相似原理与量纲分析
第五章 相似原理与量纲分析
例：长度比为1/50的船舶模型，在水池中以1m/s的 速度牵引前进时，则得波浪阻力为0.02N。求（1） 原型中的波浪阻力；（2）原型中船舶航行速度； （3）原型中需要的功率？
第三节 流动相似条动，它们都应为相同 的微分方程组所描述。 2、单值条件（几何条件、边界条件、物性条件、初 始条件）相同或相似； 3、由单值条件中的物理量所组成的相似准则数相等。
四、初始条件和边界条件的相似
初始条件：适用于非恒定流。
边界条件：包含几何、运动和动力三个方面的因素。 例如固体边界上的法线流速为零，自由液 面上的压强为大气压强等 。
流动相似的含义： 1、几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据；
2、动力相似是决定两个液流运动相似的主导因素；
3、运动相似是几何相似和动力相似的表现； 4、凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似 和动力相似的流动。
例：有一直径为15cm的输油管，管长5m，管中要通 过的流量为0.18m3/s ，现用水来作模型试验，当模型 管径和原型一样，水温为10℃（原型中油的运动粘度 为 0.13cm2/s），问水的模型流量应为多少时才能达 到相似？若测得5m长模型输水管两端的压差为3cm， 试求在5m长输油管两端的压差应为多少（用油柱高 表示）？
M F l kM k F kl k kl3kv2 M Fl
p Fp A k F kp k kv2 p Fp A k A
功率比例尺 动力粘度比例尺
kP
P F v k F kv k kl2 kv3 P Fv k k k k kl kv
例1：当通过油池底部的管道向外输油时，如果池内 油深太小，会形成大于油面的漩涡，并将空气吸入 输油管。为了防止这种现象，需通过模型实验确定 油面开始出现漩涡的最小油深hmin。已知输油管内 径d=250mm，qV=0.14m3/s，运动黏度ν=7.5x10-5m/s。 倘若选取的长度比例尺kl=1/5，为了保证流动相似， 模型输出管的内径、模型内液体的流量和运动黏度 应等于多少？在模型上测得h'min=60mm，油池的最 小深度hmin应等于多少？
5 量纲分析和相似原理
5.2.2 π定理（布金汉定理，Bucking ham）
由美国物理学家Bucking ham提出。若某一物 理过程包含n个物理量，即 f (q1q2q3 qn ) 0 其中有m个基本量（量纲独立，不能互相导出）， 则该物理过程可由n个物理量构成的n-m个无量纲 项所表达的关系式来描述，即 F (1 nm ) 0 由于无量纲项用π表示，因此叫作π定理。
5.1.2 无量纲量
当量纲公式中α=0、β=0、γ=0时, 物理量q 为无量纲量。 vd Re 如 雷诺准数
LT 1L dim Re dim( ) 2 1 1 LT vd
无量纲量的特点： 客观性 不受运动规模的影响 可进行超越函数运算
5.1.3 量纲和谐原理
量纲和谐原理：凡正确反映客观规律的物理 方程，其各项的量纲一定是一致的。 如粘性流体总流的柏努利方程
4)量纲分析法是沟通流体力学理论与实验之 间的桥梁。
5.3 相似理论基础
5.3.1 相似概念
几何相似：两个流动流场（原型和模型）的 几何形状相似，即相应的线段长度成比例、 夹角相等。 以p表示原型 (prototype) ， m表示模型 (model) ，有
l p1 lm1 l p2 lm2 lp lm l
I m mlm2vm 2 lmvm Tm mlmvm m
即
l pvp
p
lmvm
m
(Re) p (Re)m
lv
无量纲数 Re 称为雷诺准数(Reynolds number)，表示惯性力与粘滞力之比。两流动 的雷诺准数相等，粘滞力相似。
此式为管道压强损失计算公式，称为达西-魏 斯巴赫（Darcy-Weisbach）公式。
相似性原理和量纲分析
∆p υ l k = f , , 2 v ρ vd d d
∆p kl = f Re, 2 v ρ dd
kl l v2 ∆p = f Re, ρv 2 = λ ρ dd d 2 k λ = f Re, d
（2）雷利法 有关物理量少于5个
FT + FG + FP + FE + …… + FI = 0
动力相似→对应点 上的力的封闭多边 形相似
动力相似是运动相似的保证
2.相似准则 常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数） 在相似流动中应该是相等的 （1）雷诺准则——粘性力是主要的力
FTP FIP = FTm FIm
l pυ m
（3）改变压强（30at），温度不变 等温过程p∝ρ，且μ相同
ρvl Re = ⇒ pvl µ
p p v p l p = p m vm l m
20 × 1 vm = v p = 300 × = 200km / h lm Pm 1 × 30 lp pp
例3：溢水堰模型，λl=20，测得模型流量为300L/s，水 的推力为300N，求实际流量和推力 解：溢水堰受到的主要作用力是重力，用佛劳德准则
f (q1 , q2 , q3 , q4 ) = 0
3个基本量，只有一个π项
小结：变量的选取——对物理过程有一定程度 的理解是非常重要FTm
dv FT = µA → µlv = ρυlv dy
FI = ma → ρl 2 v 2
v pl p
υp
=
vm l m
υm
无量纲数
Re =
vl
υ
雷诺数——粘性力的相似准数
流体力学-相似原理与量纲分析
F v2l2
Rm Rn 1.5kN
21
F 1 v2l2 0.672 1.52 1
第四节 量纲分析法
一、量纲
所有物理量 ＝ 自身的物理属性 + 为量度物理属性 而规定的量度标准（量度单位） 如长度：物理属性是线性几何量，量度标准是 m ， cm，英尺、光年等。 没有任何联系的独立的量纲为基本量纲，可由其导 出的为导出量纲。 原则上基本量纲的选取带随意性，常采用 M-L-T-Θ 为基本量纲系（即质量-长度-时间-温度）。
14
应该测量哪 些物理量?
实验结果 如何应用?
在相似的条件下进行实验： 完全相似 例如 难于做到 严格地要求四个相似准数都相同
Frn Frm
g 相同
vn l n vm lm
vn lm vm ln
流 体 力 学
1
u l
Ren Rem
相同
u
l
可见粘性和重力相似条件产生矛盾，除非改变 g 和。但改 变 g 是不大可能的（由此可知为什么有些实验要在航天飞机上 做），改变 的可能性也不大，因为流体力学实验可供选择的 流体种类是很少的。通常我们只能抓主要矛盾，保证起决定作 用的那个相似准数相等，称为部分相似(局部相似)。
----- 韦伯准数
F El 2
3
v2
l I l 2 l 2v2 ----- 马赫准数 t v FT l 2 lv ( Re)n ( Re)m Re l l ----- 雷诺准数 I l 3 2 l 2v 2 12 t
Mn Mm
2. 由动力相似定义推导
ln lm un t n um t m
2 2 vn vm g nln g mlm
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析相似原理和量纲分析是物理学中常用的分析方法。
这两个方法都可以帮助我们简化和理解复杂的物理问题，并从中得到有用的结论。
相似原理是指在某些情况下，两个或多个物理系统在某些方面具有相似性。
通过找到这些相似性，我们可以将一个物理问题转化为另一个更简单的问题，并从中得到有关原问题的信息。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理问题的方法。
在量纲分析中，我们将物理量表示为其单位的乘积，例如长度（L）、质量（M）和时间（T）。
通过对物理方程中各项的量纲进行分析，我们可以得到物理问题的量纲关系。
现在让我们更详细地讨论这两种方法。
首先，我们来看看相似原理。
相似原理的核心思想是，如果两个物理系统具有相似的形状、相似的流动条件和相似的物理特性，那么它们在某些方面具有相似性。
这种相似性可以通过无量纲参数来描述。
无量纲参数是一个相对于单位的比率或比值，因此在不同的物理系统中具有相同的值。
通过选择适当的无量纲参数，我们可以把一个复杂的问题转化为一个简单的问题。
例如，假设我们想研究飞机的气动性能。
我们可以选择无量纲参数如升力系数（Cl）、阻力系数（Cd）和升阻比（Cl/Cd），来描述飞机的飞行特性。
通过比较不同飞机的这些无量纲参数，我们可以得出有关它们性能优劣的结论。
相似原理的应用非常广泛。
它常用于流体力学、热传导和振动等领域的问题研究。
通过利用相似原理，我们可以设计模型实验来研究某一问题，从而避免对真实系统进行复杂和昂贵的实验。
接下来，我们来谈谈量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理问题的方法。
在物理方程中，各个物理量的量纲必须相等。
这就是说，物理方程中各项的量纲必须保持平衡。
通过量纲分析，我们可以得到物理问题的一些量纲关系。
这些量纲关系可以帮助我们推导出物理方程中的无量纲参数，并进一步简化问题。
例如，假设我们要研究物体自由落体的运动规律。
我们可以通过对物理量的量纲进行分析，得到物体自由落体的无量纲形式。
传热学第九讲相似原理及量纲分析
de0 1ac f 0 e f 1 0 1e f 0
ba1
cea d e f 1e
2 a b 2c f 3d 0
2021/5/1
5
h k ua d a1 ea 1e ce e
k ud a d 1 c e
k Rea Pr e
d
Nu hd k Rea Pr e
f 8Re1000Pr f
1 12.7
f
8
Pr
2 f
31
1
d l
2
3
ct
f 1.82lg Re1.642
对液体
ct
Pr f Prw
0.11
(
Pr f Prw
0.05～20)
对气体
ct
Tf Tw
0.45
(
Tf Tw
0.5～1.5)
※适用范围 Pr f 0.6 ～ 105 Re f 2300～ 106
对气体
ct
Tf Tw
n
当气体被加热时 n 0.55
当气体被冷却时 n 0
2021/5/1
对液体
ct
f w
n
当液体被加热时 n 0.11
当液体被冷却时 n 0.25
10
（五）入口效应：
层流 紊流
l 0.05RePr
d l 60
cl
1
d l
0.7
d
2021/5/1
11
二、实验关联式
2021/5/1
6
三、应用
（一）威尔逊法
Nu f Re,Pr
Nu C Ren 或 Nu C Ren Pr m
1. 求 Nu C Ren
lg Nu lg C nlg Re
相似原理与量纲分析
CF 1（无量纲数） 可以写成： 2 2 C C L Cu
1
Fp / Fm
p L2p u 2 p 2 2 m Lm um
Fm 2 2 2 2 m Lm um p Lp u p
Fp
F L2u 2
牛顿数： N e
( Ne ) p Ne m
若两个水流不仅几何相似，而且是动力相似的，则他们的牛顿数 必须相等；反之亦然，称为牛顿相似准则。
AP L2 2 P 2 CL 面积比尺： C A Am Lm
VP L3 3 P C C 体积比尺： V L Vm L3 m
LP （原型） Lm （模型）
§4-1相似的基本概念
⑵运动相似 （运动状态相似，速度、加速度必须平
行且具有同一比例）： 速度相似比尺： Cu
up
um
Gp M pgp
CG C F 重力与惯性力之比值为同一常数
则：
C C C g C C C
3 L 2 L
2 u
u C 1 也可写成 得： C g CL g p L p g m Lm
2 u
u
2 p
2 m
(Fr)p=(Fr)m
Fr 表明了惯性力与重力之比
（佛汝德数）
§4-2相似准则
§4-3相似原理的应用
对同时受重力和粘性力作用的液体，应当同时满足Re和Fγ 准则，才能保证流动相似， 但Fr准则要求 Cu CL 而Re准则要求 则有：
二者不能同时满足
Cu 1 / CL
2 Cu 1 和 C g CL
解决的办法是采用不同的流体进行实验，同时满足Fr和Re准则
C L Cu 1 C
相似原理和量纲分析
（c） • 一般来说，如果描述某个物理现象的物理量有n个，并且在这n个量中
(在a)光弹性试验含中有， r，个量多半是是无不满量足的纲独要立放的弃，，这就则是独所谓立近似的的纯近似数。 有n－r个。
但在必光须 弹使性例模试4型验－梁中满，3足研初，等究弯多弹曲半理是性论不对满体梁足所内的作的的基应要本放假力弃设，σ,即这与就外是所力谓近F似，的力近似矩。 M和尺寸L，材料常数E，μ
1
b h
,
2
Gh4
T
, 3
l
q
4-5 π定理 由于两现象相似，各对应量互成比例，即
如果梁的尺寸不是几何相似，即梁长与梁截面的相似比例数
例4－3 研究弹性体内的应力σ与外力F，力矩M和尺寸L，材料常数E，μ之间的π项。 时，是严格满足静力相似律。
将式(c)代入到式(a)，得
量第纲三分 定析理 • 的：普系把遍统参定的理单与是值物条π定件理理相。现似，象则的系统各为物相似理。量，通过量纲分析，转化为数目较少的无量纲间的 把表第参达四与 某 章物个相• 理物似现理原关表象现理系达的象和各的量式某物方纲。个理程分量式析即物，π理通1过现，量象π纲2分的…析方，…转程这化式为种数做目较法少就的无是量巴纲间肯的汉关系？式π。定理的基本思想。
G e G2 0 （a）
x
对于模型来说，同样满足方程：
m
Gm
em xm
Gm
2m
m
0
（b）
实物和模型要求相似，对应量一一成比例：
C m
CG
G Gm
Ce
e em
x Cx G xm
C
m
（c）
但
1
E
1
2
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析相似原理和量纲分析是科学研究和工程设计中常用的两种方法，它们在不同领域有着广泛的应用。
相似原理是指在某些条件下，两个或多个对象在某些方面具有相似性的原理，而量纲分析则是一种通过对物理量的量纲进行分析，来确定物理现象之间关系的方法。
本文将分别介绍相似原理和量纲分析的基本概念和应用，以期帮助读者更好地理解和应用这两种方法。
首先，我们来介绍相似原理。
相似原理是指在某些条件下，两个或多个对象在某些方面具有相似性的原理。
在流体力学中，相似原理是研究流体流动时的一种重要方法。
根据相似原理，如果两个流体流动问题在某些方面具有相似性，那么它们的流动规律也应该是相似的。
通过建立相似模型，可以通过对模型进行实验来研究真实流体流动问题，这为工程设计和科学研究提供了重要的手段。
在工程设计中，相似原理也有着广泛的应用。
例如，在飞机设计中，通过建立风洞模型来研究飞机在空气中的飞行性能；在建筑设计中，通过建立模型来研究建筑物在风力作用下的受力情况。
相似原理的应用不仅可以帮助工程师更好地理解和预测真实系统的行为，还可以降低实验成本和风险。
接下来，我们来介绍量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析，来确定物理现象之间关系的方法。
在物理学和工程学中，很多物理现象可以通过物理量之间的关系来描述。
通过对这些物理量的量纲进行分析，可以得到物理现象之间的关系，从而简化问题的分析和求解。
在工程设计中，量纲分析也有着重要的应用。
例如，在流体力学中，通过对流体流动中的速度、密度、长度等物理量的量纲进行分析，可以得到无量纲参数，从而简化流体流动问题的分析和求解。
在热力学中，通过对热量、温度、热容等物理量的量纲进行分析，可以得到无量纲参数，从而简化热力学问题的分析和求解。
总之，相似原理和量纲分析是科学研究和工程设计中常用的两种方法，它们在不同领域有着广泛的应用。
通过对相似原理和量纲分析的理解和应用，可以帮助工程师和科研人员更好地理解和解决实际问题，从而推动科学技术的发展和进步。
工程流体力学-第4章-M
运动学物理量的比例系数都可以表示为尺度比例系数和时间比例系数的不同组合形式。
如：kv=klkt-1 ka=klkt-2 k=kt-1 k=kl2kt-1 kqv=kl3kt-1 的单位是m2/s qV的单位是m3/s
三 动力相似（受力相似）
定义：两流动的对应部位上同名力矢成同一比例。 原型流动中作用有：重力、阻力、表面张力，则模型流动中相应点上也应存在这三种力，并且各同名力的方向相同、比值保持相等。 引入力比例系数 也可写成
[解]（1） 对流动起主要作用的力是黏滞力，应满足雷诺准则
流动的压降满足欧拉准则
[例2] 有一直径d=50cm的输油管道，管道长l=200m，油的运动粘滞系数 ，管中通过油的流量 。现用10℃的水和管径dm= 5 cm的管路进行模型试验，试求模型管道的长度和通过的流量。
M： 1＝ c+d L： 1＝ a+b-3c-d T： -2＝ -b -d 上述三个方程中有四个未知数，其中的三个未知数必须以第四个未知数表示： c=1-d； b=2-d； a=2-d 求得各指数值，带入假设式，得到无量纲关系式
（2）根据量纲和谐原理建立联立方程式
上式是一个无量纲方程，与具有四个未知数的原函数方程相比，仅包含一个独立的无量纲变量。在分析试验结果并确定变量之间的关系时，独立变量数的减少是非常方便的，这也是量纲分析的明显好处。
非定常相似准则
由当地惯性力与迁移惯性力的关系，得到 称为斯特罗哈（Strouhal)数，要使两个流动的当地惯性力作用相似，则它们的斯特罗哈数必须相等，这称为惯性力相似准则，也称为非定常相似准则。
流动相似理论是工程模型研究和实验的基础。模型和原型的相似参数的测试与数据处理是工程模型研究的两个核心问题。 一、模型与原型的相似 1、近似相似 1）不是所有的相似准则数都能同时被满足的； 2）甚至，有时连保证几何相似都是困难的。 2、实验方法 根据具体的问题，选择最重要的相似准则，确定模型尺寸及实验条件；得到无量纲准则数之间的关系。
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析在物理学和工程学领域中，相似原理和量纲分析是两个非常重要的概念。
它们可以帮助我们理解和解决各种复杂的问题，从流体力学到结构力学，从热传导到电磁场，都可以用相似原理和量纲分析来进行分析和研究。
首先，让我们来看看相似原理。
相似原理是指在某些条件下，两个物体或系统在某些方面具有相似性质。
这种相似性质可以是几何形状、运动状态、流动特性等。
通过相似原理，我们可以将一个复杂的问题简化为一个相似的简单问题，从而更容易地进行分析和解决。
例如，在流体力学中，我们可以利用相似原理将实际的飞机机翼模型缩小到实验室中进行风洞测试，从而得到与实际飞机飞行状态相似的流场特性。
接下来，让我们来了解一下量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理现象的方法。
在自然界中，存在着很多不同的物理量，它们之间可能存在着某种关系。
通过量纲分析，我们可以找到这些物理量之间的关系，并且可以得到一些重要的结论。
例如，在热传导问题中，通过量纲分析可以得到热传导方程中的无量纲参数，从而可以简化和统一热传导问题的分析和解决方法。
相似原理和量纲分析在工程实践中有着广泛的应用。
例如，在设计新型飞机时，我们可以利用相似原理来进行风洞测试，从而验证飞机的飞行性能；在设计新型建筑结构时，我们可以利用量纲分析来研究结构的受力特性，从而优化结构设计。
这些方法不仅可以帮助我们更好地理解和解决实际工程中的问题，还可以节约时间和成本，提高工程设计的效率和质量。
总之，相似原理和量纲分析是物理学和工程学中非常重要的概念，它们可以帮助我们简化复杂问题，找到物理量之间的关系，从而更好地理解和解决各种实际问题。
在工程实践中，我们可以充分利用这些方法来提高工程设计的效率和质量，推动科学技术的发展。
希望大家能够深入学习和理解这些方法，将它们运用到实际工程中，为社会发展做出更大的贡献。
量纲分析与相似原理
量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理是一种在工程领域常用的分析方法，用于研究物理量之间的关系和相似性。
通过量纲分析，可以确定物理量之间的依赖关系，从而简化问题的求解过程，提高工程设计的效率。
相似原理则是利用量纲分析的结果，通过建立相似模型来研究实际问题，从而获得与实际情况相似的结果。
在进行量纲分析时，首先需要明确问题中涉及的物理量，包括基本物理量和派生物理量。
基本物理量是不可再分的物理量，例如长度、质量、时间等。
派生物理量是由基本物理量组合而成的物理量，例如速度、加速度、力等。
在量纲分析中，我们通常使用方程式来表示物理量之间的关系，例如 F = ma，其中 F 表示力，m 表示质量，a 表示加速度。
接下来，我们需要确定问题中的基本物理量及其单位。
单位是表示物理量大小的标准，例如长度的单位可以是米，质量的单位可以是千克。
在量纲分析中，我们通常使用方括号 [] 表示物理量的量纲，例如 [F] 表示力的量纲。
根据国际单位制的规定，基本物理量的量纲可以表示为 [L] 表示长度的量纲，[M] 表示质量的量纲，[T] 表示时间的量纲。
在进行量纲分析时，我们需要根据物理量之间的关系，确定它们的量纲式。
量纲式是表示物理量之间关系的方程式，其中物理量的量纲用方括号表示。
例如在力学中，根据牛顿第二定律 F = ma，我们可以得到 [F] = [M][L][T]^-2，表示力的量纲是质量乘以长度再除以时间的平方。
通过量纲分析，我们可以确定物理量之间的依赖关系。
在确定依赖关系时，我们需要注意量纲式中的常数，例如在牛顿定律中的常数就是 1。
通过分析量纲式中的常数，我们可以确定物理量之间的比例关系，从而简化问题的求解过程。
相似原理是在量纲分析的基础上建立的。
在研究实际问题时，我们通常无法直接进行实验或观测，而是通过建立相似模型来模拟实际情况。
相似模型是在尺寸、速度、时间等方面与实际情况相似的模型。
通过量纲分析，我们可以确定相似模型与实际情况之间的比例关系，从而将实际问题转化为相似模型的求解。
相似原理和量纲分析
ρ vl vl = = Re µ ν
Re称为雷诺（O.Reynolds）数,它是惯性力与粘滞力 称为雷诺（ 称为雷诺 ） 它是惯性力与粘滞力 的比值。 的比值。 二流动的粘滞力作用相似， 二流动的粘滞力作用相似，它们的雷诺数必定 e ；反之亦然。这便是粘滞力相似准 相等， R 反之亦然。 相等，即 e′ =R 又称雷诺准则。 则，又称雷诺准则。 由此可知，粘滞力作用相似的流场，有关物理量 的比例尺要受雷诺准则 雷诺准则的制约，不能全部任意选择。 雷诺准则 例如，当模型与原型用同一种流体 时，kρ = kµ = 1 ，故有
它是当地惯性力与迁移惯性力的比值。二非定常流动 相似，它们的斯特劳哈尔数必定相等，即 Sr′ = Sr ； 反之亦然。这便是非定常性相似准则，又称斯特劳哈 尔准则或谐时性准则。 f 倘若非定常流是流体的波动或振荡，其频率为 , 则 lf 斯特劳哈尔数 （4Sr = v 32a） 斯特劳哈尔准则 31a)
kv = k
1 2 l
粘滞力相似准则
kF
µ ′(d v ′ d y ′ )A ′ x = = = kµ kvkl Fµ µ (dv x d y )A
F µ′
kF =1 2 2 k ρ kl kv
k ρ kvkl kµ
=1
kvkl =1 kν
ρ ′v′l ′ ρvl = µ′ µ
v′l ′ vl = ν′ ν
t ′ l ′ v′ kl kt = = = t l v kv
（4-5）
由几何相似和运动相似还可以导出用 kl 、kv 表示的有关运动 学量的比例尺如下：图4-2速度场相似
BACK
加速度比例尺
a ′ v′ t ′ k v k v ka = = = = a v t kt kl
相似性原理和量纲分析
拓展应用领域
随着相似性原理研究的不断深入，其 应用领域也将不断拓展，为更多领域 提供新的思路和方法。
02
量纲分析基本原理
量纲的定义与作用
量纲的定义
量纲是描述物理量性质的一种分类， 表示物理量所属的种类，如长度、时 间、质量等。
03
关注新兴技术的发展 与应用
关注计算机模拟、人工智能等新兴技 术的发展动态，及时将其应用于相似 性原理和量纲分析的研究中，提高其 研究水平和实用性。
THANKS
感谢观看
成为制约其应用的瓶颈之一。
发展趋势与前景展望
多学科交叉融合
随着学科交叉的深入发展，相似性原理和量纲分析有望在更多领域发挥作用，如生物医学、环境科学、社会科学等。
高精度数值模拟与实验技术的结合
随着计算机技术的进步，高精度数值模拟方法将为相似性原理和量纲分析提供更准确、更全面的数据支持，同时与实 验技术的结合将进一步提高其预测能力和实用性。
02
指导实验设计
03
促进模型建立
通过相似性原理，可以指导实验 设计，使得实验结果具有可比性 和可预测性。
相似性原理有助于建立数学模型， 从而更深入地理解物理现象的本 质。
Hale Waihona Puke 量纲分析在相似性原理中的应用
确定相似准则
01
通过量纲分析，可以确定影响物理现象的相似准则，进而建立
相似模型。
推导相似关系
02
利用量纲分析，可以推导出不同物理量之间的相似关系，为实
根据物理量的定义和性质，列出其对应的量 纲表达式。
验证结果
通过比较运算结果与已知物理量的量纲是否 一致，验证分析的准确性。
第六章 量纲分析和相似原理_图文
（2）普适性。
第六章 量纲分析和相似原理——量纲分析
5
（二）量纲和谐原理
1、量纲和谐原理（Theory of Dimensional Homogeneity）
凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须是一致的，
即：只有方程两边的量具有相同的量纲，方程才能成立。这称为量纲和
谐原理。
2、 量纲和谐原理的重要性
1 ( , ) D Re
可见：量纲分析可以建立各物理量间的关系，要确定 数量关系还要通过实验以确定公式中的系数。 同时，量纲分析还给出了试验途径。
第六章 量纲分析和相似原理——量纲分析
10
2、布金汉（Buckingham）定理
（1）定理：对于某个物理现象，如果存在n个变量互为函数，即
解：函数式为：
p f ( , Q , D1 , , D2 , L, )
y1 z1
选取 、Q、D1为基本变量，则存在8-3=5个 数
1 p /( Q D1 )
x1
2 /( Q D1 )
x2 y2 z2
3 D2 /( Q D1 )
x3 y3 z3
f ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ Lp , u, D, , , , g ) 0
p / L 1 x1 y1 z 1 u D
的个数N()=n-m=7-3=4。取u， D， 为基本量，则与⊿p/L的π 1 为：
1= ⊿p/L /(u x1Dy1 z1 )= [ML-2T-2]/{[L T-1 ] x1 [L ]y1 [ML-3 ]z1 }
3、基本量纲（Primary Dimension）：具有独立性的，不 能由其他量纲推导出来的量纲叫做基本量纲。一般取长度 [L]、时间[T]、质量[M]。 4、导出量纲（Derived Dimension）:是指由基本量纲导出的量 纲。
量纲分析和相似理论
µ ρVd
这两个独立的无量纲数的关系是
FD ρVd ) = f( 2 2 ρV d µ
流动相似原理
原型：天然水流和实际建筑物等。 原型：天然水流和实际建筑物等。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物。 几何相似：即是要求模型和原型所对应线段之比等于一常数。 几何相似：即是要求模型和原型所对应线段之比等于一常数。
相似准则
常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数） 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数）在相 似流动中应该是相等的。 似流动中应该是相等的。
流动相似原理
雷诺准则——粘性力是主要的力 粘性力是主要的力 雷诺准则
[解]
本问题的物理量共有5个 本问题的物理量共有 个：FD、d 、V 、ρ 、µ ，即n=5，基本量 ， 个独立无量量纲。 纲M、L、T，即m=3，故应该有 个独立无量量纲。则有： [V ] = [ LT −1 ] 、 、 ， ，故应该有2个独立无量量纲 则有：
为循环量， 组合成无量纲数π 选ρ、V、d为循环量，与余下的 D、µ组合成无量纲数 1、π2。 、 、 为循环量 与余下的F 组合成无量纲数
Fp Fm = λ F ——力的比尺 力的比尺
流动相似原理
流动相似的含义： 流动相似的含义：
几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。
第七章 相似原理与量刚分析
第七章相似原理与量纲分析第一节相似的概念在几何学的学习中，人们已建立起几何图形的相似概念。
工程中很多物理现象也有相似的特点。
人们把可用同样形式数学式表达的物理现象群称为同类现象。
但属于同类现象的不同物理现象不一定都相似，只有当同类不同物理现象中，它们的各自空间中相对应的各点上的表征现象特性的同类物理量的比例，在时间上相对应的瞬间为常数时，两个同类的不同物理现象才相似。
由于物理现象都是在一定的空间中进行的，相似的物理现象应在相似的空间中进行。
所以完整的物理现象相似应包含两个相似概念，即几何相似和物理现象本身的相似，其中包括初始条件和边界条件的相似。
后者习惯被称为物理现象相似。
一、几何相似几何相似即几何图形相似，如两个相似三角形的对应边长成比例，其比例常数可称为相似常数。
如教材85页图7-1所示。
其中的C l称为相似常数，由于相似常数是同类量之比值，因此相似常数无量纲。
二、物理现象相似如教材86页图7-2所示为物理现象相似。
质点A、B沿几何相似的路径作相似运动。
针对物理现象相似，有如下推论：（1）如果物理现象相似，则在相应的时刻，它们空间任意相应点上的任意同名物理量应该成比例关系；（2）如果物理现象相似，在选取相似的物理量作为量度单位后，将描述物理现象的数学方程式转换成的无量纲方程式应该一样。
需要注意的是，在几何相似时，相似常数只有一个，而物理相似时，由于方程式中的物理量有很多种，不同名的物理量都有各自的相似常数，如空间相似常数C l=l/l’，时间相似常数Ct=t/t’，速度相似常数Cv=v/v’等。
各相似常数又有一定的约束关系，如对两相似质点A和B运动的物理现象，v=l/t和v’=l’/t’，则即或这就是相似物理现象中相似常数关系的附加条件，C称为相似指示数或相似指标，用它来控制相似常数的关系。
如果两现象相似，则其相似指标等于1。
由教材86页图7-2所示物理现象：此式等号左右由物理参数组成的项为无量纲的不变量，或称定数，可取定数的统一符号表示，即此式说明，像质点运动那样的物理现象相似时，则对应点上由各相关参数组成的无量纲数在对应的时间上具有相同的数值，如Ho。
(4)量纲分析和相似原理
φ(π1, π 2, π 3,……, π n-m)=0
π定理的解题步骤： （1）确定关系式：根据对所研究现象的认识，确 定影响这个现象的各个物理量及其关系式: F(q1,q2,q3,……,qn)=0
（2）确定基本量：从n个物理量中选取所包含的 m个基本物理量作为基本量纲的代表，一般取m=3。 在管流中，一般选d，v，ρ三个作基本变量，而在明 渠流中，则常选用H，v，ρ。 （3）确定π数的个数N(π)=(n-m)，并写出其余 物理量与基本物理量组成的π表达式
1 Re
2
d
0
p
V
2
据π定理有：
1 p l k f 2 1 , 2 , 3 , 4 f 2 , , , 2 Re V d d
改写为 p
V
2
l k F , , Re d d
或
l k F , , Re 2 V d d l k 2 p V F , , Re d d
1 1 1 1 1 0
L : 2
2 3 2 1 0 2 0
2
T : 2 M :
L : 3
2 1 0
3 3 3 1 0 0
2 2 2 0 2 1
3 0 3 1 3 0
1 x1 x 2 x 3 x 4 2 x1 x 2 x 3 x 5
所求的物理方程为
2 2 2
1
1
2
f 2 1 , 2 0
[例]：有压管流中的压强损失。 根据实验，压强损失与流速V，管长 l ,管径d，管壁 粗糙度k，流体运动粘滞系数υ ，密度ρ有关，即试用 π定理法求该物理方程。 p f l , d , k , , , V 解： 这7个量中，基本物理量有3个，令管径、平均 流速、密度为基本量，量纲依次为
相似原理和量纲分析
对L 1 a1 b1 3c1 T 2 b1
M 1 c1
得 a1 0,b1 2,c1 1
1ຫໍສະໝຸດ pv 2Eu
2
ML1T 1 La2 LT 1 b2 ML3 c2
a2 1,b2 1,c2 1,
2
瑞利法是用定性物理量 的某种幂次之积的函数来表示被决定的物理量 y，即
式中，k为无量纲系数，由试验确定；
一致性原则求出。
为待定指数，根据量纲
应用举例
瑞利法
对于变量较少的简单流动问题，用瑞利法可以 方便的直接求出结果；对于变量较多的复杂流动问 题，比如说有n个变量，由于按照基本量纲只能列出 三个代数方程，待定指数便有n-3个，这样便出现了 待定指数的选取问题，这是瑞利法的一个缺点。
对于气体，宜将柯西准则转换为马赫准则。由于
K c2（c为声速），故弹性力的比例尺又可表示
为 kF kc2kkl2，代入式（4-16），
kv 1 kc
v v c c
v Ma c
Ma称为马赫（L.Mach）数,它仍是惯性力与弹性力的 比值。二流动的弹性力作用相似，它们的马赫数必定
称欧拉准则。
欧拉数中的压强p也可用压差p 来代替，
这时 欧拉数
p
Eu v2
（4-28）
欧拉相似准则
p p
v2 v2
（4-29）
非定常性相似准则
对于非定常流动的模型试验，必须保证模型与原
型的流动随时间的变化相似。由当地加速度引起的惯
性力之比可以表示为
kF
Fit Fit
相似的概念首先出现在几何学里，如两个三角形相似时，对应边 的比例相等。流体力学相似是几何相似概念在流体力学中的推广和发 展，它指的是两个流场的力学相似，即在流动空间的各对应点上和各 对应时刻，表征流动过程的所有物理量各自互成一定的比例。表征流 动过程的物理量按其性质主要有三类，即表征流场几何形状的，表征 流体微团运动状态的和表征流体微团动力性质的，因此，流体的力学
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相似原理与量纲分析对《粘性土地基强夯地面变形与应用的模型试验研究》的相似原理与量纲分析包思远摘要：实验研究是力学研究方法中的重要组成部分。
量纲分析和相似原理是关于如何设计和组织实验，如何选择实验参数，如何处理实验数据等问题的指导性理论。
相似原理与量纲分析的主要内容为物理方程的量纲齐次性， 定理与量纲分析法，流动相似与相似准则，相似准则的确定，常用的相似准则数、相似原理与模型实验。
本文主要分析和学习例文中的相似模型的建立和量纲分析方法，用相似原理和量纲分析方法解决实验中遇到的问题。
关键字模型试验，相似原理，量纲分析1 模型实验相似原理基础模型顾名思义是把实际工程中的原型缩小N 倍，进行相应的实验，得到相应的规律，来反映原型在现实工程中的状态，起到一个指导作用。
模型试验它的优点在于小巧，轻便，易于安装和拆卸，最重要的原因是它的经济性高能够从少量的实验经费中得到较好的实验规律。
回归于模型试验的本质就是相似原理，而相似理论有三个，分别为相似第一、二、三三大定理，其中相似第一定律是:彼此相似的物理现象,单值条件相同,其相似准数的数值也相同;相似第二定律，也称为π定律，即:两个物体相似，无论采用哪种相似判据，某些情况下的相似判据均可写成为无量纲方程。
第二相似定理表明现象的物理方程可以转化为相似准数方程。
它告诉人们如何处理模型试验的结果，即以相似准数间的关系给定的形式处理试验数据，并将试验结果推广到其它相似现象上去;相似第三定律是相似现象的充要条件。
现象相似的充分和必要条件是:现象的单值条件相似,并且由单值条件导出来的相似准数的数值相等。
实际应用时,相似条件都是由无量纲形式的π数来表示的。
目前推导原型与模型相似条件的方法主要有方程分析法和量纲分析法。
方程分析法是根据支配现象的微分方程来推导相似关系。
在使用方程分析法推导相似关系时,首先要列出支配现象的微分方程,然后取项与项之比就可以求出无量纲的二数。
这种方法对实验者知识的掌握程度要求较高。
而且在计算机发达的今天,基于数值计算的计算机方法往往比试验方法更有利。
量纲分析法比方程分析法对知识的要求要低,但是正确应用量纲分析的前提条件是正确地选择支配现象的物理参数。
因为量纲分析法本身无法判断出何种物理参数是支配现象的。
1.1 相似原理中的量纲分析对模型试验来说，为了正确的把实验结果能够用来建立一般的规律性，就首先要对原型力学现象有一个清楚的认识，在安排实验时，正确的选择无量纲参数非常的重要，无量纲参量的数目应尽可能的少，且选定的参量又要以合适的形式反映其效应。
量纲分析法是用来找出各个物理量间的相关关系，探究许多事先并未知晓的物理规律或者说无法得知明确的数学物理方程的情况，它只需要找出与发生物体现象相关的一些参数就可找出相似条件。
有量纲量和无量纲量。
所谓的有量纲量是指某一个数值要依附于一个单位制的量。
而无量纲指的则是某个数值与单位制没有关系，比如:长度，时间，力矩等为有量纲量，而长度的比值，能量的比值，以及长度与体积的比值等均可认为是无量纲量。
所以无量纲量与有量纲量的概念是相对来说的。
基本量度单位和导出量度单位。
它们两个的概念可以这样来解释，即把某些物理量看成基本物理量，而其他各量分别以这些基本量来表示，由此把基本量所有的量度单位称为基本量度单位，把用基本量表示的量度单位称为导出量度单位。
在具体的量纲分析中，选取基本量度单位要根据具体情况来定，如在工程中可以取力，长度和时间的单位等。
另外，我们在量纲分析中，可以把长度单位的符号写成[L]，质量单位符号写成[M]，时间单位符号写成[T]，而导出量纲，如速度就可表示为L/T，力的量纲就可以是ML/T2。
量纲公式。
通过量纲和谐原理，找出两边对应且一致的量纲，并且可以正确的体现规律的方程，也就是说可以正确反映物理规律的方程都能表示为无量纲方程。
1.2 相似条件在利用相似原理之前，我们需要认清原型与模型是否符合一定的相似条件，而相似条件主要从多各方面来对比考虑，如几何相似，材料相似，荷载相似，初始条件和边界条件相似，质量相似，时间相似等等。
所设计出的模型试验只有和现实相似了，结果和规律才能正确的反馈到现实中去。
以下分别介绍几何相似和荷载相似:(1)几何相似，模型和原型中形成一个尺寸比例关系，通过这一比例来确定模型的尺寸，进而可以确定其他的比值，如:面积比，惯性矩比，跨度比，以及在本实验模型中的锤重等。
(2)荷载相似，利用量纲分析得到相似系数来对荷载进行缩放。
在本模型试验中只要确定了锤重，落距，就能得到夯击能的缩放比例。
2 相似原理与量纲分析在试验中的应用例文应用强夯法模型试验，文中指出强夯模型试验的研究比较多，使用的方法也是各不一样，但普遍都存在各自的问题，比如模型箱的尺寸，所选用的参数，土的调制，测量方法等，都或大或小有着问题。
如果我们把模型设计的太小，通过相似准则知道，其他的实验装置都必须做的比较精细，即测量时可能由于方法的粗糙，导致实验分析的结果与实际相差较远，也就是说所设计的模型试验不能反映现场规律，实验为不成功。
所以探讨模型试验的不足以及它未来的发展趋势是有必要的。
2.1 实验模型的分析一、探讨模型箱的尺寸首先，从模型箱的设计尺寸大小来考虑，模型箱需要符合在强夯某一能量作用下最大影响范围和最大影响深度，计算出其大致范围和深度，即通过大致计算出影响深度，即可设计出模型箱的高度，而通过文献中得到的经验数据，表明夯点间距为锤径的1.5~2.0倍，也就是说模型箱的长宽度至少要为锤径的5倍左右，以此来设计模型试验箱，以避免实验后续过程中，模型箱边界效应的影响，导致实验结果不准确;其次，要考虑到模型箱内容土的体积，如果过小会有边界影响，过大又会加大实验量，拖慢实验进度，固考虑实验工作量也是一方面;最后，要综合考虑以上箱尺寸之后，要考虑的就是模型箱的制作材料，不同的材料会有不同程度的变形，对于强夯模型试验，在冲击的作用下当然是把箱体的变形减到最小就是最好的了。
二、探讨强夯模型实验中的相似系数通过确定基本参数的比例，再由相似原理得到的所选取参数之间的相似关系，即可根据相似关系得到其它参数的比例系数，最后通过把原型缩小到模型的参数值去综合考虑该模型试验是否能够顺利的进行。
如何选取基本参数的比例尤为重要，因为它涉及到后面的其他参数因子。
原则上，要根据实际工程中的经验数值，挑选些比较容易见到的参数，且比较好控制，这样使得在通过相似关系计算其他因子的比例后根据实际情况方便调整基本参数的比例。
在相似系数要充分合理，要根据实际情况加以控制，如在实际中锤底面积2~4m2，把它换算锤径大约为1.5~2.3m，进而根据模型箱的大小确定锤径之间的比例可缩小20倍，同时也符合模型箱的验算。
三、准确且合理化量纲分析过程从目前大多数的有关强夯模型试验文献来看，介绍量纲分析过程的比较少，故由此得到的相似关系没有详细的理论依据。
在量纲分析给出了详细推理过程中，由于考虑的参数比较有限，得出的实验结果有些不能反映明显的现场规律。
量纲分析的过程是一种建立实际情况和模型情况的联系，只有通过正确且有效的量纲分析手段才能更好的从实验结果反映现场的实际情况。
所以在量纲分析之前，要先详细了解在工程作用中的力学特性，在准确选取工程中重要的物理参数，之后才能够合理的进行量纲分析，在分析过程中最好能找出一种最科学的和最能反映现场情况的推导过程，以此来建立量纲方程，当然，如果条件允许，可以从实际操作中进行总结后再得出相应的方程，多次进行，以此来得到最终的量纲分析过程。
2.2 实验概述根据强夯模型试验的介绍可知，在进行模型试验研究之前，结构模型需要以量纲分析为理论基础，除了满足结构构件的原则和要求外，还应当严格遵循相似原理进行试验设计，即(1)几何相似:在原型和模型之间的尺寸需要按照设计的计算出的比例进行缩放;(2)材料相似:原型和模型的材料属性之间需要满足一定的相似关系;(3)力学相似:在施加力的时候，需要把实际的力按通过设计的缩放比例进行缩减;在满足以上三个条件的同时，还应该根据相似第二和第三原理，计算得到能够反映从原型到模型模拟过程的一个相似条件，这样才能较为严格的从模型得到的结果反推到实际情况。
根据相似原理三大定理为理论背景进行如下的量纲分析，并得出相应的相似条件:选取所应考虑的物理量，本模型试验所考虑的施工工艺参数为:夯击能E 、夯锤重量w 、夯锤直径D ，土质参数取干重度γ，并设夯坑深度为S 。
(1)用函数简单表示上述参数关系为 F(E,w, D,γ,S)=0列出各参数基本因次及按公式确定量纲矩阵:[E]=[FL] [W]=[F] [D]=[L][γ]=[FL -3] [S]=[L](2)根据量纲和谐定理，确定π数。
其中取W, D 为基本量纲，总量纲共有5个，其中基本量纲2个，故独立的π数有3个。
即⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1311001101L F(3)可得3个无量纲π数如下:WD E =1π，W D γπ32=，D S=3π根据相似第二定理可得： ，1=D W E C C C 13=W D C C C γ，1=D S C C所以可从上式中看出，只要确定锤重的相似系数C W 和锤径C D ，其他的相似系数也能从式中求出，这样就可以保证模型与原型的相似。
2.3 实验器材设计模型箱:考虑到夯锤在一定高度的冲击也算比较大，故采用厚度为4cm 左右的建筑模板制成，同时根据早期前人的一些模型实验经验及L.Menard 提出经验公式。
大致估算出加固深度，从而设计模型箱的长宽高，以避免在实验设计的最高高度处所产生的振动会因为箱子大小受到很大的边界效应，从而影响实验结果。
综合考虑，实验采用边长为尺寸为70cm X 70cm X70cm 的模型箱。
三角支架:该装置主要用于固定夯锤沿竖直方向自由下落，包括主支架、导轨、调平装置和滑轮四部分组成。
主支架由三根三角钢焊接而成，具有足够的稳定性和承载能力;导轨用来引导夯锤自由下落，且导轨表面较光滑;调平装置为一三角形平板，每个角下配有一个旋钮，分别用来维持夯锤在下落前处于水平状态，避免下落时夯锤翻转，影响实验结果;滑轮则是用来拴在夯锤的。
夯锤:考虑到实验结果与现场的符合性，本实验中使用的夯锤均根据现场实际情况进行设计。
实际中使用的夯锤底面积2~4m2(换算直径大约为1.5~2.3m)，夯锤重量为10~25t，下落的高度为8~25m。
3 结论量纲分析法看起来简洁明了，要正确应用却并不容易，关键在第一步。
若遗漏了必需的物理量将导致错误结果，而引入无关的物理量将使分析复杂化。
要正确选择物理量需掌握必要的基础知识和对研究对象的感性认识，并具有一定的量纲分析经验。
量纲分析的结果主要用于指导实验。
相似理论的优越性体现在可以较好地指导模型试验，随着科技进步,国外也逐步将相似理论应用在工程领域,如工程系统相似设计、人机系统相似设计、相似虚拟制造、成组技术和机械系统相似设计等，已经得到很多研究人士的重视并得到较好的应用。