椭圆及其标准方程(内有画椭圆动图)
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x y 2 1 (a b 0) 2 a b
2
2
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程
x y 2 1 (a b 0) 2 a b
它表示: ① 椭圆的焦点在x轴;
2 2
y
M
b a
F1
c
0
c
F2
x
② 焦点坐标为F1(-C,0),F2(C,0); ③ c2= a2 - b2 .
思考:在图形中,a,b,c分别代表哪段的长度?
整理得: ( a 2 c 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 )
由椭圆定义可知
2a 2c,即a c, a 2 c 2 0,
设a 2 c2 b2 (b 0), 则上式变为 b2 x 2 a 2 y 2 a 2b2
两边同除以 a 2 b2得:
椭圆的标准方程
y x 1 ( a b 0 ) 2 2 a b
它表示:
① 椭圆的焦点在y轴;
2 2
y
F2
c
O F1
b
M x
c a
② 焦点是F1(0,-c)、 F2(0,c);
③ c2= a2 - b2 .
思考:在图形中,a,b,c分别代表哪段的长度?
椭圆标准方程的再认识:
标准方程
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
七.巩固提高 课后作业
1.教材P49 1. 2.3.
x2 y2 1 2.已知椭圆的方程为: 25 16 ,则a=_____, b=_______,c=_______,焦点坐标为:___________ 焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦,则 △F2CD的周长为________ Y
椭圆及其标准方程
学习目标:
1.掌握椭圆的定义; 2.掌握椭圆的标准方程及其推导过程.
一.图片感知 认识椭圆
二.类比探究 形成概念
日常生活中,处处存在着椭圆,我们如 何画出椭圆?椭圆的定义是什么?
数学实验:椭圆是满足什么条件的点的轨迹?
(1)取一条细绳, (2)把它的两端固定在板上的两点F1、F2, (3)用铅笔尖(M)把细绳拉紧,在板上慢慢移动, 看看画出的图形.
a 2 = b2 + c 2
a、b、c 的关系
焦点位置的判断
分母哪个大,焦点就在哪个轴上
四.夯实基础 灵活运用
x2 y2 例1. (1)判定椭圆 25 16 1的焦点位置,写出焦点坐标;
(2)当a=4,b=1,焦点在x轴上时,求椭圆的方程.
跟踪训练1
1.判定下列椭圆的焦点在哪个轴上,并写出焦点坐标.
三.探索新知 方程推导
思考:
1.利用坐标法求曲线方程的一般步骤: 建系、设点、列式、化简.
2.观察椭圆的形状,类比圆的标准方程的建立过程, 你认为怎样选择坐标系能使椭圆的方程简单?
M
F1
F2
讨论方案:
y y M
M
O
F2 x
F1
O
F2
x
F1
方案1
方案2
解:以过焦点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线 为y轴,建立平面直角坐标系xOy. y 设M(x, y)是椭圆上任意一点,椭圆 M 的焦距2c(c>0),M与F1和F2的距离的和 等于正常数2a (2a>2c) ,则F1、F2的坐 标分别 是(c,0)、(c,0) . F2 F1 0 由椭圆的定义得:
C O
D
F1
F2
X
∴所求椭圆的标准方程为
y2 x2 1 25 9
感悟:求椭圆标准方程的方法步骤:
①定位:确定焦点所在的坐标轴;
②定形:设出标准方程.
③定量:求a, b的值.
五.当堂检测 小试牛刀
1.当a=4,b=
15
,焦点在y轴上时,求椭圆的方程.
2.如果椭圆 100 36 上一点P到焦点 F 的距离 等于6,那么点P到另一个焦点 F 的距离等 于 14 .
1
x
2
y
2
x y 16
1
2
2
1
2
3.已知椭圆的两个焦点分别是(0,-4)(0,4), 2 a=5,求它的标准方程. 2
y
25
x
9
1
六.归纳总结 提高认识
1、椭圆的定义(强调2a>|F1F2|=2c)和椭圆的 两种标准方程 2、根据椭圆标准方程判断焦点位置的方法 3、wenku.baidu.com椭圆标准方程的方法
思考:
当椭圆的焦点在y轴上时,且F1、F2的坐标分别 是(0,c)、(0,c) ,a,b的意义同上,那么椭圆的方程 是什么? y
M F2
O
x F1
对比:
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
( y c ) 2 x 2 ( y c ) 2 x 2 2a
移项,再平方 ( x c ) 2 y 2 4a 2 4a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2
即: a 2 cx a ( x c ) 2 y 2 两边再平方,得
a 4 2a 2cx c 2 x 2 a 2 x2 2a 2cx a 2c 2 a 2 y 2
M
椭圆的定义:
F1
F2
我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于 常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点 叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
注意:
(1)必须在平面内;
(2)定长——轨迹上任意点到两定点距离和确定. (3)|F1F2|是常数,并且|MF1|+|MF2|>|F1F2|;
y P
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a y
F2 P
不 同 点
图
形
F1
O
F2
x
O
F1
x
焦点坐标 定 义
F1 -c , 0,F2 c , 0
F1 0,- c ,F2 0,c
相 同 点
平面内到两个定点F1,F2的距离的和等 于常数(大于F1F2)的点的轨迹
数 学 实 验
思考:
在画椭圆的过程中,
F1 F2
M
1.细绳两端的位置是固定的还是运动的?
2.细绳的长度变了没有?说明了什么? 3.当绳长等于或者小于两图钉之间距离时会怎样? 当|MF1|+|MF2|>|F1F2|时,M点轨迹为椭圆. 当若|MF1|+|MF2|=|F1F2|时,M点轨迹为线段. 当若|MF1|+|MF2|<|F1F2|时,M点轨迹不存在.
x
| MF1 | | MF2 | 2a
| MF1 | ( x c) 2 y 2 , | MF2 | ( x c) 2 y 2
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
思考:如何化简带有根号的表达式?
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
x y (1) 1 144 169
2
2
在 y 轴.(0,-5)和(0,5)
x2 y2 (2) 2 2 1 m m 1
在y 轴.(0,-1)和(0,1)
2.当a+b=10,c= 2 5 时,求椭圆的方程.
x y y x 1 ,或 1 , 36 16 36 16
2
2
2
2
跟踪训练2
椭圆的两个焦点的坐标分别是(0,-4),(0,4), 椭圆上一点M到两焦点距离之和等于10,求椭圆的标准方程.
.
解: ∵椭圆的焦点在y轴上 ∴设它的标准方程为:
y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
∵ 2a=10, 2c=8
∴ a=5, c=4
∴ b2=a2-c2=52-42=9