平方+x的平方=68的平方解得x约等于48 因为从A到B经过了2小时（11-9=2）所以速度=48/2=247.某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A，B两地，分别有甲，乙两个医疗站，如图，在A 地北偏东45°，B地北偏西60°方向上有一牧民区C．一天，甲医疗队接到牧民区的求救电话，立刻设计了两种救助方案．方案I：从A地开车沿公路到离牧民区C最近的D处，再开车穿越草地沿DC方向到牧民区C．方案II：从A地开车穿越草地沿AC方向到牧民区C．已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍．（1）求牧民区到公路的最短距离CD；（2）你认为甲医疗队设计的两种救助方案，哪一种方案比较合理？并说明理由．（结果精确到0.1，参考数据：根号3取1.73，根号2取1.41）解：因为AB=40，依题可得AD=CD，可设AD为x，则CD=x，DB=40-x；I、又因为角CBD=30度；所以CD/BD=tan30所以可得x/（40-x）=1.73/3，所以计算可得x=14.7 所以CD=14.7II、设汽车在草地上行驶的速度为一个单位，则汽车在公路上行驶的速度为3个单位；依上题可计算AC=20.7，所以方案II从AC走的时间为20.7而方案I从AD,CD方向走的时间为2*14.7/3=9.8可以看到20.7远远大于9.8，即从方案II走所用的时间远远方案I所以选择方案I比较合理8.有两条公路ON,OM相交成30°，沿公路OM方向80米处于一所小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米处的范围内会受到噪声的影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么拖拉机沿ON方向行驶将给小学带来噪音影响的时间有多长？解：既然路两旁50米处的范围内会受到噪声的影响，那么只要求出第一次距学校50m的那个点（设其为A）到第二次距学校50m的那个点（设其为B）之间的距离AB，再除以拖拉机一秒走多远（18km/h太大了，化为5米/秒）。
2020年中考数学必考考点专题18解直角三角形问题(含解析)
专题18 解直角三角形问题一、勾股定理1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。
2．勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。
，那么这个三角形是直角三角形。
3.定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理。
4.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
（例：勾股定理与勾股定理逆定理）5. 直角三角形的性质：(1)直角三角形的两锐角互余；(2)直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；(3)直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半；(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
6.直角三角形的判定：(1)有一个角等于90°的三角形是直角三角形(2) 两锐角互余的三角形是直角三角形(3)两条边的平方和等于另一边的平方的三角形是直角三角形(4)有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形二、锐角三角函数1.各种锐角三角函数的定义（1）正弦：在△ABC中，∠C=90°把锐角A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦，记作sinA＝∠A的对边斜边（2）余弦：在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的邻边与斜边比值的叫做∠A的余弦，记作cosA＝∠A的邻边斜边（3）正切：在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的对边与邻边的比值叫做∠A的正切，记作tanA＝∠A的对边∠A的邻边2.特殊值的三角函数：专题知识回顾三、仰角、俯角、坡度概念 1．仰角：视线在水平线上方的角； 2．俯角：视线在水平线下方的角。
3．坡度(坡比)：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。
用字母i 表示，即hi l=。
把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα==。
四、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系 1cos sin 22=+A A （3）倒数关系 tanA •tan(90°—A)=1 （4）弦切关系 tanA=AAcos sin专题典型题考法及解析【例题1】（2019•湖北省鄂州市）如图，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，P 点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝．【答案】2或2或2．【解析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．分∠APB＝90°、∠PAB＝90°、∠PBA＝90°三种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．∵AO＝OB＝2，∴当BP＝2时，∠APB＝90°，当∠PAB＝90°时，∵∠AOP＝60°，∴AP＝OA•tan∠AOP＝2，∴BP＝＝2，当∠PBA＝90°时，∵∠AOP＝60°，∴BP＝OB•tan∠1＝2，故答案为：2或2或2．【例题2】（2019•湖南长沙）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（）A．30nmile B．60nmileC．120nmile D．（30+30）nmile【答案】D【解析】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．在Rt△ACD中，cos∠ACD＝，∴CD＝AC•cos∠ACD＝60×＝30．在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD＝30，∴AB＝AD+BD＝30+30．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．【例题3】（2019•江苏连云港）如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上．（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，tan76°≈4）【答案】（1）观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；（2）当缉私艇的速度为6海里/小时时，恰好在D处成功拦截．【解析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB＝90°，再解Rt△ABC，利用正弦函数定义得出AC即可；在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣37°﹣53°＝90°．在Rt△ABC中，sinB＝，∴AC＝AB•sin37°＝25×＝15（海里）．答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；（2）过点C作CM⊥AB于点M，易知，D.C.M在一条直线上．解Rt△AMC，求出CM、AM．解Rt△AMD中，求出DM、AD，得出C D．设缉私艇的速度为x海里/小时，根据走私船行驶CD所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程，解方程即可．过点C作CM⊥AB于点M，由题意易知，D.C.M在一条直线上．在Rt△AMC中，CM＝AC•sin∠CAM＝15×＝12，AM＝AC•cos∠CAM＝15×＝9．在Rt△AMD中，tan∠DAM＝，∴DM＝AM•tan76°＝9×4＝36，∴AD＝＝＝9，CD＝DM﹣CM＝36﹣12＝24．设缉私艇的速度为x海里/小时，则有＝，解得x＝6．经检验，x＝6是原方程的解．答：当缉私艇的速度为6海里/小时时，恰好在D处成功拦截．专题典型训练题一、选择题1．（2019•渝北区）如果下列各组数是三角形的三边，则能组成直角三角形的是（）A．1，，2 B．1，3，4 C．2，3，6 D．4，5，6【答案】A．【解析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．A.12+（）2＝22，故是直角三角形，故此选项正确；B.12+32≠42，故不是直角三角形，故此选项错误；C.22+32≠62，故不是直角三角形，故此选项错误；D.42+52≠62，故不是直角三角形，故此选项错误．2．（2019•巴南区）下列各组数据中，能够成为直角三角形三条边长的一组数据是（）A．，，B．32，42，52C．D．0.3，0.4，0.5【答案】D．【解析】先根据三角形的三边关系定理看看能否组成三角形，再根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．A.（）2+（）2≠（）2，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；B.（32）2+（42）2≠（52）2，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；C.（）2+（）2≠（）2，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；D.0.032+0.042＝0.052，即三角形是直角三角形，故本选项符合题意。
解直角三角形经典题型应用题
解直角三角形经典题型应用题1. 一个田径运动员越过一根高度为2米的木板，如果他离地面的水平距离是3米，那么他的起跳点距离木板底部的高度是多少？解：设起跳点距离木板底部的高度为x，则根据勾股定理，得到：$x^2 + 3^2 = 2^2$化简得：$x^2 = 2^2 - 3^2 = -5$由于x是高度，因此应该为正数。
但是由于方程无解，因此无法解出起跳点距离木板底部的高度。
这个结果告诉我们，如果要跨越一个木板，距离不能太远，否则就无法起跳！2. 一个人看到一个高楼，测得距离为50米，角度为30度，那么这个高楼的高度是多少？解：设高楼的高度为h，根据三角函数，得到：$tan(30) = \frac{h}{50}$化简得：$h = 50\times tan(30) = 50 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \approx28.87$因此，这个高楼的高度约为28.87米。
3. 一个人站在一座桥上，看到一条河流在他的正下方流过，测得桥与河面的垂直距离为20米，角度为45度，那么河宽是多少？解：设河宽为w，根据三角函数，得到：$tan(45) = \frac{w}{20}$化简得：$w = 20\times tan(45) = 20$因此，河宽为20米。
4. 在一个矩形田地中，角A的顶点和角B的底点均在田地边界上，角A的角度为30度，角B的角度为60度，且田地的长宽比为3:2，那么田地的面积是多少？解：假设田地的长为3x，宽为2x，则田地的面积为6x²。
又根据三角函数，得到：$tan(30) = \frac{3x}{y}$$tan(60) = \frac{2x}{y}$化简得：$x = y\times tan(30) = y\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}$ $x = y\times tan(60) = y\cdot\sqrt{3}$解得：$y = 6\sqrt{3}$因此，田地的面积为6x² = 1080平方米。
解直角三角形(3)——测高(例题讲解)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练
专题1.14解直角三角形（3）——测高（例题讲解）解题方法：因为三角函数是建立在直角三角形的基础上的三角函数，所以利用三角函数测高时首先建立直角三角形，因此，在解题过程中，没有直角三角形时要构造直角三角形，同时要解决问题往往一个甚至几个直角三角形，这就要梳理出几个三角形中的边角之联系，找准解题的切入点，从而达到解题的目的。
【典型例题】类型一、直接求三角形的高1．如图，甲､乙两楼相距30m，甲楼高40m，自甲楼楼顶看乙楼楼顶，仰角为30°，乙楼有多高？（结果精确到1m）∠CAE＝30°，AE＝BD在Rt△ACE中，CE＝AE故可得乙楼的高度＝CE【点拨】此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是将实际问题转化为解直角三角形的问题，求出CE的长度，难度一般．举一反三：【变式1】如图，光明中学九年级（2）班的同学用自己制作的侧倾器测量该校旗杆的高度，已知测倾器CD的高度为1.54米，测点D到旗杆的水平距离BD=20米，测得旗杆顶A的仰角α=35°，求旗杆AB的高度（精确到0.01米）.【点拨】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．【变式2】如图，在坡角为20°的山坡上有一铁塔AB、其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD＝10米，落在广告牌上的影子CD＝5米，已知AB，CD均与水平面垂直，请根据相关测量信息，求铁塔AB的高．（sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）【答案】铁塔AB的高约为11米．【分析】过点C作CE⊥AB于E，过点B作BN⊥CD于N，在Rt△BND中，分别求出DN、BN的长度，在Rt△ACE中，求出AE、CE的长度，继而可求得AB的长度．解：过点C作CE⊥AB于E，过点B作BN⊥CD于N，在Rt△BND中，∵∠DBN=20°，BD=10，∴DN=BD⋅sin∠DBN≈10×0.34=3.4，BN=BD⋅cos∠DBN≈10×0.94=9.4，∵AB∥CD，CE⊥AB，BN⊥CD，∴四边形BNCE为矩形，∴BN=CE=9.4，CN=BE=CD﹣DN=1.6，在Rt△ACE中，∠ACE=45°，∴AE=CE=9.4，∴AB=9.4+1.6=11（米）．答：铁塔AB的高约为11米．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题目所给的坡角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．类型二、由两个直角三角形求高2．如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）．举一反三：【变式1】如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度．他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为(即AB：BC=)，且B、C、E三点在同一条盲线上．请根据以上杀件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计)．【变式2】如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）类型三、由多个直角三角形求高3．“一号龙卷风”给小岛O造成了较大的破坏，救灾部门迅速组织力量，从仓储D处调集救援物资，计划先用汽车运到与D在同一直线上的C、B、A三个码头中的一处，再用货船运到小岛O．已知：OA⊥AD，∠ODA=15°，∠OCA=30°，∠OBA=45°CD=20km．若汽车行驶的速度为50km/时，货船航行的速度为25km/时，问这批物资在哪个码头装船，最早运抵小岛O？（在物资搬运能力上每个码头工作效率相同，≈1.4）．【答案】这批物资在B码头装船，最早运抵小岛O．【分析】利用三角形外角性质计算出∠COD=15°，则CO=CD=20，在Rt△OCA中利用△所以这批物资在B码头装船，最早运抵小岛O．举一反三：【变式1】如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H HDE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线DH 上，再向前走7米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GEF为60°，点A、B、C三点在同一水平线上．（1）计算古树BH的高；（2）计算教学楼CG的高．≈1.4）【答案】（1）BH=8.5米；（2）CG=18.0米．【分析】此题涉及的知识点是直角三角形的性质，矩形的性质，相似三角形的性质，正切值得计算的综合应用，难度偏大，解题时先由直角三角形的性质求出边的长度，再作辅助线构建条件，通过设未知数列出正切值得方程，解出未知数，从而根据对应关系求得解．【点拨】此题重点考察学生对直角三角形的性质，矩形的性质，三角形正切值的综合应用能力，抓住直角三角形的性质，角与边之间的关系，三角形正切值的计算方法是解题的关键．【变式2】2015年4月25日14时11分尼泊尔发生了8．1级大地震．山坡上有一棵与水平面垂直的大树，大地震过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干的倾斜角为∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4米．（1）求∠DAC的度数；（2）求这棵大树原来的高度是多少米？（结果精确到个位，参考数据：，，）大树的高度类型四、其他运用4．某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米．(1)直接写出∠BAD＝；(2)求旗杆的高度.（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）2）如图，作CM∥AB交AD由题意CM PQCD QR=，即3CM32CM=（米），在Rt AMN中，∵∠ANM＝90°，MN＝BC【点拨】本题考查解直角三角形、三角函数，影长等知识，解题的关键是正确添加辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．【变式1】某项目学习小组用测倾仪、皮尺测量小山的高度MN ，他们设计了如下方案（如图）：①在点A 处安置测倾仪，测得小山顶M 的仰角MCE ∠的度数；②在点A 与小山之间的B 处安置测倾仪，测得小山顶M 的仰角MDE ∠的度数（点A ，B 与N 在同一水平直线上）；③量出测点A ，B 之间的距离．已知测倾仪的高度 1.5AC BD ==米，为减小误差，他们按方案测量了两次，测量数据如下表（不完整）：测量项目第一次第二次平均值MCE ∠的度数22.3︒21.7︒α（度）MDE ∠的度数44.8︒45.2︒45︒A ，B 之间的距离150.2米149.8米150米(1)写出MCE ∠的度数的平均值．(2)根据表中的平均值，求小山的高度．（参考数据：︒≈︒≈︒≈）sin220.37,cos220.93,tan220.40(3)该小组没有利用物体在阳光下的影子来测量小山的高度，你认为原因可能是什么？（写出一条即可）【点拨】本题考查仰角，要求学生能借助仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．【变式2】如图，某渔船沿正东方向以10海里／小时的速度航行，在A 处测得岛C 在北偏东60︒方向，1小时后渔船航行到B 处，测得岛C 在北偏东30°方向，已知该岛周围91.732≈，sin 750.966︒≈，cos 750.259︒≈．(1)B 处离岛C 有多远？如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？(2)如果渔船在B 处改为向东偏南15︒方向航行，有无触礁危险？⊥交BF于D，交BO于E，（2）过C作CD BFCD=⨯︒≈⨯＞，10sin75100.9669∴没有触礁危险．【点拨】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．。
中考数学一轮复习《解直角三角形及其应用》知识梳理及典型例题讲解课件
C. m
D.250 m
命题点1 锐角三角函数
1.如图，PA，PB分别与☉O相切于点A，B，连接PO并延长，与☉O交于点C，D.若CD＝12，PA＝8，则sin∠ADB的值为（ A ）
A.
B.
C，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ B ）
5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，则AC的长为 2 .
30
2
知识点3 解直角三角形的实际应用
仰角、俯角
在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角
坡度（坡比）
坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫坡度（坡比），用字母i表示，坡面与水平线的夹角α叫坡角.i＝tanα＝⑭
1
1
知识点2 解直角三角形
三边关系
a2＋b2＝⑨ c2
两锐角关系
∠A＋∠B＝⑩ 90°
边角关系
sinA＝cosB＝⑪ ；cosA＝sinB＝⑫ ；tanA＝⑬
c2
90°
【提分小练】
4.已知锐角α满足3tanα－＝0，则锐角α的度数为 30 °.
34
5.（2022·贵阳）交通安全心系千万家，高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图.测速仪C和测速仪E到路面之间的距离CD＝EF＝7 m，测速仪C和E之间的距离CE＝750 m，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪C处测得小汽车在隧道入口点A处的俯角为25°，在测速仪E处测得小汽车在点B处的俯角为60°，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为38s.（图中所有的点都在同一平面内，参考数据：≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）
解直角三角形知识点及典型例题
板块一 解直角三角形一、解直角三角形的概念根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形.二、直角三角形的边角关系如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳：cba CBA⑴ 三边之间的关系：222a b c += (勾股定理)； ⑵ 锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒； ⑶ 边角之间的关系：sin a A c =，cos b A c =，tan a A b =，cot b A a=. 三、 解直角三角形的四种基本类型⑴ 已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a )，由sin aA c=求出A ∠，则90B A ∠=︒-∠，b =； ⑵ 已知斜边和一锐角(如斜边c ，锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，sin a c A =，cos b c A =；⑶ 已知一直角边和一锐角(如a 和锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，cot b a A =，sin ac A=；⑷ 已知两直角边(如a 和b )，求出c =tan aA b=，得90B A ∠=︒-∠.具体解题时要善于选用公式及其变式，如sin a A c =可写成sin a c A =，sin ac A =等.四、解直角三角形的方法解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据． 直角三角形两锐角间的三角函数关系（五）解直角三角形的技巧及注意点在Rt ABC ∆中，90A B ∠+∠=︒，故s in c o s (90)c o s A A B =︒-=，cos sin A B =，tan cot A B =，cot tan A B =.利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题．（六）如何解直角三角形的非基本类型的题型对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化解直角三角形为四种基本类型求解；（1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；（2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是： ①作垂线构成直角三角形；②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等.【例1】 在三角形ABC 中，903010C A AB ∠=︒∠=︒=，，，则AC 的长度为（ ）A． B． C． D．【例2】 已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，根据下列条件解直角三角形：60A ∠=︒，4b =；【例3】 已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，根据下列条件解直角三角形：60A ∠=︒，6a b +=；【例4】 已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，根据下列条件解直角三角形：45A ∠=︒，12S ∆=.【例5】 如图，在Rt ABC ∆中，已知1CD AB BC ⊥=，，如果40BCD ∠=︒，求AC 的长度D C BA【例6】 如图，在Rt ABC ∆中，已知1CD AB BC ⊥=，，如果1tan 3BCD ∠=，求CD 的长度D C BA【例7】 如图所示，在ABC ∆中，90C ∠=︒，D 是AC 边上的一点，且53AD DB CD ===，，求t a n CBD ∠和sin A 的值．DCB A【例8】 如图，在凯里市某广场上空飘着一只汽球P ，A B ，是地面上相距90米的两点，它们分别在汽球的正西和正东，测得仰角45PAB ∠=︒，仰角30PBA ∠=︒，求汽球P 的高度（精确到0.1米，3=1.732）PACPBA【例9】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若sin tan A B =，求cos A 的值.【例10】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若cos cot A B =，求sin A 的值.【例11】 在三角形ABC 中，90C ∠=︒，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，的对边，已知603B a b ∠=︒+=+，求a b ，【例12】 如图，在ABC ∆中，已知20AB AC BC ===，ABC ∆中各内角的度数 DCBA【例13】 如图，已知：ABC ∆是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，过BC 的中点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，连接CE ，求sin ACE ∠的值.FED CBA【例14】 如图所示，天空中有一静止的广告气球C ，从地面A 点测得C 的仰角为45°，从地面B 点测得C 的仰角为60°．已知20AB =米，点C 和直线AB 在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度CD （结果保留根号）．DCBA【例16】 已知：如图，ABC ∆中，45B AB ∠=︒=，，D 是BC 上一点，53AD CD ==，，求ADC ∠的度数及AC 的长．C BA板块二 解直角三角形应用（七）直角三角形中其他重要概念⑴ 仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．⑵ 坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为hi l=，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan hi lα==．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵． ⑶ 方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度.如图⑶．图(3)图(2)图(1)俯角仰角视线视线水平线铅垂线2. 解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：⑴ 分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；⑵ 找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；⑶ 根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；⑷ 按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位.（一）、仰角俯角【例17】 如图，一艘核潜艇在海面下500米A 点处测得俯角为30︒正前方的海底有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行4000米后再次在B 点处测得俯角为60︒正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C 点处距离海面的深度？（精确到米）海面60°30°D CBA【例18】 亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M ，颖颖的头顶B 及亮亮的眼睛A 恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C ，D ．然后测出两人之间的距离 1.25m CD =，颖颖与楼之间的距离30m DN =（C D N 、、在一条直线上），颖颖的身高 1.6m BD =，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离0.8m AC =．你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？M【例19】 某旅游区有一个景观奇异的望天洞，D 点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭A 处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道AB 返回山脚下的B 处．在同一平面内，若测得斜坡BD 的长为100米，坡角10DBC ∠=︒，在B 处测得A 的仰角40ABC ∠=︒，在D 处测得A 的仰角85ADF ∠=︒，过D 点作地面BE 的垂线，垂足为C ． ⑴ 求ADB ∠的度数； ⑵ 求索道AB 的长．（结果保留根号）【例20】 如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角23AEF ∠=︒，量得树干倾斜角38BAC ∠=︒，大树被折断部分和坡面所成的角604m ADC AD ∠=︒=，． ⑴求CAE ∠的度数；⑵求这棵大树折断前的高度．1.4 1.72.4==）．A CDE FBGACDEFB【例21】 一次数学活动中，小迪利用自己制作的测角器测量小山的高度CD ．已知她的眼睛与地面的距离为1.6米，小迪在B 处测量时，测角器中的60AOP ∠=°(量角器零度线AC 和铅垂线OP 的夹角，如图)；然后她向小山走50米到达点F 处(点B F D ，，在同一直线上)，这时测角器中的45EO P ''∠=°，那么小山的高度CD 约为( ) Ａ．68米 Ｂ．70米 Ｃ．121米 Ｄ．123米( 1.732≈ 1.414≈供计算时选用)DPGCO A【例22】 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高20cm ，深为30cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，斜坡的坡角BCA ∠为12︒，设台阶的起点为A ，斜坡的起点为C ，求AC 的长度（精确到1cm ）DC BA【例23】 课外实践活动中，数学老师带领学生测量学校旗杆的高度. 如图，在A 处用测角仪(离地高度1.5米)测得旗杆顶端的仰角为15︒，朝旗杆方向前进23米到B 处，再次测得旗杆顶端的仰角为30︒，求旗杆EG 的高度.C60°38°BDE23°AF【例24】 在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A 处观测到河对岸水边有一点 C ，测得C 在A 北偏西31︒的方向上，沿河岸向北前行20米到达B 处，测得C 在B 北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．(参考数值：3tan315︒≈，1sin312︒≈)【例25】 如图，湖心岛上有一凉亭，现欲利用湖岸边的开阔平整地带，测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB (见示意图)，可供使用的工具有测倾器、皮尺．A⑴ 请你根据现有条件，设计一个测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB 的方案，画出测量方案的平面示意图，并将测量的数据标注在图形上(所测的距离用m ，n …表示，角用α，β…表示，测倾器高度忽略不计)；⑵ 根据你所测量的数据，计算凉亭到湖面的高度AB (用字母表示)．【例26】 如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD ，甲乙两人分别在相距8米的A 、B 两处测得D 点和C 点的仰角分别为45︒和60︒，且A 、B 、E三点在一条直线上，若15BE =米，求这块广告牌的高度．(取1.73≈，计算结果保留整数)EDC BA60︒45︒【例27】 由山脚下的一点A 测得山顶D 的仰角是45︒，从A 沿倾斜角为30︒的山坡前进1500米到B ，再次测得山顶D 的仰角为60︒，求山高CD .DCBA【例28】 如图，在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为45︒，沿着坡度为30︒的斜坡前进400米到D 处(即30,400DCB CD ∠=︒=米)，测得A 的仰角为60︒，求山的高度AB .【例29】 如图所示，某学校拟建两幢平行的教学楼，现设计两楼相距30米，从A 点看C 点，仰角为5︒；从A点看D 点，俯角为30，解决下列问题：⑴ 求两幢楼分别高多少米？(结果精确到1米)⑵ 若冬日上午9:00太阳光的入射角最低为30(光线与水平线的夹角)，问一号楼的光照是否会有影响？请说明理由，若有，则两楼间距离应至少相距多少米时才会消除这种影响？(结果精确到1米)(参考数据：tan50.0875≈ tan300.5774≈ cos30 1.732≈)DCDCB A【例30】 若每层楼高2.2米，问在例题的第⑵问中，在一号楼中至少住在第几层光照就不会受到二号楼的影响？F 30︒ED CBA【例31】 某住宅小区有一郑南朝向的居民楼，如图，该楼底层是高为6m 的超市，超市以上是居民住房，在该楼前方15m 处准备盖一幢高20m 的新楼，已知当地冬季正午的阳光与水平线夹角为32︒ ⑴超市以上居民住房采光是否受到影响？为什么？⑵若要使居民住房采光不受影响，两楼至少应相距多少米？（精确到0.1m ）新楼居民楼新楼32°BADCBA【例32】 如图，“五一”期间在某商贸大厦上从点A 到点B 悬挂了一条宣传条幅，小明和小雯的家正好住在商贸大厦对面的家属楼上．小明在四楼D 点测得条幅端点A 的仰角为30︒，测得条幅端点B 的俯角为45︒；小雯在三楼C 点测得条幅端点A 的仰角为45︒，测得条幅端点B 的俯角为30︒．若设楼层高度CD 为3米，请你根据小明和小雯测得的数据求出条幅AB 的长．(结果精确到个位，参考数据1.732)【例33】 如图，某高层楼房与上海东方明珠电视塔隔江想望，甲、乙两学生分别在这楼房的A B ，两层，甲在A 层测得电视塔塔顶D 的仰角为α，塔底C 的俯角为β，乙在B 层测得塔顶D 的仰角为θ，由于塔底的视线被挡住，乙无法测得塔底的俯角，已知A B ，之间的高度差为a ，求电视塔高CD （用含a αβθ，，，的代数式表示）（二）、坡度角【例34】 为了加固一段河堤，需要运来砂石和土将堤面加宽1m ，使坡度由原来的1:2变成1:3，如图所示，已知原来背水坡长12BC m ，堤长100m ，那么需要运来砂石和土多少立方米?(参考数据3≈1.7，5≈2.7)CFEDBA【例35】 燕尾槽的横断面是等腰梯形，下图是个燕尾槽的横断面，其中燕尾角B 为55°，外口宽AD 为180 mm ，燕尾槽的深度为70 mm ，求它的里口宽BC （精确到1 mm ）F EDCBA【例36】 创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O 的半径OC 所在的直线为对称轴的轴对称图形，A 是OD 与圆O 的交点．⑴请你帮助小王在下图中把图形补画完整；⑵由于图纸中圆O的半径r的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1:0.75i=是坡面CE的坡度），求r的值．【例37】一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形. 现需将其整修并进行美化，方案如下：①将背水坡AB的坡度由1:0.75改为；②用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花.⑴求整修后背水坡面的面积；⑵如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？DCBA【例38】城市规划期间，欲拆除一电线杆AB，如图所示，已知距电线杆AB水平距离14m的D处有一大坝，背水坡CD的坡度为2，坝高CF为2m，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30︒，D、E之间是宽为2m的人行道，试问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B为圆心.以AB的长为半径的圆形区域为危险区域)．FE人行道DCB A【例39】 如图，甲、乙两建筑物的水平距离为30m ，从乙的顶部A 测得甲的顶部C 的仰角为60︒，测得甲的底部D 的俯角为30︒，求两建筑物的高.B【例40】 在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度．如图1，虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板的夹角为倾角θ，一般情况下，倾角θ愈小，楼梯的安全程度愈高．如图2，设计者为提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角由1θ减至2θ，这样楼梯占用地板的长度由1d 增加到2d ，已知11440d m θ=∠=︒，，236θ∠=︒，求楼梯占用地板的长度增加了多少？（精确到0.01 m ． 参考数据：tan36°=0.7256， tan40°=0.8391．）θ地板地板【例41】 武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44︒减至32︒，已知原台阶AB 的长为5米(BC 所在地面为水平面)． ⑴ 改善后的台阶会加长多少？(精确到0.01米)⑵ 改善后的台阶多占多长一段地面？(精确到0.01米)44︒32︒CBA【例42】 我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示．BC AD ∥，斜坡40AB =米，坡角60BAD ∠=︒，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过45时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿BC 削进到E 处，问BE 至少是多少米（结果保留根号）？ABD CEF G ECDBA（三）、方位角【例43】 如图，AC 是某市环城路的一段，AE BF CD ，，都是南北方向的街道，其与环城路AC 的交叉路口分别是A B C ，，．经测量花卉世界D 位于点A 的北偏东45°方向、点B 的北偏东30°方向上， 2AB km =，15DAC ∠=︒． （1）求B D ，之间的距离； （2）求C D ，之间的距离．中山路文化路和平路环城路环城路和平路文化路中山路BCD45°30°15°15°30°45°ODC BABCA44︒【例44】 如图所示，某轮船以30海里／时的速度航行，在A 点处测得海面上的哨所P 在南偏东60︒，向北航行40分钟后到达B 点，测得哨所P 在南偏东30︒，轮船改变为北偏东60︒的航向再航行2小时到达C 点，若在PC 上存在一点M ，点M 在点B 的南偏东60︒处，且在点M 的周围有方圆15海里的暗礁区，问轮船从B 点到C 点的航行中有无触礁的危险?是否需要改变航向?EDB A【例45】 为缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库，设计师提供了车库入口设计示意图，按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你计算图中CE 的长（精确到0.1m ）【例46】 如图所示，某船以每小时36海里的速度向正东航行，在A 点测得某岛C 在北偏东60°方向上，航行半小时后到B 点，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁． （1）试说明B 点是否在暗礁区域外．（2）若继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．东【例47】 如图，公路MN 和公路PQ 在P 处交会，且30QPN ∠=︒，点A 处有一所学校，160m AP =，假设拖拉机行使时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么当拖拉机在公路MN 上沿PN 的方向以10m/s 的速度行使时，⑴ 学校是否会受到噪音的影响？为什么？⑵若学校会受到噪音的影响，受影响的时间是多少？【例48】 随着科学技术的发展，机器人已经能按照设计的指令完成各种动作，在坐标平面上，根据指令[s ，]α(0a ≥，0360α︒≤<︒)机器人能完成下列动作：先原地顺时针旋转角度α，再朝其面对的方向沿直线行走距离s.⑴填空：如图，若机器人在直角坐标系的原点，且面对y轴的正方向，现要使其移动到点(2A，2)，则给机器人发出的指令应是_________⑵机器人在完成上述指令后，发现(6P，0)处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动，已知小球的滚动速度与机器人行走的速度相同，若忽略机器原地旋转时间，请你给机器人发一个指令，使它能最快截住小球.(如图，点C为机器人最快截住小球的位置)(角度精确到度；参考数据：sin490.75︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈，tan390.80︒≈)NyxPOANyxPO CBA【例49】第⑵问中，将“小球的滚动速度与机器人行走的速度相同”改为“小球速度为机器人的2”，则要在最短时间内截住小球应下的指令为.【例50】如图，在某海域内有三个港口A、D、C．港口C在港口A北偏东60︒方向上，港口D在港口A北偏西60︒方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东30︒的方向驶离A港口3小时后到达B点位置处，此时发现船舱漏水，海水以每5分钟4吨的速度渗入船内．当船舱渗入的海水总量超过75吨时，船将沉入海中．同时在B处测得港口C在B处的南偏东75︒方向上．若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在B处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？并指出此时船的航行方向．【例51】渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60︒方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时到B处.在B处看见灯塔M在北偏东15︒方向，求此时灯塔M与渔船的距离.北东北15︒60︒MBA北东北60︒15︒NM BA【例52】 如图，某剧组在东海拍摄广告风光片，拍摄基地位于A 处，在其正南方向15海里处一小岛B ，在B的正东方向20海里处有一小岛C ，小岛D 位于AC 上，且距小岛A 有10海里. ⑴ 求A ∠的度数(精确到1︒)和点D 到BC 的距离；⑵ 摄制组甲从A 处乘甲船出发，沿A B C →→的方向匀速航行，摄制组乙从D 处乘乙船出发，沿南偏西方向匀速直线航行，已知甲船的速度是乙船速度的2倍，若两船同时出发并且在B 、C 间的F 处相遇，问相遇时乙船航行了多少海里？(结果精确到0.1海里)北C B北EC B【例53】 海面上B 处有一货轮正在向正南方向航行，其航行路线是当它到达正南方C 时，在驶向正西方的目的地A 处，且200CA CB ==海里，在AB 中点O 处有一客轮，其速度为货轮的一半，现在客轮要截住货轮取一件货物，于是选择某一航向行驶去截住货轮，那么当客轮截住客轮时至少航行了多少海里，它所选择了怎样的方向角？(路程保留整数海里，角度精确到度)【例54】 为保卫祖国的海疆，我人民解放军海军在海岸线上相距20n mile 的A B ，两地设立观测站，按国际惯例，海岸线以外12n mile 范围内均为我国领海，外国船只除特许外，不得私自进入我国领海，某日，观测员发现一外国船只行驶至P 处，在A 观测站测得P 在北偏东27︒，同时在B 观测站测得P 在北偏西56︒，问此时是否需要向此未经特许的船只发出警告，命令其退出我国领海？（参考数据：932sin63tan632sin34tan341053︒≈︒≈︒≈︒≈，，，）56°27°PBA【例55】 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220km 的B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km ，风力就减弱一级，该台风中心现在以15km/h 的速度沿北偏东30︒方向往C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到四级，则称受台风影响. ⑴ 该城市是否会受这次台风影响？请说明理由.⑵ 若受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间会有多长？ ⑶ 该城市受台风影响的最大风力是几级？（四）其它【例56】 公园里有一块形如四边形ABCD 的草地，测得10BC CD ==米，120B C ∠=∠=︒，45A ∠=︒．请你求出这块草地的面积．DCBA【例57】 如图，不透明圆锥体DEC 放在水平面上，在A 处灯光照射下形成影子，设BP 过底面圆的直径，已知圆锥体的高为，底面半径为2m ，4BE m =⑴求B ∠的度数；⑵若2ACP B ∠=∠，求光源A 距水平面的高度PEDCBA【例58】 小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15︒的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全.他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75︒，如果拖把的总长为1.80m ，则小明拓宽了行路通道_________m ．(结果保留三个有效数字，参考数据：sin150.26︒≈，cos150.97︒≈)【例59】 如图１，一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，梯子与地面的倾斜角α为60︒．⑴ 求AO 与BO 的长；⑵ 若梯子顶端A 沿NO 下滑，同时底端B 沿OM 向右滑行.① 如图2，设A 点下滑到C 点，B 点向右滑行到D 点，并且:2:3AC BD =，试计算梯子顶端A 沿NO 下滑多少米；② 如图３，当A 点下滑到'A 点，B 点向右滑行到'B 点时，梯子AB 的中点P 也随之运动到'P 点．若'15POP ∠=︒，试求'AA 的长．图1图2图3【例60】 如图1、图2，是一款家用的垃圾桶，踏板AB （与地面平行）或绕定点P （固定在垃圾桶底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持''AP A P BP B P ==，）．通过向下踩踏点A 到'A （与地面接触点）使点B 上升到点'B ，与此同时传动杆BH 运动到''B H 的位置，点H 绕固定点D 旋转（DH 为旋转半径）至点'H ，从而使桶盖打开一个张角'HDH ∠．如图3，桶盖打开后，传动杆''H B 所在的直线分别与水平直线AB DH 、垂直，垂足为点M C 、，设''H C B M =．测得6cm 12cm '8cm AP PB DH ===，，．要使桶盖张开的角度'HDH ∠不小于60︒，那么踏板AB 离地面的高度至少等于多少cm ？（结果保留两位有效数字）图3图2B【例61】 如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AB的垂直平分线MN 交AC 于点D ，连结BD ，若3cos 5BDC ∠=， 求tan A 的值．（图1）NM DCA【例62】 如图所示，已知在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3sin 5B =，D 是BC 上一点，DE AB ⊥，垂足为E ，CD DE =，9AC CD +=.求：⑴ BC 的长；⑵ CE 的长.EDCBA【例63】 如图，某居民小区内A B ，两楼之间的距离30MN =米，两楼的高都是20米，A 楼在B 楼正南，B楼窗户朝南．B 楼内一楼住户的窗台离小区地面的距离2DN =米，窗户高 1.8CD =米．当正午时刻太阳光线与地面成30角时，A 楼的影子是否影响B 楼的一楼住户采光？若影响，挡住该住户窗户多高？若不影响，请说明理由．(1.4141.732=2.236=)【例64】 如图，水坝的横截面为梯形ABCD ，坝顶宽6m AD =，坡面CD =，AB 的坡度为，135ADC ∠=︒，求水坝的横截面积．DBA【例65】 水坝的横截面是等腰梯形ABCD ，坝顶宽6AD m =，坝高4m ，斜坡AB 的坡度为1:2，现要将水坝加高2m ，要求坝顶宽度不变，背水坡AB 改为EG 后，坡度改为1:2.5，如图，按这样的要求，加固一条长为50m 的水坝，需要多少土方？Q HR G FEDCB A【例66】 如图所示，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼，甲船以每小时的速度沿北偏西60︒方向前进，乙船以每小时15km 的速度沿东北方向前进，甲船航行2h 到达C 处，发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速(匀速)沿北偏东75︒的方向追赶，结果两船在B 处相遇. ⑴ 甲船从C 处追上乙船用了多长时间？ ⑵ 甲船追赶乙船的速度是多少？北【例67】 如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD ，建筑物周围没有开阔平整地带，建筑物顶端宽度AD 、高度DC 都可以直接测得，从A D C ，，三点都可看到塔顶H⑴试根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG 的方案，具体要求如下：①可供使用的测量工具有皮尺、测角器；②测量数据尽可能少；③在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A D ，间距离，用m 表示，D C ，间距离，用n 表示；如果测角，用αβγ，，表示）⑵根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG （用字母表示，测角器高度忽略不计）DBA【例68】 如图，某电信部门计划架设一条连结B C ，两地的电缆，测量人员在山脚A 地测得B C ，两地在同一方向，且两地的仰角分别为3045︒︒，，在B 地测得C 地的仰角为60︒，已知C 地比A 地高200米，且由于电缆的重力导致下坠，实际长度是两地距离的1.2倍，求电缆的长（精确到0.1米）。
九年级数学下册《解直角三角形》典型例题(含答案)
《解直角三角形》典型例题例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，解这个三角形．分析 本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值．可根据直角三角形中各元素间的关系解决．解 （1）； （2）由ab B =tan ，知 ； （3）由c a B =cos ，知860cos 4cos =︒==B a c ． 说明 此题还可用其他方法求b 和c ．例 2 在Rt △ABC 中, ∠C=90°，∠A=30°，3=b ,解这个三角形．解法一 ∵∴设,则由勾股定理,得 ∴ ．∴． 解法二 133330tan =⨯=︒=b a说明 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题．例 3 设中， 于D ，若 ，解三角形ABC ．分析“解三角形ABC”就是求出的全部未知元素．本题CD不是的边，所以应先从Rt入手．解在Rt中，有：∴在Rt中，有说明（1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如：（2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中“”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理．事实上，还可以用面积公式求出AB的值：所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具．例4在中，，求．分析（1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差；（2）不是直角三角形，可构造直角三角形求解．解如图所示，作交CB的延长线于H，于是在Rt△ACH中，有，且有；在中，，且，∴；于是，有，则有说明还可以这样求：例5 如图，在电线杆上离地面高度5m 的C 点处引两根拉线固定电线杆，一根拉线AC 和地面成60°角，另一根拉线BC 和地面成45°角．求两根拉线的总长度（结果用带根号的数的形式表示）．分析 分别在两个直角三角形ADC 和BDC 中，利用正弦函数的定义，求出AC 和BC ．解: 在Rt △ADC 中，331023560sin ==︒=DCAC在Rt △BDC 中，221022545sin ==︒=DC BC说明 本题考查正弦的定义，对于锐角三角函数的定义，要熟练掌握．。
(附答案)《解直角三角形》典型例题
《解直角三角形》典型例题例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，解这个三角形． 分析 本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值．可根据直角三角形中各元素间的关系解决． 解 （1） ；（2）由abB =tan ，知 ；（3）由c a B =cos ，知860cos 4cos =︒==B a c ． 说明 此题还可用其他方法求b 和c ．例 2 在Rt △ABC 中, ∠C=90°，∠A=30°，3=b ,解这个三角形．解法一 ∵ ∴设 ,则由勾股定理,得∴ ．∴．解法二 133330tan =⨯=︒=b a说明 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题． 例 3 设 中，于D ，若，解三角形ABC ．分析“解三角形ABC”就是求出的全部未知元素．本题CD不是的边，所以应先从Rt入手．解在Rt中，有：∴在Rt中，有说明（1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如：（2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中“”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理．事实上，还可以用面积公式求出AB的值：所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具．例4在中，，求．分析（1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差；（2）不是直角三角形，可构造直角三角形求解．解如图所示，作交CB的延长线于H，于是在Rt△ACH中，有，且有；在中，，且，∴；于是，有，则有说明还可以这样求：例5 如图，在电线杆上离地面高度5m 的C 点处引两根拉线固定电线杆，一根拉线AC 和地面成60°角，另一根拉线BC 和地面成45°角．求两根拉线的总长度（结果用带根号的数的形式表示）．分析 分别在两个直角三角形ADC 和BDC 中，利用正弦函数的定义，求出AC 和BC ．解: 在Rt △ADC 中，331023560sin ==︒=DC AC 在Rt △BDC 中，221022545sin ==︒=DC BC说明 本题考查正弦的定义，对于锐角三角函数的定义，要熟练掌握．学习要有三心:一信心；二决心；三恒心.知识+方法=能力,能力+勤奋=效率,效率×时间=成绩. 宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来.。
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课 题 解直角三角形 授课时间：
备课时间：
教学目标
1. 了解勾股定理
2. 了解三角函数的概念
3. 学会解直角三角形
重点、难点
三角函数的应用及解直角三角形
考点及考试要求
各考点
教学方法：讲授法
教学内容
（一）知识点（概念）梳理 考点一、直角三角形的性质
1、直角三角形的两个锐角互余
可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°
2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30° 可表示如下： ⇒BC=
2
1AB ∠C=90°
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90°
可表示如下： ⇒CD=2
1
AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理
直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2
2
2
c b a =+ 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD •=2
⇒ AB AD AC •=2
CD ⊥AB AB BD BC •=2 6、常用关系式
由三角形面积公式可得： AB •CD=AC •BC
7.图中角α可以看作是点A 的 角 也可看作是点B 的 角；
（1）
9、（1）坡度（或坡比）是坡面的 铅直 高度（h ）和水平长度（l ）的比。
记作i,即i = l h
；
（2）坡角——坡面与水平面的夹角。
记作α，有i ＝l h
=tan α
（3）坡度与坡角的关系：坡度越大，坡角α就越 大 ，坡面就越 陡
考点二、直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2
2
2
c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
考点三、锐角三角函数的概念
1、如图，在△ABC 中，∠C=90°
①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即
c a
sin =∠=
斜边的对边A A
②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即
c b
cos =∠=
斜边的邻边A A
③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即
b
a
tan =∠∠=
的邻边的对边A A A
④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即a
b
cot =∠∠=的对边的邻边A A A
2、锐角三角函数的概念
锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值
三角函数 0° 30°
45°
60° 90° sinα
21 22
23 1
cos α 1
23 2
2
21 0
tan α 0 33 1
3
不存在
cot α 不存在 3
1
3
3 0
4、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系
1cos sin 22=+A A
（3）倒数关系 tanA •tan(90°—A)=1
∴tan A = cot A =
2、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，由下列条件解直角三角形： （1）已知a ＝43，b ＝23，则c= ； （2）已知a ＝10，c ＝102，则∠B= ； （3）已知c ＝20，∠A ＝60°，则a= ； （4）已知b ＝35，∠A ＝45°，则a= ；
3、若∠A = ︒30，10=c ，则___________,==b a ；
4、在下列图中填写各直角三角形中字母的值．
7、设Rt △ABC 中，∠C ＝90゜，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，根据下列所给条件求∠B 的四个三角函数值.
（1）a =3,b =4; （2）a =6,c =10.
8、在Rt △ABC 中，∠C ＝90゜，BC ：AC ＝3：4，求∠A 的四个三角函数值.
9、△ABC 中,已知0
045,60,22=∠=∠=C B AC ，求AB 的长
A
B
C
9题
（4）、实例分析
1、斜坡的坡度是3:1，则坡角.____________=α
2、一个斜坡的坡度为1=ι︰3，那么坡角α的余切值为 ；
3、一个物体A 点出发，在坡度为7:1的斜坡上直线向上运动到B ，当30=AB m 时，物体升高 （ ）
A
730m B 8
30m C 23m D 不同于以上的答案 4、某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度3:1=i ，坝外斜坡的坡度1:1=i ，则两个坡角的和为 （ ） A ︒90 B ︒60 C ︒75 D ︒105
5、电视塔高为350m ，一个人站在地面，离塔底O 一定的距离A 处望塔顶B ，测得仰角为0
60，若某人的身高忽
略不计时，__________=OA m.
6、如图沿AC 方向修隧道,为了加快施工进度,要在小山的另一边同时进行.已知∠ABD=1500
,BD=520m,∠B=600,那么开挖点E 到D 的距离DE=____m 时,才能使A,C,E 成一直线.
7、一船向东航行，上午8时到达B 处，看到有一灯塔在它的南偏东0
60，距离为72海里的A 处，上午10时到
达C 处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为（ ） A 18海里/小时 B 318海里/小时 C 36海里/小时 D 336海里/小时
8、如图，河对岸有铁塔AB ，在C 处测得塔顶A 的仰角为30°，向塔前进14米到达D ，在D 处测得A 的仰角为45°，求铁塔AB 的高。
A C D B
9、如图，一铁路路基横断面为等腰梯形ABCD ，斜坡BC 的坡度为3:2=ι，路基高AE 为3m ，底CD 宽12m ，求路基顶AB 的宽
B A
D
C
E
10、如图，已知两座高度相等的建筑物AB 、CD 的水平距离BC ＝60米，在建筑物CD 上有一铁塔PD ，在塔顶P 处观察建筑物的底部B 和顶部A ，分别测行俯角0030,45==βα，求建筑物AB 的高。
（计算过程和结果一律不取近似值）
11、如图，A 城气象台测得台风中心在A 城的正西方300千米处，以每小时107千米的速度向北偏东60º的BF 方向移动，距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域。
问A 城是否会受到这次台风的影响？为什么？
若A 城受到这次台风的影响，那么A 城遭受这次台风影响的时间有多长？
（三）小结
60º
F
B
A。