量纲分析与相似原理
5 量纲分析和相似原理
5.2.2 π定理（布金汉定理，Bucking ham）
由美国物理学家Bucking ham提出。若某一物 理过程包含n个物理量，即 f (q1q2q3 qn ) 0 其中有m个基本量（量纲独立，不能互相导出）， 则该物理过程可由n个物理量构成的n-m个无量纲 项所表达的关系式来描述，即 F (1 nm ) 0 由于无量纲项用π表示，因此叫作π定理。
5.1.2 无量纲量
当量纲公式中α=0、β=0、γ=0时, 物理量q 为无量纲量。 vd Re 如 雷诺准数
LT 1L dim Re dim( ) 2 1 1 LT vd
无量纲量的特点： 客观性 不受运动规模的影响 可进行超越函数运算
5.1.3 量纲和谐原理
量纲和谐原理：凡正确反映客观规律的物理 方程，其各项的量纲一定是一致的。 如粘性流体总流的柏努利方程
4)量纲分析法是沟通流体力学理论与实验之 间的桥梁。
5.3 相似理论基础
5.3.1 相似概念
几何相似：两个流动流场（原型和模型）的 几何形状相似，即相应的线段长度成比例、 夹角相等。 以p表示原型 (prototype) ， m表示模型 (model) ，有
l p1 lm1 l p2 lm2 lp lm l
I m mlm2vm 2 lmvm Tm mlmvm m
即
l pvp
p
lmvm
m
(Re) p (Re)m
lv
无量纲数 Re 称为雷诺准数(Reynolds number)，表示惯性力与粘滞力之比。两流动 的雷诺准数相等，粘滞力相似。
此式为管道压强损失计算公式，称为达西-魏 斯巴赫（Darcy-Weisbach）公式。
第九章 量纲分析与相似原理
m
mp mm
pVp mVm
3l
✓ 力的比尺：
F
Pp Pm
Fp Fm
Gp Gm
Ip Im
mpap mmam
ma
l22v
❖ 力学相似：所有的计算结果均列于（P199）表动如果力学相似，则必
然存在着许许多多的比例尺），判断流动动力相似时作用 力的比例尺满足的约束关系称为相似准则。
v
1
l
1 15
v
vp vm
vm
vp v
1015 150m / s
[例9.1] 已知溢流坝的过流量QP＝1000m3/s,若用长度比尺λl ＝60的模型（介质相同）进行实验研究，试求模型的流量Qm 。
如m、cm、mm等同属于长度类，用L表示；小时、分、秒 等同属于时间类，用T表示；公斤、克等同属于质量类，用 M表示。
§9.1 流体相似原理
解决 流体 力学 问题 的 方法
数学 分析
实验 研究
探索未知的流体流动规律 大型水工、机械模型实验
以相似原理为基础
一、力学相似
表征 流动 过程 的物 理量
描述几何形状的
v2 g l p 2v
式（9.2）
lv
设计模型时，所选择的三个基本比例尺如能满足以上三个制
约关系，则模型流动与实物流动是完全力学相似。但这是有困难
的，因为，如前所述单位质量力的比例尺 ，则g 1
1
v2 g l
v l2 模型可大可小，但流体运动黏
lv
3
l2
度的比例尺要保持一致很难。
l v
✓
加速度比尺： a
ap am
vp vm
tp tm
v t
量纲分析与相似原理
B5 量纲分析与相似原理实验研究是流体力学研究方法中的重要组成部分。
量纲分析和相似原理是关于如何设计和组织实验，如何选择实验参数，如何处理实验数据等问题的指导性理论。
主要内容：物理方程的量纲齐次性， π定理与量纲分析法，流动相似与相似准则，相似准则的确定，常用的相似准则数、相似原理与模型实验。
重点：（1）量纲齐次性原理；（2） π定理和量纲分析； （3）常用的相似准则； （4）相似原理与模型实验。
B5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性 1. 物理量的类别和量纲物理量（单位）的类别称为量纲，用dim 表示。
基本量的量纲称为基本量纲，在国际单位制中基本量纲（取三个）记为dim m = M ，dim l =L ,dim t =T任何导出量的量纲均可用基本量纲的幂次表示，称为量纲幂次式。
例如dim V = LT -1dim g =LT -213T L dim -=Q3ML dim -=ρ 22T ML dim --=γ 11T ML dim --=μ 12T L dim -=ν2MLT dim -=F21T ML dim dim dim --===K p τ△ 虽然物理量的类别与单位制无关，但量纲幂次式却只有在确定的单位制中才有意义。
2. 量纲齐次性原理物理方程中各项的量纲必须齐次，称为物理方程的量纲齐次性。
按量纲齐次性原理，单位质量流体元能量守恒形式的伯努利方程中++gz V 22（ρp）=常数。
第三项的形式应为B5.2 量纲分析与 П 定理量纲分析主要用于分析物理现象中的未知规律，通过对相关的物理量做量纲幂次分析，将它们组合成无量纲量，揭示他们间内在关系，并降低变量数目。
较早提议做量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877），而奠定量纲分析理论基础的是白金汉(E.Buckingham,1914），他提出了П定理。
B5.2.1 П 定理△ П 定理指出：若一方程包含 n 个物理量，每个物理量的量纲均由 r 个独立的基本量纲组成，则这些物理量可以并只可以组合成 r n -个独立的无量纲量，称为 П数。
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析相似原理和量纲分析是物理学中常用的分析方法。
这两个方法都可以帮助我们简化和理解复杂的物理问题，并从中得到有用的结论。
相似原理是指在某些情况下，两个或多个物理系统在某些方面具有相似性。
通过找到这些相似性，我们可以将一个物理问题转化为另一个更简单的问题，并从中得到有关原问题的信息。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理问题的方法。
在量纲分析中，我们将物理量表示为其单位的乘积，例如长度（L）、质量（M）和时间（T）。
通过对物理方程中各项的量纲进行分析，我们可以得到物理问题的量纲关系。
现在让我们更详细地讨论这两种方法。
首先，我们来看看相似原理。
相似原理的核心思想是，如果两个物理系统具有相似的形状、相似的流动条件和相似的物理特性，那么它们在某些方面具有相似性。
这种相似性可以通过无量纲参数来描述。
无量纲参数是一个相对于单位的比率或比值，因此在不同的物理系统中具有相同的值。
通过选择适当的无量纲参数，我们可以把一个复杂的问题转化为一个简单的问题。
例如，假设我们想研究飞机的气动性能。
我们可以选择无量纲参数如升力系数（Cl）、阻力系数（Cd）和升阻比（Cl/Cd），来描述飞机的飞行特性。
通过比较不同飞机的这些无量纲参数，我们可以得出有关它们性能优劣的结论。
相似原理的应用非常广泛。
它常用于流体力学、热传导和振动等领域的问题研究。
通过利用相似原理，我们可以设计模型实验来研究某一问题，从而避免对真实系统进行复杂和昂贵的实验。
接下来，我们来谈谈量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理问题的方法。
在物理方程中，各个物理量的量纲必须相等。
这就是说，物理方程中各项的量纲必须保持平衡。
通过量纲分析，我们可以得到物理问题的一些量纲关系。
这些量纲关系可以帮助我们推导出物理方程中的无量纲参数，并进一步简化问题。
例如，假设我们要研究物体自由落体的运动规律。
我们可以通过对物理量的量纲进行分析，得到物体自由落体的无量纲形式。
相似原理与量纲分析
CF 1（无量纲数） 可以写成： 2 2 C C L Cu
1
Fp / Fm
p L2p u 2 p 2 2 m Lm um
Fm 2 2 2 2 m Lm um p Lp u p
Fp
F L2u 2
牛顿数： N e
( Ne ) p Ne m
若两个水流不仅几何相似，而且是动力相似的，则他们的牛顿数 必须相等；反之亦然，称为牛顿相似准则。
AP L2 2 P 2 CL 面积比尺： C A Am Lm
VP L3 3 P C C 体积比尺： V L Vm L3 m
LP （原型） Lm （模型）
§4-1相似的基本概念
⑵运动相似 （运动状态相似，速度、加速度必须平
行且具有同一比例）： 速度相似比尺： Cu
up
um
Gp M pgp
CG C F 重力与惯性力之比值为同一常数
则：
C C C g C C C
3 L 2 L
2 u
u C 1 也可写成 得： C g CL g p L p g m Lm
2 u
u
2 p
2 m
(Fr)p=(Fr)m
Fr 表明了惯性力与重力之比
（佛汝德数）
§4-2相似准则
§4-3相似原理的应用
对同时受重力和粘性力作用的液体，应当同时满足Re和Fγ 准则，才能保证流动相似， 但Fr准则要求 Cu CL 而Re准则要求 则有：
二者不能同时满足
Cu 1 / CL
2 Cu 1 和 C g CL
解决的办法是采用不同的流体进行实验，同时满足Fr和Re准则
C L Cu 1 C
相似原理与量纲分析
型。 例如，我们正在建设中的汽车气动－声学风洞，在试验段，从喷口到
收集口之间的气体流动规律还不清楚，至今无法建立起流场的空气动力分 析模型，导致了风洞中出现的低频颤振现象无法准确地进行描述和解释， 为控制这种现象增加了难度。
算方法。这种方法的问题是，对于复杂的流体力学问题，它的计 算准确度、精度不能完全保证，计算结果的合理性还需要实验结 果进行验证。所以， CFD还有待进一步发展和成熟。
3）实验研究方法： 实验研究历来都是科学研究中的一种非常重要和有效的研究
手段。对于流体力学问题，由于解析方法、数值计算方法一方面 自身存在缺陷，另一方面他们的一些研究结果还有待实验检验， 再加上实验研究结果直观、真实、可靠等，所以，实验研究在解 决流体力学问题中就显得更为重要。
1、几何相似 2、运动相似 3、动力相似
§5.2 相似概念和相似定理
高速列车 模型
风洞试验
运动相似：
对试验流 场的要求
几何相似：
对试验对 象的要求
动力相似：
对试验对象 和流场相互 作用的要求
缩尺比例：1：8 原型长度：27m/节 三车编组
§5.2 相似概念和相似定理
1、几ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ相似
若两个物体对应的角度相同（包括方位或姿态角）、而且对应的全部
相似原理与量纲分析
相似原理和量纲分析
§5.1 相似原理与量纲分析的提出 §5.2 相似概念和相似定理 §5.3 相似准则 §5.4 模型试验方法 §5.5 量纲分析
§5.1 相似原理与量纲分析的提出
1、流体力学问题的研究方法
目前，解决流体力学问题的方法很多，可归纳为三类： 解析方法，计算流体力学方法（CFD），实验研究方法
相似原理和量纲分析
（c） • 一般来说，如果描述某个物理现象的物理量有n个，并且在这n个量中
(在a)光弹性试验含中有， r，个量多半是是无不满量足的纲独要立放的弃，，这就则是独所谓立近似的的纯近似数。 有n－r个。
但在必光须 弹使性例模试4型验－梁中满，3足研初，等究弯多弹曲半理是性论不对满体梁足所内的作的的基应要本放假力弃设，σ,即这与就外是所力谓近F似，的力近似矩。 M和尺寸L，材料常数E，μ
1
b h
,
2
Gh4
T
, 3
l
q
4-5 π定理 由于两现象相似，各对应量互成比例，即
如果梁的尺寸不是几何相似，即梁长与梁截面的相似比例数
例4－3 研究弹性体内的应力σ与外力F，力矩M和尺寸L，材料常数E，μ之间的π项。 时，是严格满足静力相似律。
将式(c)代入到式(a)，得
量第纲三分 定析理 • 的：普系把遍统参定的理单与是值物条π定件理理相。现似，象则的系统各为物相似理。量，通过量纲分析，转化为数目较少的无量纲间的 把表第参达四与 某 章物个相• 理物似现理原关表象现理系达的象和各的量式某物方纲。个理程分量式析即物，π理通1过现，量象π纲2分的…析方，…转程这化式为种数做目较法少就的无是量巴纲间肯的汉关系？式π。定理的基本思想。
G e G2 0 （a）
x
对于模型来说，同样满足方程：
m
Gm
em xm
Gm
2m
m
0
（b）
实物和模型要求相似，对应量一一成比例：
C m
CG
G Gm
Ce
e em
x Cx G xm
C
m
（c）
但
1
E
1
2
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析相似原理和量纲分析是科学研究和工程设计中常用的两种方法，它们在不同领域有着广泛的应用。
相似原理是指在某些条件下，两个或多个对象在某些方面具有相似性的原理，而量纲分析则是一种通过对物理量的量纲进行分析，来确定物理现象之间关系的方法。
本文将分别介绍相似原理和量纲分析的基本概念和应用，以期帮助读者更好地理解和应用这两种方法。
首先，我们来介绍相似原理。
相似原理是指在某些条件下，两个或多个对象在某些方面具有相似性的原理。
在流体力学中，相似原理是研究流体流动时的一种重要方法。
根据相似原理，如果两个流体流动问题在某些方面具有相似性，那么它们的流动规律也应该是相似的。
通过建立相似模型，可以通过对模型进行实验来研究真实流体流动问题，这为工程设计和科学研究提供了重要的手段。
在工程设计中，相似原理也有着广泛的应用。
例如，在飞机设计中，通过建立风洞模型来研究飞机在空气中的飞行性能；在建筑设计中，通过建立模型来研究建筑物在风力作用下的受力情况。
相似原理的应用不仅可以帮助工程师更好地理解和预测真实系统的行为，还可以降低实验成本和风险。
接下来，我们来介绍量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析，来确定物理现象之间关系的方法。
在物理学和工程学中，很多物理现象可以通过物理量之间的关系来描述。
通过对这些物理量的量纲进行分析，可以得到物理现象之间的关系，从而简化问题的分析和求解。
在工程设计中，量纲分析也有着重要的应用。
例如，在流体力学中，通过对流体流动中的速度、密度、长度等物理量的量纲进行分析，可以得到无量纲参数，从而简化流体流动问题的分析和求解。
在热力学中，通过对热量、温度、热容等物理量的量纲进行分析，可以得到无量纲参数，从而简化热力学问题的分析和求解。
总之，相似原理和量纲分析是科学研究和工程设计中常用的两种方法，它们在不同领域有着广泛的应用。
通过对相似原理和量纲分析的理解和应用，可以帮助工程师和科研人员更好地理解和解决实际问题，从而推动科学技术的发展和进步。
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析在物理学和工程学领域中，相似原理和量纲分析是两个非常重要的概念。
它们可以帮助我们理解和解决各种复杂的问题，从流体力学到结构力学，从热传导到电磁场，都可以用相似原理和量纲分析来进行分析和研究。
首先，让我们来看看相似原理。
相似原理是指在某些条件下，两个物体或系统在某些方面具有相似性质。
这种相似性质可以是几何形状、运动状态、流动特性等。
通过相似原理，我们可以将一个复杂的问题简化为一个相似的简单问题，从而更容易地进行分析和解决。
例如，在流体力学中，我们可以利用相似原理将实际的飞机机翼模型缩小到实验室中进行风洞测试，从而得到与实际飞机飞行状态相似的流场特性。
接下来，让我们来了解一下量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理现象的方法。
在自然界中，存在着很多不同的物理量，它们之间可能存在着某种关系。
通过量纲分析，我们可以找到这些物理量之间的关系，并且可以得到一些重要的结论。
例如，在热传导问题中，通过量纲分析可以得到热传导方程中的无量纲参数，从而可以简化和统一热传导问题的分析和解决方法。
相似原理和量纲分析在工程实践中有着广泛的应用。
例如，在设计新型飞机时，我们可以利用相似原理来进行风洞测试，从而验证飞机的飞行性能；在设计新型建筑结构时，我们可以利用量纲分析来研究结构的受力特性，从而优化结构设计。
这些方法不仅可以帮助我们更好地理解和解决实际工程中的问题，还可以节约时间和成本，提高工程设计的效率和质量。
总之，相似原理和量纲分析是物理学和工程学中非常重要的概念，它们可以帮助我们简化复杂问题，找到物理量之间的关系，从而更好地理解和解决各种实际问题。
在工程实践中，我们可以充分利用这些方法来提高工程设计的效率和质量，推动科学技术的发展。
希望大家能够深入学习和理解这些方法，将它们运用到实际工程中，为社会发展做出更大的贡献。
量纲分析与相似原理
量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理是一种在工程领域常用的分析方法，用于研究物理量之间的关系和相似性。
通过量纲分析，可以确定物理量之间的依赖关系，从而简化问题的求解过程，提高工程设计的效率。
相似原理则是利用量纲分析的结果，通过建立相似模型来研究实际问题，从而获得与实际情况相似的结果。
在进行量纲分析时，首先需要明确问题中涉及的物理量，包括基本物理量和派生物理量。
基本物理量是不可再分的物理量，例如长度、质量、时间等。
派生物理量是由基本物理量组合而成的物理量，例如速度、加速度、力等。
在量纲分析中，我们通常使用方程式来表示物理量之间的关系，例如 F = ma，其中 F 表示力，m 表示质量，a 表示加速度。
接下来，我们需要确定问题中的基本物理量及其单位。
单位是表示物理量大小的标准，例如长度的单位可以是米，质量的单位可以是千克。
在量纲分析中，我们通常使用方括号 [] 表示物理量的量纲，例如 [F] 表示力的量纲。
根据国际单位制的规定，基本物理量的量纲可以表示为 [L] 表示长度的量纲，[M] 表示质量的量纲，[T] 表示时间的量纲。
在进行量纲分析时，我们需要根据物理量之间的关系，确定它们的量纲式。
量纲式是表示物理量之间关系的方程式，其中物理量的量纲用方括号表示。
例如在力学中，根据牛顿第二定律 F = ma，我们可以得到 [F] = [M][L][T]^-2，表示力的量纲是质量乘以长度再除以时间的平方。
通过量纲分析，我们可以确定物理量之间的依赖关系。
在确定依赖关系时，我们需要注意量纲式中的常数，例如在牛顿定律中的常数就是 1。
通过分析量纲式中的常数，我们可以确定物理量之间的比例关系，从而简化问题的求解过程。
相似原理是在量纲分析的基础上建立的。
在研究实际问题时，我们通常无法直接进行实验或观测，而是通过建立相似模型来模拟实际情况。
相似模型是在尺寸、速度、时间等方面与实际情况相似的模型。
通过量纲分析，我们可以确定相似模型与实际情况之间的比例关系，从而将实际问题转化为相似模型的求解。
量纲分析和相似原理
p vp
vm l m
几何相似、定性准则成立是实现流体力学相似的必要和充分条件
（5）模型实验应保证对流动起主要作用的力相似，如 有压管流粘滞力起主要作用，满足雷诺准则；明渠流 动重力起主要作用，满足弗劳德准则。
弗劳德准则
Ip
Im G p Gm
vp
2 vp
G gl
3
g p lp
v g m lm
2 m
g p lp
vm g m lm
3 l I l 2 l 2 v 2 t
( Fr ) p ( Fr ) m
弗劳德数表征惯性力与重力之比。 两流动相应的弗劳德数相等，重力相似。
相似准则（3）
pm 2 2 p vp m vm pp
欧拉准则
Pm I p Im Pp
P pl 2
l I l 2 l 2 v 2 t
3
( Eu ) p ( Eu ) m
欧拉数表征压力与惯性力之比。 两流动相应的欧拉数相等，压力相似。 雷诺准则、弗劳德准则是定性准则，欧拉准则是导出准则
相似概念（1）
几何相似
l lm1 lm 2 lm p1 m1 p 2 m 2 lp1 lp 2 lp
l
—— 长度比尺
运动相似
lp t m l v vm lm / t m lm t p t ap vp / t p vp t m l 2 a am vm / t m vm t p t vp lp / t p
§5-4
模型实验
vm l m
模型律的选择
vp l p
相似性原理和量纲分析
拓展应用领域
随着相似性原理研究的不断深入，其 应用领域也将不断拓展，为更多领域 提供新的思路和方法。
02
量纲分析基本原理
量纲的定义与作用
量纲的定义
量纲是描述物理量性质的一种分类， 表示物理量所属的种类，如长度、时 间、质量等。
03
关注新兴技术的发展 与应用
关注计算机模拟、人工智能等新兴技 术的发展动态，及时将其应用于相似 性原理和量纲分析的研究中，提高其 研究水平和实用性。
THANKS
感谢观看
成为制约其应用的瓶颈之一。
发展趋势与前景展望
多学科交叉融合
随着学科交叉的深入发展，相似性原理和量纲分析有望在更多领域发挥作用，如生物医学、环境科学、社会科学等。
高精度数值模拟与实验技术的结合
随着计算机技术的进步，高精度数值模拟方法将为相似性原理和量纲分析提供更准确、更全面的数据支持，同时与实 验技术的结合将进一步提高其预测能力和实用性。
02
指导实验设计
03
促进模型建立
通过相似性原理，可以指导实验 设计，使得实验结果具有可比性 和可预测性。
相似性原理有助于建立数学模型， 从而更深入地理解物理现象的本 质。
Hale Waihona Puke 量纲分析在相似性原理中的应用
确定相似准则
01
通过量纲分析，可以确定影响物理现象的相似准则，进而建立
相似模型。
推导相似关系
02
利用量纲分析，可以推导出不同物理量之间的相似关系，为实
根据物理量的定义和性质，列出其对应的量 纲表达式。
验证结果
通过比较运算结果与已知物理量的量纲是否 一致，验证分析的准确性。
第六章 量纲分析和相似原理_图文
（2）普适性。
第六章 量纲分析和相似原理——量纲分析
5
（二）量纲和谐原理
1、量纲和谐原理（Theory of Dimensional Homogeneity）
凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须是一致的，
即：只有方程两边的量具有相同的量纲，方程才能成立。这称为量纲和
谐原理。
2、 量纲和谐原理的重要性
1 ( , ) D Re
可见：量纲分析可以建立各物理量间的关系，要确定 数量关系还要通过实验以确定公式中的系数。 同时，量纲分析还给出了试验途径。
第六章 量纲分析和相似原理——量纲分析
10
2、布金汉（Buckingham）定理
（1）定理：对于某个物理现象，如果存在n个变量互为函数，即
解：函数式为：
p f ( , Q , D1 , , D2 , L, )
y1 z1
选取 、Q、D1为基本变量，则存在8-3=5个 数
1 p /( Q D1 )
x1
2 /( Q D1 )
x2 y2 z2
3 D2 /( Q D1 )
x3 y3 z3
f ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ Lp , u, D, , , , g ) 0
p / L 1 x1 y1 z 1 u D
的个数N()=n-m=7-3=4。取u， D， 为基本量，则与⊿p/L的π 1 为：
1= ⊿p/L /(u x1Dy1 z1 )= [ML-2T-2]/{[L T-1 ] x1 [L ]y1 [ML-3 ]z1 }
3、基本量纲（Primary Dimension）：具有独立性的，不 能由其他量纲推导出来的量纲叫做基本量纲。一般取长度 [L]、时间[T]、质量[M]。 4、导出量纲（Derived Dimension）:是指由基本量纲导出的量 纲。
量纲分析和相似理论
µ ρVd
这两个独立的无量纲数的关系是
FD ρVd ) = f( 2 2 ρV d µ
流动相似原理
原型：天然水流和实际建筑物等。 原型：天然水流和实际建筑物等。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物。 几何相似：即是要求模型和原型所对应线段之比等于一常数。 几何相似：即是要求模型和原型所对应线段之比等于一常数。
相似准则
常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数） 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数）在相 似流动中应该是相等的。 似流动中应该是相等的。
流动相似原理
雷诺准则——粘性力是主要的力 粘性力是主要的力 雷诺准则
[解]
本问题的物理量共有5个 本问题的物理量共有 个：FD、d 、V 、ρ 、µ ，即n=5，基本量 ， 个独立无量量纲。 纲M、L、T，即m=3，故应该有 个独立无量量纲。则有： [V ] = [ LT −1 ] 、 、 ， ，故应该有2个独立无量量纲 则有：
为循环量， 组合成无量纲数π 选ρ、V、d为循环量，与余下的 D、µ组合成无量纲数 1、π2。 、 、 为循环量 与余下的F 组合成无量纲数
Fp Fm = λ F ——力的比尺 力的比尺
流动相似原理
流动相似的含义： 流动相似的含义：
几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。
六章量纲分析与相似原理
根据量纲一致性原理确定基本量纲的指数
V p 2f1(V g,dV ,d V 2d, E V /,d l, d)
例
V p2f1(F,rR,eW ,M ,ed l,
) d
题 不可压缩圆管流粘性摩擦为主，忽略Fr，We，M
p
V2
l f2(R,ed,
) d
p
V2
l d
f3(Re,d)
p(Re,) l V2 达西公式
6.3 流动相似原理
2. 基本方程分析法 （x 方向N-S 方程）
u t u u x v u y w u z fx 1 x p ( x 2 u 2 y 2 u 2 z 2 u 2 )
优令点：导u*出V u的, v相*V 似v,准w*则V w数, x*物L x理, y*意L y义, z明*L 确z ； 无量f纲x*方fgx程, f*y既适fgy,用fz*于fg模z,型p*也pp适, t*用t于f 原型。
这些无量纲数存在函数关系
F (1 , 2, 3,..n . m ,)0
不可压流动有三个独立的基本量纲（有多种选择）： 1、几何相似要求有一个长度量纲 2、运动相似要求有一个速度量纲 3、加上一个包含质量的量纲
例2. 已知圆球的流体阻力与圆球直径d、相对速度的
船模水池 造波机
第六章 量纲分析和相似原理
习题 6-7
(量纲分析, 由功率数相等求V, M) 6-13
Re VL 惯 粘性 性力 力
Fr
V Lg
惯性力 重力
Eu
p0
V2
压力 惯性力
StV fL非 对 定 流 常 惯 惯 性 性 力 力
6.3 流动相似原理 四、自模化
尼古拉兹曲线
关于自模化区lo实g1(0验0) —— 设计模型实验只要求流动处于同一自模化区， 而不必要求两个圆柱流绕流动的动力相似参数严格相等。
量纲分析和相似原理
第十二章量纲分析与相似原理实际工程中的水流现象非常复杂，仅靠理论分析对工程中的水力学问题进行求解存在许多困难，模型试验和量纲分析就是解决复杂水力学问题的有效途径。
因此要求我们对模型试验和量纲分析的原理和方法有初步的了解。
量纲分析与相似原理是指导分析问题和模型试验的重要方法，通过量纲分析和相似原理可以合理地、正确地组织试验，简化试验以及整理试验成果。
对于复杂的流动问题，借助量纲分析可以寻求物理量之间的联系，建立关系式的结构，量纲分析是分析流动问题的有力工具和方法。
相似原理则是模型试验的理论依据，也是分析水力学问题的有效方法之一。
要求掌握正确组合无量纲量的方法，掌握根据不同的水流进行模型试验，依据重力相似准则和阻力相似准则进行相似比尺的换算与模型设计。
第一节量纲分析一、量纲和单位量纲：表征物理量按其性质不同而划分的类别，即量纲表示的是物理量的种类。
量纲也称因次（Demension）。
单位：度量各种物理量数值大小的标准。
即单位是度量某一物理量的基值，预先人为选定的。
同一类别的物理量量纲相同，但可以用不同的单位去描述。
具体的“数值”和“单位”就准确地表示出了该物理量的大小。
从原则上讲，一个物理量可以有任意种单位，仅仅是为了交换概念和信息上的方便，才人为地规定了有限的几个具有普遍性的通用单位，如规定时间为秒，1秒取一个平均太阳日的864001。
由此可见，物理量是客观存在的，单位是人为制定用来度量物理量的。
量纲与单位的关系便是内容与形式的关系。
二、 基本量纲与诱导量纲量纲可分为基本量纲和诱导量纲。
基本量纲是指具有独立性的量纲。
该量纲不能由其它量纲推导出来，即不依赖于其它量纲。
如长度[L]、质量[M]、时间[T]或长度[L]、力[F]、时间[T]就是相互独立的量纲，它们之间不能互相推导，它们就可以作为基本量纲。
基本量纲并没有从理论上规定只能取三个，但一般来说，通过引入一个额外的物理系数，就可以增加一个互相独立的基本量纲。
(4)量纲分析和相似原理
φ(π1, π 2, π 3,……, π n-m)=0
π定理的解题步骤： （1）确定关系式：根据对所研究现象的认识，确 定影响这个现象的各个物理量及其关系式: F(q1,q2,q3,……,qn)=0
（2）确定基本量：从n个物理量中选取所包含的 m个基本物理量作为基本量纲的代表，一般取m=3。 在管流中，一般选d，v，ρ三个作基本变量，而在明 渠流中，则常选用H，v，ρ。 （3）确定π数的个数N(π)=(n-m)，并写出其余 物理量与基本物理量组成的π表达式
1 Re
2
d
0
p
V
2
据π定理有：
1 p l k f 2 1 , 2 , 3 , 4 f 2 , , , 2 Re V d d
改写为 p
V
2
l k F , , Re d d
或
l k F , , Re 2 V d d l k 2 p V F , , Re d d
1 1 1 1 1 0
L : 2
2 3 2 1 0 2 0
2
T : 2 M :
L : 3
2 1 0
3 3 3 1 0 0
2 2 2 0 2 1
3 0 3 1 3 0
1 x1 x 2 x 3 x 4 2 x1 x 2 x 3 x 5
所求的物理方程为
2 2 2
1
1
2
f 2 1 , 2 0
[例]：有压管流中的压强损失。 根据实验，压强损失与流速V，管长 l ,管径d，管壁 粗糙度k，流体运动粘滞系数υ ，密度ρ有关，即试用 π定理法求该物理方程。 p f l , d , k , , , V 解： 这7个量中，基本物理量有3个，令管径、平均 流速、密度为基本量，量纲依次为
相似原理和量纲分析
对L 1 a1 b1 3c1 T 2 b1
M 1 c1
得 a1 0,b1 2,c1 1
1ຫໍສະໝຸດ pv 2Eu
2
ML1T 1 La2 LT 1 b2 ML3 c2
a2 1,b2 1,c2 1,
2
瑞利法是用定性物理量 的某种幂次之积的函数来表示被决定的物理量 y，即
式中，k为无量纲系数，由试验确定；
一致性原则求出。
为待定指数，根据量纲
应用举例
瑞利法
对于变量较少的简单流动问题，用瑞利法可以 方便的直接求出结果；对于变量较多的复杂流动问 题，比如说有n个变量，由于按照基本量纲只能列出 三个代数方程，待定指数便有n-3个，这样便出现了 待定指数的选取问题，这是瑞利法的一个缺点。
对于气体，宜将柯西准则转换为马赫准则。由于
K c2（c为声速），故弹性力的比例尺又可表示
为 kF kc2kkl2，代入式（4-16），
kv 1 kc
v v c c
v Ma c
Ma称为马赫（L.Mach）数,它仍是惯性力与弹性力的 比值。二流动的弹性力作用相似，它们的马赫数必定
称欧拉准则。
欧拉数中的压强p也可用压差p 来代替，
这时 欧拉数
p
Eu v2
（4-28）
欧拉相似准则
p p
v2 v2
（4-29）
非定常性相似准则
对于非定常流动的模型试验，必须保证模型与原
型的流动随时间的变化相似。由当地加速度引起的惯
性力之比可以表示为
kF
Fit Fit
相似的概念首先出现在几何学里，如两个三角形相似时，对应边 的比例相等。流体力学相似是几何相似概念在流体力学中的推广和发 展，它指的是两个流场的力学相似，即在流动空间的各对应点上和各 对应时刻，表征流动过程的所有物理量各自互成一定的比例。表征流 动过程的物理量按其性质主要有三类，即表征流场几何形状的，表征 流体微团运动状态的和表征流体微团动力性质的，因此，流体的力学
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9.1 量纲与单位
• 如密度的量纲可写为dimρ ，用基本量纲表示为： • 20 世纪80 年代以前习惯用长度、时间和力作为基本量纲，简称FLT
制（F 表示力的量纲），而将质量作为导出量纲。依据牛顿第二定律， 力等于质量乘以加速度，因此 • FLT 制现已被MLT 制所取代。
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9.2 量纲分析
• 由量纲一致性原理可知，上式两侧的量纲是相同的，即 • 由伯努利方程可知，gh与V 2 /2有相同的量纲，于是给式（9−12）两
侧同除以 ，得
• 则上式两侧都应该是量纲为1 的。等式右侧的m 的量纲M 在变量g 和 h 中都未出现（ g 和h的量纲只包含L 和T），因此m 不可能与g 和h 组成一个量纲为1 的组合量，应从右侧的变量中删去；
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9.3 泊金汉Π定理
• 设一个流动过程涉及n 个变量v1 ， v 2 ， v3 ，···， vn ，其中 v2 ， v3 ，···， vn 是相互独立的自变量，它们是实验中可以控制的量，实 验目的是依次改变其中的一个变量而保持其他变量不变，从而确定它
们各自对变量 v1 的影响； v1 是实验中待确定或测量的量，它是自 变量的函数，称为因变量。如在上节提到的圆球在黏性流体内运动的
量纲是LT−1；ρ和g 分别是密度和重力加速度，它们的量纲分别是 ML−3 和LT−2。读者容易验证方程左右两侧及每一项的量纲都是L。 • 有时方程中会出现常数，如自由落体运动方程可表示为
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9.1 量纲与单位
• 对上式做量纲检查可知，若要满足量纲一致性原理，则式中的常数 4.904 的量纲必须是LT-2。通常自由落体运动方程写为
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9.3 泊金汉Π定理
• 以上各式中，添加的变量的幂指数都随意写为1，实际上也可选用其 他非零指数。令等式两侧的幂指数相等，即可求出使每一个Π 成为量 纲为1 的组合量的a、b、c。这样确定的Π是相对独立的，因为只有 Π1包含v 4 ，只有Π2包含 5 v ，等等。通常称上述确定Π 的方法为重 复变量法。
• 从上述两个实例可以看出量纲分析方法在流体力学实验研究中的重要 指导作用：将物理量组成量纲为1 的组合式的形式，可以减少与流动 问题相关的变量数目，即量纲分析方法不但能最终给出变量间的具体 函数形式，还可以提供该函数形式的重要信息，从而使实验工作大为 简化。对于一个具体的流动问题，可以减少的变量数则由Π 定理确定。
• 采用重复变量法确定Π 的步骤如下：
• 在流体力学中经常会出现需要处理的与流体流动有关的物理量，可以 用量纲来定性地描述这些物理量的种类和性质，如长度、时间、应力 和速度等，而定量地描述物理量则需要一个数量和一个公认的测量单 位，如长度的单位用m、mm 、ft，时间的单位用h、min 和s等。
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9.1 量纲与单位
• 离开了单位，仅给出某个物理量的数值是没有意义的，因为采用的单 位不同，表示该物理量的数值大小也就不同，但是所有同类物理量均 具有相同的量纲。量纲是物理量“质”的表征，而单位是物理量“量” 的表征。
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9.2 量纲分析
• 欲使组合
量纲为 1，必然有
应等于 gh与一个常数的乘积，于是
，即函数 f
• 上文中，仅利用量纲一致性原理就确定了式（9-12）的具体函数关系； 同时式（9-12）改写为式（9-13）后，变量数由4 减少为1。
• 这种根据量纲一致性原理，通过合理地组合物理量使其成为量纲为1 的组合量，从而减少与一个物理现象有关的变量数目的分析方法称为 量纲分析。由上述事例还可以看出，有时仅依据对相关变量量纲的分 析便可确定物理量之间的函数关系，特别是当涉及的变量较少时。
• 在上节提到的圆球运动的例子中包含 FD 、a、μ 和U 4 个变量，即n = 4；描述这 4 个变量时基本量纲有 3 个，即 M、L 和 T，于是 j≤3。 依据Π定理， j = n . k≥1，这与我们在上节的推理结果是一致的。
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9.3 泊金汉Π定理
• 泊金汉Π 定理的第二部分告诉我们如何确定这k 个量纲为1 的组合量： 首先确定j，然后选取j 个相互不能组成Π 的变量，每一个Π 都可以用 这j 个变量与另外一个变量的幂次乘积组成，如此得出的每一个Π 都 是独立的。
第九章 量纲分析与相似原理
• 9.1 量纲与单位 • 9.2 量纲分析 • 9.3 泊金汉Π 定理 • 9.4 相似原理 • 9.5 模型实验
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9.1 量纲与单位
• 利用连续方程和运动方程求解流体流动问题的理论方法，只能得到一 些简单流动问题的解析解。实际上能够求得解析解的问题非常少，工 程中遇到的绝大多数流体力学问题仍然需要实验和理论相结合的方法 去寻求流动过程的规律。进行实验研究需要解决两个问题：一个是如 何通过一定量的实验得出某一流动现象的基本规律；另一个是如何把 特定条件下的实验结果推广到类似的流体流动过程中去。处理这些问 题的理论基础就是量纲分析和相似原理。
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9.2 量纲分析
• 与阻力 FD 的量纲一致，式（9-14）两侧同时除以μUa使等式量纲为 一化，即
• 使上式右侧成为一个量纲为 1 的组合量的唯一可能是使函数 f (a,μ ,U) 等于μUa 与一个常数的乘积，于是
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9.2 量纲分析
• 式（9−15）只含一个量纲为1 的组合量，且该量纲为一个组合量等于 一个量纲为1 的常数。为了确定这一常数，不再需要分别改变流体种 类、流动速度和圆球半径，只需要采用同一圆球和同一种流体，改变 圆球运动速度（即改变量纲为1 的组合量/ FD μUa的数值）以测量阻 力即可确定等式右侧常数 c1 的数值。由理论分析我们知道式（9−15） 中的常数等于6。
• 将重力加速度g = 9.807 m/s2代入，即得式（9−10）。式（9−11）对 任意单位制都成立，而式（9−10）只适用于m 和s 的单位制。
• 虽然一个量纲一致的方程不一定是正确的方程，但一个量纲不一致的 方程则一定是错误的方程。因此检查量纲常常可以帮助我们发现运算 结果的错误，或者检查一个方程是否书写正确。量纲一致性原理是量 纲分析的基础，量纲分析将在第9.2 节讨论。
• 量纲一致性原理 一个正确和完整地描述物理规律的方程式，其左右 两侧的量纲必须一，而且所有相加的项的量纲也必须相同，否则就意 味着让不同的物理量相等或相加，这样的方程是毫无意义的。
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9.1 量纲与单位
• 比如伯努利方程 • 式中，z 是高度，量纲为L；p 是压强，量纲为ML−1T−2；V 是速度，
• 以式（9-16）为例，假设基本量纲数为3，即M、L 和T；经过观察， n 个变量中相互不能形成Π的最大变量个数也是 3，即。选取3 个不能形成Π 的变量，如 v1 、 v2 和 v 3，于是可以用这3 个变量与另外一个变量的 幂次乘积组成一个Π，则n . 3个Π可以分别表示为
• 功率的单位是瓦，以W 表示，即
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9.1 量纲与单位
• 一些流体力学中的常用物理量中MLT 制下的量纲和SI 单位制下的单 位在表9−1 中给出由于历史的原因，西方国家推行国际单位制的同时 仍然在使用英制单位，所以在阅读一些科技文献或是教科书时可能会 遇到ft（英尺）、lb（磅）、℉（华氏度）等单位，通常英文的流体 力学教科书都会有这些单位与国际单位制的换算表供参阅。例如：
• 依据量纲一致性原理，上式一定可以表示成量纲为1 的形式，量纲为 1 的关系式中量纲为1 的组合量数将少于原式中的变量数。
• 泊金汉Π 定理 将式（9−16）改变为量纲为1 的形式的方法有多种， 这里介绍1914 年由泊金汉（E. Buckingham）提出的方法，称为泊 金汉Π 定理。在数学上，大写希腊字母Π 表示变量的乘积，由于量纲 为1 的组合量总是以物理量的幂次乘积形式出现，所以习惯上将量纲 为 1 的组合量表示为Π1，Π2，Π3，···。
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9.2 量纲分析
• 考虑到上式有3 个独立变量a 、μ 和U，如果要通过实验来确定每一 个独立变量对阻力 FD的影响，则需保持其中两个不变，只改变其中 的一个：首先保持a 和μ 不变，在不同的速度U 测量圆球阻力FD ，以 确定速度U 对FD 的影响；然后保持μ 和U 不变，采用具有不同直径 的圆球进行实验以确定FD 随a 的变化规律；最后保持U 和a 不变，采 用具有不同μ 的流体进行实验以确定FD 与μ 的函数关系。这是一件耗 费资金，也耗时耗力的工作。利用量纲分析的方法，式（9−14）可 以得到简化，考虑到
• 基本量纲和导出量纲 量纲分为基本量纲和导出量纲。基本量纲，如 质量、长度、时间和温度，彼此相互独立，不能用来相互测量；导出 量纲则可以用基本量纲的组合来表示，如密度的量纲可表示为质量除 以长度的立方。在流体力学中采用的基本量纲是质量、长度、时间和 温度，分别表示为M、L、T 和Θ，对于绝大多数流体力学问题，只涉 及M、L 和T 3 个基本量纲，称MLT 制。一个量的量纲，可在表示这 一物理量的文字或符号前加“dim”来表示，
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9.2 量纲分析
• 在前面一节讨论了量纲一致性原理，或量纲齐次性原理、量纲和谐原 理。量纲一致性原理要求，凡是正确反映客观规律的物理方程，其各 项的量纲必须是一致的。从量纲一致性原理可以得到一个重要推论： 一个正确反映客观规律的物理方程必然可以写成量纲为1 的形式。
• 在前面一节中讨论过自由落体运动，现在假设我们并不清楚物体在自 由降落过程中距离与落地速度及重力加速度之间的函数关系。设物体 的释放高度为h ，物体落地速度为V ，从物理常识出发，V 应该与物 体的质量m 、重力加速度g 和h 有关，即
例子中，阻力 DF 是实验中要确定的因变量， a 、μ 和U 则是相互独 立的自变量。这里说a 、μ 和U 相互独立，是指它们之间不能用任意