弹性力学第十章 空间问题的解答

x

0


程为：
E 1
2(1

)

1

2
e y


2v


Fb
y


0


(3)
E 1
2(1 ) 1 2
e z


2
w


Fb
z
0

2、 将(2)代入，
可见中的前二式自然满足，而第三式成为
E
2(1
)

1
1 2
d 2w dz 2
根据轴对称的特点，宜采用圆柱坐标 ,, z
表示。若取对称轴为 z 轴，则轴对称问题的应力 分量、形变分量和位移分量都将只是 和 z 的 函数，而与 坐标无关。
轴对称问题的弹性体的形状一般为圆柱体或 半空间体。
ρ
例如：受轴对称荷载的厚壁筒、回转圆盘、无限体 或半无限体受集中力等
柱坐标： 描述空间轴对称问题的应力、形变、位移宜用柱坐标
环向位移 径向位移
剪应变：
z z
uz
轴向位移
基本未知量： , , z , z z , , , z , z z , u , uz
共10个
二、轴对称问题的平衡微分方程:
取图示微元体。由于 轴对称，在微元体的 z
两个圆柱面上，只有
z )]


1 E
[

( z
)]
z

1 E
[
z
(
)]
z

2(1 E
) z
应力分量用形变分量表示的物理方程：


E
1


1
2
e



E
1


1

2
e

z

x
dφ
φ

ρ
ρ
dρ
φ
z
0
φ φ

z

z z

z

ρ

z
d
d 2
z

z z





z
z

z
d
2
y

d


ρ



dφ
φ

ρ
ρ
dρ
φ
φ
ρ




d 2w dz2


p
0
(4)
即
d2 w (1 )(1 2 ) d z2 E(1 ) p
化简后，积分以后得：
e d w (1 )(1 2 ) p(z A)
dz
E(1 )
w (1 )(1 2 ) p(z A)2 B (5) 2E(1 )
E b3 a3
正应力和轴向剪应力
；在两个水平面上只
有正应力和径向剪应
力；在两个垂直面上
只有环向正应力，如
图示。
0



z

z z
z
z
z

z z




z
z

z
y
x 根据连续性假设，微元体的正面相对负面其应力分量
都有微小增量。
注意：此时环向正应力的增量为零。
2 1
r

2 t

t

1
E
1
2 t


r

26
将边界条件 r ra qa r rb qb 代入上式解得
A a3qa b3qb 1 2, B a3b3qa qb 1
(8)
xy yz zx 0


可得侧压力系数： x y
z z 1
2）本题也可按轴对称问题计算：

1
( pz q)
取 u 0, w w(z) 求得： Z ( pz q)
z z 0
z P
柱坐标系
x cos, y sin ,
zz
z 0
x
与直角坐标的关系：
x2 y2
cos x
y

sin y
一、轴对称问题的应力分量与体力分量的表示
从轴对称物体中取出图示的单元体
用相距 d 的两个圆柱面 ，互成 d 的两个铅垂面 及相距 dz 的两个水平面
三 物理方程
球对称问题的物理方
程可直接根据虎克定律得
来：
r

1 E
r
2 t

t

1 E
1



t
r
将应力用应变表示为：

r

1
E
1
2 1
r

2 t

t

1
E
1
2 t


r

例：空心圆球受均布压力 设有空心圆球，内半径为a，外半径为b，内压为qa，


z
z



Fb
0
z
z

z
z

Fb z

0
三 、几何方程
通过与平面问题 及极坐标中同样的分 析，由径向位移引起 的形变分量为：
由于对称，各点
环向位移为零，由径
向位移产生的应变为


u
,


u

,
z
•球对称问题
在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况 以及所受的外来因素，都对称于某一点（通过这一点的 任意平面都是对称面），则所有的应力、形变和位移也 对称于这一点。这种问题称为空间球对称问题。
根据球对称的特点，应采用球坐标 r, ,表 示。若 以弹性体的对称点为坐标原点 ，O则球对称问题的应力 分量、形变分量和位移分量都将只是径向坐标 r 的函数， 而与其余两个坐标无关。
z z

，从弹性体内取一个微小 六面体

z

径向正应力,
φρ
沿ρ方向的正应力
dφ dρ

z
环向正应力,沿方向的正应力 轴向正应力,沿z方向的正应力
z z
z 作用在圆柱面上而沿z方向作用的剪应力
z 作用在水平面上而沿ρ方向作用的剪应力
由于对称性，
上式中的A，B是任意常数，根据边界条件决定。
x

E1 (1 ) 1 2
e
u x



百度文库y

E (1
)
1

1
2
e

v y


z

E (1
)
1 1 2
e

w z

(6)
xy

E 2(1 )
x
R
y
z
u 0,v 0, w w(z) (1)
z
e u v w d w x y z d z
e 0, x
e 0, y
e z

d2 w d z2
(2)
位移法求解空间问题的方
E 1
2(1 ) 1 2
e x

2u


Fb
E
1


1

2
e z

z

E 2(1

)


r
其中： e z
例题：设有半空间体，其比重为p，在水平边
界面上受均布压力q的作用，试用位移法求位移分
量和应力分量。并假设在z = h处w =0。
q
解: 1、 由于任意铅直平 面都是对称面，假设


z
z


Fb
0
根据z方向的平衡，
可得:
0
x

z


z
d


(


d
)d
d
z
z
d
d
z


z

z
z
d
z


d
d

z d d Fbz d d d z 0


u z
由轴向位移w产生的 应变为
z

w z
,
z

w
迭加得到几何方程


u
,


u

z

w, z
z

u z

w

四 物理方程
由于圆柱坐标，是和直角坐标一样的正交坐标， 所以可直接根据虎克定律得物理方程：


1 E
[

(
zz z
0 z z 0





z

z
并且环向体力分量为零 φ ρ
dφ dρ

z z
dφ
φ

ρ
ρ
φ
z
dρ
ρ
φ
应变分量：

径向正应变 环向正应变
z
位移分量： u 0 u
轴向正应变
显然，球对称问题只可能发生于空心或实心的圆球 体中。
•x
•y •z
一 平衡微分方程
取微元体。用相距 dr的 两个圆球面和两两互成d 角
的两对径向平面，从弹性体 割取一个微小六面体。由于 球对称，各面上只有正应力， 其应力情况如图所示。
由于对称性，微元体只 有径向体积力 K r 。由径向平 衡，并考虑到 sin d d ，再
22
略去高阶微量，即得球对称 问题的平衡微分方程：
d r
dr

2 r

r

Kr
0
二 几何方程
• 由于对称，只可
能发生径向位移 ur；又
由于对称，只可能发生
径向正应变 r 及切向正
应变 t ，不可能发生坐
标方向的剪应变。球对
称问题的几何方程为：
r

dur dr
t

ur r
l( xy )s m( y )s n( yz )s py l( xz )s m( yz )s n( z )s pz
( z )z0 q
Aq/ p
w (1 )(1 2 ) p(z q )2 B
2E(1 )
p

x

y

1
外压为qb，体力不计，试求其应力及位移。
解： 由于体力不计，球对称问题的微分方程简化为
d 2ur dr 2

2 r
dur dr

2 r2
ur
0
其解为
ur

Ar
B r2
得应力分量
r
E
1 2
A 2E
1
B r3
t
E
1 2
A E
1
B r3
x
y
z
r

1
E
1


z

z z
z
z
z

z z





z
z

z
y
z


z


z
z

z z

z

z



z
化简后得到:

z

z
z
Fb z
0
空间轴对称问题的平衡方程为:
(7)
xy yz zx 0


4、由应力边界条件确定A
在本问题的边界上:
l m 0, n 1, px py 0, pz q
q
x
R
y
z
应力边界条件为: 前二式自然满足，而第三式
l( x )s m( xy )s n( xz )s px 要求:
)
q(h

z)

p 2
(h2

z2 )
wmax

(w)z0

(1 )(1 2 E(1)
)
qh

p 2
h2

6、分析：
1）本问题的工程背景是地面受大面积堆载作用下 的应力和位移分析。由：
x
y

1
( pz q)
Z ( pz q)

u y

v x


yz

E 2(1 )

v z

w
y


zx

E 2(1
)

w x

u z


3、将(5)代入弹性方程(6)得：
x
y
1
p(z A)
Z p(z A)
( pz

q)
Z ( pz q)
(8)
xy yz zx 0


5、决定常数B，利用给定的位移条件:
(w)zh 0
得: B (1 )(1 2 ) p (h q )2
2E(1 )
p
q
x
R
y
z
h
得铅直位移:
w

(1 )(1 2 E (1 )
根据ρ方向的平衡
利用
sin d d , cos d 1
22
2
可得:





d

(

d
)d
d
z



d
d
z

2
d

d
z
d
2
z


z
z
d
z
d
d

z
d
d


Fb
d
d

d
z

0
经约简并略去高阶微 z 量，得：
第十章 空间问题的解答
目录
§10.1 基本方程的柱坐标和球坐标形式 §10.2 位移场的势函数分解 §10.3 拉梅应变势 §10.4 齐次拉梅方程的通解 §10.5 无限体内一点受集中力作用 §10.6 半无限体表面受法向集中力作用
§１０-1 空间问题的基本方程 轴对称问题
在空间问题中，若弹性体的几何形状、约 束情况以及所受的外部荷载，都对称于某一 轴（通过这个轴的任一平面都是对称面）， 则所有的应力、形变和位移也对称于这一轴。 这种问题称为空间轴对称问题。