一元一次不等式与一次函数的综合运用详解

一元一次不等式与一次函数的综合运用

你还记得一次函数的性质吗？它和一元一次不等式有关系吗？要问答这些问题，我们还是以中考试题为例说明如下：

例1（衡阳市）为了鼓励市民节约用水，自来水公司特制定了新的用水收费标准，每月用水量，x (吨)与应付水费(元)的函数关系如图1.

（1）求出当月用水量不超过5吨时，y 与x 之间的函数关系式；

（2）某居民某月用水量为8吨，求应付的水费是多少?

分析 显然由图象可知，这个图象是分段的，即分0≤x ≤5和x ≥5，前者是正比例函数，后者是一次函数.

解（1）由图象可知：当0≤x ≤5时是一段正比例函数，设y ＝kx ，由x ＝5时，y ＝5，得5＝5k ，即k ＝1.所以0≤x ≤5时，y ＝x . （2）当x ≥5时可以看成是一条直线，设y ＝k 1x +b 由图象可知1155,12.510.

k b k b =+⎧⎨=+⎩解得1 1.5,2.5.k b =⎧⎨=-⎩

所以当x ≥5时，y ＝1.5x －2.5；当x ＝8时，y ＝1.5×8－2.5＝9.5(元). 说明 确定正比例函数的表达式需要一个独立的条件；确定一次函数的表达式需要两个独立的条件.对于在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值.在处理本题的问题时，只需利用待定系数法，构造出相应的二元一次方程组求解.另外，在处理这类问题时，一定要从图形中获取信息，并把所得到的信息进行联系处理.

例2（南安市）近两年某地外向型经济发展迅速，一些著名跨国公司纷纷落户该地新区，对各类人才需求不断增加，现一公司面向社会招聘人员，其信息如下：

图1

［信息一］招聘对象：机械制造类和规划设计类人员共150名.

［信息二］工资待遇：机械类人员工资为600元/月，规划设计类人员为1000元/月.

设该公司招聘机械制造类和规划设计类人员分别为x 人、y 人.

（1）用含x 的代数式表示y ；

（2）若公司每月付给所招聘人员的工资为p 元，要使本次招聘规划设计人员不少于机械制造人员的2倍，求p 的取值范围.

分析 由于机械制造类和规划设计类人员共150名，则有x +y ＝150，即（1）容易求解；对于（2），要求每月付给所招聘人员的工资为p 元的范围，根据题意若能求出p 关于x 的一次函数的关系式，再利用一次函数的性质即可求解.

解（1）因为机械制造类和规划设计类人员共150名，所以x +y ＝150，即y ＝150－x .

（2）根据题意，得：y ≥2x ，所以150－x ≥2x ，解得：x ≤50，

又x ≥0，150－x ≥0，即0≤x ≤50，所以p ＝600x +1000(150－x )＝－400x +150000； 又因为p 随x 的增大而减小，并且0≤x ≤50，

所以－400×50+150000≤p ≤－400×0+150000，即130000≤p ≤150000.

说明 在确定的范围时也可以这样来考虑：由0≤x ≤50，而x ＝

400

150000p -，所以0≤400150000p -≤50，解得：130000≤p ≤150000. 例3（长沙市）我市某乡A 、B 两村盛产柑桔，A 村有柑桔200吨，B 村有柑桔300吨.现将这些柑桔运到C 、D 两个冷藏仓库，已知C 仓库可储存240吨，D 仓库可储存260吨；从A 村运往C 、D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 村运往C 、D 两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A 村运往C 仓库的柑桔重量为x 吨，A ，B 两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为y A 元和y B 元.

（1）请填写下表，并求出y A 、y B 与x 之间的函数关系式；

（2）试讨论A，B两村中，哪个村的运费较少；

（3）考虑到B村的经济承受能力，B村的柑桔运费不得超过4830元.在这种情况下，请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值.

分析要解决本题中的三个问题，首先得解决第（1）小问题，由于从A村运往C仓库的柑桔重量为x吨，则从A村运往D仓库的柑桔重量应为(200－x)吨，同样从B村运往C仓库的柑桔重量为(240－x)吨，从B村运往D仓库的柑桔重量应为(300－240+x)吨，即(60+x)吨.所以表中C栏中填上(240－x)吨，D栏中人上到下依次填(200－x)吨、(60+x)吨.从而可以求出y A、y B与x之间的函数关系式，进而可以分别求解.

解（1）依题意，从A村运往C仓库的柑桔重量为x吨，则从A村运往D仓库的柑桔重量应为(200－x)吨，同样从B村运往C仓库的柑桔重量为(240－x)吨，从B村运往D仓库的柑桔重量应为(300－240+x)吨，即(60+x)吨.所以表中C栏中填上(240－x)吨，D栏中人上到下依次填(200－x)吨、(60+x)吨.从而可以分别求得y A＝－5x+5000(0≤x≤200)，y B＝3x+4680(0≤x≤200).

（2）当y A＝y B时，－5x+5000＝3x+4680，即x＝40；当y A＞y B时，－5x+5000＞3x+4680，即x＜40；当y A＜y B时，－5x+5000＜3x+4680，即x＞40；所以当x ＝40时，y A＝y B即两村运费相等；当0≤x≤40时，y A＞y B即B村运费较少；当40＜x≤200时，y A＜y B即A村费用较少.

（3）由y B≤4830，得3x+4680≤4830，所以x≤50.设两村运费之和为y，所以y＝y A+y B，即y＝－2x+9680，又0≤x≤时，y随x增大而减小，即当x＝50时，y 有最小值为9580y（元）.所以当A村调往C仓库的柑桔重量为50吨，调往D仓库为150吨，B村调往C仓库为190吨，调往D仓库110吨的时候，两村的运费之和最小，最小费用为9580元.

说明一次函数的重点内容之一就是利用一次函数图象的特征来解决解决实际应用问题，所以同学们一定要在应用上下功夫.

下面两道题目供同学们练习：

1，（泉州市）某住宅小区计划购买并种植500株树苗，某树苗公司提供如下信息：

信息一：可供选择的树苗有杨树、丁香树、柳树三种，并且要求购买杨树、