《数值分析》杨大地_答案(第八章)
数值分析第8章答案
第八章 常微分方程初值问题数值解法1、解：欧拉法公式为221(,)(100),0,1,2+=+=++=n n n n n n n y y hf x y y h x y n代00y =入上式，计算结果为 123(0.1)0.0,(0.2)0.0010,(0.3)0.00501≈=≈=≈=y y y y y y2、解：改进的欧拉法为1112[(,)(,(,))]n n n n n n n n y y h f x y f x y hf x y ++=+++将2(,)=+-f x y x x y 代入上式，得2111111221n n n n n n h hh x x x x y h y +++)+[(-)(+)+(+)]=(-+ 同理，梯形法公式为 211122[(1)(1)]-+++++=++++h h n nn n n n h h y y x x x x 将00,0.1y h ==代入上二式，，计算结果见表9—53、证明：梯形公式为111[(,)(,)]2n n n n n n hy y f x y f x y +++=++代(,)f x y y =-入上式，得11[]2++=+--n n n n hy y y y解得 21110222()()()222n n n n h h h y y y y h h h++----===⋯=+++ 因为01y =，故2()2nn h y h-=+ 对0x∀>，以h 为步长经n 步运算可求得()y x 的近似值n y ，故,,xx nh n h==代入上式有2()2x hnh y h-=+22220000222lim lim()lim(1)lim[(1)]222x x h h xx h h h h hn h h h h h h h y e h h h+-+→→→→-==-=-=+++4、解：令2()xt y x e dt =⎰，则有初值问题2',(0)0x y e y ==对上述问题应用欧拉法，取h=0.5,计算公式为 210.5,0,1,2,3n x n n y y e n +=+=由0(0)0,y y ==得1234(0.5)0.5,(1.0) 1.142012708(1.5) 2.501153623,(2.0)7.245021541≈=≈=≈=≈=y y y y y y y y5、解： 四阶经典龙格-库塔方法计算公式见式（9.7）。
数值分析课后答案8
第八章习题解答1、已知方程3210x x --=在 1.5x =附近有根，将方程写成以下三种不同的等价形式：①211x x=+；②x =x =试判断以上三种格式迭代函数的收敛性，并选出一种较好的格式。
解：①令121()1x x ϕ=+，则'132()x x ϕ=-，'132(1.5)0.592611.5ϕ=≈<，故迭代收敛；②令2()x ϕ=2'2322()(1)3x x x ϕ-=+，'2(1.5)0.45581ϕ≈<，故迭代收敛；③令3()x ϕ='3()x ϕ=，'3(1.5) 1.41421ϕ≈>，故迭代发散。
以上三中以第二种迭代格式较好。
2、设方程()0f x =有根，且'0()m f x M <≤≤。
试证明由迭代格式1()k k k x x f x λ+=-(0,1,2,)k = 产生的迭代序列{}0k k x ∞=对任意的初值0(,)x ∈-∞+∞，当20Mλ<<时，均收敛于方程的根。
证明：设()()x x f x ϕλ=-，则''()1()x f x ϕλ=-，故'1()1M x m λϕλ-<<-，进而可知， 当20Mλ<<时，'1()1x ϕ-<<，即'()1x ϕ<，从而由压缩映像定理可知结论成立。
3、试分别用Newton 法和割线法求以下方程的根cos 0x x -=取初值010.5,4x x π==，比较计算结果。
解：Newton 法：1230.75522242,=0.73914166,=0.73908513x x x =；割线法：23450.73638414,=0.73905814,=0.73908515,=0.73908513x x x x =； 比较可知Newton 法比割线法收敛速度稍快。
数值分析课后习题答案
0 1
0 10 1 1 0 0 0 1
0 0 12 1 1 2 0 0 0
1 2
0 0 0 1 1 0
1 2
1 2
1 2
1
0 0 0 1 0
1 2
1 2
0
1 2
1 2
0
0
0
341 1 1
2-5.对矩阵A进行LDLT分解和GGT分解，并求解方程组
Ax=b，其中
16 4 8
1
A 4 5 4 , b 2
8 4 22
3
解
16 A 4
4 5
84
44 11
2-3(1).对矩阵A进行LU分解,并求解方程组Ax=b,其中
2 1 1 A1 3 2
4 ,b6
1 2 2
5
解
2 A 1
1 3
1 2
2 11
22
1
5 2
1
3 21来自，所以 A12
1
2 1 1
5 3
2-2(1).用列主元Gauss消元法解方程组
3 2 6x1 4 10 7 0x2 7 5 1 5x3 6
解
3 2 6 4 10 7 0 7 10 7 0 7
r1r2
消元
10 7 0 7 3 2 6 4 0 0.1 6 6.1
r=0.5101-n/3.162…<0.5101-n/3<0.01% 因此只需n=5.即取101/2=3.1623
数值分析课后习题答案
习 题 一 解 答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。
求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。
注意，不应先求相对误差再求绝对误差。
有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。
有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。
根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。
解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。
相对误差：3()0.0016()0.51103.14r e x e x x -==≈⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。
而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022--⨯=⨯所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。
（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。
相对误差：2()0.0085()0.27103.15r e x e x x --==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。
而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022--⨯=⨯所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。
（3）绝对误差:22() 3.141592653.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈-相对误差：3()0.0013()0.4110227r e x e x x--==≈-⨯有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10， 223.1428571430.3142857143107==⨯，m=1。
数值分析课后习题与解答
课后习题解答第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：直接根据定义和式(有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。
5.计算取，利用：式计算误差最小。
四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。
线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。
数值分析习题(含答案)
第一章 绪论姓名 学号 班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为5105.0-⨯,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（3.14109 , 3.14209）之间的任意数，都具有4位有效数字。
3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字？（有效数字的计算）解：3*1021-⨯≤-aa ，2*1021-⨯≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。
4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 解：已知δ=-**xx x ，则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
数值分析习题（含答案）
数值分析习题（含答案）第一章绪论姓名学号班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为5105.0-?,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算）解：2*103400.0-?=x ，325*10211021---?=?≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）解：10314159.0?= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需41*1021-?≤-ππ，3*310211021--?+≤≤?-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（3.14109 , 3.14209）之间的任意数，都具有4位有效数字。
3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ?有几位有效数字？（有效数字的计算）解：3*1021-?≤-aa ，2*1021-?≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=?b a 2123****102110211021)()(---?≤?+?≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---?≤=?+?≤-+-≤-b b a a a b ba ab 故b a ?至少具有2位有效数字。
4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算）解：已知δ=-**xx x ，则误差为δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
习题10(答案)《数值分析》(第二版)第10章_习题参考答案
习题参考答案习题一1．(1) 0.05ε=，0.0185r ε=，有2位有效数字 (2) 0.0005ε=，0.000184r ε=，有4位有效数字 (3) 0.000005ε=，0.000184r ε=，有4位有效数字 (4) 0.0000005ε=，0.000184r ε=，有4位有效数字 2．0.0005ε=，0.00016r ε≈；有4位有效数字 3．|d | 1.210.005 3.650.0050.0050.02930.03a ≤⨯+⨯+≈≤4．*1x 有5位有效数字，*2x 有2位有效数字，*3x 有4位有效数字，*4x 有5位有效数字5．(1) ***124()x x x ε++31.0510−=⨯ (2) ***123()x x x ε=0.21479 (3) *2*4()x x ε50.8865410−=⨯6．略。
7．最小刻度x 满足0.002cm x ≤ 8．*3()10000 mm V επ=，*()0.02r V ε= 9．设正方形边长为a ，*2()0.510a ε−≤⨯10．*1()1%0.00333r R ε=⨯≈11．1||||14x =，2||||9.89949x ≈，||||9x ∞= 12．1|||||1.25||0.02|| 5.15||0| 6.42x =++−+=22221/22||||[(1.25)(0.02)( 5.15)(0)] 5.2996x =++−+=||||| 5.15| 5.15x ∞=−=13．||||10A ∞=，1||||9A =，2||||82.05125A ≈14．||||16A ∞=，1||||16A =，2||||12A =15．(1) ||()||1f x ∞=，1||()||8f x =，2||()||f x π=(2) ||()||23f x ∞=，1||()||17f x =，2||()||10.6427f x ≈ 16．略。
数值分析课后答案
1、解：将)(x V n 按最后一行展开，即知)(x V n 是n 次多项式。
由于ni i inn n n n i n x x x x x x x x x x V ...1...1 (1))(21110200---=，.1,...,1,0-=n i故知0)(=i n x V ，即110,...,,-n x x x 是)(x V n 的根。
又)(x V n 的最高次幂nx 的系数为)(...1...1..................1),...,,(101121112222102001101j n i j i n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x V -==∏-≤<≤-----------。
故知).)...()()(,...,,()(1101101------=n n n n x x x x x x x x x V x V6、解：（1）设.)(k x x f =当n k ,...,1,0=时，有.0)()1(=+x f n对)(x f 构造Lagrange 插值多项式，),()(0x l x x L j nj k j n ∑==其0)()!1()()()()(1)1(=+=-=++x w n f x L x F x R n n n n ξ，ξ介于j x 之间，.,...,1,0n j =故),()(x L x f n =即.,...,1,0,)(0n k xx l x kjnj k j ==∑=特别地，当0=k 时，10)(=∑=nj x j l。
（2）0)()1(1)()1()()(0000=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-===∑∑∑∑k j j i j i k j ki i j ii k j nj ki i j knj j x x x x i k x l x x i k x l x x ）利用（。
7、证明：以b a ,为节点进行线性插值，得)()()(1b f ab ax a f b a b x x P --+--=因0)()(==b f a f ，故0)(1=x P 。
如何解救高处跌落伤员
手帕、 棉花或纱布堵塞 。 免得 造成颅 内压 力增 高和细茵感染。 若伤 员跌 下时腰 背部或 下肢 先着地 ， 可能造成脊柱骨折
及 下肢骨折 ， 应使 伤 员两下肢和 两上肢伸 直 ， 然后 由 ３人 同
时将 其 平 直托 起 至 板 上 。 稳 运 送 。 平
一 ～ … 一 ＊ ｖ ・ …
应急救援预案的制定提供依据 。
参 考 文 献
［］ １刘骥 ， 多英全， 关磊 ， ． 等 宁波化 工 区区域 性风险评 价报告 ［ ］ Ｒ．
北 京 ： 国 安全 生 产 科 学 研 究 院 ，０６ 中 ２０ ．
［］ ２ 郭吉红 ． 重大危险 源事故预测 模拟及安全规 划［ ． 南 ： Ｄ］ 淮 安徽
理 工 大 学 ，Ｏ６ ２０ ．
［］ ３ 齐福强 ， 赵云胜 ， 何华 刚． 罐 区火灾爆炸事故危险性分析 ［］ Ｉ Ｊ．
～
工业安全 与环保 ，０ ８３ （ ）２ —２ ． ２０ ，４ １ ：７ ９
＿
； …
… ’
…一
…。 ： 。 ＝ ： ：
［］ ４潘旭 海， 蒋军成 ． 事故泄漏 源模 型研究与分析［］ 南京工业大学 Ｊ．
由此可得罐体泄漏孔上方初始液位高度 ｈ ＝７ ８ｍ。 ｏ ． 将上述参数输人软件计算界面 ， 得泄漏停止 时泄 漏孔 上 方液位高度 Ｊ 及液体泄 漏质量 ， 图 ７所示 。ｈ ＝５ ９ ｌ Ｌ 如 ｏ ．４
ｍ， ＝ １ １７ ３ ６ ｋ 。 Ｗ ８ ９ ． ｇ
齿和积血， 防止误入气管引起 窒息。如发现伤者的耳朵、 鼻
软件［ ］ 南京 ： Ｄ． 南京工业大学安全工程研究所 。 Ｏ． ２８ Ｏ 作者简介 孙 东亮 ． １ ２ 生， 士生 ， 男。 ８ 年 ９ 博 主要从 事化工 区域风险
数值分析第四版习题及答案
第四版数值分析习题第一章绪论设x>O,x 的相对误差为S ，求In x 的误差. 设x 的相对误差为2%,求x n 的相对误差. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位 ，试指出它们是几位有效数字： x = 1.1021, x^ = 0.031, x^ = 385.6, x^ = 56.430, x^ = 7 1.0.利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限：(i)x *+x ；+x 4,(ii)x *x ；x ；,(iii )x ；/x ；,其中 x ；,x ；,x 3,x ；均为第 3题所给的数.计算球体积要使相对误差限为 1%，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少 ？设\)=28,按递推公式AY n =Y n d- _ .783100( n=1,2,…)计算到Y 00.若取7783衣27.982(五位有效数字)，试问计算^00将有多大误差？ 求方程X 2 -56X • 1 =0的两个根，使它至少具有四位有效数字 (■ 783沁27.982).\ ------ d x 当N 充分大时，怎样求N 1 x? 正方形的边长大约为 100 cm ,应怎样测量才能使其面积误差不超过 s *2设 2 假定g 是准确的，而对t 的测量有土 0.1秒的误差，证明当t 增加时s 的绝对 误差增加，而相对误差却减小. 序列｛yn｝满足递推关系y n _ 10y n _ 1(n=1,2,…)，若y0 _ X 2 1.41 (三位有效数字),计算到y 10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？计算f = c- 2 一1)6,取' 2 : 1.4,利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？f (x) =1 n (x X -1)，求 f(30)的值.若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大改用另一等价公式ln(x_ Jx 2 T) = -ln(x +Jx 2 +1)计算,求对数时误差有多大？1. 2. 3. 4.5. 6.7.8.9.10.11.12.13.21 cm1 (、2 1)61 (32 . 2)3,99 -70、2.?若根据(2.2)定义的范德蒙行列式，令证明V n (x)是n 次多项式,它的根是X 0^L ，X nJ ,且当x= 1 , -1 , 2时，f(x)= 0 , -3,4 ,求f(x)的二次插值多项式.给出cos x,0 ° < x 90。
《数值分析》杨大地 答案(第三章)
数值分析第3章3.1 填空题（1）当A 具有严格对角优势或具有对角线优势且矩阵不可约时，线性方程组b A x =用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法均收敛；（2）当线性方程组的系数矩阵A 对称正定时，Gauss-Seidel 迭代收敛；（3）线性方程组迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵的谱半径小于1；SOR 法收敛的必要条件是0<w<2；（4）用迭代法求解线性方程组，若)1(),(≥=q B q ρ时不收敛，q 接近0时收敛较快，q 接近1时收敛较慢； （5）A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛2111；J B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--02110；s B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-21010；)22()(=J B ρ；)21()(=s B ρ 解：∵ A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛2111，∴ L=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0100， D=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2001， U=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0010 //P49D −1=1ad−bc d −b−c a∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=-02110011021001)(1U L D B J //P49 B J 指Jacobi 迭代法的矩阵形式 又 ∵ )(U LD +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛00211001−−−→−=-=22/12)2122)1r r r r r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210101001=))((1U L D I -+//P50 B S 指Seidel 迭代法的矩阵形式，U L D B S 1)(-+-= ∴ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=21010s B ∴ 22)(=J B ρ21)(=s B ρ //谱半径ρ A =max 1≤i≤n λi3.2 用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解方程组，各分量第三位稳定即可。
（1） ⎝⎛012121⎪⎪⎪⎭⎫210⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-453 解：利用Jacobi 迭代法，有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=---=-=+++k k k k k kk x x x x x x x 21331122112122521212123，令0x =()T 0,0,0，代入有：//P48k0 1 2 3 4 5 6 7 kx 1 0 1.5 2.75 3.625 4.25 4.6875 5 5.21875 k x 20 -2.5 -4.25 -5.5 -6.375 -7 -7.4375 -7.75 k x 323.254.1254.755.18755.55.71875k89101112131415k x 1 5.375 5.484375 5.5625 5.6171875 5.65625 5.68359375 5.703125 5.716796875 k x 2 -7.96875 -8.125 -8.234375 -8.3125 -8.3671875 -8.40625 -8.43359375 -8.453125 k x 35.8755.9843756.06256.11718756.156256.183593756.2031256.216796875k16 17 18 19 20 21 22 23 k x 1 5.726563 5.733398 5.738281 5.741699 5.744141 5.745850 5.747070 5.747925 k x 2 -8.466797 -8.476563 -8.483398 -8.488281 -8.491699 -8.494141 -8.495850 -8.497070 k x 36.2265636.2333986.2382816.2416996.2441416.2458506.2470706.247925由题，用Jacobi 迭代法进行第21次迭代后，前三位有效数字稳定，此时x=()T25.6,50.8,75.5-利用Gauss-Seidel 迭代法，得出⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=---=-=+++++1213211122112122521212123k k k k k kk x x x x x x x ，令0x =()T 0,0,0代入有//P50k0 1 2 3 4 5 6 7 k x 10 1.5 3.125 4.4375 5.09375 5.421875 5.585938 5.667969 kx 2 0 -3.25 -5.875 -7.1875 -7.84375 -8.171875 -8.335938 -8.417969 k x 33.6254.93755.593755.9218756.0859386.1679696.208984k8 9 10 11 12 13 kx 15.708984 5.729492 5.739746 5.744873 5.747437 5.748718 k x 2 -8.458984 -8.479492 -8.489746 -8.494873 -8.497437 -8.498718 k x 36.2294926.2397466.2448736.2474376.2487186.249359可见Gauss-Seidel 迭代法进行至12次迭代后稳定，x=()T 25.6,50.8,75.5-3.4 下面一些方程组的系数阵，试判断它们对Jacobi 迭代法，Gauss-Seidel 迭代法的收敛性。
数值分析杨大地_答案(第八章)
数值分析第8章 数值积分与数值微分8.1 填空题（1）n+1个点的插值型数值积分公式∫f (x )dx ba ≈∑A j n j =0f (x j )的代数精度至少是 n ，最高不超过 2n+1 。
[注：第1空，见定理8.1]（2）梯形公式有 1 次代数精度，Simpson 公司有 3 次代数精度。
[注：分别见定理8.1,8.3] （3）求积公式∫f (x )dx h0≈h2[f (0)+f (h )]+ah 2[f ′(0)−f ′(h )]中的参数a= 1/12 时，才能保证该求积公式的代数精度达到最高，最高代数精度为 3 。
解：令f(x)=1,x,x 2带入有， {h 2[1+1]+ah 2[0−0]=hh2[0+h ]+ah 2[1−1]=12(h 2)h 2[0+h 2]+ah 2[0−2h ]=13(h 3)//注：x 的导数=1解之得，a=1/12，此时求积公式至少具有2次代数精度。
∴积分公式为：∫f (x )dxh0≈h2[f (0)+f (h )]+h 212[f ′(0)−f ′(h )]令f(x)= x 3带入求积公式有：h2[0+h 3]+h 212[0−3h 2]=14(h 4)，与f(x)= x 4的定积分计算值14(h 4)相等，所以，此求积公式至少具有3次代数精度。
令f(x)= x 4带入求积公式有，h2[0+h 4]+h 212[0−4h 3]=16(h 5)，与f(x)= x 5的定积分计算值15(h 5)不相等，所以，此求积公式的最高代数精度为3次代数精度。
8.2 确定以下求积公式的求积系数和求积节点，使其代数精度尽量高，并指出其最高代数精度。
解题思路：按照P149 中8.3式进行求解，根据求积公式中未知量n 的数量决定代入多少f(x)，当积分公式代入求积节点x n 的计算结果与定积分的计算结果一致，继续代入求积节点X n+1,，若计算结果与对应的定积分计算结果不一致时，求积公式拥有最高n 次的代数精度。
数值分析李庆杨版习题及答案
第四版数值分析习题答案第一章 绪论习题参考答案1． ε（lnx ）≈***()()r x x xεεδ==。
2．1******()()()()0.02n nnr nn n x x x n x x n xxxεεεε-=≈==。
3． *1x 有5位有效数字，*2x 有2位有效数字，*3x 有4位有效数字，*4x 有5位有效数字，*5x 有2位有效数字。
4．******4333124124()()()()0.5100.5100.510 1.0510x x x x x x εεεε----++≈++=⨯+⨯+⨯=⨯************123231132123()()()()0.214790825x x x x x x x x x x x x εεεε≈++=****62224***24441()()()8.85566810x x x x x x x εεε-≈-=⨯。
5．1()1()()()0.00333333r r r V R V V V εεεε=≈===。
6．33100111()100101010022Y ε--=⨯⨯⨯=⨯。
7．12855.982x =≈，21280.0178655.982x ==≈≈。
8． 21arc 12N dx tgN x π+∞=-+⎰9．121()()0.0052x S S εεε-=≈=。
10． ()()0.1S g t t g t εε≈=，2()2()0.2()12r g t t t S t t gt εεε≈==，故t 增加时S 的绝对误差增加，相对误差减小。
11． 1081001()10()102y y εε==⨯，计算过程不稳定。
12．61)0.005051f =≈，1.4=，则611)0.004096f ==，20.005233f ==，33(30.008f =-=，40.005125f ==，5991f =-=，4f 的结果最好。
13．(30) 4.094622f =-，开平方时用六位函数表计算所得的误差为41102ε-=⨯，分别代入等价公式)1x x (ln )x (f ),1x x (ln )x (f 2221++-=--=中计算可得411()ln(1(60103102f x εε--=+≈=+=⨯⨯=⨯，47211()ln(1108.3310602f ε--=+≈=⨯⨯=⨯。
数值分析课后习题及答案
数值分析课后习题及答案第一章绪论（12）第二章插值法（40-42）2、当时，，求的二次插值多项式。
[解]。
3、给出的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144 [解]若取，，则，，则，从而。
若取，，，则，，，则，从而补充题：1、令，，写出的一次插值多项式，并估计插值余项。
[解]由，可知，，余项为，故。
2、设，试利用拉格朗日插值余项定理写出以为插值节点的三次插值多项式。
[解]由插值余项定理，有，从而。
5、给定数据表：，1 2 4 6 7 4 1 0 1 1 求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。
[解]一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商 1 42 1 -34 0 6 17 1 0 由差商表可得4次牛顿插值多项式为：，插值余项为。
第三章函数逼近与计算（80-82）26、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。
19 25 31 38 44 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8[解]由。
又，，，故法方程为，解得。
均方误差为。
27、观测物体的直线运动，得出以下数据：时间t（秒）0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s（米）0 10 30 5080 110 [解]设直线运动为二次多项式，则由。
，。
又，，，故法方程为，解得。
故直线运动为。
补充题：1、现测得通过某电阻R的电流I及其两端的电压U如下表：I ……U ……试用最小二乘原理确定电阻R的大小。
[解]电流、电阻与电压之间满足如下关系：。
应用最小二乘原理，求R使得达到最小。
对求导得到：。
令，得到电阻R为。
2、对于某个长度测量了n次，得到n个近似值，通常取平均值作为所求长度，请说明理由。
[解]令，求x使得达到最小。
对求导得到：，令，得到，这说明取平均值在最小二乘意义下误差达到最小。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数值分析第8章 数值积分与数值微分8.1 填空题（1）n+1个点的插值型数值积分公式∫f (x )dx ba ≈∑A j n j =0f (x j )的代数精度至少是 n ，最高不超过 2n+1 。
【注：第1空，见定理8.1】（2）梯形公式有 1 次代数精度，Simpson 公司有 3 次代数精度。
【注：分别见定理8.1,8.3】 （3）求积公式∫f (x )dx h0≈h2[f (0)+f (h )]+ah 2[f ′(0)−f ′(h )]中的参数a= 1/12 时，才能保证该求积公式的代数精度达到最高，最高代数精度为 3 。
解：令f(x)=1,x,x 2带入有，{h 2[1+1]+ah 2[0−0]=hh 2[0+h ]+ah 2[1−1]=12(h 2)h2[0+h 2]+ah 2[0−2h ]=13(h 3)//注：x 的导数=1解之得，a=1/12，此时求积公式至少具有2次代数精度。
∴积分公式为：∫f (x )dxh0≈h2[f (0)+f (h )]+h 212[f ′(0)−f ′(h )]令f(x)= x 3带入求积公式有：h2[0+h 3]+h 212[0−3h 2]=14(h 4)，与f(x)= x 4的定积分计算值14(h 4)相等，所以，此求积公式至少具有3次代数精度。
令f(x)= x 4带入求积公式有，h2[0+h 4]+h 212[0−4h 3]=16(h 5)，与f(x)= x 5的定积分计算值15(h 5)不相等，所以，此求积公式的最高代数精度为3次代数精度。
8.2 确定下列求积公式的求积系数和求积节点，使其代数精度尽量高，并指出其最高代数精度。
解题思路：按照P149 中8.3式进行求解，根据求积公式中未知量n 的数量决定代入多少f(x)，当积分公式代入求积节点x n 的计算结果与定积分的计算结果一致，继续代入求积节点X n+1,，若计算结果与对应的定积分计算结果不一致时，求积公式拥有最高n 次的代数精度。
（1）∫f (f )ff fff≈f f f (f )+f f f (f )+f f f (ff )解：令f(x)=1,x,x 2代入有,【注：本例中需求解A 0、A 1、A 2共3个未知量，故需3个相异求积节点f(x)】{A 0+A 1+A 2=2hA 1h +A 22h =12(2h )2A 1h 2+A 2(2h )2=13(2h )3求解得A 0=13h，A 1=43h，A 2=13h，∴求积公式为：∫f (x )dx 2h0≈13hf (0)+43hf (h )+13hf (2h )∵该求积公式对3个相异节点1,x,x 2均有余项E (f )=0， //注：参见P149定理8.1∴该求积公式至少具有2次代数精度。
令f(x)= x 3，代入求积公式有：43hh 3+13h (2h )3=4h 4∵函数f(x) = x 3的定积分结果为：∫x 3dx 2h 0=14(2h )4=4h 4 ，与求积公式计算值相等，∴该求积公式具有3次代数精度。
令f(x)= x 4，代入求积公式有：43hh 4+13h (2h )4=203h 5 ∵函数f(x) = x 4的定积分结果为∫x 4dx 2h 0=15[(2h )5−05]=325h 5，与求积公式计算值不相等， ∴该求积公式的最高代数精度为3次代数精度。
（2）∫f (f )ff f−f ≈f [f (−f )+ff (f f )+ff (f f )]解：令f(x)=1,x,x 2代入有,【注：本例中需求解A 、X1、X2共3个未知量，故需3个相异求积节点f(x)】{A [1+2+3]=2A [−1+2x 1+3x 2]=0A [(−1)2+2x 12+3x 22]=13[13−(−1)3]=23求解得 A =13，x 1=0.6899，x 2=−0.1260，或A =13，x 1=−0.2899，x 2=0.5266∴求积公式为：求积公式1：∫f (x )dx 1−1≈13[f (−1)+2f (0.6899)+3f (−0.1260)]求积公式1：∫f (x )dx 1−1≈13[f (−1)+2f (−0.2899)+3f (0.5266)]∵该求积公式对3个相异节点1,x,x 2均有余项E (f )=0，//注：参见P149定理8.1 ∴该求积公式至少具有2次代数精度。
令f(x)= x 3代入求积公式1有：13[(−1)3+2(0.6899)3+3(−0.1260)3]=−0.2245令f(x)= x 3代入求积公式2有：13[(−1)3+2(−0.2899)3+3(0.5266)3]=−0.2928∵函数f(x) = x 3的定积分结果为：∫x 3dx 1−1=14[(1)4—(−1)4]=0 ，与求积公式计算值均不相等，∴该求积公式的最高代数精度为2次代数精度。
（3）∫f (f )ff f −f ≈f f f (−f )+f f f (−f f )+f f f (ff)解：令f(x)=1,x,x 2代入有,【注：本例中需求解A 1、A 2、A 3共3个未知量，故需3个相异求积节点f(x)】{A 1+A 2+A 3=[1−(−1)]=2A 1(−1)+A 2(−13)+A 3(13)=12[12−(−1)2]=0A 1(−1)2+A 2(−13)2+A 3(13)2=13[13−(−1)3]=23求解得A 1=12，A 2=0，A 3=32， ∴求积公式为： ∫f (x )dx 1−1≈12f (−1)+32f (13)∵ 该求积公式对3个相异节点1,x,x 2均有余项E (f )=0，//注：参见P149定理8.1 ∴ 该求积公式至少具有2次代数精度。
令f(x)= x 3，代入求积公式有：12(−1)3+32(13)3=−0.4444∵ 函数f(x) = x 3的定积分结果为：∫x 3dx 1−1=14[(1)4—(−1)4]=0，与求积公式计算值不相等，∴ 该求积公式的最高代数精度为2次代数精度。
（4）∫f (f )ff f−f ≈f f f (f f )+f f f (f )+f f f (f )解：令f(x)=1,x,x 2,x 3代入有,【注：本例中需求解A 1、A 2、A 3、X 1共4个未知量，故需4个相异求积节点f(x)】{A 1+A 2+A 3=2A 1x 1+0+A 3=0A 1x 12+0+A 3(1)2=23A 1x 13+0+A 3(1)3=0求解得A 1=13，A 2=43，A 3=13，x 1=−1 ∴求积公式为： ∫f (x )dx 1−1≈13f (−1)+43f (0)+13f (1)∵该求积公式对4个相异节点1,x,x 2,x 3均有余项E (f )=0，//注：参见P149定理8.1 ∴该求积公式至少具有3次代数精度。
令f(x)= x 4，代入求积公式有：13(−1)4+0+13(1)4=23∵ 函数f(x) = x 4的定积分结果为：∫x 4dx 1−1=15[(1)5—(−1)5]=25，与求积公式计算值不相等，∴ 该求积公式的最高代数精度为3次代数精度。
（5）∫f (f )ff ff ≈f (f f )+f (f f )解：令f(x)=1,x,x 2代入有,{1+1=2x 1+x 2=2x 12+x 22=83求解得{x 1=1−√33x 2=1+√33或{x 1=1+√33x 2=1−√33∴求积公式为： ∫f (x )dx 20≈f (1−√33)+f (1+√33)∵该求积公式对3个相异节点1,x,x 2均有余项E (f )=0，//注：参见P149定理8.1 ∴该求积公式至少具有2次代数精度。
令f(x)= x 3，代入求积公式有：(1−√33)3+(1+√33)3=14[24—04]=4∵函数f(x) = x 4的积分结果为：∫x 3dx 20=14[24—04]=4 ，与求积公式计算值相等， ∴该求积公式具有3次代数精度。
令f(x)= x 4，代入求积公式有：(1−√33)4+(1+√33)4=6.2222 ∵函数f(x) = x 4的积分结果为：∫x 4dx 20=15[25—05]=6.4 ，与求积公式的计算结果不相等， ∴该求积公式的最高代数精度为3次代数精度。
8.3 分别用复化梯形公式，复化Simpson公式，复化Cotes公式计算下列积分：解题要点：复化梯形公式【Tn，Un】-P154\P155，复化Simpson公式【Sn】-P155\P156，复化Cotes 公式【Cn】-P156。
若在积分围划分的小区间数n=2k,则直接用对应的公式从T1、U1开始计算，然后按照T2n、T4n的公式利用前面计算的数据进行计算，若n≠2k，在直接利用梯形求积公式8.7直接计算Tn和Un，再利用Tn、Un求解Sn、Cn。
（1）∫ff+f f ffff，f=f解：由题，设f(f)=ff+f f1）用复化梯形公式求解有//因为n=8=23，本题从T1、U1开始计算，然后按照T2n、T4n的公式利用前面计算的数据进行计算得到T10∵T1=12[f(0)+f(1)]=0.1， //见P154 公式8.7，n=1U1=f(12)=0.11764706 //见P154 Un的计算公式，n=1∴T2=12[T1+U1]=0.10882353//见P155 公式8.8∵U2=12[f(14)+f(34)]=0.11296096∴T4=12[T2+U2]=0.11089224∵U4==14[f(18)+f(38)+f(58)+f(78)]=0.11191244∴T8=12[T4+U4]=0.111402352）用复化Simpson公式求解有：∵S n=4T2n−T n3//见P155 公式8.12∴S8=4T16−T83//由此可知，要求出S8，必须先求出T16，进而得先求出U8∵U8=18∑f(x i+1/2)7i=1=18[f(116)+f(316)+f(516)+f(716)+f(916)+f(1116)+f(1316)+f(1516)]=0.11165540∴T16=12[T8+U8]=0.11152888∴S8=4T16−T83=0.111571063）用复化Cotes公式求解有：∵C n=16S2n−S n15//见P156 公式8.14∴C8=16S16−S815//由此可知需先求出S16，由复化Simpson公式可知需先求出T32，进而得知需先求U16。
∵U16=116∑f(x i+1/2)15i=1=116[f(132)+f(332)+f(532)+f(732)+f(932)+f(1132)+f(1332)+f(1532)+f(1732)+f(1932)+f(2132)+f(2332)+f(2532)+f(2732)+f(2932)+f(3132)]=0.11159294∴T32=12[T16+U16]=0.11156091∴ S 16=4T 32−T 163=0.11157159 ∴ C 8=16S 16−S 815=0.11157163（3）∫f −ffff f f ， f=ff解：由题，设f (f )=f −ff1）用复化梯形公式求解有 //因为n=10≠2n，故本题直接用复化梯形公式直接计算得到T10∵ T n =h2[f (a )+f (b )+2∑f (x i )n −1i =1] ， h =b −a n=110∴ T 10=120[f (0)+f (1)+2∑f (x i )9i =1]，其中x i =a +ih =0.1i∴ T 10=120{f (0)+f (1)+2[f (0.1)+f (0.2)+f (0.3)+f (0.4)+f (0.5)+f (0.6)+f (0.7)+f (0.8)+f (0.9)]}=0.746210802）用复化Simpson 公式求解有： ∵ S n =4T 2n −T n3//见P155 公式8.12∴ S 10=4T 20−T 103//由此可知，要求出S 10，必须先求出T 20，进而得先求出U 10∵ U 10=110∑f (x i +1/2)7i =1=110[f (0.05)+f (0.15)+f (0.25)+f (0.35)+f (0.45)+f (0.55)+f (0.65)+f (0.75)+f (0.85)+f (0.95)]=0.74713088∴ T 20=12[T 10+U 10]=0.74667084 ∴ S 10=4T 20−T 103=0.746824193）用复化Cotes 公式求解有： ∵ C n =16S 2n −S n15//见P156 公式8.14∴ C 10=16S 20−S 1015//由此可知需先求出S 20，由复化Simpson 公式可知需先求出T 40，进而得知需先求U 20。