流体力学相似原理和量纲分析

动力相似（受力相似）用相似准则（相 似准数）的形式来表示，即：要使模型流动 和原型流动动力相似，需要这两个流动在时 空相似的条件下各相似准则都相等。
4.2 动力相似准则 （牛顿第二定律F m）a
由力比例尺可得： F ' 'V ' dv' / dt' F V dv / dt
作用力与惯性力之比
二、运动相似（速度场相似）
模型与原型流场中所有对应点上、对应时刻的流速方
向相同，大小成同一比例（流动相似的表现）。
速度比例尺：
kv
v v
时间比例尺：
kt
t t
l/ v l/v
kl kv
长度与速度比例尺确定后，所有运动学量比例 尺就已确定：
加速度比例尺：
ka
a a
v/ t v/t
kv kt
k
2 v
4.1 流动的力学相似
几何相似 流动相似
形状相似 同类现象 相似现象 几何相似 运动相似 动力相似
尺度成比例 遵循同一方程 物理量成比例 尺度成比例 速度成比例
力成比例
一、几何相似：
模型与原型对应线性长度比例相等（相似前提条件）。
长度比例尺：
kl
l l
面积比例尺：
kA
k
2 l
体积比例尺：
kV
k
3 l
如何科学地设计实验，正确有效地反映出相 关物理参数之间的实质性联系。
例：圆管的压强损失与圆管的长度、流体的密度、粘 度、平均速度和圆管直径、粗糙度有关。
p
v2
l d
f Re, d
主要内容
4.1 流动的力学相似 4.2 动力相似准则 4.3 流动相似的条件 4.4 近似模型试验 4.5 量纲分析法
Sr lf v
5. 弹性力相似准则
对于可压缩流的模型试验，要使流动相似，由压缩
kF 1 k kl2kv2
引起的弹性力场必须相似
体积模量比例尺
kF
dpA dpA
KdV /V A KdV /V A
kK kl2
k kv2 kK
1
v2
K
Ca （柯西数）
对于气体：
惯性力与弹性力之比
K / c2 v Ma （马赫数）
kF k kl2kv2
1
F
l 2v2
Ne
（牛顿数）
模型与原型的流场动力相似，则 Ne' Ne （牛顿相似 准则）
各单项力作用下的相似准则：
1. 重力相似准则
惯性力与重力之比
kF
Fg Fg
V g Vg
k
kl3kg
kv2 kl k g
1
v
gl 1/
2
Fr（弗劳德数）
2. 粘滞力相似准则
kF 1
k kl2kv2
无普遍意义(只能用于与实验条件完全相同的现 象中); 某些情况难以进行(如高温、高压、大型设 备)
以相似理论为基础的模型试验法（常规试验程序： 小中生产规模） 优点：易于控制、调节、节省投资； 试验参数少，工作量小； 实验充实数学分析，同时数学分析指导实验。
目的
为了实验流场与真实流场具有一定的对应关 系（相似性），实验中的各物理参数应该 如何确定？模型实验中的各种测量值应该 如何被换算为实物上的相应值？
c
6. 表面力相似准则
表面张力比例尺 惯性力与张力的比值
kF
F' F
l l
k
kl
k kl kv2 k
v2l
We
（韦伯数）
以上分析可知：物理现象中物理量不是单个起作用 的，而是由其组成的准则起作用的微分方程式的 解应是准则方程式。
4.3 流动相似的条件
同一类流动，为相同的微分方程组所描述。 • 单值条件相似，即几何条件、边界条件、
时间条件（非定常流）、物性条件（密度、 粘性等）相似。 • 同名相似准则数相等。
几个概念：
单值条件中的各物理量称为定性量，如密度 ，特
征长度 l，流速 v，粘度 ， 重力加速度 ；g
由定性量组成的相似准则数称为定性准则数，如雷诺 数 Re vl 弗劳德数 Fr v gl
包含被决定量的相似准则数称为非定性准则数，如压强
力比例尺：
kF
Fp Fp
F F
Fg Fg
Fi Fi
上述四种力分别代表总 压力、切向力、重力和 惯性力。
密度比例尺：
k
'
Fi' Fi
a'V ' aV
kF kakV
kF kl2kv2
若以密度、尺寸、速度作为基本变量，可推得动 力学比例尺：
力比例尺：
kF
V a Va
k
3 l
k
ka
k kl2 kv2
力矩（功、能）比例尺：
kM
M M
F l Fl
kF kl
k kl3kv2
压强(应力)比例尺：
kp
p p
Fp / A Fp / A
kF kA
k kv2
功率比例尺：
kP
P P
Fv Fv
kF kv
k kl2kv3
动力粘度比例尺：
k
k k
k klkv
要使模型流动和原型流动相似，需要两者 在时空相似的条件下受力相似。
kF
F F
dvx / dyA dvx / dyA
kkvkl
k klkv k
1
vl vl Re （雷诺数）
惯性力与粘滞力之比
3. 压力相似准则
总压力与惯性力之比
kF
pA pA
k pkl2
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kp k kv2
1
p
v2
Eu
（欧拉数）
欧拉数中的压强p也可用压差p来代替，即
Eu p
v2
4. 非定常性相似准则（由时间比例尺可得）
对于非定常流的模型试验，必须使模型与原型的流动随时间的
变化相似。
当地加速度引起的惯性力之比
kF k kl2kv2
1
kF
Fit' Fit
V
'
v
' x
V vx
t ' t
k kl3kv kt1
kl 1 l Sr （斯特劳哈尔
kv kt
vt
数或谐时数）
当地惯性力与迁移惯性力之比
对于波动或振荡的非定常流，其频 率为f，谐时数为：
kl
体积流量比例尺： kqv
qV qV
l3 / t kl3 l3 / t kt
kl2kv
运动粘度比例尺：
k
l2 l2
/ /
t t
kl2 kt
klkv
角速度比例尺：
k
v / l v/l
kv kl
三、动力相似：
模型与原型流场中所有对应点流体微团上受到的各
种力方向相同，大小成同一比例（流动相似的主导 因素）。
p与流速 v 总是存在一定关系，那么欧拉数 Eu p v2
便是非定性准则数。
例4-1 试通过模型试验确定出现漩涡的最小油面深度 hmin。已 知 ：d 250mm, qv 0.14m3 / s, 7.5105 m2 / s ，kl 1/ 5 为了保证流 动相似，模型输出管的内径、模型内流体的流量和运动粘度等于 多少？试验测得 hm in 60mm 。
工程研究方法及其特点
1. 数学分析法：微分方程（组）+ 定解条件求解 优点： （1）理论完善 （2）物理概念清晰 （3）能揭示过程的物理本质 （4）指出影响因素的主次关系
缺点： （1）对复杂工程问题难以描述 （2）求解难度大
2. 实验法 • 直接实验法：在原型实物上研究各物理量之间的
关系（只适用于简单变量关系） 优点：直接可靠 缺点：工作量