第六讲：等差、等比数列的运用公式大全资料
等差、等比数列 等差与等比数列的通项公式,求和公式
( 2n-3)/2^n+（2n-1）/2^
❶-❷得
1/2Sn=1/2+2/2^2+2/2^3+….+2/2^n-(2n-1)/2^(n+1)
1/2Sn=1/2+2(1/2^2+1/2^3+…1/2^n)-(2n-1)/2^(n+1）
Sn=3-(1/2)^(n-2)-(2n-1)/2^n
谢谢ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=1/d(1/an-1/an+1) (d为等差公差） 例：已知数列1/（1*4），1/（4*7），1/（7*10）……..1/（3n-2）
（3n+1)求Sn. 解：由已知得 an=1/(3n-2)(3n+1)
=1/3[1/(3n-2)-1/(3n+1)] Sn=1/3[1-1/4+1/4-1/7+1/7-1/10+……1/(3n-2)-1/(3n+1)]
=n/(3n+1)
2.错位相减法
• Cn=an*bn(an为等差数列，bn为等比数列）
例：已知an=(2n-1)/2^n,求Sn.
Sn=a1+a2+a3+…..an 得
Sn=1/2+3/2^2+5/2^3+…..+(2n-3)/2^(n-1)+….（2n-1)/2^n+0 ❶
1/2Sn=0+1/2^2+3/2^3+…+ （n+1）❷
2.等比数列的通项公 式
a a q a a q n1 • ,
• nm , 其中n m,也可以n m.
n
1
n
m
初中数学等差等比数列知识点详解与应用方法
初中数学等差等比数列知识点详解与应用方法等差数列和等比数列是初中数学中非常重要的内容，它们有着广泛的应用。
在这篇文章中，我将详细解释等差数列和等比数列的概念、性质和应用方法。
一、等差数列的概念与性质等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之间的差值相等的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为：aₙ = a₁ + (n - 1) * d其中，aₙ表示第n项，n表示项数。
等差数列的性质有：1. 公差d确定了等差数列的特征，不同的公差会得到不同的等差数列。
2. 等差数列的相邻两项之间的差值是恒定的，因此可以根据已知的前几项求出后续的项。
3. 等差数列的和可以通过求出平均数并乘以项数来计算，即等差数列的前n项和Sn为：Sn = (a₁ + aₙ) * n / 2其中，aₙ表示第n项。
二、等差数列的应用方法等差数列在实际生活中有着广泛的应用，下面介绍几种常见的应用方法：1. 求等差数列的前n项和：根据等差数列的前n项和的公式，可以快速求出等差数列的前n项和。
这在处理大量数据时非常实用，可以帮助我们节省计算时间。
差，我们可以求出任意项的值。
这对于需要预测未来数值或者补充已知数列的缺项非常有帮助。
3. 求等差数列的项数：有时候我们知道等差数列的首项和差值，需要确定等差数列的项数。
这时我们可以通过求解aₙ = a₁ + (n - 1) * d来得到项数n。
三、等比数列的概念与性质等比数列是指数列中的每一项与它的前一项的比值相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，则等比数列的通项公式为：aₙ = a₁ * r^(n - 1)其中，aₙ表示第n项，n表示项数。
等比数列的性质有：1. 公比r确定了等比数列的特征，不同的公比会得到不同的等比数列。
2. 等比数列的相邻两项之间的比值是恒定的，因此可以根据已知的前几项求出后续的项。
3. 等比数列的和可以通过将首项乘以(公比^n - 1)并除以(公比 - 1)来计算，即等比数列的前n项和Sn为：Sn = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r)其中，a₁表示首项，r表示公比。
等差数列和等比数列的求和公式与应用
等比数列的求和公式
定义：等比数列的求和公式是指将等比数列中的所有项加起来所得到的和。
公式：S=a1(1-q^n)/(1-q) 其中，a1是首项，q是公比，n是项数。
应用：等比数列的求和公式在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，例如在解决贷款还款 问题、计算复利、解决几何级数增长问题等方面。
等差数列的求和公式
定义：等差数列是一种常见的数列， 其相邻两项的差相等
应用：等差数列的求和公式在数学、 物理、工程等领域有广泛的应用
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求和公式：Sn=n/2*(a1+an)
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推导过程：通过倒序相加法、裂项 相消法等技巧推导得到等差数列的 求和公式
求和公式的应用
计算等差数列的和 解决与等差数列相关的数学问题 应用于物理、化学等其他领域 拓展到等比数列的求和公式
统计学：在统计学中， 等差数列和等比数列 常用于描述数据分布、 抽样调查和概率计算 等方面。
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等差数列和等比数列 的求和公式与应用
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汇报
02
等比数列的求 和公式
03
等差数列与等 比数列的应用 实例
01 等差数列的求和公式
等差数列的定义
等差数列：每 一项与它的前 一项的差等于 同一个常数的
02 等比数列的求和公式
等比数列的定义
等比数列：每一项 与它的前一项的比 值都等于同一个常 数的数列
首项：a1
公比：q
通项公式： an=a1*q^(n-1)
等比数列的通项公式
定义：等比数列中任意一项与首项的比值相等 公式：a_n=a_1*q^(n-1)，其中a_1是首项，q是公比 推导：由等比数列的定义和性质推导得出 应用：在数学、物理、工程等领域有广泛应用
等差等比数列公式大全
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等差数列通项公式、求和公式：
等⽐数列抄通项公式、求和公式：
拓展阅读：等⽐数列和等差数列有什么区别
等⽐数列是前⼀项除以后⼀项等于⼀个固定常数q；
通项公式an=a1·q(n-1)；
等差数列是前⼀项与后⼀项的差是常数；
等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d；
等⽐数列是指前⼀个数和后⼀个数的⽐相同,；
如:1,3,9,27，……
等差数列是指前⼀个数和后⼀个数的差相同，
如：1，4，7，10，13，，16，……
等⽐数列是前⼀项除以后⼀项等于⼀个固定常数q；
通项公式an=a1·q(n-1),
等差数列是前⼀项与后⼀项的差是固定常数；
等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d；
⼀个差相等，⼀个⽐相等。
数列的等差和等比公式及其应用
数列的等差和等比公式及其应用数学中，数列是由一系列数字按照一定规律排列形成的序列。
在数学中，我们经常会遇到等差数列和等比数列，它们都有各自的公式和应用。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的序列。
首项记作a，公差记作d，那么等差数列的通项公式可以表示为：an = a + (n - 1)d。
等差数列在实际生活中有广泛的应用。
例如，我们可以借助等差数列的概念计算每天的步数增量。
假设第一天我们走了1000步，每天步数增加100步，那么根据等差数列的公式，第n天的步数可以表示为an = 1000 + (n - 1)100，利用这个公式，我们可以方便地计算出任意一天的步数。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的序列。
首项记作a，公比记作r，那么等比数列的通项公式可以表示为：an = ar^(n - 1)。
等比数列在许多实际问题中都有应用。
例如，我们可以通过等比数列来计算一笔存款在多年后的总额。
假设我们将1万元存入银行，年利率为5%，那么每年末的存款总额就可以用等比数列的公式来计算。
每年的总额等于上一年的总额乘以(1 + 5%)，也就是说an = 10000 * (1 + 5%)^(n - 1)。
三、应用实例除了上述的步数增量和存款总额等计算问题，等差和等比数列还在其他问题中有着广泛的应用。
1. 等差数列应用实例：求和等差数列的一个重要应用是求和问题。
我们可以很方便地利用等差数列的求和公式来计算一段连续整数的和。
假设我们要计算从1到100的所有整数的和，可以利用等差数列的求和公式：Sn = (n/2)(a + l)，其中Sn表示前n项和，n为项数，a为首项，l为末项。
在这个例子中，n=100，a=1，l=100，代入公式得到Sn = (100/2)(1 + 100) = 5050，因此从1到100的和为5050。
2. 等比数列应用实例：不断蔓延的细菌假设有一种细菌，每隔一小时会繁殖出两倍的数量。
等差、等比数列知识点总结
一、任意数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系：⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn二、等差数列1、等差数列及等差中项定义d a a n n =--1、211-++=n n n a a a 。
2、等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=、d k n a a k n )(-+=当0≠d 时，n a 是关于n 的一次式；当0=d 时，n a 是一个常数。
3、等差数列的前n 项和公式：2)(1n n a a n S +=d n n na S n 2)1(1-+= 4、等差数列}{n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+5、等差数列}{n a 的公差为d ，则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、m m S S 23-、……仍为等差数列。
6、B A a A d Bn An S n +==+=122，，7、在等差数列}{n a 中,有关n S 的最值问题利用n S （0≠d 时，n S 是关于n 的二次函数）进行配方（注意n 应取正整数） 三、等比数列1、等比数列及等比中项定义：q a a n n=-1、112+-=n n n a a a 2、等比数列的通项公式： 11-=n n q a a k n k n q a a -= 3、等比数列的前n 项和公式：当1=q 时，1na S n =当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 qqa a S n n --=114、等比数列}{n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a ⋅=⋅5、等比数列}{n a 的公比为q ，且0≠n S ,则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、m m S S 23-、……仍为等比数列6、0=++=B A B Aq S n n ，则四、求数列}{n a 的最大的方法：1-1n n n n a a a a ≥≥+五、求数列}{n a 的最小项的方法：1-1n n n n a a a a ≤≤+例：已知数列}{n a 的通项公式为：32922-+-=n n a n ，求数列}{n a 的最大项。
(完整版)等差、等比数列公式总结
一、等差数列等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
等差数列的一般形式为：a_n = a_1 + (n 1)d其中，a_n表示第n项，a_1表示第一项，n表示项数。
等差数列的前n项和公式为：S_n = n/2 (a_1 + a_n)或者S_n = n/2 (2a_1 + (n 1)d)二、等比数列等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示。
等比数列的一般形式为：a_n = a_1 q^(n 1)其中，a_n表示第n项，a_1表示第一项，n表示项数。
等比数列的前n项和公式为：S_n = a_1 (1 q^n) / (1 q) （当q ≠ 1时）或者S_n = n a_1 （当q = 1时）一、等差数列等差数列是一种常见的数列，其中每一项与前一项之间的差是恒定的。
这个恒定的差值被称为公差，通常用字母d表示。
等差数列的一般形式可以表示为：a_n = a_1 + (n 1)d其中，a_n表示第n项，a_1表示第一项，n表示项数。
S_n = n/2 (a_1 + a_n)或者S_n = n/2 (2a_1 + (n 1)d)这个公式可以帮助我们快速计算等差数列的前n项和。
二、等比数列等比数列是另一种常见的数列，其中每一项与前一项之间的比是恒定的。
这个恒定的比值被称为公比，通常用字母q表示。
等比数列的一般形式可以表示为：a_n = a_1 q^(n 1)其中，a_n表示第n项，a_1表示第一项，n表示项数。
S_n = a_1 (1 q^n) / (1 q) （当q ≠ 1时）或者S_n = n a_1 （当q = 1时）这个公式可以帮助我们快速计算等比数列的前n项和。
三、应用场景等差数列和等比数列在数学和现实生活中的应用非常广泛。
例如，在金融领域，等差数列可以用来计算定期存款的利息，而等比数列可以用来计算复利的增长。
等差等比数列的公式与技巧
第13讲等差、等比数列的公式与方法（一）知识归纳：1 .概念与公式：①等差数列：1° .定义：若数列｛a n｝满足a ni-a n=d（常数）,则｛a n｝称等差数列；2通项公式：a n =a i （n-1）d = a k （n- k）d; 3° .前n项和公式：公式：S n』a1an)=na1n(n「)d.2 2②等比数列：a1° .定义若数列｛a n｝满足亠丄q （常数），则｛a n｝称等比数列；2° .通a n项公式：a n - a1q - a k q ,3 .前n 项和公式：S n - - (q^1),当1 -q 1-qq=1 时S n = n &1.2 .简单性质：①首尾项性质：设数列｛a*｝： Qaa, ,a n,1 °•若｛a n｝是等差数列，则a1■ a n= a2■a n = a3■a n ^ ='';2 .右｛a n｝是等比数列，则&1，a n = a?，a n4 = *3 a n.②中项及性质:.设a, A , b成等差数列，则A称a、b的等差中项，且2:设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且G二-.ab.③设p、q、r、s为正整数，且p r s,1 ° .若｛a n｝是等差数列，则a p +a q =a「+a$;2° .若｛a n｝是等比数列，则a p a q =a r a s;④ 顺次n 项和性质：n 2n 3nn 2d 的等差数1 ° .若｛a n ｝是公差d 的等差数列，则 a a k , z a k , a a k 组成公差为k 二k :n 1 k 3 1列；n2n3n2 ° .若｛a n ｝是公差q 的等比数列，则v ak,'a k , 7 a k 组成公差为q n 的等比数kJ k m 1 k ：n 1列•（注意：当q=— 1, n 为偶数时这个结论不成立）⑤ 若｛a n ｝是等比数列，2则顺次n 项的乘积：a 1a^ a n ,a n 1a n 2…a 2n ,a 2n 1a 2n a 3n 组成公比这q n 的等比数列•⑥ 若｛a n ｝是公差为d 的等差数列，1 ° .若n 为奇数，则S n 二na 中且S 奇-S 偶 = a 中 （注：a 中指中项，即a^ = a n d ,而S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；2。
数列的等差数列与等比数列的计算
数列的等差数列与等比数列的计算数列是数学中常见的概念，它是由一串数按照一定规律排列而成的序列。
其中，等差数列和等比数列是两种常见的数列形式。
本文将会介绍等差数列和等比数列的计算方法。
一、等差数列的计算等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持恒定。
设等差数列的首项为a₁，公差为d。
则数列的通项公式为：an = a₁ + (n - 1)d其中，an表示数列的第n项。
1. 求首项和公差若已知等差数列的前n项和Sn、项数n以及末项an，可通过下列公式求得首项a₁和公差d：a₁ = (2S₁- nₐₙd) / (n + 1)d = (an - a₁) / (n - 1)2. 求和公式等差数列的前n项和Sn的计算公式为：Sn = (n / 2)(a₁ + an)二、等比数列的计算等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持恒定。
设等比数列的首项为a₁，公比为q。
则数列的通项公式为：an = a₁ * q^(n-1)其中，an表示数列的第n项。
1. 求首项和公比若已知等比数列的前n项和Sn、项数n以及末项an，可通过下列公式求得首项a₁和公比q：a₁ = Sn / (q^n - 1) + n / (1 - q)q = (an / a₁)^(1 / (n - 1))2. 求和公式等比数列的前n项和Sn的计算公式为：Sn = a₁ * (q^n - 1) / (q - 1)三、例题解析现有一个等差数列，前6项的和为45，公差为3，求首项和第8项。
解：根据已知信息可列出方程：45 = (n/2)(a₁ + a₈) ①a₈ = a₁ + (8 - 1)d ②代入公差d = 3，首项a₁ = ?，化简方程：45 = 4.5(a₁ + 7d)10 = a₁ + 21da₁ = 10 - 21d将公差代入，得到首项：a₁ = 10 - 21 * 3a₁ = -53将首项代入公式②，求得第8项a₈：a₈ = -53 + 7 * 3a₈ = -32所以，该等差数列的首项为-53，第8项为-32。
第六讲：等差、等比数列的运用公式大全
第六讲:等差、等比数列得运用1、 等差数列得定义与性质定义:(为常数),等差中项:成等差数列前项与性质:就是等差数列,则,仍为等差数列,公差为;,可设为,且前项与分别为,则(为常数,就是关于得常数项为0得二次函数)得最值可求二次函数得最值;或者求出中得正、负分界项,即:当,解不等式组可得达到最大值时得值、当,由可得达到最小值时得值、项数为偶数得等差数列,有 ),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S Λ,、,有 ,,、2、 等比数列得定义与性质定义:(为常数,),、等比中项:成等比数列,或、前项与:(要注意！)性质:就是等比数列(1)若,则(2)仍为等比数列,公比为、注意:由求时应注意什么？时,;时,、3.求数列通项公式得常用方法如:数列,,求解时,,∴①时, ②①—②得:,∴,∴［练习］数列满足,求又,∴就是等比数列,注意到,代入得;时,如:数列中,,求解,∴又,∴、由,求,用迭加法时,两边相加得∴(为常数,)可转化为等比数列,设令,∴,∴就是首项为为公比得等比数列∴,∴求由已知得:,∴∴为等差数列,,公差为,∴,∴(附:公式法、利用、累加法、累乘法、构造等差或等比或、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)4、 求数列前n 项与得常用方法把数列各项拆成两项或多项之与,使之出现成对互为相反数得项、 如:就是公差为得等差数列,求 解:由∴11111223111111111111n n k k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑……［练习］求与:若为等差数列,为等比数列,求数列(差比数列)前项与,可由,求,其中为得公比、如:① ②①—②时,,时, 把数列得各项顺序倒写,再与原来顺序得数列相加、相加［练习］已知,则由∴原式11111(1)(2)(3)(4)111323422f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦求数列得前n项与1.倒序相加法:如果一个数列{a n},与首末项等距得两项之与等于首末两项之与,可采用把正着写与倒着写得两个与式相加,就得到一个常数列得与,这一求与方法称为倒序相加法。
等差等比序列公式
等差等比序列公式
等差数列和等比数列是初中数学中比较基础的知识点，而它们的公式是我们在解题时必不可少的工具。
下面，我们一起来学习一下等差数列和等比数列的公式。
一、等差数列公式
等差数列是指一个数列中每一项与它的前一项的差都相等。
比如：1，3，5，7，9…，其中相邻两项的差都是2，因此，这是一个公差
为2的等差数列。
对于一个公差为d的等差数列，它的第n项可以表示为：
an = a1 + (n-1)d
其中，an表示第n项，a1表示第一项。
另外，如果我们已知等差数列的前n项和Sn，那么它的第n+1
项可以表示为：
an+1 = 2Sn - an
二、等比数列公式
等比数列是指一个数列中每一项与它的前一项的比都相等。
比如：1，2，4，8，16…，其中相邻两项的比都是2，因此，这是一个公比为2的等比数列。
对于一个公比为q的等比数列，它的第n项可以表示为：
an = a1 x q^(n-1)
其中，an表示第n项，a1表示第一项。
另外，如果我们已知等比数列的前n项和Sn，那么它的第n+1
项可以表示为：
an+1 = q x Sn
以上就是等差数列和等比数列的公式，掌握了这些公式，我们就能够更加轻松地解决各种与等差数列和等比数列相关的问题。
等差数列等比数列知识点归纳总结
等差数列等比数列知识点归纳总结等差数列和等比数列是高中数学中非常重要的概念，它们在解决各种数学问题中都起着重要的作用。
本文将对等差数列和等比数列的基本概念、性质、求和公式以及应用进行归纳总结。
一、等差数列等差数列是指一个数列中的每一项与前一项之间的差都相等。
这个相等的差值被称为等差数列的公差，通常用字母d表示。
1. 基本概念一个等差数列可以以通项公式的形式表示为：an = a1 + (n - 1) * d，其中an表示数列的第n项，a1表示第一项，d表示公差。
2. 性质（1）公差：等差数列的公差d是等差数列中相邻两项的差，公差可以是正数、负数或零。
（2）公式：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1) * d，其中n表示项数。
（3）前n项和：等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn = n * (a1 + an) / 2来计算。
3. 应用等差数列广泛应用于数学和物理等领域，常见的应用包括：（1）数学题目中的差额、间隔、递推关系等。
（2）物理问题中的匀速直线运动、连续等差分布等。
（3）经济学中的利润、销售额等。
二、等比数列等比数列是指一个数列中的每一项与前一项之间的比都相等。
这个相等的比值被称为等比数列的公比，通常用字母r表示。
1. 基本概念一个等比数列可以以通项公式的形式表示为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示数列的第n项，a1表示第一项，r表示公比。
2. 性质（1）公比：等比数列的公比r是等比数列中相邻两项的比值，公比可以是正数、负数或零。
（2）公式：等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n表示项数。
（3）前n项和：等比数列的前n项和可以通过求和公式Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)来计算。
3. 应用等比数列也广泛应用于数学和物理等领域，常见的应用包括：（1）数学题目中的倍数关系、增长衰减等。
（2）物理问题中的连续等比分布、指数增长等。
等差等比数列求和公式大全_等比数列怎么求和
等差等比数列求和公式大全_等比数列怎么求和等差等比数列求和公式大全等差数列公式：等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2从等差数列的定义、通项公式、前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1(类似地：p1+pn=p2+pn-1=p3+pn-2=…=pk+pn-k+1)，k∈{1,2,…,n}.等比数列公式：(1)等比数列的通项公式是：An=A1×q^(n-1)若通项公式变形为an=a1/qxq^n(n∈Nx),当q0时，则可把an看作自变量n 的函数，点(n,an)是曲线y=a1/qxq^x上的一群孤立的点。
(2) 任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}(4)等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
(5) 等比求和：Sn=a1+a2+a3+.......+an①当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)②当q=1时， Sn=n×a1(q=1)记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1等比数列的求和公式的应用1. 数学题目在一些数学题目中，需要计算等比数列的前 n 项的和。
通过使用等比数列的求和公式，可以快速计算出结果。
这类题目通常涉及金融、物理、几何等领域。
2. 财务和投资计算在财务和投资领域，等比数列的求和公式可以用来计算复利问题。
当利率保持不变，每期利息与本金的比值也保持不变时，可以将问题转化为等比数列，并使用求和公式计算出累积本金与利息的总和。
等差数列、等比数列的应用
6.4 等差数列、等比数列的应用考点梳理--重双基考点一 等差数列、等比数列的通项公式 1.等差数列的通项公式：()d n a a n 11-+=；2.等比数列的通项公式：11-=n n q a a .考点二 等差数列、等比数列的前n 项和公式 3.等差数列的前n 项和公式 求和公式1：()21n n a a n S +=（已知1n n a a 、、求n S ）；求和公式2：()d n n na S n 211-+=（已知1n a d 、、求n S ）. 4.等比数列的前n 项和公式 （1）当1q ≠时，求和公式1：()qq a S n n --=111 （已知n q a ,,1求n S ）；求和公式2：qqa a S n n --=11（已知n a q a ,,1求n S ）.（2）当1q =时，1na S n =.自我检测1.如图所示，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形.其中最小的三角形顶点的个数(重合的顶点只计一次)依次为：3，6，10，15，21，…，则这个数列的第9项是（ ）A.53B.54C.55D.561.C 【解析】数列第一项为3，第二项比第一项多3，以后每项比前项多项数加1，所以第9项为3＋3＋4＋5＋6＋…＋10＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋…＋10＝55.2.某工厂去年12月份产值为a ，若月平均增长率为p ，则今年12月份产量为（ ） A.ap B.()p a +1 C.()111p a + D.()121p a +2.D3.某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有 个座位.3.1020【解析】第一排座位数：702(201)32-⨯-=（个），一共有座位：(3270)2021020+⨯÷=（个）．4．某省今年高考高校招生人数为a 万人，计划以后每年扩招%10，五年后该省的高校招生人数为 万人．（结果用指数幂表示） 4．51.1a5.点点读一本故事书，第一天读了30页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多4页，最后一天读了70页，刚好读完．那么，这本书一共有多少页？5.【解析】每天看的页数组成等差数列{}n a ，公差4=d ，首项301=a ，末项70=n a ， 则由()d n a a n 11-+=，得()704130=⨯-+n ，解得11=n .所以这本书的总页数()550270301111=+⨯=S (页）.6.小王和小高同时在某个单位实习，小王第一个月得到1500元工资，以后每月多得60元；小高第一个月得到1200元工资，以后每月多得45元.两人工作一年后，所得的工资总数相差多少元？6.【解析】设小王12~1月工资构成数列{}n a ，由题意可知60,15001==d a ，设小高12~1月工资构成数列{}n b ，由题意可知45',12001==d b .利用等差数列求和公式可得，工作一年后，小王的工资总数为21960606615001221112121=⨯+⨯=⨯⨯+d a ；小高的工资总数为173704566120012'21112121=⨯+⨯=⨯⨯+d b .所以一年后两人所得工资总数相差45901737021960=-元.考法拓展--重能力考法一 等差数列的应用◇◆难点释疑1.等差数列的通项公式：()d n a a n 11-+=；2.等差数列的前n 项和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=； 3.一般先判断和证明数列是等差数列，再确定等差数列的相关元素，最后利用等差数列的性质解答.◇◆典型例题【例题1】有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层．问最下面一层有多少根？总共有多少根？【考查目标】 考查学生将实际问题转化为数学问题的能力，并能用等差数列相关性质解题. 【解题指南】将每层圆木根数写出来，依次是：5，6，7，8，9，10，…可以看出，这是一个等差数列，它的首项51=a ，公差1=d ，项数是28=n ．由题意得，最下面一层即()321275128128=⨯+=⨯-+=d a a （根），圆木总数为d a S ⨯⨯+=2272828128 51812714528=⨯⨯+⨯=（根）. 答：最下面一层有32根，总共有518根. ◇◆反思提炼解决此类问题，首先要能根据题目所给条件将实际问题转化为等差数列模型，然后分清首项与公差，最后利用等差数列的通项公式与求和公式解之.◇◆变式训练1一个大剧院，座位排列成的形状是一个梯形，第一排有10个座位，第二排有12个座位，第三排有14个座位，……，最后一排有210个座位，那么剧院中间一排有多少个座位？这个剧院一共有多少个座位?◇◆变式训练1如果我们把每排的座位数依次记下来，10，12，14，16，… 容易知道构成的是一个首项为10，公差为2的等差数列．则()2110210⨯-+=n ，解得101=n ，即这个大剧院共有101排座位.中间一排就是第()5121101=÷+排，那么中间一排有：105112110+-⨯=（）（个）座位．根据等差数列的求和公式，这个剧场座位一共有：()11110221010101101=+⨯=S （个）．【例题2】某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同亩数的土地沙化，具体情况如下表所示：而一旦植完，则不会被沙化.问：（1）每年沙化的亩数为多少？ （2）到哪一年可绿化完全部荒沙地？【考查目标】 建立正确的数列模型，分清题目涉及的已知数、未知数，根据模型依次列出数列的一些项，找出规律，求出通项公式或前n 项和公式，进而求解.【解题指南】（1）由表知，每年比上一年多造林400亩.因为2017年新植1400亩，故当年沙地应降为23800140025200=-亩，但当年实际沙地面积为24000亩，所以2017年沙化土地为200亩.同理2018年沙化土地为200亩，所以每年沙化的土地面积为200亩. （2）设2018年及其以后各年的造林亩数分别为Λ,,,321a a a ，则()140040040011800+=⨯-+=n n a n . n 年造林面积总和为()400211400⨯-+=n n n S n .由（1）知，每年林木的“有效面积”应比实造面积少200亩.由题意：24000200≥-n S n ，化简得012072≥-+n n ，解得8≥n .故到2025年可绿化完全部沙地.◇◆反思提炼首先要判断和证明数列是等差数列，其次一定要弄清数列的首项和公差等基本量，要分清是数列的通项问题还是数列的求和问题.◇◆变式训练2用分期付款的方式购置一中型商场一套，价格为1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为%1.若付150万元后的第一个月开始算分期付款，在分期付款的第10个月应交付多少钱？全部贷款付清后，买这套商场实际花了多少钱？◇◆变式训练2首付150万元，则欠款1000万元，依题意需分20次分清，则每次的还款数额顺次构成一数列，记作{}n a .15010000.0160a =+⨯=（万元） 250(100050)0.0159.5a =+-⨯=（万元） 350(1000502)0.0159a =+-⨯⨯=（万元）……50(100050(1))0.0160(1)0.5n a n n =+-⨯-⨯=--⨯（万元），所以{}n a 是以及60为首项，－0.5为公差的等差数列.106090.555.5a =-⨯=（万元）.20次分期付款总和2020[60(60190.5)]11052S +-⨯==（万元）， 所以，实际付款共为11051501255+=（万元）.答：第10个月付款55.5万元，买这套商场实际花了1255万元.考法二 等比数列的应用◇◆难点释疑1.等比数列的通项公式：11-=n n q a a ；2.等比数列的前n 项和公式：⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=--=)1()1(11)1(111q na q qq a a q q a S n n n . 3.一般先判断和证明数列是等比数列，再确定等比数列的相关元素，最后利用等比数列的性质解答.◇◆典型例题【例题3】某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍.求： （1）第5天植树多少棵？（2）连续植树6天，能否完成计划？【考查目标】 本题着重考查等比数列的建模能力，并要求熟练使用等比数列的通项公式和求和公式解题.【解题指南】设每天植树的棵数构成的数列为{}n a ，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2.（1）第5天植树棵数为32224415=⨯==q a a （棵）.（2）连续植树6天，则植树总棵数为()()12621212116616=--⨯=--=q q a S （棵），因为100126>，所以连续植树6天，能完成计划. ◇◆反思提炼由题目所给条件构建等比数列模型，分清是求某项还是求和，再利用等比数列相关知识解决.◇◆变式训练3某种细胞在培养过程中，每30分钟分裂一次（1个细胞分裂成2个），经过4个小时后，这种细胞由1个繁殖成多少个？◇◆变式训练3经过4个小时，细胞分裂8次.第1次分裂，1个繁殖成12个，第2次分裂，繁殖成22个，以此类推，第8次分裂，这种细胞由1个繁殖成25628=个.【例题4】某人年初用26万元购买一套农村住房，付现金16万元，按合同欠款分6年付清，年利息为%10，每年以复利计算利息，问每年年底应还款多少万元？【考查目标】在现实生活中，细胞分裂、国民经济增长、核裂变、住房贷款中的等额本息还款、复利计息、植树造林面积等比增长等问题都可建立等比数列模型，运用等比数列知识进行解决.【解题指南】设每年年底应还款x 万元，以最后一次还款日为利息计算的截止时间，则还款6次的本息和依时间先后依次为：5510) 1.1(1x x =+%万元，41.1x 万元，31.1x 万元，21.1x 万元，1.1x 万元，x 万元，还款本息和总和为54321.1 1.1 1.1 1.1 1.1x x x x x x +++++（万元）；贷款10万元，6年后的本息和为6610(11010 1.1+=⨯%)万元.根据题意得543261.1 1.1 1.1 1.1 1.110 1.1x x x x x x +++++=⨯，则 2.3008x ≈.答：每年年底应还款2.3008万元.◇◆反思提炼解有关数列应用问题时，除按照一般应用问题所遵循的步骤外，还应特别注意以下几点： （1）把问题转化为数列问题，应分清是等差数列还是等比数列，公差或公比是什么. （2）应分清是求n a ，还是求n S .（3）还应确定1a ，当确定1a 后，特别要注意n 是多少，q （或d ）是多少.◇◆变式训练4某家庭计划在2025年初购一套50万元的小型住房. 为此，计划于2020年初开始每年年初存入一笔购房专用款，使其能在2025年初连本带息不少于50万元人民币，如果年初的存款额相同，年利息按%4的复利计. 那么每年至少需存入银行多少万元人民币？（精确到0.01，参考数据265.104.16≈）.◇◆变式训练4由于2020年至2025年，该家庭每年存入x 万元，至2025年初的本利和分别为5%)41(+x ，4%)41(+x ，3%)41(+x ，2%)41(+x ，%)41(+x ，x 组成一个等比数列，2025年初连本带息共有n S 万元.令x a =1，则04.1%41=+=q ，把所给条件代入公式qq a S n n --=1)1(1 ，得()5004.1104.116≥--x ， 解得x ≥55.7. 答：每年至少需存入银行55.7万元人民币，才能使其能在2025年初连本带息不少于50万元人民币.考题精选--重实战1.一个三角形的三个内角既成等差数列，又成等比数列，则公差等于（ ） A.0° B.15° C.30° D.60° 1.A2.某林场计划第一年造林a 公顷，以后每年比上一年多造林%20，那么第5年造林的公顷数是（ ）A.5%)201(+a B.4%)201(+a C.3%)201(+a D.2%)201(+a 2.B3.在ABC ∆中，三个内角C B A ,,成等差数列，则=B （ ） A.ο30 B.ο60 C.ο90 D.无法确定 3.B 【解析】B C A B -=+=ο1802，所以=B ο60.4.幼儿园304个小朋友围成若干个圈(一圈套一圈)做游戏，已知内圈24人，最外圈52人，如果相邻两圈相差的人数相等，那么相邻的两圈相差的人数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.44.D 【解析】这一等差数列的和是304，首项24，末项52，代入公式()21n n a a n S +=，得()30425224=+n ，解得8=n .再由公式()d n a a n 11-+=，得()521824=⨯-+d ，解得4=d ．5.某产品平均每月降低价格的14，目前售价为640元，则三个月后售价为（ ） A.100元 B.240元 C.270元 D.360元5.C 【解析】一个月后售价为⎪⎭⎫ ⎝⎛-411640，两个月后售价为2411640⎪⎭⎫⎝⎛-，三个月后售价为2704116403=⎪⎭⎫⎝⎛-.6.在小于100的正整数中，能被3除余2的这些数的和是 . 6.16507.在1-和7之间插入三个数，使它们顺次形成等差数列，则这三个数是 . 7.1，3，58.如图所示，白色和黑色的三角形按顺序排列．当两种三角形的数量相差12个时，白色三角形有 个．8.66【解析】根据题意可知，每个图形两种三角形的个数相差依次成数列1，2，3，4，L 排列，所以第12个图形的两种三角形的个数相差为12，这个图形的白色三角形的个数是1231166++++=L (个)．9.某市提出了实施“校校通”工程的总目标：从2020年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2020年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2020年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？9.【解析】根据题意，该市从2020年起，每年在“校校通”工程上投入的经费组成一个等差数列{}n a ，其中1500a =，50d =，那么，到2030年（10n =），投入的资金总额为1010(101)105005072502S ⨯-=⨯+⨯=（万元）. 答：从2020～2030年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.10.西部某地区计划第一年植树造林2000公顷，以后每一年比前一年多造林%10，问： （1）该地区第3年造林多少公顷？ （2）到第4年底该地区共造林多少公顷？10.【解析】由题意知，每年植树造林的公顷数组成等比数列，记为{}n a .12000a =， 1.1q =，则12000 1.1n n a -=⨯，2000(1 1.1)1 1.1n n S -=-.（1）3132000 1.12420a -=⨯=.（2）4442000(1 1.1)20000(1.11)92821 1.1S -==⨯-=-. 答：该地区第3年造林2420公顷，到第4年底该地区共造林9282公顷.。
(完整版)高中数学数列公式大全(很齐全哟~)
一、高中数列基本公式：1、一般数列的通项a n与前 n 项和 S n的关系： a n=2、等差数列的通项公式： a n=a1+(n-1)d a n=a k+(n-k)d ( 此中 a1为首项、 a k为已知的第 k 项 ) 当 d≠0时， a n是关于 n 的一次式；当d=0 时， a n是一个常数。
3、等差数列的前n 项和公式： S n=S n =S n=当 d≠0时，（ a1≠0），S n是关于 n 的二次式且常数项为S n=na1是关于 n 的正比率式。
0；当d=0时4、等比数列的通项公式： a n= a 1 q n-1 a n= a k q n-k( 此中 a1为首项、 a k为已知的第 k 项， a n≠0)5、等比数列的前 n 项和公式：当 q=1 时， S n=n a1 ( 是关于 n 的正比率式 ) ；当 q≠1时， S n=S n=三、高中数学中有关等差、等比数列的结论1、等差数列 {a n} 的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m-S m、S3m-S 2m、S4m - S 3m、仍为等差数列。
2、等差数列 {a n} 中，若 m+n=p+q，则3、等比数列 {a n} 中，若 m+n=p+q，则4、等比数列 {a S3m-S 2m、S4m - S n}的任意连续m项的和构成的数列3m、仍为等比数列。
S m、S2m-S m、5、两个等差数列{a n } 与{b n} 的和差的数列{a n+b n} 、{a n -b n} 仍为等差数列。
6、两个等比数列{a n } 与{b n} 的积、商、倒数构成的数列{a n b n} 、、仍为等比数列。
7、等差数列 {a n} 的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
8、等比数列 {a n} 的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
9、三个数成等差数列的想法：a-d,a,a+d；四个数成等差的想法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d10、三个数成等比数列的想法：a/q,a,aq；四个数成等比的错误想法：a/q3,a/q,aq,aq3(为何？)11、 {a n}为等差数列，则(c>0)是等比数列。
等差数列、等比数列相关性质和公式以及数列的求和方法
等差、等比的公式性质以及数列的求和方法第一节：等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d aa n n=--1（d为公差）（2³n ，*n N Î）注：下面所有涉及n ，*n N Î省略，你懂的。
2、等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差 推广公式：()nma a n m d =+-变形推广：变形推广：mn a a d mn --= 3、等差中项、等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列是等差数列)2(211-³+=Û+n a a a n n n 212+++=Ûn n n a a a 4、等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中（其中A A 、B 是常数，所以当是常数，所以当d d ≠0时，时，S S n 是关于是关于n n 的二次式且常数项为项为00）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法、等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*ÎN n )Û {}n a 是等差数列．等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列是等差数列)2(211-³+=Û+n aa a n n n212+++=Ûn n n aa a（（3）数列{}n a 是等差数列Ûbkn a n +=（其中b k ,是常数）。
等差等比数列公式大全
等差等比数列公式大全等差数列是指一个数列中任意相邻两项的差都相等的数列，而等比数列是指一个数列中任意相邻两项的比都相等的数列。
这两种数列在数学中有着广泛的应用，因此掌握它们的公式是非常重要的。
下面我们将介绍等差数列和等比数列的公式大全。
一、等差数列公式。
1. 第n项公式。
对于等差数列$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$，其第n项公式可以表示为：$a_n = a_1 + (n-1)d$。
其中，$a_n$表示第n项，$a_1$表示首项，n表示项数，d表示公差。
2. 前n项和公式。
等差数列的前n项和公式可以表示为：$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$。
其中，$S_n$表示前n项和。
3. 通项公式。
等差数列的通项公式可以表示为：$a_n = a_1 + (n-1)d$。
其中，$a_n$表示第n项，$a_1$表示首项，n表示项数，d表示公差。
二、等比数列公式。
1. 第n项公式。
对于等比数列$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$，其第n项公式可以表示为：$a_n = a_1 r^{(n-1)}$。
其中，$a_n$表示第n项，$a_1$表示首项，n表示项数，r表示公比。
2. 前n项和公式。
等比数列的前n项和公式可以表示为：$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$。
其中，$S_n$表示前n项和。
3. 通项公式。
等比数列的通项公式可以表示为：$a_n = a_1 r^{(n-1)}$。
其中，$a_n$表示第n项，$a_1$表示首项，n表示项数，r表示公比。
三、等差数列和等比数列的应用。
1. 等差数列和等比数列在数学中有着广泛的应用，特别是在数学建模和金融领域中。
2. 通过等差数列和等比数列的公式，可以快速计算数列中任意项的值和前n项和，为解决实际问题提供了便利。
3. 在金融领域，等差数列和等比数列常常用来描述利息的增长和贷款的还款情况，对于理解和计算复利有着重要的作用。
等差等比数列公式大全
等差等比数列公式大全等差数列公式1.n个项的等差数列的前n项和公式如下：Sn=(n/2)*(a+l)其中，Sn表示前n项的和，a为首项，l为末项，n为项数。
2.等差数列通项公式如下：an = a + (n-1)d其中，an表示第n项，a为首项，d为公差，n为项数。
3.等差数列求和公式如下：Sn=(n/2)*(2a+(n-1)d)其中，Sn表示前n项的和，a为首项，d为公差，n为项数。
4.等差中项公式如下：a+c=2b其中，a为首项，c为末项，b为中项。
等比数列公式1.等比数列通项公式如下：an = a * r^(n-1)其中，an表示第n项，a为首项，r为公比，n为项数。
2.等比数列求和公式（当公比r不等于1时）如下：Sn=(a*(r^n-1))/(r-1)其中，Sn表示前n项的和，a为首项，r为公比，n为项数。
3.等比数列求和公式（当公比r等于1时）如下：Sn=a*n其中，Sn表示前n项的和，a为首项，n为项数。
4.无穷等比数列的和公式如下：S=a/(1-r)其中，S表示无穷等比数列的和，a为首项，r为公比。
综合应用1.如果已知等差数列的首项a、末项l和项数n，可以通过末项的求和公式反推得到公差d：d=(l-a)/(n-1)2.如果已知等比数列的首项a、末项l和项数n，可以通过末项的求和公式反推得到公比r：r=(l/a)^(1/(n-1))3.如果已知等差数列的和Sn、首项a和项数n，可以通过和的求和公式反推得到末项l：l=a+(n-1)*d4.如果已知等比数列的和Sn、首项a和项数n，可以通过和的求和公式反推得到末项l：l=a*r^(n-1)5.如果已知等差数列的和Sn、首项a和末项l，可以通过和的求和公式反推得到项数n：n=(2Sn-(l-a))/d6.如果已知等比数列的和Sn、首项a和末项l，可以通过和的求和公式反推得到项数n：n = log(l / a) / log(r)以上是常见的等差数列和等比数列的公式，可用于求解相关问题和进行数列的计算。
等差数列与等比数列的知识点总结
等差数列与等比数列的知识点总结等差数列与等比数列是数学中常见的两种数列，它们在数学和实际生活中都有着重要的应用。
下面将从定义、性质、求和公式和应用等几个方面对等差数列和等比数列进行全面总结。
**一、等差数列的基本概念**等差数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列。
一般来说，等差数列的通项公式为：a_n=a_1+(n-1)d，其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的首项，n表示项数，d表示公差。
**二、等差数列的性质**1. 等差数列的通项公式：a_n=a_1+(n-1)d2. 等差数列的前n项和公式：S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)3. 等差数列的性质：任意三项成等差数列，等差中项相等。
4. 等差数列的性质：首项与末项的关系。
**三、等差数列的应用**等差数列在实际生活中有着广泛的应用，比如在金融领域中的等额还款、在物理学中的匀速运动等等。
**四、等比数列的基本概念**等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列。
一般来说，等比数列的通项公式为：a_n=a_1 \cdot q^{n-1}，其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的首项，n表示项数，q表示公比。
**五、等比数列的性质**1. 等比数列的通项公式：a_n=a_1 \cdot q^{n-1}2. 等比数列的前n项和公式：S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}，当|q|<1时成立3. 等比数列的性质：首项、末项、项数的关系。
4. 等比数列的性质：任意三项成等比数列，等比中项与等比积。
**六、等比数列的应用**等比数列同样在实际中有着广泛的应用，比如在利息计算中的等比增长、在生物学中的细胞分裂等等。
**结语**等差数列与等比数列是数学中基础而重要的概念，它们不仅在数学理论中有着重要的意义，而且在实际生活中也有着广泛的应用。
等差等比数列公式大全
等差等比数列公式大全(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--等差等比数列公式大全《起点家教班》1、 a n ={()2)1(11≥-=-n s s n s n n 注意：1--=n n n s s a 不是对一切正整数n 都成立，而是局限于n ≥22、 等差数列通项公式：n a =1a +（n-1）d = m a +(n-m)d ⇒ d=mn a a mn --(重要) 3、 若{n a }是等差数列，m+n=p+q 则m a +n a =p a +q a 4、 若{n a }是等比数列，m+n=p+q 则m a .n a =p a .q a5、 {n a }是等差数列，若m 、n 、p 、q ∈N *且m ≠n,p ≠q,则m n a a m n --=qp a a qp --=d6、 等差数列{n a }的前n 项和为n s ，则n s =()21na a n + （已知首项和尾项）=()211dn n na -+（已知首项和公差） =n d a dn ⎪⎭⎫⎝⎛-+212112（可以求最值问题）7、 等差数列部分和性质：m m m m m s s s s s 232,,--…仍成等差数列其公差是原来公差的m 28、 n s 的最值问题：若{n a }是等差数列，1a 为首项，d 为公差 ① 首项1a ＞0，d ＜0,n 满足n a ≥0，1+n a ＜0时前n 项和n s 最大 ② 首项1a ＜0，d ＞0,n 满足n a ≤0，1+n a ＞0时前n 项和n s 最小 9、 在等差数列{n a }中，奇s 与偶s 的关系：①当n 为奇数时，n s =21+n , 奇s －偶s =a 21+n ，偶奇s s ＝11-+n n ②当n 为奇数时，n s ＝n.2122++nn a a ， 奇s －偶s =d n 2偶奇s s =122+nna a10、若{n a }是等比数列，a,G,b 成等比数列则G 2=ab(等比中项)11、若{n a }，{}n b （项数相同）是等比数列则{}{}{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧•⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n n n n n b a b a a a a ,,,1,2λ仍是等比数列12、等比数列单调性的问题①当1a ≥0时，若0＜q ＜1则{n a }是递减数列; q ＞1则{n a }是递增数列 ②当1a ＜0时，若0＜q ＜1则{n a }是递增数列; q ＞1则{n a }是递减数列13、在等差数列中抽取新数列：一般地，对于公差为d 的等差数列{n a }，若...,321k k k 成等差数列，那么,......,,,321kn k k k a a a a 仍成等差数列，而且公差为（12k k -）d14、在等比数列中抽取新数列：,......,,,321kn k k k a a a a 组成新数列{}nk a ，如果序号...,321k k k 组成数列为{}n k ，且n k 成公差为m 的等差数列，那么数列{}nk a 是以q m 为公比的等比数列15、等比数列的前n 项和n s =()qq a n--111=q q a a n --11。
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第六讲：等差、等比数列的运用1. 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+ 前n 项和()()11122n n a a n n n S nad +-==+性质：{}n a 是等差数列m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n nn n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；a d a a d -+，，n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S bT --= }n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值.当100a d <>，，由10n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值.项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n aa n a a n S Λ nd S S =-奇偶，1+=n na a S S 偶奇. 12-n 的等差数列{}n a ，有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-，n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇. 2. 等比数列的定义与性质定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=.等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G =前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意！）性质：{}n a 是等比数列（1）若m n p q +=+，则mn p q a a a a =·· （2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q . 注意：由n S 求n a 时应注意什么？1n =时，11a S =； 2n ≥时，1n n n a S S -=-. 3．求数列通项公式的常用方法如：数列{}n a ，12211125222n n a a a n +++=+……，求n a解 1n =时，112152a =⨯+，∴114a = ①2n ≥时，12121111215222n n a a a n --+++=-+…… ②①—②得：122nn a =，∴12n n a +=，∴114(1)2(2)n n n a n +=⎧=⎨≥⎩ ［练习］数列{}n a 满足111543n n n S S a a +++==，，求n a注意到11n n n a S S ++=-，代入得14n nS S +=；又14S =，∴{}n S 是等比数列，4n n S =2n ≥时，1134n n n n a S S --=-==……·如：数列{}n a 中，1131n n a na a n +==+，，求n a解3212112123n n a a a n a a a n --=·……·……，∴11n a a n=又13a =，∴3n a n =. 由110()n n a a f n a a --==，，求n a ，用迭加法2n ≥时，21321(2)(3)()n n a a f a a f a a f n --=⎫⎪-=⎪⎬⎪⎪-=⎭…………两边相加得1(2)(3)()n a a f f f n -=+++……∴0(2)(3)()n a a f f f n =++++……1n n a ca d -=+（c d 、为常数，010c c d ≠≠≠，，）可转化为等比数列，设()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+⇒=+- 令(1)c x d -=，∴1d x c =-，∴1n d a c ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是首项为11d a c c +-，为公比的等比数列 ∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭·，∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭11212nn n a a a +==+，，求n a 由已知得：1211122n n n n a a a a ++==+，∴11112n n a a +-= ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，111a =，公差为12，∴()()11111122n n n a =+-=+·， ∴21n a n =+(附：公式法、利用{1(2)1(1)n n S S n S n n a --≥==、累加法、累乘法.构造等差或等比1n n a pa q+=+或1()n n a pa f n +=+、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法) 4. 求数列前n 项和的常用方法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：{}n a 是公差为d 的等差数列，求111nk k k a a =+∑解：由()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++⎛⎫==-≠ ⎪+⎝⎭·∴11111223111111111111nnk k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-++-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑…… 11111n d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ［练习］求和：111112123123n+++++++++++ (121)n n a S n ===-+…………，若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，求数列{}n n a b （差比数列）前n 项和，可由n n S qS -，求n S ，其中q 为{}n b 的公比.如：2311234n n S x x x nx -=+++++……①()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……②①—②()2111n n n x S x x x nx --=++++-……1x ≠时，()()2111nnnx nx S x x -=---，1x =时，()11232n n n S n +=++++=……把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++⎫⎬=++++⎭…………相加()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++……［练习］已知22()1x f x x =+，则111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由2222222111()111111x x x f x f x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+=+= ⎪+++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴原式11111(1)(2)(3)(4)111323422f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦求数列的前n 项和1. 倒序相加法：如果一个数列{a n }，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。
我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n 项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。
2. 公式法：对等差数列、等比数列，求前n 项和S n 可直接用等差、等比数列的前n 项和公式进行求解。
运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
3.裂项相消法：是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。
4.错位相减法：是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。
即若在数列{a n·b n}中，{a n}成等差数列，{b n}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。
5.迭加法：主要应用于数列{a n}满足a n+1=a n+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成a n+1-a n=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出a n，从而求出S n。
6.分组求和法：是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。
7.构造法：是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。
)。