数学北师大版九年级下册第二章二次函数图像和性质教案

2.2二次函数的图像和性质（第二课时）
教学目标
知识与技能
1、能作出2ax y =和c ax y +=2的图像||，并研究它们的性质.
2、比较2ax y =和c ax y +=2的图像与2x y =的异同.理解a 与c 对二次函数图像的影响. 过程与方法
1、经历探索二次函数2ax y =和c ax y +=2的图像的作法和性质的过程||，进一步获得将表格、表达式、图像三者联系起来的经验.
2、通过比较2ax y =||， c ax y +=2与2x y =的图像和性质的比较||，培养学生的比较、鉴别能力.
情感、态度与价值观
让学生积极投身于数学学习活动中||，有助于培养他们的好奇心与求知欲.经过自己的努力得出的结论||，不仅使他们记忆犹新||，还能建立自信心.由学生自己思考在经过合作交流完成的数学活动||，不仅能使学生学到知识||，还能使他们互相增进友谊.
教学重点、难点
教学重点：描点法画出二次函数c ax y +=2的图象||，理解二次函数c ax y +=2的性质||，理解函数c ax y +=2与函数2ax y =的相互关系是教学重点会用描||。

教学难点：正确理解二次函数c ax y +=2的性质||，理解抛物线c ax y +=2与抛物线2ax y =的关系是教学的难点||。

关键：掌握2ax y =和c ax y +=2的图像与2x y =的异同.理解a 与c 对二次函数图像的影响. 突破方法： 根据设问层层深入逐个破解||，然后进行类比、归纳、总结的探索模式学习||，最后得出2ax y =和c ax y +=2的图像与2x y =的异同及a 与c 对二次函数图像的影响
教学准备:
教师准备：多媒体课件（用于展示操作过程||，引导讨论||，出示答案）．
学生准备：课前预习||，两张坐标纸画图工具．
教学过程
(一)创设问题情景||，引入新课
知识回顾：
1．二次函数2x y =的图象是____||，它的开口向_____||，顶点坐标是_____；对称轴是______||，在对称轴的左侧||，y 随x 的增大而______||，在对称轴的右侧||，y 随x 的增大而______||，函数2ax y =与x ＝______时||，取最______值||，其最______值是______||。

2．二次函数122+=x y 1的图象与二次函数22x y =的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?
【设计意图】加强学生对2x y =的认识||，为探究2ax y =和c ax y +=2的图像和性质作准备.同时以提问的方式切入||，增强学生的探索激情与求知欲.
讲授新课——分析问题||，解决问题
问题1：对于前面提出的第2个问题||，你将采取什么方法加以研究?（小组合作交流||，教师指导的目的看看学生是否会利用图像解决问题） (画出函数的图象||，并加以比较)
问题2||，你能在同一直角坐标系中||，画出函数22x y =与122+=x y 的图象吗?
教学要点
1．先让学生回顾二次函数画图的三个步骤||，按照画图步骤画出函数22x y =的图象||。

2．说明为什么两个函数自变量x 可以取同一数值||，为什么不必单独列出函数122+=x y 的对应值表||，并让学生画出函数122+=x y 的图象．（小组合作完成||，教师巡视的目的看看学生是否会列表在同一表格中完成数据的填写||，节省课堂时间||，画图时是否会用平滑的曲线） 3．教师写出解题过程||，同学生所画图象进行比较||。

解：(1)列表：
(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标||，在平面直角坐标系中描点||。

(3)连线：用光滑曲线顺次连接各点||，得到函数22x y =和122+=x y 的图象||。

问题3：当自变量x 取同一数值时||，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上||，相应的两个点之间的位置又有什么关系?
教师引导学生观察上表||，当x 依次取－3||，－2||，－1||，0||，1||，2||，3时||，两个函数的函数值之间有什么关系||，由此让小组归纳得到||，当自变量x 取同一数值时||，函数122+=x y 的函数值都比函数22x y =的函数值大1||。

教师引导学生观察函数122+=x y 和22x y =的图象||，先研究点(－1||，2)和点(－1||，3)、点(0||，0)和点(0||，1)、点(1||，2)和点(1||，3)位置关系||，让学生归纳得到：反映在图象上||，函数122+=x y 的图象上的点都是由函数22x y =的图象上的相应点向上移动了一个单位||。

【设计意图】让学生观察、发现、总结122+=x y 和22x y =的图象的位置关系. 问题4：函数122+=x y 和22x y =的图象有什么联系?
由问题3的探索||，可以得到结论：函数122+=x y 的图象可以看成是将函数22x y =的图象向上平移一个单位得到的||。

问题5：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗?
让小组学生观察两个函数图象||，说出函数122+=x y 与22x y =的图象开口方向、对称轴相同||，但顶点坐标不同||，函数22x y =的图象的顶点坐标是(0||，0)||，而函数122+=x y 的图象的顶点坐标是(0||，1)||。

问题6：你能由函数22x y =的性质||，得到函数122+=x y 的一些性质吗? 完成填空：
当x ______时||，函数值y 随x 的增大而减小；当______时||，函数值y 随x 的增大而增大||，当x ______时||，函数取得最______值||，最______值y ＝______． 以上就是函数122+=x y 的性质||。

三、做一做
问题7：先在同一直角坐标系中画出函数222-=x y 与函数22x y =的图象||，再作比较||，说说它们有什么联系和区别?
【设计意图】加深学生对2ax y =与c ax y +=2的图形性质的理解及c 的函数图形的影响. 教学要点
1．在学生画函数图象的同时||，教师巡视指导；
2．让学生发表意见||，归纳为：函数2
2x
y与函数2
y=的图象的开口方向、对称轴
22-
=x
相同||，但顶点坐标不同||。

函数2
22-
y的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向下平移
=x
两个单位得到的||。

问题8：你能说出函数2
y的图象的开口方向||，对称轴和顶点坐标||，以及这个函数
=x
22-
的性质吗?
教学要点
1．让学生口答||，函数2
y的图象的开口向上||，对称轴为y轴||，顶点坐标是(0||，
=x
22-
－2)；
2．分组讨论这个函数的性质||，各组选派一名代表发言||，达成共识：当x＜0时||，函数值y随x的增大而减小；当x＞0时||，函数值y随x的增大而增大||，当x＝0时||，函数取得最小值||，最小值y＝－2||。

问题11：这个函数图象有哪些性质?
让学生观察函数231
2+-=x y 的图象得出性质：当x ＜0时||，函数值y 随x 的增大而增大；
当x ＞0时||，函数值y 随x 的增大而减小；当x ＝0时||，函数取得最大值||，最大值y ＝2||。

【设计意图】全面掌握c ax y +=2的图形及性质.了解在二次函数c ax y +=2中||，a 、c 对图像的影响. 归纳小结
1．在同一直角坐标系中||，函数c ax y +=2的图象与函数2ax y =的图象具有什么关系? 2．你能说出函数c ax y +=2具有哪些性质? 板书展示
二次函数的图像和性质（2）
二次函数表达式
图像 开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性 最大（小）值
异同点 c ax y +=2
（a ＞0）
向上 y 轴 （0||，
c ）
x ＞0时||，y 随x 的增大而增大||，
x ＜0时||，y 随x
的增大而减小.
x =0||， y
最小值
=c
开口方向相反||，图像形状相
c ax y +=2
(a ＜0）
向下 y 轴 （0||，
c ）
x ＞0时||，y 随x 的增大而减小||，
x ＜0时||，y 随x
的增大而增大.
X=0||， y
最大值
=c
同||，顶的相同||，对称
轴都是
y 轴
课堂作业
1．分别在同一直角坐标系中||，画出下列各组两个二次函数的图象||。

(1)22x y -=与22x y -=－2； (2)132+=x y y ＝与132-=x y ||。

2.在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象||，
221x y =
||，221x y =＋2||，22
1
x y =－2 观察三条抛物线的相互关系||，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置||。

你能说出抛物线2
2
1x y =
＋k 的开口方向及对称轴、顶点的位置吗? 3．根据上题的结果||，试说明：分别通过怎样的平移||，可以由抛物线2
2
1x y =得到抛 物线221x y =
＋2和22
1
x y =－2? 4．试说出函数221x y =
||，221x y =＋2||，22
1
x y =－2的图象所具有的共同性质||。

参考答案：1.略2.略3. 221x y =
＋2的图像是由22
1
x y =的图像向上平移2个单位得到的||，
轴都是y轴||，增减性相同.
教学反思
在学生从事小组交流等活动过程中||，教师的主要作用随时了解掌握学生对知识理解、掌握以及应用的情况||，以便出现问题随时点评指导||。

提前做好学生的分工工作||，了解学生的动态||，及时引导学生进入状态||。

教师要参入到小组合作学习中去||，教师要启发、引导学生积极参与小组学习||，为保证小组活动顺利进行||，当讨论中的学生冷场了、跑题了||，教师可通过提问、插话等方式对学生加以提示||，同时还应适时参与到小组讨论中去||。

这不仅能活跃课堂气氛||，而且能促进师生之间的关系||。

例如在探究y＝2x2＋1和y＝2x2的图象教师巡视的目的看看学生是否会列表在同一表格中完成数据的填写||，画图时是否会用平滑的曲线以节省课堂时间||，便于学生观察比较||。

分组讨论这个函数的性质时教师参入可及时掌握学生对本节课掌握的情况||。