高中数学解析几何解题方法

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高考专题:解析几何常规题型及方法

本章节处理方法建议:

纵观2006年全国各省市18套文、理高考试卷,普遍有一个规律:占解几分值接近一

半的填空、选择题难度不大,中等及偏上的学生能将对应分数收入囊中;而占解几分值一 半偏上的解答题得分很不理想,其原因主要体现在以下几个方面:(1)解析几何是代数与 几何的完美结合,解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向 量等知识,形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题,因而成为高中数学综合 能力要求最高的内容之一(2)解析几何的计算量相对偏大(3)在大家的“拿可拿之分” 的理念下,大题的前三道成了兵家必争之地,而排放位置比较尴尬的第21题或22题(有 时20题)就成了很多人遗忘的角落,加之时间的限制,此题留白的现象比较普遍。

鉴于解几的特点,建议在复习中做好以下几个方面.1.由于高考中解几内容弹性很 大。有容易题,有中难题。因此在复习中基调为狠抓基础。不能因为高考中的解几解答题 较难,就拼命地去搞难题,套新题,这样往往得不偿失;端正心态:不指望将所有的题攻 下,将时间用在巩固基础、对付“跳一跳便可够得到”的常规题上,这样复习,高考时就 能保证首先将选择、填空题拿下,然后对于大题的第一个小问争取得分,第二小题能拿几 分算几分。

三、高考核心考点

1、准确理解基本概念(如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等)

2、熟练掌握基本公式(如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等)

3、熟练掌握求直线方程的方法(如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等)

4、在解决直线与圆的位置关系问题中,要善于运用圆的几何性质以减少运算

5、了解线性规划的意义及简单应用

6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算

7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法(如:定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等)

8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法,能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题

四、常规题型及解题的技巧方法

A:常规题型方面

(1)中点弦问题

具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为(,)x y 11,(,)x y 22,代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式,消去四个参数。

典型例题 给定双曲线x y 2

2

2

1-=。过A (2,1)的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2,求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。

分析:设P x y 111(,),P x y 222(,)代入方程得x y 1

2

1221-=,x y 22

22

2

1-=。 两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 121212121

2

0+--

+-=。

又设中点P (x,y ),将x x x 122+=,y y y 122+=代入,当x x 12≠时得 22201212x y

y y x x -

--=·。 又k y y x x y x =

--=--12121

2

代入得2402

2

x y x y --+=。

当弦P P 12斜率不存在时,其中点P (2,0)的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是2402

2

x y x y --+=

说明:本题要注意思维的严密性,必须单独考虑斜率不存在时的情况。

(2)焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点P ,与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。

典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b

222

21+=上任一点,F c 10(,)-,F c 20(,)为焦点,∠=PF F 12α,∠=PF F 21β。

(1)求证离心率β

αβαsin sin )

sin(++=

e ;

(2)求|||PF PF 13

23

+的最值。

分析:(1)设||PF r 11=,|PF r 22=,由正弦定理得

r r c

122sin sin sin()

αβαβ==+。 得

r r c

122++=+sin sin sin()

αβαβ,

β

αβαsin sin )sin(++==

a c e (2)()()a ex a ex a ae x ++-=+3

3

3

2

2

26。 当x =0时,最小值是23

a ;

当a x ±=时,最大值是263

2

3

a e a +。

(3)直线与圆锥曲线位置关系问题

直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式,应特别注意数形结合的办法

典型例题 抛物线方程,直线与轴的交点在抛物线准线的右边。y p x p x y t x 210=+>+=()()

(1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点

(2)设直线与抛物线的交点为A 、B ,且OA ⊥OB ,求p 关于t 的函数f(t)的表达式。

(1)证明:抛物线的准线为114:x p

=--

由直线x+y=t 与x 轴的交点(t ,0)在准线右边,得 t p

t p >--++>14

440,而 由消去得x y t

y p x y +==+⎧⎨⎩2

1()

x t p x t p 2220-++-=()() ∆=+--()()2422t p t p =++>p t p ()440 故直线与抛物线总有两个交点。

(2)解:设点A(x 1,y 1),点B(x 2,y 2) ∴+=+=-x x t p x x t p 121222, OA OB k k OA OB ⊥∴⨯=-,1 则x x y y 12120+= 又y y t x t x 1212=--()() ∴+=-+=x x y y t t p 1212220() ∴==+p f t t t ()2

2

又,得函数的定义域是p t p f t >++>0440() ()()-⋃+∞200,,

(4)圆锥曲线的有关最值(范围)问题

圆锥曲线中的有关最值(范围)问题,常用代数法和几何法解决。

<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决。

<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数(通常利用二次函数,三角函数,均值不等式)求最值。 典型例题

已知抛物线y 2=2px(p>0),过M (a,0)且斜率为1的直线L 与抛物线交于不同的两点A 、B ,|AB|≤2p (1)求a 的取值范围;(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ,求△NAB 面积的最大值。

分析:这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题,对于(1),可以设法得到关于a 的不等式,通过解不等式求出a 的范围,即:“求范围,找不等式”。或者将a 表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出a 的范围;对于(2)首先要把△NAB 的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即:“最值问题,函数思想”。

解:(1)直线L 的方程为:y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y 2=2px,得:设直线L 与抛物线两交点的坐标分别为A

(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则⎪⎩⎪

⎨⎧=+=+>-+221212)(204)(4a

x x p a x x a p a ,又y 1=x 1-a,y 2=x 2-a,

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