第四章 量纲分析与相似原理
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第四章 量纲分析与相似原理
第四章量纲分析与相似原理前面几章阐述了液流运动的基本方程，求解这些方程是解答水力学的问题的一个基本途径。
但由于液流问题的复杂性，求解这些方程在数学上常常会遇到难以克服的困难，因而不得不采用其他分析途径和试验方法来解答水力学问题。
量纲分析和相似原理就是指导分析和试验的重要方法。
通过量纲分析和相似原理可以合理地正确地组织、简化试验及整理成果。
对于复杂的流动问题，量纲分析和相似原理还可以帮助寻求物理量之间的联系，建立关系式的结构。
所以，在学习了流动的基本原理以后，先介绍这个在分析流动问题上的有力工具，为以后分析各种流动问题作准备。
但是，要正确运用这个方法，还必须对流动现象有一定的分析能力。
因此，也只有在学习以后各章的各种流动的知识之后，才能逐步加深掌握这一章的内容。
4-1 量纲分析的概念(一)量纲和单位在水力学(或流体力学)研究中需用密度、粘滞系数、长度、速度、时间和力等物理量来表述水流现象及其运动规律。
这些物理量按其性质的不同而分为各种类别，各类别可用量纲(或因次)来标志，如长度[L]、时间[T]、质量[M]、力[F]等。
量度各种物理量数值大小的标准，称为单位。
如长度为1米的管道，可用100厘米、3市尺或3.28英尺等不同的单位来表示1。
所选用的单位不同，数值也不同。
但上述单位均属长度类，即所有测量长度的单位(米、厘米、英尺等)均具有同1世界上大多数国家已采用统一的国际单位制（Systeme Internationaled’ Unites）,简称SI。
我国目前正在推广中，原使用的公制等单位还要同时使用，作为过渡。
一量纲，以[L]表示。
量纲可分为基本量纲和诱导量纲。
基本量纲必须具有独立性，即一个基本量纲不能从其它基本量纲推导出来，也就是不依赖于其它基本量纲，如[L]、[T]和[M]是相互独立的，不能从[L]、[T]中得出[M]，也不能从[T]、[M]中得出[L]。
但[L][T]和速度的量纲[v]就不是互相独立的，因为[v]= [LT]。
流体力学相似原理和量纲分析
称为不可压缩流体定常流动的力学相似准则。
11
四、马赫数
当考虑流体压缩性时，弹性力起主要作用 F=EA
在因次上 [F ] [E][A] El2
代入（4 —10）中的 F 时，则
Enln2
nln2Vn2
Emlm2
mlm2Vm2
即 En Em
nVn2 mVm2
对可压缩流体，音速a
E
, 因此
E
1 a2
欲使雷诺数相等，将有 n lm vn m ln vm
1
1
欲使弗劳德数相等，将有
n m
ln lm
2
gn gm
2
v l
l
1 2
v
l 32
这在技术上很难甚至不可能做到。实际中，常常要对所研 究的流动问题作深入的分析找出影响流动问题的主要作用力， 满足一个主要力的相似而忽略其它次要力的相似。
15
例：对于管中的有压流动及潜体绕流等，只要流动的雷 诺数不是特别大，一般其相似条件依赖于雷诺准则数。
m gmlm3
mlm
2 2 m
简化后得
2 n
m2
（4—14）
式中
2
Fr
gnln gmlm
，称为弗劳德 Froude 数。
gl
物理意义：
惯性力与重力之比。
9
三、欧拉数
研究淹没在流体中的物体表面上的压力或压强分布时，
起主要作用的力为压力 F pA 。
在因次上为
F pA Pl 2
将其代替式（4—10）中的F时，则
纲数之间的函数式（4—22），这就是泊金汉 E.Buckingham
定理。因为经常用 表示无量纲数，故又简称 定理。
相似原理与量纲分析
CF 1（无量纲数） 可以写成： 2 2 C C L Cu
1
Fp / Fm
p L2p u 2 p 2 2 m Lm um
Fm 2 2 2 2 m Lm um p Lp u p
Fp
F L2u 2
牛顿数： N e
( Ne ) p Ne m
若两个水流不仅几何相似，而且是动力相似的，则他们的牛顿数 必须相等；反之亦然，称为牛顿相似准则。
AP L2 2 P 2 CL 面积比尺： C A Am Lm
VP L3 3 P C C 体积比尺： V L Vm L3 m
LP （原型） Lm （模型）
§4-1相似的基本概念
⑵运动相似 （运动状态相似，速度、加速度必须平
行且具有同一比例）： 速度相似比尺： Cu
up
um
Gp M pgp
CG C F 重力与惯性力之比值为同一常数
则：
C C C g C C C
3 L 2 L
2 u
u C 1 也可写成 得： C g CL g p L p g m Lm
2 u
u
2 p
2 m
(Fr)p=(Fr)m
Fr 表明了惯性力与重力之比
（佛汝德数）
§4-2相似准则
§4-3相似原理的应用
对同时受重力和粘性力作用的液体，应当同时满足Re和Fγ 准则，才能保证流动相似， 但Fr准则要求 Cu CL 而Re准则要求 则有：
二者不能同时满足
Cu 1 / CL
2 Cu 1 和 C g CL
解决的办法是采用不同的流体进行实验，同时满足Fr和Re准则
C L Cu 1 C
第四章 相似理论与量纲分析
27
应该测量哪 些物理量?
实验结果 如何应用?
例题1
如图所示，已知d 250mm, q p 140 L ，模型实验 s lm 1 的长度比例尺为（ ), 模型实验时，在水箱自由 5 lp 5 表面出现旋涡孔时的水头 为hmin M 60mm. 试求：模型实验时的流 量qm和实际出现旋涡孔 时的水头h min ?
3
1、几何相似（空间相似）
几何相似：指两流场几何形状相似，两流动的对应边长 成同一比例，对应角相等，即全流场有一个相同的长度 比例。几何相似还可认为包括流场相应边界性质相同， 如固体壁面，自由液面等。 尺度比例系数：
lm kl const lp
m----模型流动；
p----原型流动。
则面积比例系数KA和体积比例系数KV可分别表示为：
----重力作用下两流动的相似准则
由（4-6）式第（2）项：
v k v 1,即 : k g kl g mlm g pl p
16
2 v
2 m
2 p
即在动力相似中要求：
Frm Frp
v Fr gl
2
Fr代表了流动中惯性力与重力之比，反映了流体流 动中重力所起的影响作用。 若
gm g p
Am 2 kA kl Ap
vm 3 kv kl vp
4
5
2、运动相似（时间相似）
运动相似指两流动对应几 何点上的速度成同一比例。
此时，两流动的迹线和流线几 何相似。 在对应瞬时， 流场速度图相 似，即相应点 速度大小成比 例，方向相同。
6
速度比例系数：
vm kv const vp
p Eu 2 v
Eu准数代表了流体流动中所受的压力与惯性力之比， 反映了流动中压力所起的影响作用。它也是一个无量 纲的量。
应该测量哪 些物理量?
实验结果 如何应用?
例题1
如图所示，已知d 250mm, q p 140 L ，模型实验 s lm 1 的长度比例尺为（ ), 模型实验时，在水箱自由 5 lp 5 表面出现旋涡孔时的水头 为hmin M 60mm. 试求：模型实验时的流 量qm和实际出现旋涡孔 时的水头h min ?
3
1、几何相似（空间相似）
几何相似：指两流场几何形状相似，两流动的对应边长 成同一比例，对应角相等，即全流场有一个相同的长度 比例。几何相似还可认为包括流场相应边界性质相同， 如固体壁面，自由液面等。 尺度比例系数：
lm kl const lp
m----模型流动；
p----原型流动。
则面积比例系数KA和体积比例系数KV可分别表示为：
----重力作用下两流动的相似准则
由（4-6）式第（2）项：
v k v 1,即 : k g kl g mlm g pl p
16
2 v
2 m
2 p
即在动力相似中要求：
Frm Frp
v Fr gl
2
Fr代表了流动中惯性力与重力之比，反映了流体流 动中重力所起的影响作用。 若
gm g p
Am 2 kA kl Ap
vm 3 kv kl vp
4
5
2、运动相似（时间相似）
运动相似指两流动对应几 何点上的速度成同一比例。
此时，两流动的迹线和流线几 何相似。 在对应瞬时， 流场速度图相 似，即相应点 速度大小成比 例，方向相同。
6
速度比例系数：
vm kv const vp
p Eu 2 v
Eu准数代表了流体流动中所受的压力与惯性力之比， 反映了流动中压力所起的影响作用。它也是一个无量 纲的量。
第4章 量纲分析和相似原理
4.3 相似准则数
惯性力： Fi ma l
k Fi ( v l ) m
2 2
3
l t
2
l t
2 2
4 2
v l
2 2
则：
( v l ) p
2 2
k kl kv
根据动力相似有： k F k F
g
i
Fgm
m vm lm
2 2
即：
Fgp Fgp
本章主要内容
三、量纲分析法：
是流体力学中重要的数学方法，它表征 给定现象（过程）的各个物理量的量纲进行 分析，从形式推理出发，建立包括有关物理 量在内的描述个噢定现象的（或过程）的方 程。
本章主要内容
相似原理应用：
管流及水工结构明力、流模拟；水力机械运
行特性模拟；河渠模拟；河流均匀泥沙运动 模拟；结构模拟；土工模拟；模拟试验设备 设施；模拟试验技术（试验数据的采集、记 录与分析
4.4 近似模型试验
在不可压缩流体中，两流动相似，要求模型
和原型流动的欧拉数、雷诺数和弗汝德数分 别相等。其中欧拉数可以由弗汝德数和雷诺 数确定，所以只要弗汝德数和雷诺数相等， 就能达到动力相似。 但是，雷诺数和弗汝德数中都出现了定性长 度和定性速度，因此，雷诺数和弗诺德数相 等，就要求原型和模型在长度和速度的比例 上要保持一定的关系。
3 3
kl kv
2
4.2.2 运动相似
只要确定了模型和原型的长度比率，便可由
它们确定其他运动学量的比率。运动相似还 需注意模型和原型具有相同的流态，即同处 于层流或同处于湍流状态。运动相似是力学 相似的目的。
4.2.3 动力相似
第四章 相似原理与量纲分析
Cu = CL
2 L 5/ 2 L
= Cu C A = C C L = C CL CL = = CL 时间比尺： C t = Cu CL
流量比尺： CQ
§4-3相似原理的应用
二、考虑粘性阻力起主要作用的粘性力相似准则
要求原、模型的雷诺数相等。
(Re ) p = (Re )m
Lpu p
一般原、模型中的流体性质相同 即
C值用公制和英制就具有不同的结果。
§4-6 量纲分析之一 -----雷立法
§4-6 量纲分析之一 ---- 雷立法
如果根据理论分析和实验得知反映某一物理现象的各 有关因素（变量）的数目
( y, x1 , x2 ⋯ xn )
α1 α2
并假定这一物理过程的方程可以用变量的幂乘积形式来表示 即：
y = Kx1 x 2 ⋯ x n
−1 −3 α1 −1 −1 α2
α3
α1+α2
−3α1−α2 +α3
[T]
−α2
§4-6 量纲分析之一 -----雷立法
由量纲和谐原则得：
[M ]
0 = α1 + α 2
1 = −3α1 − α 2 + α 3
[L ]
[T ]
：
− 1 = −α 2
Vc = Kρ µd
−1 −1
α1 = −1 ⇒ α2 = 1 α 3 = −1
νp
=
Lm um
νm
ν p =νm
Lm = um L p
up
1 Cu = CL
如：若模型比原型缩小20倍，则模型的流速要比原型大20 倍。不易做到。
1 = CL 流量比尺：CQ = Cu C A = C ⋅ CL
工程流体力学-第4章-M
运动学物理量的比例系数都可以表示为尺度比例系数和时间比例系数的不同组合形式。
如：kv=klkt-1 ka=klkt-2 k=kt-1 k=kl2kt-1 kqv=kl3kt-1 的单位是m2/s qV的单位是m3/s
三 动力相似（受力相似）
定义：两流动的对应部位上同名力矢成同一比例。 原型流动中作用有：重力、阻力、表面张力，则模型流动中相应点上也应存在这三种力，并且各同名力的方向相同、比值保持相等。 引入力比例系数 也可写成
[解]（1） 对流动起主要作用的力是黏滞力，应满足雷诺准则
流动的压降满足欧拉准则
[例2] 有一直径d=50cm的输油管道，管道长l=200m，油的运动粘滞系数 ，管中通过油的流量 。现用10℃的水和管径dm= 5 cm的管路进行模型试验，试求模型管道的长度和通过的流量。
M： 1＝ c+d L： 1＝ a+b-3c-d T： -2＝ -b -d 上述三个方程中有四个未知数，其中的三个未知数必须以第四个未知数表示： c=1-d； b=2-d； a=2-d 求得各指数值，带入假设式，得到无量纲关系式
（2）根据量纲和谐原理建立联立方程式
上式是一个无量纲方程，与具有四个未知数的原函数方程相比，仅包含一个独立的无量纲变量。在分析试验结果并确定变量之间的关系时，独立变量数的减少是非常方便的，这也是量纲分析的明显好处。
非定常相似准则
由当地惯性力与迁移惯性力的关系，得到 称为斯特罗哈（Strouhal)数，要使两个流动的当地惯性力作用相似，则它们的斯特罗哈数必须相等，这称为惯性力相似准则，也称为非定常相似准则。
流动相似理论是工程模型研究和实验的基础。模型和原型的相似参数的测试与数据处理是工程模型研究的两个核心问题。 一、模型与原型的相似 1、近似相似 1）不是所有的相似准则数都能同时被满足的； 2）甚至，有时连保证几何相似都是困难的。 2、实验方法 根据具体的问题，选择最重要的相似准则，确定模型尺寸及实验条件；得到无量纲准则数之间的关系。
第四章 相似原理与量纲分析
图 4-2 几何相似、运动相似与动力相似
为了同时满足上述几类相似，原型与模型的相应物理量之间必须满足一定的约束条件。以匀速运动 为例，原型与模型之间必须首先满足
v p / vm Cv
l p / lm Cl p / m C
公式中的 Cv、Cl、Cτ 称为速度、位移和时间的相似常数。 根据匀速运动的特点，要保证原型与模型之间相似，上述相似常数必须满足
在热量传输研究中需要加上第四个基本量纲——温度量纲 Θ。
除了量纲量之外还存在无量纲量(nondimensional variable)，即没有量纲的物理量。无量纲量有两种， 一种是自然无量纲量，例如常数；另一种是由一定物理量组合而成，例如各种相似准数。
无量纲物理量具有以下性质：客观性、不受运动规模的影响、清楚反映问题实质、可进行超越函是判断模型与原型是否相似的关键。因此，如何获得所研究问题相关的 相似准数是研究相似现象的必要步骤。常用的相似准数确定方法主要包括量纲分析法、方程分析法(包括 相似转换法和积分类比法)和定律分析法。本课程只介绍量纲分析法(dimensional analysis)。 4.2.1 量纲与单位 任何物理量都包括大小和种类两方面。物理量的大小可以用相应的单位(unit)来表示；物理量所属的 种类则用量纲(dimension，又称为因次)来表示，例如长度就是一种量纲。量纲与单位有以下区别：量纲 是物理量的测量尺度，反映物理量的物理属性，不含有数值；单位是一种分配数值给量纲的方法。同一 量纲可以用多种单位表示，例如长度可以用米、毫米、微米、纳米等单位来表示。 量纲可以分为基本量纲(fundamental/basic dimension)和导出量纲(nonprimary dimension)。基本量纲是 具有独立性的量纲，在动量传输领域中有三个基本量纲：长度量纲 L、时间量纲 T、质量量纲 M。导出 量纲由基本量纲组合而成，例如速度量纲由长度量纲和时间量纲组合而成。
第四章 相似原理和量纲分析
三、平面弯曲问题 对于高次超静定平面框架，可以用模型试验 解决， 如下图：
一般来说，模型形状应做成几何相似，各截面处的弯矩 M 正比于 Fl ，
Fl 3 挠度正比于 ，故弯矩和挠度的比例数各为： EI CM M Fl C F Cl M m Fm l m
W 3 Em I m CW C F Cl Wm EI C x Cl , CqC x C y C C l
CG
G Gm
Ce
e em
Cx G
但
C
（c） m m m Em （d） 1 m 1 2 m
1 1 2
E
故
由此比要求
m
称为泊松模型律（e）
C C E （f）
把（c）代入（a）
C m
CG Gm
∵ C C E
CF Cl2
∴ 如果模型材料被选定： C E 已被确定。 则荷载比例数 C F 和长度比例数只能任选其一。
• • • • • • •
例4-I 矩形(b×h)截面简支梁受线分布载荷q，梁长l，以梁 内正应力公式为例，导出模型与实梁的相似条件。 解：梁内任意位置处的正应力公式为 qx (a)
• 一般来说，如果描述某个物理现象的物理量有n个，并且在这n个量中 含有r个量是无量纲独立的，则独立的纯数有n－r个。 例4－3 研究弹性体内的应力σ与外力F，力矩M和尺寸L，材料常数E，μ 之间的π项。 取r=2, n=6. π的个数为6－2=4个
(1 , 2 ,......) 0
1
C e e m
CG Gm
2 m
2
C m 0
要求
C C e CG Ce CG C （g） Cx Cx C x2
流体力学第4章相似原理和量纲分析
对于非定常流的模型试验，必须使模型与原型的流动随时间的
变化相似。
当地加速度引起的惯性力之比
kF k kl2kv2
1
kF
Fit' Fit
V
'
v
' x
V vx
t ' t
k kl3kv kt1
kl 1 l Sr （斯特劳哈尔
kv kt
vt
数或谐时数）
当地惯性力与迁移惯性力之比
4.3 流动相似的条件
同一类流动，为相同的微分方程组所描述。 • 单值条件相似，即几何条件、边界条件、
时间条件（非定常流）、物性条件（密度、 粘性等）相似。 • 同名相似准则数相等。
几个概念：
单值条件中的各物理量称为定性量，如密度 ，特
征长度 l ，流速 v ，粘度 ，重力加速度 g ；
由定性量组成的相似准则数称为定性准则数，如雷诺 数 Re vl 弗劳德数 Fr v gl
自模化状态：如在有压粘性管流中，当雷诺数大 到一定数值时，继续提高雷诺数，管内流体的 紊乱程度及速度剖面几乎不再变化，沿程能量 损失系数也不再变化，雷诺准则失去判别相似 的作用，这种状态称为自模化状态。
关于自模化区实验 ——
尼古拉兹曲线
设计模型实验只要求流动处于同一自模化区，
log(100)
而不必要求两个流动的动力相似参数严格相等。
目的
为了实验流场与真实流场具有一定的对应关 系（相似性），实验中的各物理参数应该 如何确定？模型实验中的各种测量值应该 如何被换算为实物上的相应值？
如何科学地设计实验，正确有效地反映出相 关物理参数之间的实质性联系。
例：圆管的压强损失与圆管的长度、流体的密度、粘 度、平均速度和圆管直径、粗糙度有关。
第四章量纲分析和相似理论
pl 2
l2u2
p
u2
Eu
Eu称为欧拉准数。它体现了流体在运动过程中压力与惯性力
之间的比值关系。
当流体在流动过程中，重力起主导作用时，如液体在明渠
内的流动，将流体的惯性力与重力相比，得
惯性力 重力
l 2u2 gl3
u2 gl
Fr
第一节 有因次量和无因次量
Fr称为付鲁德准数。它体现了运动流体的惯性力与重力之间 的比值关系。
导出量纲是指由基本量纲组合来表示的量纲。 除长度、时间、质量和温度，其它物理量的量纲均为 导出量纲。
任意一个物理量x的量纲都可以用L、T、M这三 个基本量纲的指数乘积来表示，即
x LαTβMγ
（3）无量纲量 各量纲的指数为零，即α=β=γ=0时，物理
量 x L0T0M0 1，则称x为无量纲量。
p
g
f1
Re， d
l d
v2 2g
令
f1
Re，，则
d
hf
p
g
l
d
v2 2g
上式即为有压管流压强损失的计算公式，又称达西公式。
§4.2 相似理论
4.2.1 流动相似 为了保证模型流动（用下标m表示）与原型流动
（用下标p表示）具有相同的流动规律，并能通过模 型实验结果预测原型流动情况，模型与原型必须满足 流动相似，即两个流动在对应时刻对应点上同名物理 量具有各自的比例关系，具体地说，流动相似就是要 求模型与原型之间满足几何相似、运动相似和动力相 似。
x x x x a n-3 bn-3 cn-3
n-3
1
2
3
n
（4）根据量纲和谐原理，确定各π项基本量的指数ai、 bi、ci，求出π1、π2、…πn－3。
(4)量纲分析和相似原理
φ(π1, π 2, π 3,……, π n-m)=0
π定理的解题步骤： （1）确定关系式：根据对所研究现象的认识，确 定影响这个现象的各个物理量及其关系式: F(q1,q2,q3,……,qn)=0
（2）确定基本量：从n个物理量中选取所包含的 m个基本物理量作为基本量纲的代表，一般取m=3。 在管流中，一般选d，v，ρ三个作基本变量，而在明 渠流中，则常选用H，v，ρ。 （3）确定π数的个数N(π)=(n-m)，并写出其余 物理量与基本物理量组成的π表达式
1 Re
2
d
0
p
V
2
据π定理有：
1 p l k f 2 1 , 2 , 3 , 4 f 2 , , , 2 Re V d d
改写为 p
V
2
l k F , , Re d d
或
l k F , , Re 2 V d d l k 2 p V F , , Re d d
1 1 1 1 1 0
L : 2
2 3 2 1 0 2 0
2
T : 2 M :
L : 3
2 1 0
3 3 3 1 0 0
2 2 2 0 2 1
3 0 3 1 3 0
1 x1 x 2 x 3 x 4 2 x1 x 2 x 3 x 5
所求的物理方程为
2 2 2
1
1
2
f 2 1 , 2 0
[例]：有压管流中的压强损失。 根据实验，压强损失与流速V，管长 l ,管径d，管壁 粗糙度k，流体运动粘滞系数υ ，密度ρ有关，即试用 π定理法求该物理方程。 p f l , d , k , , , V 解： 这7个量中，基本物理量有3个，令管径、平均 流速、密度为基本量，量纲依次为
第四章 相似原理及量纲分析
工程流体力学
第四章 相似原理与量纲分析
第四章 相似原理与量纲分析
解决流体 力学问题 的方法 数学分析 实验研究 模型实验
以相似原理为基础
本章主要介绍流体力学中的相似原理, 本章主要介绍流体力学中的相似原理, 相似原理 模型实验方法以及量纲分析法. 模型实验方法以及量纲分析法. 以及量纲分析法
第一节 流动的力学相似
流场中有各种性质的力,但不论是哪种力, 流场中有各种性质的力,但不论是哪种力,只 要两个流场动力相似, 要两个流场动力相似 , 它们都要服从牛顿相似准 则. 弗劳德准则) 一,重力相似准则(弗劳德准则) 二,粘性力相似准则(雷诺准则) 雷诺准则)
欧拉准则) 三,压力相似准则(欧拉准则) 柯西准则) 四,弹性力相似准则(柯西准则)
ρ'v'2 l' ρv2l = σ' σ
ρv2l =W e σ
当模型与原型的表面张力相似,则其韦伯数必定相等, 当模型与原型的表面张力相似,则其韦伯数必定相等, 反之亦然.这就是表面张力相似准则 韦伯准则) 即 We' = We ;反之亦然.这就是表面张力相似准则(韦伯准则).
六,非定常性相似准则
或: 令:
v' v' v = c' c
是惯性力与弹性力 的比值. 的比值.
v =M a c
当模型与原型的弹性力相似,则其马赫数必定相等,反之亦 当模型与原型的弹性力相似,则其马赫数必定相等, 反之亦然.这就是弹性力相似准则 马赫准则) 然Ma这就是弹性力相似准则 马赫准则) 即.这就是弹性力相似准则(马赫准则). ' = Ma ;反之亦然.这就是弹性力相似准则(马赫准则).
ρ' 为流体的密度比例尺. 为流体的密度比例尺. ρ
第四章 相似原理与量纲分析
第四章 相似原理与量纲分析
解决流体 力学问题 的方法 数学分析 实验研究 模型实验
以相似原理为基础
本章主要介绍流体力学中的相似原理, 本章主要介绍流体力学中的相似原理, 相似原理 模型实验方法以及量纲分析法. 模型实验方法以及量纲分析法. 以及量纲分析法
第一节 流动的力学相似
流场中有各种性质的力,但不论是哪种力, 流场中有各种性质的力,但不论是哪种力,只 要两个流场动力相似, 要两个流场动力相似 , 它们都要服从牛顿相似准 则. 弗劳德准则) 一,重力相似准则(弗劳德准则) 二,粘性力相似准则(雷诺准则) 雷诺准则)
欧拉准则) 三,压力相似准则(欧拉准则) 柯西准则) 四,弹性力相似准则(柯西准则)
ρ'v'2 l' ρv2l = σ' σ
ρv2l =W e σ
当模型与原型的表面张力相似,则其韦伯数必定相等, 当模型与原型的表面张力相似,则其韦伯数必定相等, 反之亦然.这就是表面张力相似准则 韦伯准则) 即 We' = We ;反之亦然.这就是表面张力相似准则(韦伯准则).
六,非定常性相似准则
或: 令:
v' v' v = c' c
是惯性力与弹性力 的比值. 的比值.
v =M a c
当模型与原型的弹性力相似,则其马赫数必定相等,反之亦 当模型与原型的弹性力相似,则其马赫数必定相等, 反之亦然.这就是弹性力相似准则 马赫准则) 然Ma这就是弹性力相似准则 马赫准则) 即.这就是弹性力相似准则(马赫准则). ' = Ma ;反之亦然.这就是弹性力相似准则(马赫准则).
ρ' 为流体的密度比例尺. 为流体的密度比例尺. ρ
流体力学 第四章 cn
Ip = = = = = Tm Gm Pm E m S m I m 即λT = λG = λ P = λ E = λ S = λ I Tp Gp Pp Ep Sp
动力相似是运动相似的保证
四、初始条件和边界条件相似
初始条件和边界条件的相似是保证两个流动相似 的充分条件，正如初始条件和边界条件是微分方 程的定解条件一样。 对于非恒定 流，初始条件是必需 的；对于恒定流， 初始条件则失去了实际意义。 边界条件相似是指两个流动相似，其边界性质相 同，如固体 边界上的法线流速 都为零；自由液体 上 压强 均等 于大气压 等等，对于原型和模型 都是 一样的。
为时间比尺（Time Scale）
二、运动相似
w速度相似 意味着各 相应点的 加 速度也是相似的，
即
λl λv λ2 λa = = 2 == = v a m λt λt λl ap
式中λa为加速度比尺（Acceleration Scale） 由此可见，只要速度相似，加速度也必然相似，反 之亦然。 由于速度场的研究是流体力学的重要问题，所以 运动相似通常是模型试验的目的。
四、韦伯准则（Weber Criterion）
当作用力主要为表面张力时
F = S = σl
λ F = λ S = λσ λ l λI = λF
式中λσ为表面张力系数比尺，将上式代入式 得
2 λ ρ λ2 l λ v = λσ λl
化简得
λ ρ λl λ2 v λσ
=1 ρplp v2 p σp ρ mlm v2 m = σm
运动相似是两个流场相应点的速度方向相同，大 up 小成比例，即
um 式中λu为速度比尺（Velocity Scale）
断面平均流速也具有同样比尺，即
动力相似是运动相似的保证
四、初始条件和边界条件相似
初始条件和边界条件的相似是保证两个流动相似 的充分条件，正如初始条件和边界条件是微分方 程的定解条件一样。 对于非恒定 流，初始条件是必需 的；对于恒定流， 初始条件则失去了实际意义。 边界条件相似是指两个流动相似，其边界性质相 同，如固体 边界上的法线流速 都为零；自由液体 上 压强 均等 于大气压 等等，对于原型和模型 都是 一样的。
为时间比尺（Time Scale）
二、运动相似
w速度相似 意味着各 相应点的 加 速度也是相似的，
即
λl λv λ2 λa = = 2 == = v a m λt λt λl ap
式中λa为加速度比尺（Acceleration Scale） 由此可见，只要速度相似，加速度也必然相似，反 之亦然。 由于速度场的研究是流体力学的重要问题，所以 运动相似通常是模型试验的目的。
四、韦伯准则（Weber Criterion）
当作用力主要为表面张力时
F = S = σl
λ F = λ S = λσ λ l λI = λF
式中λσ为表面张力系数比尺，将上式代入式 得
2 λ ρ λ2 l λ v = λσ λl
化简得
λ ρ λl λ2 v λσ
=1 ρplp v2 p σp ρ mlm v2 m = σm
运动相似是两个流场相应点的速度方向相同，大 up 小成比例，即
um 式中λu为速度比尺（Velocity Scale）
断面平均流速也具有同样比尺，即
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二、运动相似
原型和模型的流速场相似，即流场中各对应点的 流速大小成比例，方向相同。 •流速比尺：
u
up um
ap
v
vp / t p
v 2 •加速度比尺： a am vm / t m l
t l
v
三、动力相似
原型和模型对应点所受的同名力方向相同，大小 成比例。
F
P
( pA) p ( pA) m
p l
2
故得欧拉准则方程：
p v
2
p p 1 or ( 2 ) p ( 2 ) m v v
即要保证原型流动和模型流动的动压力相似，则要求两 者对应的欧拉数 Eu p /( v 2 ) 必须相等。
几点说明：
•弗劳德准则、雷诺准则和欧拉准则是工程流体力学的常用准则。 •一般弗劳德准则、雷诺准则为独立准则，而欧拉准则为导出准则。
§4-5 相似原理的应用
一、模型律的选择
•从理论上讲，流动相似应保证所有作用力都相似，但难 实现。
•实际应用时，通常只保证主要力相似。
一般情况下： 有压管流、潜体绕流： 明渠流动、绕桥墩流动： 选雷诺准则
选弗劳得准则
二、模型设计
•定长度比尺 l ，确定模型流动的几何边界；
•选介质 ，一般采用同一介质：
•相似准则：雷诺准则、弗劳得准则、欧拉准则
•模型实验设计方法
§4-1
量纲分析的基本概念和原理
一、单位与量纲
•单位：表征物理量数值大小的标准。如长度单位 m、cm、mm；时间单位小时、分、秒等。
•量纲：表征各物理量单位的种类。如m、cm、 mm等同属于长度类，用L表示；小时、分、秒 等同属于时间类，用T表示；公斤、克等同属 于质量类，用M表示。 •量纲的符号表示：据GB3101-93，在物理量的 代表符号前面加“dim”表示量纲。
工程流体力学
第四章 量纲分析与相似理论
第四章 量纲分析与相似理论
§4-1 §4-2 §4-3 §4-4 §4-5 量纲分析的基本概念和原理 量纲分析法 流动相似的基本概念 流动相似准则 相似原理的应用
第四章 量纲分析与相似理论 (4学时)
一、本章学习要点
•量纲分析的基本概念：量纲、基本量纲、基本 物理量、无量纲量、量纲齐次性原理 •量纲分析方法：瑞利法、π定理 •流动相似的基本概念：几何相似、运动相似、 动力相似 •相似准则：雷诺准则、弗劳得准则、欧拉准则 •模型实验设计方法
本章重点掌握
•量纲分析方法 •相似理论及其应用
复习题：
下列各组物理量中，属于同一量纲的为（ ） A、密度、重度、黏度 B、流量系数、流速系数、渗流系数 C、压强、切应力、质量力 D、水深、管径、测压管水头 已知输油管模型实验的长度比尺l =8，若原型和模型采用同一流体，则 其流量比尺Q =（ ）。 A、2 B、4 C、8 D、16
3
l v
v a l
2
故得弗劳德准则方程：
v v v 1 or ( )p ( )m g l gl gl
即要保证原型流动和模型流动的重力相似，则要求两者 对应的弗劳德数 Fr v / gl 必须相等。
二、雷诺准则：黏性力相似
要保证原型流动和模型流动的黏性力相似，则根据动力相似 要求有：
二、基本量纲与基本物理量
1.基本量纲：具有独立性、唯一性
在工程流体力学中，若不考虑温度变化，则常取 质量M、长度L和时间T三个量的量纲作为基本量 纲。其它物理量的量纲可用基本量纲表达，如 •流速：dim v＝LT－1 •密度：dim ρ＝ML－3 •力： dim F＝MLT－2 对于任何物理量（如以A表示），其量纲可表示为
•选模型律.
1
；
[例4] 有一直径为100mm的水平输油管道，油的运动黏度
为0.157cm2/s ，现用水做实验，（水温为10℃时水的运动粘 度为0.000001307m2/s）。模型管径与原型管径相等，实测 得：当通过流量为1.5L/s 时， 4m长的实验管段上测压管水 头降为0.5cm ，试求： （1）原型流量； （2）100m长原型输油管的水头损失hw。
G F F F F
P T I
四、初始条件和边界条件的相似
初始条件和边界条件的相似是保证流动相似 的必要条件。
说明：
•几何相似是运动相似和动力相似的前提； •动力相似是决定流动相似的主要因素；
•运动相似是几何相似和动力相似的表现。
§4-4 流动相似准则
流动相似的本质：原型和模型被同一物理方程所描述。这
个物理方程即相似准则。
一、弗劳德准则:重力相似
要保证原型和模型任意对应点的流体重力相似，则 据动力相似要求有
G FI
式中：
•重力比尺：
( Vg ) p 3 G l g ( Vg ) m
( Va ) p ( Va ) m
2 2
•惯性力比尺： FI
l a
已知压力输水管模型实验的长度比尺l 8 ，若原型和模型采用同一流体， 则压强比尺 （ p ）。 A. 1/8 B. 1/16 C. 1/32 D. 1/64
三、物理方程的量纲齐次性原理
•凡是正确描述自然现象的物理方程，其各项的量纲必然相同。 •量纲齐次性原理是量纲分析的理论依据。 •工程中在用的个别经验公式存在量纲不一致。
•满足量纲齐次性的物理方程，可用任一项去除其余各项， 使其变为无量纲方程。
如流体静力学基本方程：
用 gh 除其余各项，可得无量纲方程：
dimA L T M
2.基本物理量：具有独立性，但不具唯一性
在工程流体力学中，若不考虑温度变化，通常取 3个相互独立的物理量作为基本量。 基本量与导出量适当组合可以构成无量纲量。
基本量独立性的判定：
1 2 3 D 1 2 3 0 1 2 3
如ρ（密度）、v（流速）、d（管径）、或F （力）、a（加速度）、l（长度）等。
p p0 gh
p p0 1 gh gh
§4-2
量纲分析法
常用的量纲分析方法有瑞利法和泊金汉法（也 称π定理）
一、瑞利法
基本思想：假定各物理量之间是指数形式的乘积组合。
二、π定理
基本思想：对于某个物理现象，若存在n个变量互
为函数关系，即
F (q1, q2 ,..., qn ) 0
故得雷诺准则方程：
v l vl vl 1 or ( ) p ( ) m
即要保证原型流动和模型流动的黏性力相似，则要求两 者对应的雷诺数 Re vl / 必须动的动压力相似，则根 据动力相似要求有：
F F
P
I
式中，压力比尺：
FT FI
式中，黏性力比尺：
du )p dy FT l v du ( A ) m dy l v ( A
惯性力比尺:
F
I
( Va ) p ( Va ) m
2 2
l a
3
l v
而这些变量中含有m个基本物理量，则可组合这些 变量成为（n - m）个无量纲π数的函数关系，即
(1, 2 ,..., nm ) 0
§4-3 流动相似的基本概念
一、几何相似
原型和模型对应的线性长度均成一固定的比尺关系。
lp •长度比尺： l lm
Ap 2 •面积比尺： A l Am Vp 3 l •体积比尺：V Vm