材料力学作业参考解答

2-1 试绘出下列各杆的轴力图。

2-2（b ）答：MPa 100cm 80kN82N ===AB AB AB A F σ MPa 950cm 209kN12N ===BC BC BC A F σ MPa 7.16cm120kN22N ===CD CD CD A F σ MPa 950max =∴σ2-3答：以B 点为研究对象，由平面汇交力系的平衡条件kN12.12kN 14.97-==BC AB F FMPa1.12MPa5.137-==BC AB σσ2-2 求下列结构中指定杆内的应力。

已知(a)图中杆的横截面面积A 1=A 2=1150mm 2； 解：（1）分析整体，作示力图∑=0)(i BF M：F2FF N2FF NA ECDB F AF BF ABF BCWE F N1F N3F N2β(c)041088=⨯⨯-⨯A F 40kN A F =（2）取部分分析，示力图见（b ）∑=0)(i CF M：02442.22=⨯+⨯-⨯q F F A N2(404402)36.36kN 2.2N F ⨯-⨯==3262236.361031.62MPa 115010N F A σ-⨯===⨯杆（3）分析铰E ，示力图见（c ）∑=0ixF：0sin 12=-βN N F F22122140.65kN 2N N F F +=⨯=3161137.961035.3MPa 115010N F A σ-⨯===⨯杆2-3 求下列各杆内的最大正应力。

（3）图(c)为变截面拉杆，上段AB 的横截面积为40mm 2，下段BC 的横截面积为30mm 2，杆材料的ρg =78kN/m 3。

解：1.作轴力图，BC 段最大轴力在B 处6N 120.530107812.0kN B F -=+⨯⨯⨯=AB 段最大轴力在A 处6N 1212(0.5300.540)107812.0kN A F -=++⨯+⨯⨯⨯=CF AqF CyF CxF N2(b)ABC12.012.0F N (kN)3N 2612.010400MPa 30mm 3010BB F σ--⨯===⨯3N 2612.010300MPa 40mm 4010AA F σ--⨯===⨯杆件最大正应力为400MPa ，发生在B 截面。

2-4 一直径为15mm ，标距为200mm 的合金钢杆，比例极限内进行拉伸试验，当轴向荷载从零缓慢地增加58.4kN 时，杆伸长了0.9mm ，直径缩小了0.022mm ，确定材料的弹性模量E 、泊松比ν。

解：加载至58.4kN 时，杆件横截面中心正应力为3N 2458.410330.48MPa 1.5104F A σπ-⨯==⨯⨯＝ 线应变：333Δ0.910 4.51020010l l ε--⨯===⨯⨯弹性模量：33330.48MPa73.410MPa 4.510E σε-===⨯⨯侧向线应变：310467.115022.0-⨯=＝，ε 泊松比：,0.326εμε==2-6图示短柱，上段为钢制，长200mm ，截面尺寸为100×100mm 2；下段为铝制，长300mm ，截面尺寸为200×200mm 2。

当柱顶受F 力作用时，柱子总长度减少了0.4mm ，试求F 值。

已知E 钢=200GPa ，E 铝=70GPa 。

解：柱中的轴力都为F ，总的变形（缩短）为：120.20.3Δg l F Fl E A E A =+ 12399Δ0.20.30.4100.20.3200100.10.170100.20.21931.0kNg l lF E A E A -=⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⨯=⎡⎤+⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎣⎦=2-7 图示等直杆AC ，材料的容重为ρg ，弹性模量为E ，横截面积为A 。

求直杆B 截面的位移ΔB 。

解： AB 段内轴力 N1F F gAx ρ=-- BC 段内轴力 N22F F gAx ρ=--B 点位移为杆BC 的伸长量： 22(2)d 2 1.5lB lF gAx x Fl gAl EA EAρρ∆-++==-⎰2-8 图示结构中，AB 可视为刚性杆，AD 为钢杆，面积A 1=500mm 2，弹性模量E 1=200GPa ；CG 为铜杆，面积A 2=1500mm 2，弹性模量E 2=100GPa ；BE 为木杆，面积A 3=3000mm 2，弹性模量E 3=10GPa 。

当G 点处作用有F =60kN 时，求该点的竖直位移ΔG 。

解：（1）求①、②杆轴力 由平衡方程可以求出:N1N3N2240kN320kN 360kNFF F F F F =-=-=-=-==（2）求杆的变形34N11961140101Δ410m 2001050010AD F l l E A ---⨯⨯===-⨯⨯⨯⨯（压缩） 34N22962260100.5Δ210m 10010150010CG F l l E A --⨯⨯===⨯⨯⨯⨯（拉伸） 36N33963320101Δ 6.6710m 1010300010BE F l l E A ---⨯⨯===-⨯⨯⨯⨯（压缩） （3）由几何关系：421321ΔΔΔ 6.8910m 33G l l l ∆-=-⨯-＝（下降） 2-9答：任一截面上轴力为F ，由212d d b l x -= 22)2(4)(b d x A +=π得面积为222122])([4)2(4)(lld x d d b d x A +-=+=ππ伸长量为⎰⎰+-==∆l ll d x d d E xFl x EA x F l 0222120])[(d 4)(d π 214d d E Flπ=2-11 图示一挡水墙示意图，其中AB 杆支承着挡水墙，各部分尺寸均已示于图中。

若AB 杆为圆截面，材料为松木，其容许应力［σ］=11MPa ，试求AB 杆所需的直径。

解：（1）求水压力的合力：21240kN P h b γ==（2）作示力图（a ）由平衡方程求轴力2N 3N ()0:0.60.4011.11kNOi MF F P F =⨯⨯-⨯==∑ （3）由强度条件，设计截面尺寸：F NP 3m4m2mxb bN 3632[]411.1110/(1110) 1.28610m 3.58cm F A d d σσπ-=≤≥⨯⨯⋅⨯=⨯≥ 2-10答：对水塔∑=0AM ，021********=⨯+⨯+⨯FkN F 2503-=∑=0ixF ，02/21002=⨯+FkN F 4.14121003-=-=∑=0iyF，04002/2321=++⨯+F F FkN F 501-=][/11c N A F σ≤，21500mm A ≥][/22c N A F σ≤，221414mm A ≥ ][/33c N A F σ≤，232500mm A ≥2-12 图示结构中的CD 杆为刚性杆，AB 杆为钢杆，直径d =30mm ，容许应力［σ］=160MPa ，弹性模量E =2.0×105MPa 。

试求结构的容许荷载F 。

解：（1）求AB 杆的轴力F N∑=0)(i CF M：N N sin 302 2.502.5F F F F⨯-⨯==（2）由强度条件求[]F[][][]N 462.591016010445.2kN2.5F F A A F σσσπ-=≤⇒≤⨯⨯⨯⨯==F AxF AyF N1FF N2△ϕl 2△l 12-14 图示AB 为刚性杆，长为3a 。

A 端铰接于墙壁上，在C 、B 两处分别用同材料、同面积的①、②两杆拉住，使AB 杆保持水平。

在D 点作用荷载F 后，求两杆内产生的应力。

设弹性模量为E ，横截面面积为A 。

解：1．本题为超静定问题，见图(a),设AB 杆产生角位移ϕ∆，则 ϕϕ∆=∆∆=∆a l a l 3,21， 2．由Hooke 定律：ϕϕ∆=∆=∆=∆=EA l aEA F EA l aEAF N N 5.1222113.由平衡方程：∑=0)(i AF M：EAFaF aEA aEA aF aF aF N N 5.5225.402321=∆=∆+∆=-+ϕϕϕ 4.由Hooke 定律：FF EA F F F EA F N N 5454.05.525.15.13636.05.5221=⨯=∆===∆=ϕϕσ①A FAF N 3636.01== σ②AFAF N 5454.02==2-15 两端固定，长度为l ，横截面面积为A ，弹性模量为E 的正方形杆，在B 、C 截面处各受一F 力作用。

求B 、C 截面间的相对位移。

F F F NAABCD(a)F NA F F N (b)解： 1．本题为超静定问题解除A 截面处约束，代之约束力NA F ,见图（a ） A 截面的位移为杆件的总变形量EA Fl EA l F EA l F F EA l F F EA l F l l l A NA NA NA NA CDBC AB -=-+-+=∆+∆+∆=∆3)2(3)(3 2.由约束条件 0=∆A 得：FF EA FlEA l F NA NA ==-03.见图(b),求BC 段轴力 由平衡条件可知： 0=N F所以B,C 截面相对位移为 03==∆EAl F N BC-1-3-1 试作下列各杆的扭矩图。

3-2 一直径d =60mm 的圆杆，其两端受外力偶矩T =2kN ·m 的作用而发生扭转。

试求横截面上1，2，3点处的切应力和最大切应变，并在此三点处画出切应力的方向。

(G =80GPa )。

解：横截面上切应力大小沿半径线性分布，方向垂直半径33P 213200047.2MPa3.140.06/160.02/331.4MPaT W ττττ===⨯===4max 3/ 5.910rad G γτ-==⨯3-3 从直径为300mm 的实心轴中镗出一个直径为150mm 的通孔而成为空心轴，问最大切应力增大了百分之几?解：实心轴max13P116x xM M W d τπ==空心轴max 234P216(10.5)x xM M W d τπ==-最大切应力增大了4343max 2max14max1316160.5(10.5)100%100%100% 6.67%1610.5x xxM M d d M dττππτπ---⨯=⨯=⨯=-3τ1τ10010 Mx(N·m) 21 Mx(kN·m)5 3-2-3-4 一端固定、一端自由的钢圆轴，其几何尺寸及受力情况如图所示（空心处有两段，内径10mm ，外径30mm ）,试求： (1)轴的最大切应力。

(2)两端截面的相对扭转角(G =80GPa)。

解：（1）作扭矩图， AB 段中最大切应力 max 36P6035.56MPa 31016x M W πτπ-===⨯⨯CD 段中最大切应力 ()()max 946P 644031101616401024MPa 2713x M W πτπα---==⨯⨯-⨯⨯=⨯=-所以轴中，MPa 56.35max =τ （2）相对扭转角分四段计算P1P1P2P2400.2300.1300.1600.15ΔΔΔΔΔDC CE EB BA GI GI GI GI ππππϕϕϕϕϕ⨯⨯⨯⨯=+++=+++P1P2P1P211121112GI GI G I I πππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭()94844811120.011426rad 118010310133103232πππ---⎛⎫⎪=+= ⎪⨯⨯⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭3-2 一变截面实心圆轴，受图示外力偶矩作用，求轴的最大切应力。