数学建模之单摆摆动问题分析

程序2：
a=0; b=pi/2; n=1000; h=(b-a)/n; l=1;g=9.8; h1=pi/(2*n); c=a:h1:b; m=2*pi*sqrt(l/g); x=a; s=0; for i1=1:(n+1) f0=4*sqrt(l/g)/sqrt(1-(sin(c(i1)/2))^2*(sin(x))^2); for i2=1:n x=x+h; f1=4*sqrt(l/g)/sqrt(1-(sin(c(i1)/2))^2*(sin(x))^2); s=s+(f0+f1)*h/2; f0=f1; end disp(s);
图3单摆大摆角周期准确解
如图可以看出，随着摆角的增大，单摆的运动周期逐渐增大，也随 之增大。 （2）其他参考公式 为求出单摆的周期，有时我们仅仅需要比较简单的近似公式还计 算，T为文献【3】利用格林函数法得到的近似公式： T= T（1+） （7） 经计算，T的相对误差随着的增加而迅速增加，当摆角达到36（54） 时误差达到0.1%（0.5%），这对于精确计算已经不满足要求。 为文献【4】给出另外一个简单近似计算公式： = T （8） 该公式简单实用，由公式可以计算，当摆角为57是相对误差为 0.1%；当摆角90时误差未达到0.75%。 利用另外一种近似求解的方法——余弦函数法求的周期： T= T{1++……} （9） 由公式显而易见可得，周期随着摆角的增大而增大。
图2 小角度单摆摆动规律 （—方程（1）的解 ，**方程（2）的解）
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由图像可以看出两方程的解的图像几乎吻合，可以说明当较小时 （<5），两方程的解几乎相等，故周期公式此时较为准确。 上述结论仅仅适用于摆角很小时（<5），当摆角很大时，方程sin不 再成立，方程（1）和方程（2）的解不再相近，故周期公式（5）不再 成立。下面我们继续讨论摆角比较大时的单摆运动规律。 3.大摆角时单摆运动规律 （1）文献【2】从相图的角度得出单摆运动周期的精确解为： T= （6） 为研究大摆角时单摆运动周期准确解，我们利用matlab软件在[0, ] 区间上做出T、的图像，得到周期的准确解。
四、模型建立与求解
图1
简单单摆模型
2.小角度时单摆运动规律（<5） 单摆的运动微分方程为： +=0 (1) 当摆角很小时,sin,故方程1可简化为: +=0 （2） 这是一个简单的谐振动方程，其解析解为： =Acos() (3) 其固定角频率为： = （4） 得其周期为： T= （5） 可以利用matlab软件在[0, 5]分别作出方程（1）和方程（2）的解得 图像，如图
附件：
程序1：
function xp=pp1(t,x) xp=zeros(2,1); xp(1)=x(2); xp(2)=-9.8*sin(x(1)); end function wp=pp2(t,x) wp=zeros(2,1); wp(1)=x(2); wp(2)=-9.8*x(1); end t0=0;tf=10; [t,x]=ode45('pp1',[t0,tf],[0,pi/36]); [t1,x1]=ode45('pp2',[t0,tf],[0,pi/36]); plot(t,x(:,1),'k-'); hold on plot(t1,x1(:,1),'k*') axis([0 10 -0.04 0.04]) title('С½Ç¶Èµ¥°Ú°Ú¶¯¹æÂÉ') xlabel('t/s') ylabel('¦È/rad') text(3,-0.032,'¡ª¡ª·½³Ì£¨1£©µÄ½â') text(3,-0.036,'*****·½³Ì£¨2£©µÄ½â')
数学建模在实际中的应用
单摆摆动问题分析
学号 姓名 专业 根据平常接触到的摆钟、秋千等实物中，抽象出单摆的模型。在理想 条件下，单摆的摆动规律大致分为两种情况：小角度摆动和大角度摆 动，分别针对这两种情况，从摆动微分方程出发，之后采取不同的方法 分析。小角度摆动时，可做三角近似代替，将非线性微分方程转化为线 性微分方程，进而求出其解析解，得到小摆角时单摆运动规律。通过 matlab软件的验证，可以明显的看出结果与实际相符的很好。
s1(i1)=s; s=0; end q=s1/m; plot(c,s1,'linewidth',3) grid hold on plot(c,m,'linewidth',3) hold on plot(c,q,'linewidth',3) title('µ¥°Ú´ó°Ú½ÇʱÖÜÆÚ') xlabel('¦È/rad') ylabel('´ó°Ú½Çʱµ¥°ÚÖÜÆÚµÄ׼ȷ½â') text(0.8,1.9,'¹ÌÓÐÖÜÆÚT0') text(1.2,2.15,'´ó½Ç¶ÈÖÜÆÚT') text(0.8,1.1,'ÖÜÆÚ±ÈT/T0')
一、问题描述
针对理想条件下的单摆，分析在小摆角和大摆角两种不同情况下的 运动规律。
二、模型假设
1.悬挂小球的细线伸缩和质量均忽略不记，线长比小球的直径大得多； 2.装置严格水平； 3.不受空气阻力，且无驱动力。
三、符号说明
符号 （rad） (rad) g l t(s)
1.最简单的单摆模型(如图1)
含义 单摆偏离平衡位置的角 位移 单摆的最大摆角 重力加速度，取9.8m/s 细线长，取1m 单摆摆动时间
五、结论
对于类似单摆的运动问题，一般都希望求得微分方程的严格的解析表
达式进而得到完全准确的运动规律，但很多时候都无法直接求出这类非 线性微分方程准确解，那么此时就可以考虑采取近似求解的方式，之后 再采取一定的方式验证结果；或者可以直接借助数学软件接触需要的数 值解。Matlab软件为解决这些数学问题提供了很大的方便。