(完整word版)图论算法及matlab程序的三个案例
图论常用算法matlab程序

运筹学算法matlab程序西北工业大学数学系2009级1.顺向Dijkstra 算法M=[ 0 5 9 Inf Inf Inf InfInf 0 Inf Inf 12 Inf InfInf 3 0 15 Inf 23 InfInf 6 Inf 0 Inf 8 7Inf 12 Inf 5 0 Inf 14Inf Inf Inf Inf Inf 0 10Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0];first=1;last=7;[m,n]=size(M);L=zeros(1,m);symbol=zeros(1,m);direction=zeros(1,m);for i=1:mif(i~=first)L(i)=inf;enddirection(i)=first;endjudge=1;while judgefor i=1:mif(symbol(i)==0)min=L(i);temporary=i;breakendendfor i=1:mif(symbol(i)==0)if(L(i)<min)min=L(i);temporary=i;endendendk=temporary;for j=1:mif(symbol(1,j)==0)if(M(k,j)==inf)continue;elseif(L(k)+M(k,j)<L(j))L(j)=L(k)+M(k,j);direction(j)=k;endendendendsymbol(k)=1;num=0;for i=1:mif(symbol(i)==1)num=num+1;endendif(num==m)judge=0;endendp=last;arrow=zeros(1,m);arrow(1)=last;i=2;while p~=firstarrow(1,i)=direction(p);i=i+1;p=direction(p);enddistance=L(last);M=[ 0 5 9 Inf Inf Inf Inf Inf 0 Inf Inf 12 Inf InfInf 3 0 15 Inf 23 Inf Inf 6 Inf 0 Inf 8 7 Inf 12 Inf 5 0 Inf 14 Inf Inf Inf Inf Inf 0 10Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0]; [m,n]=size(M);first=1;last=7;L=zeros(1,m);direction=zeros(1,m);symbol=zeros(1,m);for i=1:mdirection(i)=last;if(i~=last)L(i)=inf;endendjudge=1;while judgefor i=1:mif(symbol(i)==0)min=L(i);temporary=i;breakendendfor i=1:mif(symbol(i)==0)if(L(i)<min)min=L(i);temporary=i;endendendk=temporary;for i=1:mif(M(i,k)==inf)continueelseif(M(i,k)+L(k)<L(i))L(i)=L(k)+M(i,k);direction(i)=k;endendendsymbol(k)=1;sum=0;for i=1:mif(symbol(i)==1)sum=sum+1;endendif(sum==m)judge=0;endendp=first;i=2;arrow=zeros(1,m);arrow(1)=first;while p~=lastarrow(i)=direction(p);i=i+1;p=direction(p);endd=[0 7 5 12 inf infinf 0 inf 3 inf infinf inf 0 6 inf 1512 inf 6 0 inf 86 inf 13 inf 0 infinf 4 15 inf 9 0];[m,n]=size(d);p=zeros(m,n);for i=1:np(:,i)=i;endfor k=1:nfor i=1:mfor j=1:nif(d(i,k)+d(k,j)<d(i,j))d(i,j)=d(i,k)+d(k,j);p(i,j)=p(i,k);endendendend4.仿floyd 算法d=[inf 6 0 4 0 0 00 inf 0 0 5 0 04 7 inf 0 05 00 0 4 inf 0 3 00 0 2 0 inf 0 00 0 0 0 4 inf 50 0 0 0 6 0 inf];[m,n]=size(d);first=1;last=7;direction=zeros(m,m);for i=1:mdirection(:,i)=i;endfor i=1:mfor j=1:mfor k=1:msmall=min(d(i,k),d(k,j));if d(i,j)<smalld(i,j)=small;direction(i,j)=direction(i,k);endendendendarrow=zeros(1,m);arrow(1)=first;i=2;p=first;while p~=lastp=direction(p,last);arrow(i)=p;i=i+1;end—dijkstra算法d=[0 inf 3 5 inf10 0 14 inf 8inf inf 0 7 -6inf inf inf 0 infinf inf inf -1 0];[m,n]=size(d);first=2;last=4;L=zeros(1,n);z=zeros(m,n);symbol=zeros(1,n);direction=zeros(1,n);for i=1:nfor j=1:mif d(i,j)~=0if d(i,j)~=infz(i,j)=1;endendenddirection(i)=first;if i~=firstL(i)=inf;endendjudge=1;while judgemini=10;for j=1:nif symbol(j)==0sum=0;for i=1:mp=z(i,j)*(1-symbol(i));sum=sum+p;endif(sum==0)mini=j;breakendendendfor j=1:nif symbol(j)==0&&z(mini,j)==1if L(mini)+d(mini,j)<L(j)L(j)=L(mini)+d(mini,j);direction(j)=mini;endendendsymbol(mini)=1;num=0;for i=1:nif symbol(i)==1num=num+1;endendif num==m;judge=0;endendarrow=zeros(1,m);p=last;arrow(1)=last;i=2;while p~=firstp=direction(p);arrow(i)=p;i=i+1;end—dijkstra算法d=[0 inf 3 5 inf10 0 14 inf 8inf inf 0 7 -6inf inf inf 0 infinf inf inf -1 0];[m,n]=size(d);first=2;last=4;L=zeros(1,n);z=zeros(m,n);symbol=zeros(1,n);direction=zeros(1,n);for i=1:nfor j=1:mif d(i,j)~=0if d(i,j)~=infz(i,j)=1;endendenddirection(i)=last;if i~=lastL(i)=inf;endendjudge=1;while judgemini=10;for i=1:nif symbol(i)==0sum=0;for j=1:mp=z(i,j)*(1-symbol(j));sum=sum+p;endif(sum==0)mini=i;breakendendendfor i=1:nif symbol(i)==0&&z(i,mini)==1if L(mini)+d(i,mini)<L(i)L(i)=L(mini)+d(i,mini);direction(i)=mini;endendendsymbol(mini)=1;num=0;for i=1:nif symbol(i)==1num=num+1;endendif num==m;judge=0;endendarrow=zeros(1,m);p=first;arrow(1)=first;i=2;while p~=lastp=direction(p);arrow(i)=p;i=i+1;endM=[ 0 17 11 inf inf inf17 0 13 12 28 1511 13 0 inf 19 infinf 12 inf 0 inf 16inf 28 19 inf 0 10inf 15 inf 16 10 0];[m,n]=size(M);X=zeros(m,n);Y=zeros(m);Z=zeros(m);Y(1)=1;for i=2:mZ(i)=i;endjudge=1;while judgefor i=1:mif(Y(i)~=0)for j=1:mif(Z(j)~=0)min=M(i,j);a=i;b=j;endendendendfor i=1:mif(Y(i)~=0)for j=1:mif(Z(j)~=0)if(M(i,j)<min)min=M(i,j);a=i;b=j;endendendendendY(b)=b;Z(b)=0;X(a,b)=1;X(b,a)=1;c=0;for i=1:mif(Y(i)~=0)c=c+1;endendif(c==m)judge=0;endend网络最大流Ford—Fulkersen算法d=[inf 12 17 0 0 00 inf 0 8 0 00 6 inf 0 12 00 0 5 inf 0 150 0 0 4 inf 90 0 0 0 0 inf];[m,n]=size(d);X=zeros(m,n);first=1;last=6;recognize=1;while recognizeL=zeros(1,m);L(first)=inf;direction=ones(1,m);symbol=zeros(1,m);judge=1;while judgefor i=1:mif symbol(i)==0big=L(i);k=i;break;endendfor i=1:mif symbol(i)==0if L(i)>bigbig=L(i);k=i;endendendif k==nif L(n)==0breakendelsefor j=1:mif d(k,j)>0u=min(L(k),d(k,j)-X(k,j));if u>L(j)L(j)=u;direction(j)=k;endelseif d(j,k)>0u=min(L(k),X(j,k));if u>L(j)L(j)=u;direction(j)=k;endendendendendsymbol(k)=1;num=0;for i=1:mif symbol(i)==1num=num+1;endendif num==mjudge=0;endendafter=last;before=after;while before~=firstbefore=direction(after);if d(before,after)>0X(before,after)=X(before,after)+L(n); elseX(before,after)=X(before,after)-L(n); endafter=before;endif L(m)==0recognize=0;end end。
超全图论matlab程序-可解决图论方面的绝大多数问题
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程序三:有向图关联矩阵和邻接矩阵互换算法
function W=mattransf(F,f) if f==0 m=sum(sum(F)); n=size(F,1); W=zeros(n,m); k=1; for i=1:n for j=i:n if F(i,j)~=0 W(i,k)=1; W(j,k)=-1; k=k+1; end end end elseif f==1 m=size(F,2); n=size(F,1); W=zeros(n,n); for i=1:m a=find(F(:,i)~=0); if F(a(1),i)==1 W(a(1),a(2))=1; else W(a(2),a(1))=1; end end else fprint('Please imput the right value of f'); end W;
第二讲:最短路问题
程序一:Dijkstra算法(计算两点间的最短路)
图论算法及matlab程序的三个案例

图论实验三个案例单源最短路径问题 1.1 Dijkstra 算法Dijkstra 算法是解单源最短路径问题的一个贪心算法。
其基本思想是,设置 一个顶点集合S 并不断地作贪心选择来扩充这个集合。
一个顶点属于集合S 当且 仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。
设 v 是图中的一个顶点,记l(v)为顶点 v 到源点V 1的最短距离,V i,V jV ,若(V i,V j)E ,记“到百的权w 。
Dijkstra 算法:① S {V J I(V J 0 ; V V {可 1(V ) i i S V {V J ;J7JJJ7②S,停止,否则转③;l(v) min{ l(v) , d(V j ,v)}V j S④ 存在Vi 1,使l (V i l) min{l(V)},V S ;⑤SSU{v i 1}S S {v i 1}i i 1实际上,Dijkstra 算法也是最优化原理的应用:如果V 1V 2LV n1Vn是从V1到Vn的最短路径,贝UV 1V 2L Vn1也必然是从V1到Vn 1的最优路径。
在下面的MATLA 实现代码中,我们用到了距离矩阵,矩阵第 i 行第j 行元 素表示顶点Vi到Vj的权Wj,若v 到V j无边,则W ijrealmax,其中realmax 是 MATLA 常量,表示最大的实数(1.7977e+308)function re=Dijkstra(ma)%用Dijkstra 算法求单源最短路径%俞入参量ma是距离矩阵%输出参量是一个三行n 列矩阵,每列表示顶点号及顶点到源的最短距离和前顶点n=size(ma,1);% 得到距离矩阵的维数s=ones(1,n);s(1)=0;% 标记集合S和S 的补r=zeros(3,n);r(1,:)=1:n;r(2,2:end)=realmax;% 初始化for i=2:n;% 控制循环次数mm=realmax;for j=find(s==0);% 集合S中的顶点for k=find(s==1);% 集合S补中的顶点if(r(2,j)+ma(j,k)<r(2,k))r(2,k)=r(2,j)+ma(j,k);r(3,k)=j;endif(mm>r(2,k))mm=r(2,k);t=k;endendends(1,t)=0;%找到最小的顶点加入集合Send re=r;1.2动态规划求解最短路径动态规划是美国数学家 Richard Bellman 在1951年提出来的分析一类多阶 段决策过程的最优化方法,在工程技术、工业生产、经济管理、军事及现代化控 制工程等方面均有着广泛的应用。
MATLAB智能算法30个案例分析

MATLAB 智能算法30个案例分析第 1章1、案例背景遗传算法(Genetic Algorithm,GA)是一种进化算法,其基本原理是仿效生物界中的“物竞天择、适者生存”的演化法则。
遗传算法的做法是把问题参数编码为染色体,再利用迭代的方式进行选择、交叉以及变异等运算来交换种群中染色体的信息,最终生成符合优化目标的染色体。
在遗传算法中,染色体对应的是数据或数组,通常是由一维的串结构数据来表示,串上各个位置对应基因的取值。
基因组成的串就是染色体,或者叫基因型个体( Individuals)。
一定数量的个体组成了群体(Population)。
群体中个体的数目称为群体大小(Population Size),也叫群体规模。
而各个个体对环境的适应程度叫做适应度( Fitness)。
2、案例目录:1.1理论基础1.1.1遗传算法概述1.编码2.初始群体的生成3.适应度评估4.选择5.交叉6.变异1.1.2设菲尔德遗传算法工具箱1.工具箱简介2.工具箱添加1.2案例背景1.2.1问题描述1.简单一元函数优化2.多元函数优化1.2.2解决思路及步骤1.3 MATLAB程序实现1.3.1工具箱结构1.3.2遗传算法中常用函数1.创建种群函数—crtbp2.适应度计算函数—ranking3.选择函数—select4.交叉算子函数—recombin5.变异算子函数—mut6.选择函数—reins7.实用函数—bs2rv8.实用函数—rep1.3.3遗传算法工具箱应用举例1.简单一元函数优化2.多元函数优化1.4延伸阅读1.5参考文献3、主程序:1.简单一元函数优化:clcclear allclose all%%画出函数图figure(1);hold on;lb=1;ub=2; %函数自变量范围【1,2】ezplot('sin(10*pi*X)/X',[lb,ub]); %画出函数曲线xlabel('自变量/X')ylabel('函数值/Y')%%定义遗传算法参数NIND=40; %个体数目MAXGEN=20; %最大遗传代数PRECI=20; %变量的二进制位数GGAP=0.95; %代沟px=0.7; %交叉概率pm=0.01; %变异概率trace=zeros(2,MAXGEN); %寻优结果的初始值FieldD=[PRECI;lb;ub;1;0;1;1]; %区域描述器Chrom=crtbp(NIND,PRECI); %初始种群%%优化gen=0; %代计数器X=bs2rv(Chrom,FieldD); %计算初始种群的十进制转换ObjV=sin(10*pi*X)./X; %计算目标函数值while gen<MAXGENFitnV=ranking(ObjV); %分配适应度值SelCh=select('sus',Chrom,FitnV,GGAP); %选择SelCh=recombin('xovsp',SelCh,px); %重组SelCh=mut(SelCh,pm); %变异X=bs2rv(SelCh,FieldD); %子代个体的十进制转换ObjVSel=sin(10*pi*X)./X; %计算子代的目标函数值[Chrom,ObjV]=reins(Chrom,SelCh,1,1,ObjV,ObjVSel); %重插入子代到父代,得到新种群X=bs2rv(Chrom,FieldD);gen=gen+1; %代计数器增加%获取每代的最优解及其序号,Y为最优解,I为个体的序号[Y,I]=min(ObjV);trace(1,gen)=X(I); %记下每代的最优值trace(2,gen)=Y; %记下每代的最优值endplot(trace(1,:),trace(2,:),'bo'); %画出每代的最优点grid on;plot(X,ObjV,'b*'); %画出最后一代的种群hold off%%画进化图figure(2);plot(1:MAXGEN,trace(2,:));grid onxlabel('遗传代数')ylabel('解的变化')title('进化过程')bestY=trace(2,end);bestX=trace(1,end);fprintf(['最优解:\nX=',num2str(bestX),'\nY=',num2str(bestY),'\n'])2.多元函数优化clcclear allclose all%%画出函数图figure(1);lbx=-2;ubx=2; %函数自变量 x范围【-2,2】lby=-2;uby=2; %函数自变量 y范围【-2,2】ezmesh('y*sin(2*pi*x)+x*cos(2*pi*y)',[lbx,ubx,lby,uby],50); %画出函数曲线hold on;%%定义遗传算法参数NIND=40; %个体数目MAXGEN=50; %最大遗传代数PRECI=20; %变量的二进制位数GGAP=0.95; %代沟px=0.7; %交叉概率pm=0.01; %变异概率trace=zeros(3,MAXGEN); %寻优结果的初始值FieldD=[PRECI PRECI;lbx lby;ubx uby;1 1;0 0;1 1;1 1]; %区域描述器Chrom=crtbp(NIND,PRECI*2); %初始种群%%优化gen=0; %代计数器XY=bs2rv(Chrom,FieldD); %计算初始种群的十进制转换X=XY(:,1);Y=XY(:,2);ObjV=Y.*sin(2*pi*X)+X.*cos(2*pi*Y); %计算目标函数值while gen<MAXGENFitnV=ranking(-ObjV); %分配适应度值SelCh=select('sus',Chrom,FitnV,GGAP); %选择SelCh=recombin('xovsp',SelCh,px); %重组SelCh=mut(SelCh,pm); %变异XY=bs2rv(SelCh,FieldD); %子代个体的十进制转换X=XY(:,1);Y=XY(:,2);ObjVSel=Y.*sin(2*pi*X)+X.*cos(2*pi*Y); %计算子代的目标函数值[Chrom,ObjV]=reins(Chrom,SelCh,1,1,ObjV,ObjVSel); %重插入子代到父代,得到新种群XY=bs2rv(Chrom,FieldD);gen=gen+1; %代计数器增加%获取每代的最优解及其序号,Y为最优解,I为个体的序号[Y,I]=max(ObjV);trace(1:2,gen)=XY(I,:); %记下每代的最优值trace(3,gen)=Y; %记下每代的最优值endplot3(trace(1,:),trace(2,:),trace(3,:),'bo'); %画出每代的最优点grid on;plot3(XY(:,1),XY(:,2),ObjV,'bo'); %画出最后一代的种群hold off%%画进化图figure(2);plot(1:MAXGEN,trace(3,:));grid onxlabel('遗传代数')ylabel('解的变化')title('进化过程')bestZ=trace(3,end);bestX=trace(1,end);bestY=trace(2,end);fprintf(['最优解:\nX=',num2str(bestX),'\nY=',num2str(bestY),'\nZ=',num2str(bestZ), '\n'])第 2章基于遗传算法和非线性规划的函数寻优算法1.1案例背景1.1.1非线性规划方法非线性规划是 20世纪 50年代才开始形成的一门新兴学科。
图论算法

Dijkstra 算法:用矩阵n n a ⨯(n 为顶点个数)存放各边权的邻接矩阵,行向量pb 、1index 、2index、d 分别用来存放P 标号信息、标号顶点顺序、标号顶点索引、最短通路的值。
其中分量⎩⎨⎧=顶点未标号当第顶点已标号当第i i i pb 01)(;)(2i index存放始点到第i 点最短通路中第i 顶点前一顶点的序号;)(i d 存放由始点到第i 点最短通路的值。
求第一个城市到其它城市的最短路径的Matlab 程序如下: clear; clc; M=10000;a(1,:)=[0,50,M,40,25,10]; a(2,:)=[zeros(1,2),15,20,M,25]; a(3,:)=[zeros(1,3),10,20,M]; a(4,:)=[zeros(1,4),10,25]; a(5,:)=[zeros(1,5),55]; a(6,:)=zeros(1,6); a=a+a';pb(1:length(a))=0;pb(1)=1;index1=1;index2=ones(1,length(a)); d(1:length(a))=M;d(1)=0;temp=1; while sum(pb)<length(a) tb=find(pb==0);d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb)); tmpb=find(d(tb)==min(d(tb))); temp=tb(tmpb(1)); pb(temp)=1;index1=[index1,temp];index=index1(find(d(index1)==d(temp)-a(temp,index1))); if length(index)>=2 index=index(1); endindex2(temp)=index; endd, index1, index2%dijkstra 最短路算法通用程序,用于求从起始点s 到其它各点的最短路%D 为赋权邻接矩阵,d 为s 到其它各点最短路径的长度,DD 记载了最短路径生成树 function [d,DD]=dijkstra_aiwa(D,s) [m,n]=size(D); d=inf.*ones(1,m); d(1,s)=0;dd=zeros(1,m);dd(1,s)=1;y=s;DD=zeros(m,m);DD(y,y)=1;counter=1;while length(find(dd==1))<mfor i=1:mif dd(i)==0d(i)=min(d(i),d(y)+D(y,i)); endendddd=inf;for i=1:mif dd(i)==0&&d(i)<dddddd=d(i);endendyy=find(d==ddd);counter=counter+1;DD(y,yy(1,1))=counter;DD(yy(1,1),y)=counter;y=yy(1,1);dd(1,y)=1;endFloyd算法:Matlab程序如下:clear;clc;M=10000;a(1,:)=[0,50,M,40,25,10];a(2,:)=[zeros(1,2),15,20,M,25];a(3,:)=[zeros(1,3),10,20,M];a(4,:)=[zeros(1,4),10,25];a(5,:)=[zeros(1,5),55];a(6,:)=zeros(1,6);b=a+a';path=zeros(length(b));for k=1:6for i=1:6for j=1:6if b(i,j)>b(i,k)+b(k,j)b(i,j)=b(i,k)+b(k,j);path(i,j)=k;end end end end b, pathprim 算法构造最小生成树:prim 算法如下:(i )}{1v P =,Φ=Q ; (ii )while V P =~},,min(P V v P p w pv pv -∈∈= }{v P P += }{pv Q Q += end用prim 算法求右图的最小生成树。
MATLAB智能算法30个案例分析

MATLAB 智能算法30个案例分析第1 章1、案例背景遗传算法(Genetic Algorithm,GA)是一种进化算法,其基本原理是仿效生物界中的“物竞天择、适者生存”的演化法则。
遗传算法的做法是把问题参数编码为染色体,再利用迭代的方式进行选择、交叉以及变异等运算来交换种群中染色体的信息,最终生成符合优化目标的染色体。
在遗传算法中,染色体对应的是数据或数组,通常是由一维的串结构数据来表示,串上各个位置对应基因的取值。
基因组成的串就是染色体,或者叫基因型个体( Individuals) 。
一定数量的个体组成了群体(Population)。
群体中个体的数目称为群体大小(Population Size),也叫群体规模。
而各个个体对环境的适应程度叫做适应度( Fitness) 。
2、案例目录:1.1 理论基础1.1.1 遗传算法概述1. 编码2. 初始群体的生成3. 适应度评估4. 选择5. 交叉6. 变异1.1.2 设菲尔德遗传算法工具箱1. 工具箱简介2. 工具箱添加1.2 案例背景1.2.1 问题描述1. 简单一元函数优化2. 多元函数优化1.2.2 解决思路及步骤1.3 MATLAB程序实现1.3.1 工具箱结构1.3.2 遗传算法中常用函数1. 创建种群函数—crtbp2. 适应度计算函数—ranking3. 选择函数—select4. 交叉算子函数—recombin5. 变异算子函数—mut6. 选择函数—reins7. 实用函数—bs2rv8. 实用函数—rep1.3.3 遗传算法工具箱应用举例1. 简单一元函数优化2. 多元函数优化1.4 延伸阅读1.5 参考文献3、主程序:1. 简单一元函数优化:clcclear allclose all%% 画出函数图figure(1);hold on;lb=1;ub=2; %函数自变量范围【1,2】ezplot('sin(10*pi*X)/X',[lb,ub]); %画出函数曲线xlabel('自变量/X')ylabel('函数值/Y')%% 定义遗传算法参数NIND=40; %个体数目MAXGEN=20; %最大遗传代数PRECI=20; %变量的二进制位数GGAP=0.95; %代沟px=0.7; %交叉概率pm=0.01; %变异概率trace=zeros(2,MAXGEN); %寻优结果的初始值FieldD=[PRECI;lb;ub;1;0;1;1]; %区域描述器Chrom=crtbp(NIND,PRECI); %初始种群%% 优化gen=0; %代计数器X=bs2rv(Chrom,FieldD); %计算初始种群的十进制转换ObjV=sin(10*pi*X)./X; %计算目标函数值while gen<MAXGENFitnV=ranking(ObjV); %分配适应度值SelCh=select('sus',Chrom,FitnV,GGAP); %选择SelCh=recombin('xovsp',SelCh,px); %重组SelCh=mut(SelCh,pm); %变异X=bs2rv(SelCh,FieldD); %子代个体的十进制转换ObjVSel=sin(10*pi*X)./X; %计算子代的目标函数值[Chrom,ObjV]=reins(Chrom,SelCh,1,1,ObjV,ObjVSel); %重插入子代到父代,得到新种群X=bs2rv(Chrom,FieldD);gen=gen+1; %代计数器增加%获取每代的最优解及其序号,Y为最优解,I为个体的序号[Y,I]=min(ObjV);trace(1,gen)=X(I); %记下每代的最优值trace(2,gen)=Y; %记下每代的最优值endplot(trace(1,:),trace(2,:),'bo'); %画出每代的最优点grid on;plot(X,ObjV,'b*'); %画出最后一代的种群hold off%% 画进化图figure(2);plot(1:MAXGEN,trace(2,:));grid onxlabel('遗传代数')ylabel('解的变化')title('进化过程')bestY=trace(2,end);bestX=trace(1,end);fprintf(['最优解:\nX=',num2str(bestX),'\nY=',num2str(bestY),'\n'])2. 多元函数优化clcclear allclose all%% 画出函数图figure(1);lbx=-2;ubx=2; %函数自变量x范围【-2,2】lby=-2;uby=2; %函数自变量y范围【-2,2】ezmesh('y*sin(2*pi*x)+x*cos(2*pi*y)',[lbx,ubx,lby,uby],50); %画出函数曲线hold on;%% 定义遗传算法参数NIND=40; %个体数目MAXGEN=50; %最大遗传代数PRECI=20; %变量的二进制位数GGAP=0.95; %代沟px=0.7; %交叉概率pm=0.01; %变异概率trace=zeros(3,MAXGEN); %寻优结果的初始值FieldD=[PRECI PRECI;lbx lby;ubx uby;1 1;0 0;1 1;1 1]; %区域描述器Chrom=crtbp(NIND,PRECI*2); %初始种群%% 优化gen=0; %代计数器XY=bs2rv(Chrom,FieldD); %计算初始种群的十进制转换X=XY(:,1);Y=XY(:,2);ObjV=Y.*sin(2*pi*X)+X.*cos(2*pi*Y); %计算目标函数值while gen<MAXGENFitnV=ranking(-ObjV); %分配适应度值SelCh=select('sus',Chrom,FitnV,GGAP); %选择SelCh=recombin('xovsp',SelCh,px); %重组SelCh=mut(SelCh,pm); %变异XY=bs2rv(SelCh,FieldD); %子代个体的十进制转换X=XY(:,1);Y=XY(:,2);ObjVSel=Y.*sin(2*pi*X)+X.*cos(2*pi*Y); %计算子代的目标函数值[Chrom,ObjV]=reins(Chrom,SelCh,1,1,ObjV,ObjVSel); %重插入子代到父代,得到新种群XY=bs2rv(Chrom,FieldD);gen=gen+1; %代计数器增加%获取每代的最优解及其序号,Y为最优解,I为个体的序号[Y,I]=max(ObjV);trace(1:2,gen)=XY(I,:); %记下每代的最优值trace(3,gen)=Y; %记下每代的最优值endplot3(trace(1,:),trace(2,:),trace(3,:),'bo'); %画出每代的最优点grid on;plot3(XY(:,1),XY(:,2),ObjV,'bo'); %画出最后一代的种群hold off%% 画进化图figure(2);plot(1:MAXGEN,trace(3,:));grid onxlabel('遗传代数')ylabel('解的变化')title('进化过程')bestZ=trace(3,end);bestX=trace(1,end);bestY=trace(2,end);fprintf(['最优解:\nX=',num2str(bestX),'\nY=',num2str(bestY),'\nZ=',num2str(bestZ), '\n']) 第2 章基于遗传算法和非线性规划的函数寻优算法1.1案例背景1.1.1 非线性规划方法非线性规划是20世纪50年代才开始形成的一门新兴学科。
超全图论matlab程序

超全的图论程序关注微信公众号“超级数学建模”,教你做有料、有趣的数模人程序一:可达矩阵算法function P=dgraf(A)n=size(A,1);P=A;for i=2:nP=P+A^i;endP(P~=0)=1;P;程序二:关联矩阵和邻接矩阵互换算法function W=incandadf(F,f)if f==0m=sum(sum(F))/2;n=size(F,1);W=zeros(n,m);k=1;for i=1:nfor j=i:nif F(i,j)~=0W(i,k)=1;W(j,k)=1;k=k+1;endendendelseif f==1m=size(F,2);n=size(F,1);W=zeros(n,n);for i=1:ma=find(F(:,i)~=0);W(a(1),a(2))=1;W(a(2),a(1))=1;endelsefprint('Please imput the right value of f');endW;程序三:有向图关联矩阵和邻接矩阵互换算法function W=mattransf(F,f)if f==0m=sum(sum(F));n=size(F,1);W=zeros(n,m);k=1;for i=1:nfor j=i:nif F(i,j)~=0W(i,k)=1;W(j,k)=-1;k=k+1;endendendelseif f==1m=size(F,2);n=size(F,1);W=zeros(n,n);for i=1:ma=find(F(:,i)~=0);if F(a(1),i)==1W(a(1),a(2))=1;elseW(a(2),a(1))=1;endendelsefprint('Please imput the right value of f'); endW;第二讲:最短路问题程序一:Dijkstra算法(计算两点间的最短路)function [l,z]=Dijkstra(W)n = size (W,1);for i = 1 :nl(i)=W(1,i);z(i)=0;endi=1;while i<=nfor j =1 :nif l(i)>l(j)+W(j,i)l(i)=l(j)+W(j,i);z(i)=j-1;if j<ii=j-1;endendendi=i+1;end程序二:floyd算法(计算任意两点间的最短距离)function [d,r]=floyd(a)n=size(a,1);d=a;for i=1:nfor j=1:nr(i,j)=j;endendr;for k=1:nfor i=1:nfor j=1:nif d(i,k)+d(k,j)<d(i,j)d(i,j)=d(i,k)+d(k,j); r(i,j)=r(i,k);endendendend程序三:n2short.m 计算指定两点间的最短距离function [P u]=n2short(W,k1,k2)n=length(W);U=W;m=1;while m<=nfor i=1:nfor j=1:nif U(i,j)>U(i,m)+U(m,j)U(i,j)=U(i,m)+U(m,j);endendendm=m+1;endu=U(k1,k2);P1=zeros(1,n);k=1;P1(k)=k2;V=ones(1,n)*inf;kk=k2;while kk~=k1for i=1:nV(1,i)=U(k1,kk)-W(i,kk);if V(1,i)==U(k1,i)P1(k+1)=i;kk=i;k=k+1;endendendk=1;wrow=find(P1~=0);for j=length(wrow):-1:1P(k)=P1(wrow(j));k=k+1;endP;程序四、n1short.m(计算某点到其它所有点的最短距离)function[Pm D]=n1short(W,k)n=size(W,1);D=zeros(1,n);for i=1:n[P d]=n2short(W,k,i);Pm{i}=P;D(i)=d;end程序五:pass2short.m(计算经过某两点的最短距离) function [P d]=pass2short(W,k1,k2,t1,t2)[p1 d1]=n2short(W,k1,t1);[p2 d2]=n2short(W,t1,t2);[p3 d3]=n2short(W,t2,k2);dt1=d1+d2+d3;[p4 d4]=n2short(W,k1,t2);[p5 d5]=n2short(W,t2,t1);[p6 d6]=n2short(W,t1,k2);dt2=d4+d5+d6;if dt1<dt2d=dt1;P=[p1 p2(2:length(p2)) p3(2:length(p3))]; elsed=dt1;p=[p4 p5(2:length(p5)) p6(2:length(p6))]; endP;d;第三讲:最小生成树程序一:最小生成树的Kruskal算法function [T c]=krusf(d,flag)if nargin==1n=size(d,2);m=sum(sum(d~=0))/2;b=zeros(3,m);k=1;for i=1:nfor j=(i+1):nif d(i,j)~=0b(1,k)=i;b(2,k)=j;b(3,k)=d(i,j);k=k+1;endendendelseb=d;endn=max(max(b(1:2,:)));m=size(b,2);[B,i]=sortrows(b',3);B=B';c=0;T=[];k=1;t=1:n;for i=1:mif t(B(1,i))~=t(B(2,i))T(1:2,k)=B(1:2,i);c=c+B(3,i);k=k+1;tmin=min(t(B(1,i)),t(B(2,i)));tmax=max(t(B(1,i)),t(B(2,i)));for j=1:nif t(j)==tmaxt(j)=tmin;endendendif k==nbreak;endendT;c;程序二:最小生成树的Prim算法function [T c]=Primf(a)l=length(a);a(a==0)=inf;k=1:l;listV(k)=0;listV(1)=1;e=1;while (e<l)min=inf;for i=1:lif listV(i)==1for j=1:lif listV(j)==0 & min>a(i,j)min=a(i,j);b=a(i,j);s=i;d=j;endendendendlistV(d)=1;distance(e)=b;source(e)=s;destination(e)=d;e=e+1;endT=[source;destination];for g=1:e-1c(g)=a(T(1,g),T(2,g));endc;另外两种程序最小生成树程序1(prim 算法构造最小生成树)a=[inf 50 60 inf inf inf inf;50 inf inf 65 40 inf inf;60 inf inf 52 inf inf 45;...inf 65 52 inf 50 30 42;inf 40 inf 50 inf 70 inf;inf inf inf 30 70 inf inf;...inf inf 45 42 inf inf inf];result=[];p=1;tb=2:length(a);while length(result)~=length(a)-1temp=a(p,tb);temp=temp(:);d=min(temp);[jb,kb]=find(a(p,tb)==d);j=p(jb(1));k=tb(kb(1));result=[result,[j;k;d]];p=[p,k];tb(find(tb==k))=[];endresult最小生成树程序2(Kruskal 算法构造最小生成树)clc;clear;a(1,2)=50; a(1,3)=60; a(2,4)=65; a(2,5)=40;a(3,4)=52;a(3,7)=45; a(4,5)=50; a(4,6)=30;a(4,7)=42; a(5,6)=70;[i,j,b]=find(a);data=[i';j';b'];index=data(1:2,:);loop=max(size(a))-1;result=[];while length(result)<looptemp=min(data(3,:));flag=find(data(3,:)==temp);flag=flag(1);v1=data(1,flag);v2=data(2,flag);if index(1,flag)~=index(2,flag)result=[result,data(:,flag)];endindex(find(index==v2))=v1;data(:,flag)=[];index(:,flag)=[];endresult第四讲:Euler图和Hamilton图程序一:Fleury算法(在一个Euler图中找出Euler环游)注:包括三个文件;fleuf1.m, edf.m, flecvexf.m function [T c]=fleuf1(d)%注:必须保证是Euler环游,否则输出T=0,c=0n=length(d);b=d;b(b==inf)=0;b(b~=0)=1;m=0;a=sum(b);eds=sum(a)/2;ed=zeros(2,eds);vexs=zeros(1,eds+1);matr=b;for i=1:nif mod(a(i),2)==1m=m+1;endendif m~=0fprintf('there is not exit Euler path.\n') T=0;c=0;endif m==0vet=1;flag=0;t1=find(matr(vet,:)==1);for ii=1:length(t1)ed(:,1)=[vet,t1(ii)];vexs(1,1)=vet;vexs(1,2)=t1(ii);matr(vexs(1,2),vexs(1,1))=0;flagg=1;tem=1;while flagg[flagg ed]=edf(matr,eds,vexs,ed,tem); tem=tem+1;if ed(1,eds)~=0 & ed(2,eds)~=0T=ed;T(2,eds)=1;c=0;for g=1:edsc=c+d(T(1,g),T(2,g));endflagg=0;break;endendendendfunction[flag ed]=edf(matr,eds,vexs,ed,tem)flag=1;for i=2:eds[dvex f]=flecvexf(matr,i,vexs,eds,ed,tem);if f==1flag=0;break;endif dvex~=0ed(:,i)=[vexs(1,i) dvex];vexs(1,i+1)=dvex;matr(vexs(1,i+1),vexs(1,i))=0;elsebreak;endendfunction [dvex f]=flecvexf(matr,i,vexs,eds,ed,temp) f=0;edd=find(matr(vexs(1,i),:)==1);dvex=0;dvex1=[];ded=[];if length(edd)==1dvex=edd;elsedd=1;dd1=0;kkk=0;for kk=1:length(edd)m1=find(vexs==edd(kk));if sum(m1)==0dvex1(dd)=edd(kk);dd=dd+1;dd1=1;elsekkk=kkk+1;endendif kkk==length(edd)tem=vexs(1,i)*ones(1,kkk);edd1=[tem;edd];for l1=1:kkklt=0;ddd=1;for l2=1:edsif edd1(1:2,l1)==ed(1:2,l2)lt=lt+1;endendif lt==0ded(ddd)=edd(l1);ddd=ddd+1;endendendif temp<=length(dvex1)dvex=dvex1(temp);elseif temp>length(dvex1) & temp<=length(ded)dvex=ded(temp);elsef=1;endend程序二:Hamilton改良圈算法(找出比较好的Hamilton路)function [C d1]= hamiltonglf(v)%d表示权值矩阵%C表示算法最终找到的Hamilton圈。
应用篇-第14章-图论算法及其MATLAB实现

对每个图G=(V,E),均有
d(v)=2|E|
vV
证明:根据顶点度的定义,在计算点度时每条边对于它所关联的顶点被计 算了两次。因此,图G 中点度的总和恰为边数|V|的2倍。证毕。 推论14.1 在任何图G=(V,E)中,奇点的个数为偶数。
定理14.4对任意有向图D=(V,A)均有
14.8 Dijkstra 算法及其MATLAB实现
14.8.1 问题描述与算法思想
Dijkstra算法是解单源最短路径问题的一个贪心算法。其基本思想是,设置 一个顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当 且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。设v是图中的一个顶点,记L(v) 为顶点v到源点v1的最短距离, vi , v j V 若 (vi , v j ) E ,记vi到vj的权。
① A(G)为对称矩阵;
② 若G 为无环图,则A(G)中第i行(列)的元素之和等于顶点vi的度; ③ 两图G 和H 同构的充分必要条件是存在置换矩阵P 使得A(G)=PTA(H)P。
类似地,有向图D 的邻接矩阵A(D)=(aij)n×n的元素aij定义为:元素aij表示从始点vi到 终点vj的有向边的条,,其中vi和vj为D 的顶点。
14.3.2 关联矩=(V,E),其中顶点集V={v1,v2,…,vn},边集E={e1,e2,…,eε}。 用 mij表示顶点vi与边ej关联的次数,可能取值为0,1,2,称所得矩阵M(G)=(mij)n×ε为 图G 的关联矩阵。 类似地,有向图D 的关联矩阵M(D)=(mij)n×ε的元素mij定义为:
14.2.4 路
在图论理论中,路具有特殊的重要性,古往今来,许多学者均对它进行过深入研究。本 节主要介绍简单图G=(V,E)中有关路和连通性的简单性质。 定理14.1 若图G 中有一条(u,v)途径,则G 中也存在一条(u,v)路。
图论最短路MATLAB程序

最短路法MATLAB 程序例1: 某公司在六个城市621,,,c c c 中有分公司,从i c 到j c的直接航程票价记在下述矩阵的),(j i 位置上。
(∞表示无直接航路),请帮助该公司设计一张城市1c 到其它城市间的票价最便宜的路线图。
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∞∞∞∞∞∞055252510550102025251001020402010015252015050102540500 用矩阵n n a ⨯(n 为顶点个数)存放各边权的邻接矩阵,行向量pb 、1index 、2index 、d 分别用来存放P 标号信息、标号顶点顺序、标号顶点索引、最短通路的值。
其中分量⎩⎨⎧=顶点未标号当第顶点已标号当第i i i pb 01)(; )(2i index 存放始点到第i 点最短通路中第i 顶点前一顶点的序号;)(i d 存放由始点到第i 点最短通路的值。
求第一个城市到其它城市的最短路径的Matlab 程序如下:程序一:clc,cleara=zeros(6); %邻接矩阵初始化a(1,2)=50;a(1,4)=40;a(1,5)=25;a(1,6)=10;a(2,3)=15;a(2,4)=20;a(2,6)=25;a(3,4)=10;a(3,5)=20;a(4,5)=10;a(4,6)=25;a(5,6)=55;a=a+a'; %将矩阵数据对称赋予矩阵a(find(a==0))=inf; %找到0值并赋值为infpb(1:length(a))=0;pb(1)=1;index1=1;index2=ones(1,length(a)); d(1:length(a))=inf;d(1)=0;temp=1; %最新的P标号的顶点while sum(pb)<length(a)tb=find(pb==0);d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb)); %d指标号顶点索引、tmpb=find(d(tb)==min(d(tb)));temp=tb(tmpb(1)); %可能有多个点同时达到最小值,只取其中的一个pb(temp)=1;index1=[index1,temp]; %intex1指标号顶点顺序temp2=find(d(index1)==d(temp)-a(temp,index1));index2(temp)=index1(temp2(1)); %intex2指标号顶点索引endd, index1, index2程序二clear;clc;M=10000;a(1,:)=[0,50,M,40,25,10];a(2,:)=[zeros(1,2),15,20,M,25];a(3,:)=[zeros(1,3),10,20,M];a(4,:)=[zeros(1,4),10,25];a(5,:)=[zeros(1,5),55];a(6,:)=zeros(1,6);a=a+a';pb(1:length(a))=0;pb(1)=1;d(1:length(a))=M;d(1)=0;temp=1; while sum(pb)<length(a)tb=find(pb==0);d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb));tmpb=find(d(tb)==min(d(tb)));temp=tb(tmpb(1)); pb(temp)=1;endd。
图论和网络分析算法及Matlab实现(Graph_and_Network_Analysis)

2017/11/5
问题的两个共同特点
(1)目的都是从若干可能的安排或方案中寻求 某种意义下的最优安排或方案,数学问题称 为最优化或优化问题。 (2)它们都可用图形形式直观描述,数学上把这 种与图相关的结构称为网络。图和网络相关 的最优化问题就是网络最优化。 网络优化问题是以网络流为研究的对象,常 常被称为网络流或网络流规划等。
v2
2
v1 3 5 1
v3
2
7 5 3 5 v5
v6 1 7
5
v7
v4
• 2. 方法:Dijkstra算法(Dijkstra,1959)
Dijkstra, E.W. (1959). A note on two problems in connexion with graphs. Numerische Mathematik 1, 269–271.
2017/11/5
5 、旅行商问题 Traveling salesman problem
一名推销员准备前往若干城市推销产 品。如何为他设计一条最短的旅行 路线? (从驻地出发,经过每个城 市恰好一次,最后返回驻地)
2017/11/5
6、运输问题 Transportation problem
某种原材料有 M个产地,现在需要将原材料从产 地运往 N个使用这些原材料的工厂。假定 M个产 地的产量和 N家工厂的需要量已知,单位产品从 任一产地到任一工厂的运费已知,那么如何安排 运输方案可以使总运输成本最低?
wij,i能一步到达j d ij j ,i不能一步到达
2017/11/5
Dijkstra 算法
由图G建立一步可达距离阵D=(dij)n×n
给V1(Vs)括号(l1,Vk)=(0,s)给出已标号集合 I和未标号集合J的元素
图论举例MATLAB

例1 某公司在六个城市621,,,c c c 中有分公司,从i c 到j c 的直接航程票价记在下述矩阵的),(j i 位置上。
(∞表示无直接航路),请帮助该公司设计一张城市1c 到其它城市间的票价最便宜的路线图。
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∞∞∞∞∞∞055252510550102025251001020402010015252015050102540500用矩阵n n a ⨯(n 为顶点个数)存放各边权的邻接矩阵,行向量pb 、1index 、2index 、d 分别用来存放P 标号信息、标号顶点顺序、标号顶点索引、最短通路的值。
其中分量⎩⎨⎧=顶点未标号当第顶点已标号当第i i i pb 01)(; )(2i index 存放始点到第i 点最短通路中第i 顶点前一顶点的序号;)(i d 存放由始点到第i 点最短通路的值。
求第一个城市到其它城市的最短路径的Matlab 程序如下: clear; clc;M=10000;a(1,:)=[0,50,M,40,25,10];a(2,:)=[zeros(1,2),15,20,M,25]; a(3,:)=[zeros(1,3),10,20,M]; a(4,:)=[zeros(1,4),10,25]; a(5,:)=[zeros(1,5),55]; a(6,:)=zeros(1,6); a=a+a';pb(1:length(a))=0;pb(1)=1;index1=1;index2=ones(1,length(a)); d(1:length(a))=M;d(1)=0;temp=1; while sum(pb)<length(a) tb=find(pb==0);d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb)); tmpb=find(d(tb)==min(d(tb))); temp=tb(tmpb(1)); pb(temp)=1;index1=[index1,temp];index=index1(find(d(index1)==d(temp)-a(temp,index1))); if length(index)>=2index=index(1);endindex2(temp)=index;endd, index1, index2例2 从北京(Pe)乘飞机到东京(T)、纽约(N)、墨西哥城(M)、伦敦(L)、巴黎(Pa)五城市做旅游,每城市恰去一次再回北京,应如何安排旅游线,使旅程最短?各城市之间的航线clc,cleara(1,2)=56;a(1,3)=35;a(1,4)=21;a(1,5)=51;a(1,6)=60;a(2,3)=21;a(2,4)=57;a(2,5)=78;a(2,6)=70;a(3,4)=36;a(3,5)=68;a(3,6)=68;a(4,5)=51;a(4,6)=61;a(5,6)=13;a(6,:)=0;a=a+a';c1=[5 1:4 6];L=length(c1);flag=1;while flag>0flag=0;for m=1:L-3for n=m+2:L-1ifa(c1(m),c1(n))+a(c1(m+1),c1(n+1))<a(c1(m),c1(m+1))+a(c1(n),c1(n+1 ))flag=1;c1(m+1:n)=c1(n:-1:m+1);endendendendsum1=0;for i=1:L-1sum1=sum1+a(c1(i),c1(i+1));endcircle=c1;sum=sum1;c1=[5 6 1:4];%改变初始圈,该算法的最后一个顶点不动flag=1;while flag>0flag=0;for m=1:L-3for n=m+2:L-1if a(c1(m),c1(n))+a(c1(m+1),c1(n+1))<... a(c1(m),c1(m+1))+a(c1(n),c1(n+1))flag=1;c1(m+1:n)=c1(n:-1:m+1);endendendendsum1=0;for i=1:L-1sum1=sum1+a(c1(i),c1(i+1));endif sum1<sumsum=sum1;circle=c1;endcircle,sum。
(word完整版)matlab图论程序算法大全,推荐文档

精心整理图论算法matlab实现求最小费用最大流算法的MATLAB程序代码如下:n=5;C=[0 15 16 0 00 0 0 13 14011 017 00 0 0 0 80 0 0 0 0]; %弧容量b=[0 4 1 0 0-< < -.z ■■ * I f/ }0 0 0 6 1■j ' I X 1 ,.,\X \ • i z"》'0 2 0 3 00 0 0 0 20 0 0 0 0];%弧上单位流量的费用wf=0;wf0=lnf; %wf表示最大流量,wf0 表示预定的流量值,--j I " f'for (i=1:n) for (j=1:n)f(i,j)=0; end; end %取初始可行流f 为零流while (1)for (i=1:n) for (j=1:n) if (j~=i)a(i,j)=lnf; end; end; end%勾造有向赋权图for (i=1:n) for (j=1:n) if (C(i,j)>0&f(i,j)==0)a(i,j)=b(i,j);elseif (C(i,j)>0&f(i,j)==C(i,j))a(j,i)二-b(i,j);elseif (C(i,j)>0)a(i,j)=b(i,j);a(j,i)=-b(i,j); end; end; endfor (i=2:n)p(i)=lnf;s(i)二i; end %用Ford 算法求最短路,赋初值for (k=1:n)pd=1; %求有向赋权图中vs到vt的最短路2019年9月精心整理end for (i=2:n) for (j=1:n) if (p(i)>p(j)+a(j,i))p(i)=p(j)+a(j,i);s(i)二j;pd=O;;end; endif (pd) break; end;end %求最短路的Ford算法结束if (p(n)==lnf) break; end %不存在vs到vt的最短路,算法终止.注意在求最小费用最大流时构造有向赋权图中不会含负权回路,所以不会出现k=ndvt=Inf;t=n; %进入调整过程,dvt 表示调整量while (1) %计算调整量if (a(s(t),t)>0)dvtt=C(s(t),t)-f(s(t),t); %前向弧调整量elseif (a(s(t),t)<0)dvtt=f(t,s(t)); end %后向弧调整量if (dvt>dvtt)dvt=dvtt; end■i • I x 1i 'if (s(t)==1) break; end %当t的标号为vs时,终止计算调整量j-J—— _____t=s(t); end %继续调整前一段弧上的流fpd=0; if (wf+dvt>=wf0)dvt=wf0-wf;pd=1; end%如果最大流量大于或等于预定的流量值,--j I " f't=n; while (1) %调整过程if (a(s(t),t)>O)f(s(t),t)=f(s(t),t)+dvt; %前向弧调整elseif (a(s(t),t)<0)f(t,s(t))=f(t,s(t))-dvt; end %后向弧调整if (s(t)==1) break; end %当t的标号为vs时,终止调整过程t=s(t); endif (pd) break; end%如果最大流量达到预定的流量值wf=0; for (j=1: n)wf=wf+f(1,j); end; end %计算最大流量zwf=0; for (i=1:n) for (j=1:n)zwf二zwf+b(i,j)*f(i,j); 2019年end; end%计算最小费用9月精心整理f %显示最小费用最大流图6-22wf %显示最小费用最大流量zwf %显示最小费用,程序结束_Kruskal避圈法:Kruskal避圈法的MATLAB程序代码如下:n=8;A=[0 2 8 1 0 0 0 02 0 6 0 1 0 0 08 6 0 7 5 1 2 01 0 7 0 0 0 9 00 1 5 0 0 3 0 8■i • I x 1i '0 0 1 0 3 0 4 60 0 2 9 0 4 0 30 0 0 0 8 6 3 0];k=1; %己录A中不同正数的个数,--j I " f'for (i=1:n-1) for (j=i+1:n) %此循环是查找A中所有不同的正数if (A(i,j)>0)x(k)=A(i,j); %数组x 记录A中不同的正数kk=1; %缶时变量for (s=1:k-1) if (x(k)==x(s))kk=0; break; end; end %排除相同的正数k=k+kk; end; end; endk=k-1 %显示A中所有不同正数的个数for (i=1:k-1) for (j=i+1:k) %各x中不同的正数从小到大排序if (x(j)<x(i))xx=x(j);x(j)=x(i);x(i)=xx;end; end; end 2019年9月精心整理T(n,n)=0; %各矩阵T中所有的元素赋值为0q=0; %己录加入到树T中的边数for (s=1:k) if (q==n) break;end %获得最小生成树T,算法终止for (i=1:n-1) for (j=i+1:n) if (A(i,j)==x(s))T(i,j)=x(s);T(j,i)=x(s);%加入边到树T中TT=T; %临时记录Twhile (1)pd=1; %砍掉TT中所有的树枝for (y=1:n)kk=0;for (z=1:n) if (TT(y,z)>0)kk=kk+1;zz=z; end; end 扇找TT 中的树枝if(kk==1)TT(y,zz)=0;TT(zz,y)=0;pd=0; end; end %砍掉TT 中的树枝if (pd) break; end;end %已砍掉了TT中所有的树枝1 i' X 1pd=0; %判断TT中是否有圈J-J—— _____for (y=1:n-1) for (z=y+1:n) if (TT(y,z)>0)pd=1; break; end; end; end if (pd)T(i,j)=0;T(j,i)=0;%假如TT 中有圈[ielse q=q+1;end; end; end; end; end,--j I " f'T %显示近似最小生成树T,程序结束用Warshall-Floyd 算法求任意两点间的最短路n=8;A=[0 2 8 1 Inf Inf Inf Inf2 0 6 Inf 1 Inf Inf Inf8 6 0 7 5 1 2 Inf1 Inf 7 0 Inf Inf 9 InfInf Inf 1 Inf 3 0 4 62019年9月精心整理Inf Inf 2 9 Inf 4 0 3Inf Inf Inf Inf 8 6 3 0]; % MATLAB^, Inf 表示乂D=A; %赋初值for (i=1:n) for (j=1:n)R(i,j)二j; end; end %赋路径初值for (k=1:n) for (i=1:n) for (j=1:n) if (D(i,k)+D(k,j)<D(i,j))D(i,j)二D(i,k)+D(k,j); %更新dijR(i,j)=k; end; end; end %更新rijk %显示迭代步数D %显示每步迭代后的路长R %显示每步迭代后的路径■-"? I y .: .*pd=0; for i=1:n %含有负权时$ . I X 1 \ t Zyfj ;" —. »■if (D(i,i)<0)pd=1; break; end; end %存在一条含有顶点vi 的负回路j- ————丿if (pd) break; end %存在一条负回路,终止程序end %程序结束利用Ford--Fulkerson 标号法求最大流算法的MATLAB ,--j I /'芦# /程序代码如下:n二 8;C=[0 5 4 3 0 0 0 00 0 0 0 5 3 0 00 0 0 0 0 3 2 00 0 0 0 0 0 2 00 0 0 0 0 0 0 30 0 0 0 0 0 0 52019年9月精心整理0 0 0 0 0 0 0 0]; %弧容量for (i=1:n) for (j=1:n)f(i,j)=0; end; end %取初始可行流f 为零流for (i=1:n)No(i)=0;d(i)=0; end %No,d 记录标号图6-19 while (1)No(1)=n+1;d(1)=lnf; %给发点vs 标号while (1)pd=1; %标号过程for (i=1:n) if (No(i)) %选择一个已标号的点vifor (j=1:n) if (No(j)==0&f(i,j)<C(i,j)) %对于未给标号的点vj,当vivj 为非饱和弧时L ? I $ / /No(j)=i;d(j)=C(i,j)-f(i,j);pd=0;L』I p. x\ : I" X 1 ..'C.X 'L 、 xxif (d(j)>d(i))d(j)=d(i); endp ————y xelseif (No(j)==0&f(j,i)>0) %对于未给标号的点vj,当vjvi为非零流弧时No(j)=-i;d(j)=f(j,i);pd=0;:\ \if (d(j)>d(i))d(j)=d(i); end; end; end; end; end,--j I " f'if (No(n)|pd) break; end; end%若收点vt得到标号或者无法标号,终止标号过程if (pd) break; end %vt未得到标号,f 已是最大流,算法终止dvt=d(n);t二n; %进入调整过程,dvt 表示调整量while (1)if (No(t)>0)f(No(t),t)=f(No(t),t)+dvt; elseif (No(t)<0)f(No(t),t)=f(No(t),t)-dvt; if (No(t)==1) for (i=1:n)No(i)=0;d(i)=0;终止调整过程2019年9月%前向弧调整end %后向弧调整end; break; end %当t 的标号为vs 时t二No(t); end;end; %继续调整前一段弧上的流fwf=O; for (j=1:n)wf=wf+f(1,j); end %+算最大流量f %显示最大流wf %显示最大流量No混示标号,由此可得最小割,程序结束图论程序大全程序一:关联矩阵和邻接矩阵互换算法fun cti on W=i ncan dadf(F,f)if f==0m=sum(sum(F))/2;n=size(F,1);W=zeros( n, m);k=1;for i=1: nfor j=i:nif F(i,j)~=0W(i,k)=1;W(j,k)=1;k=k+1;endendendelseif f==1m=size(F,2);n=size(F,1);W=zeros( n,n);for i=1:ma=fi nd(F(:,i)~=0);W(a(1),a (2))=1;W(a(2) ,a(1))=1;endelsefprint( 'Please imput the right value of f );endW;程序二:可达矩阵算法fun cti on P=dgraf(A)n=size(A,1);P=A;for i=2:nP=P+A A i;endP(P~=0)=1;P;程序三:有向图关联矩阵和邻接矩阵互换算法fun cti on W=mattra nsf(F,f)if f==0m=sum(sum(F));n=size(F,1);W=zeros( n, m);k=1;for i=1: nfor j=i:n if F(i,j)~=OW(i,k)=1;W(j,k)=-1;k=k+1;endI ■endendelseif f==1m=size(F,2);n=size(F,1);W=zeros( n,n);for i=1:ma=fi nd(F(:,i)~=0);if F(a(1),i)==1W(a(1),a (2))=1;elseW(a(2) ,a(1))=1;endendelsefprint( 'Please imput the right value of f );endW;第二讲:最短路问题程序一:Dijkstra算法(计算两点间的最短路) fun ctio n [l,z]=Dijkstra(W)精心整理n = size (W,1);for i = 1 :nl(i)=W(1,i);z(i)=0;endi=1;while i<=nfor j =1 :nif l(i)>l(j)+W(j,i)l(i)=l(j)+W(j,i);z(i)=j-1;if j<ii=j-1;endendendi=i+1;end程序二:floyd算法(计算任意两点间的最短距离) fun cti on [d,r]=floyd(a) n=size(a,1);d=a;for i=1: nfor j=1: nr(i,j)=j;endend"/二7I \r;for k=1: nI_ :「for i=1:nfor j=1: nif d(i,k)+d(k,j)vd(i,j)■■ d(i,j)=d(i,k)+d(k,j); r(i,j)=r(i,k);endendendend程序三:n 2short.m 计算指定两点间的最短距离fun ctio n [P u]=n2short(W,k1,k2)n=le ngth(W);U=W;m=1;精心整理while m<=nfor i=1: nfor j=1: nif U(i,j)>U(i,m)+U(m,j)U(i,j)=U(i,m)+U(m,j);endendendm=m+1;endu=U(k1,k2);P1=zeros(1, n);k=1;P1(k)=k2;V=o nes(1, n)* inf;kk=k2;while kk~=k1for i=1: nV(1,i)=U(k1,kk)-W(i,kk);if V(1,i)==U(k1,i)P1(k+1)=i;kk=i;k=k+1;endendendk=1;wrow=fi nd(P1~=0);for j=length(wrow):-1:1P(k)=P1(wrow(j));k=k+1;endP;程序四、n1short.m(计算某点到其它所有点的最短距离) function [Pm D]=n1short(W,k)n=size(W,1);D=zeros(1, n);for i=1: n[P d]=n2short(W,k,i);Pm{i}=P;D(i)=d;end程序五:pass2short.m(计算经过某两点的最短距离)精心整理function [P d]=pass2short(W,k1,k2,t1,t2)[p1 d1]=n2short(W,k1,t1);[p2 d2]=n2short(W,t1,t2);[p3 d3]=n2short(W,t2,k2);dt1= d1+d2+d3;[p4 d4]=n2short(W,k1,t2);[p5 d5]=n2short(W,t2,t1);[p6 d6]=n2short(W,t1,k2);dt2=d4+d5+d6;if dt1<dt2d=dt1;P=[p1 p2(2:le ngth(p2)) p3(2:le ngth(p3))];elsed=dt1;p=[p4 p5(2:le ngth(p5)) p6(2:le ngth(p6))];endP;d;第三讲:最小生成树程序一:最小生成树的Kruskal算法■i 1 I X 1 t fun cti on [T c]=krusf(d,flag)if nargin==1n=size(d,2);m=sum(sum(d~=0))/2;b=zeros(3,m);k=1;for i=1: nfor j=(i+1):nif d(i,j)~=0b(1,k)=i;b(2,k)=j;b(3,k)=d(i,j);k=k+1;endendendelseb=d;endn=max(max(b(1:2,:)));m=size(b,2);[B,i]=sortrows(b',3);B=B';c=0;T=[];精心整理k=1;t=1: n;for i=1:mif t(B(1,i))~=t(B(2,i))T(1:2,k)=B(1:2,i);c=c+B(3,i);k=k+1;tmi n=mi n( t(B(1,i)),t(B(2,i))); tmax=max(t(B(1,i)),t(B(2,i)));for j=1: nif t(j)==tmax t(j)=tmi n;endendendif k==nbreak;endendT;c;程序二:最小生成树的Prim算法'I \ 1 ,fun cti on [T c]=Primf(a)l=le ngth(a);a(a==0)=i nf;k=1:l;listV(k)=0;listV(1)=1;e=1;while (e<l)mi n=inf;for i=1:lif listV(i)==1for j=1:lif listV(j)==0 & min>a(i,j)min=a(i,j);b=a(i,j); s=i;d=j;endendendendlistV(d)=1;dista nce(e)=b;source(e)=s;dest in ati on( e)=d;精心整理e=e+1;endT=[source;desti nati on];for g=1:e-1c(g)=a(T(1,g),T(2,g));endc;另外两种程序最小生成树程序1 (prim算法构造最小生成树)a=[inf 50 60 inf inf inf inf;50 inf inf 65 40 inf inf;60 inf inf 52 inf inf45;…inf 65 52 inf 50 30 42;i nf 40 inf 50 inf 70 inf;inf inf inf 30 70 infinf;...inf inf 45 42 inf inf inf];result=[];p=1;tb=2:le ngth(a);while len gth(result)~=le ngth(a)-1temp=a(p,tb);temp=temp(:);d=mi n(temp);[jb,kb]=fi nd(a(p,tb)==d);2 -- --vX :' [ \ \ Z'j=p(jb(1));k=tb(kb(1));result=[result,[j;k;d]];p=[p,k];tb(fi nd(tb==k))=[];endresult最小生成树程序2( Kruskal算法构造最小生成树) clc;clear;a(1,2)=50; a(1,3)=60; a(2,4)=65; a(2,5)=40;精心整理a(3,4)=52;a(3,7)=45; a(4,5)=50; a(4,6)=30;a(4,7)=42; a(5,6)=70;[i,j,b]=find (a);data二[i';j';b'];i ndex=data(1:2,:);loop二max(size(a))-1;result=[];while len gth(result)<looptemp二mi n(data(3,:));flag=fi nd(data(3,:)==temp);flag=flag(1);Y '.Z ;彳I 1 _• }v1=data(1,flag);v2=data(2,flag);■i • i x 1 \ % 'j ;- ... lyif in dex(1,flag)~=i ndex(2,flag)result二[result,data(:,flag)];endin dex(fi nd(i ndex==v2))=v1;,--j I " f'data(:,flag)=[];index(:,flag)=[];endresult第四讲:Euler图和Hamilton图程序一:Fleury算法(在一个Euler图中找出Euler环游) 注:包括三个文件;fleuf1.m, edf.m, flecvexf.mfun ctio n [T c]=fleuf1(d)%注:必须保证是Euler环游,否则输出T=0,c=0精心整理n=len gth(d);b=d;b(b==i nf)=O;b(b~=0)=1;m=0;a=sum(b);eds=sum(a)/2;ed=zeros(2,eds);vexs=zeros(1,eds+1);matr=b;for i=1: nif mod(a(i),2)==1m=m+1;endendif m~=0fprintf( 'there is not exit Euler path.\n' )T=0;c=0;endif m==0vet=1;flag=0;t1=fi nd(matr(vet,:)==1);for ii=1:length(t1)ed(:,1)=[vet,t1(ii)]; vexs(1,1)=vet;vexs(1,2)=t1(ii); matr(vexs(1,2),vexs(1,1))=0;flagg=1;tem=1;while flagg[flagg ed]=edf(matr,eds,vexs,ed,tem); tem=tem+1;if ed(1,eds)~=0 & ed(2,eds)~=0T=ed;T(2,eds)=1;c=0;for g=1:eds c=c+d(T(1,g),T(2,g));endflagg=0;break;endendendendfunction [flag ed]=edf(matr,eds,vexs,ed,tem)精心整理flag=1;for i=2:eds[dvex f]=flecvexf(matr,i,vexs,eds,ed,tem); if f==1flag=0;break;endif dvex~=0ed(:,i)=[vexs(1,i) dvex];vexs(1,i+1)=dvex; matr(vexs(1,i+1),vexs(1,i))=0; elsebreak;endendfun cti on [dvex f]=flecvexf(matr,i,vexs,eds,ed,temp)f=0;edd=fi nd(matr(vexs(1,i),:)==1);dvex=0;dvex 1=[];ded=[];if length(edd)==1dvex=edd;elsedd=1;dd 仁0;kkk=0;for kk=1:length(edd)m1=fi nd(vexs==edd(kk));if sum(m1)==0dvex1(dd)=edd(kk);dd=dd+1;dd1=1;elsekkk=kkk+1;endendif kkk==length(edd) tem=vexs(1,i)*o nes(1,kkk); edd1=[tem;edd];for l1=1:kkk lt=0;ddd=1;for l2=1:edsif edd1(1:2,l1)==ed(1:2,l2) lt=lt+1;endend精心整理if lt==Oded(ddd)=edd(l1);ddd=ddd+1;endendendif tempv=length(dvexl)dvex=dvex1(temp);elseif temp>le ngth(dvexl) & temp<=le ngth(ded)dvex=ded(temp);elsef=1;endend程序二:Hamilton改良圈算法(找出比较好的Hamilton路)function [C d1]= hamiltonglf(v)%表示权值矩阵%表示算法最终找到的Hamilton圈。
图论算法及其Matlab程序

求单源最短路径的Dijkstra算法的Matlab程序function [d index1 index2]=Dijkf(a)M=max(max(a));pb(1:length(a))=0;pb(1)=1;index1=1;index2=ones(1,length(a));d(1:length(a))=M;d(1)=0;temp=1;while sum(pb)<length(a)tb=find(pb==0);d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb));tmpb=find(d(tb)==min(d(tb)));temp=tb(tmpb(1));pb(temp)=1;index1=[index1,temp];index=index1(find(d(index1)==d(temp)-a(temp,index1)));if length(index)>=2index=index(1);endindex2(temp)=index;endd;index1;index2;求任意两点间最短路的Floyd算法的Matlab程序function [D,R]=floyd(a)n=size(a,1); D=a;for i=1:nfor j=1:nR(i,j)=j;endendfor k=1:nfor i=1:nfor j=1:nif D(i,k)+D(k,j)<D(i,j)D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);R(i,j)=R(i,k);endendendendD;R ;求Euler回路的Fleury算法的Matlab程序function [eu,cEu]=arEuler(E)eu=0;cEu=[];ncV=arComp(E);if max(ncV)>1returnendn=max(max(E(:,1:2)));m=size(E,1);for i=1:nb(i)=0;for j=1:mif E(j,1)==i|E(j,2)==ib(i)=b(i)+1;endendendrp=rem(b,2);srp=sum(rp);switch srpcase 0,eu=1;case 2,eu=0.5;otherwise,returnendif srp==0v1=1;elsev1=find(rp);v1=v1(1);endvc=v1;m=size(E,1);E1=[E(:,1:2),[1:m]'];while ~isempty(E1)evc=find((E1(:,1)==vc)|(E1(:,2)==vc));levc=length(evc);if levc==1cEu=[cEu;E1(evc,3)];vcold=vc;vc=sum(E1(evc,1:2))-vc;E1=E1(setdiff([1:size(E1,1)],evc),:);E2=E1(:,1:2);E2gv=E2>vcold;E2(E2gv)=E2(E2gv)-1;E1(:,1:2)=E2;if vc>vcoldvc=vc-1;endif v1>vcoldv1=v1-1;endelsefor k=1:levcE2=E1(setdiff([1:size(E1,1)],evc(k)),:); ncv=arComp(E2);nco=max(ncv);if (max(ncv)==1)cEu=[cEu;E1(evc(k),3)];vc=sum(E1(evc(k),1:2))-vc;E1=E2;break;endendendendreturn求最小生成树的Prim算法的Matlab程序function [T e]=prim(a)T=[];e=0;v=1;n=size(a,1);c=2:n;for j=2:nb(1,j-1)=1;b(2,j-1)=j;b(3,j-1)=a(1,j);endwhile size(T,2)<n-1[m,i]=min(b(3,:));T(:,size(T,2)+1)=b(:,i);e=e+b(3,i);v=b(2,i);t=find(c==b(2,i));c(t)=[];b(:,i)=[];for j=1:length(c)d=a(v,b(2,j));if d<b(3,j)b(1,j)=v;b(3,j)=d;endendendT;e;求最小生成树的Kruskal算法的Matlab程序function [T c]=kruskal(a)n=size(a,1);m=0;for i=1:n-1for j=i+1:nif a(i,j)>0&a(i,j)<infm=m+1;b(1,m)=i;b(2,m)=j;b(3,m)=a(i,j);endendend[B,i]=sortrows(b',3);B=B';k=0;t=1:n;T=[];c=0;for i=1:mif t(B(1,i))~=t(B(2,i))k=k+1;T(:,k)=B(:,i);c=c+B(3,i);tmin=min(t(B(1,i)),t(B(2,i)));tmax=max(t(B(1,i)),t(B(2,i)));for j=1:nif t(j)==tmaxt(j)=tmin;endendendif k==n-1break;endendt,c求Huffman树的Matlab程序function [h,l]=huffman(p)if (length(find(p<0))~=0)error('Not a prob,negative component');endif (abs(sum(p)-1)>10e-10)error('Not a prob.vector,component do not add to 1') endn=length(p);q=p;m=zeros(n-1,n);for i=1:n-1[q,l]=sort(q);m(i,:)=[l(1:n-i+1),zeros(1,i-1)];q=[q(1)+q(2),q(3:n),1];endfor i=1:n-1c(i,:)=blanks(n*n);endc(n-1,n)='0';c(n-1,2*n)='1';for i=2:n-1c(n-i,1:n-1)=c(n-i+1,n*(find(m(n-i+1,:)==1))...-(n-2):n*(find(m(n-i+1,:)==1)));c(n-i,n)='0';c(n-i,n+1:2*n-1)=c(n-i,1:n-1);c(n-i,2*n)='1';for j=1:i-1c(n-i,(j+1)*n+1:(j+2)*n)=c(n-i+1,...n*(find(m(n-i+1,:)==j+1)-1)+1:n*find(m(n-i+1,:)==j+1));endendfor i=1:nh(i,1:n)=c(1,n*(find(m(1,:)==i)-1)+1:find(m(1,:)==i)*n); ll(i)=length(find(abs(h(i,:))~=32));endl=sum(p.*ll);hl最大流算法Matlab程序function [f wf No]=fofuf(C,f1)n=length(C);if nargin==1;f=zeros(n,n);elsef=f1;endNo=zeros(1,n);d=zeros(1,n);while (1)No(1)=n+1;d(1)=Inf;while (1)pd=1;for (i=1:n)if (No(i))for (j=1:n)if (No(j)==0&f(i,j)<C(i,j))No(j)=i;d(j)=C(i,j)-f(i,j);pd=0;if (d(j)>d(i))d(j)=d(i);endelseif (No(j)==0&f(j,i)>0)No(j)=-i;d(j)=f(j,i);pd=0;if (d(j)>d(i))d(j)=d(i);endendendendendif (No(n)|pd)break;endendif (pd)break;enddvt=d(n);t=n;while (1)if(No(t)>0)f(No(t),t)=f(No(t),t)+dvt;elseif (No(t)<0)f(No(t),t)=f(No(t),t)-dvt;endif (No(t)==1)for (i=1:n)No(i)=0;d(i)=0;endbreakendt=No(t);endendwf=0;for (j=1:n)wf=wf+f(1,j);endf;wf;No;。
图论MATLAB算法

第一章:Dijkstra 算法开始?dot i ≤输入,确定邻接矩阵a 确定邻接矩阵a 的节点数dot1=i算每一个节点到U 中每一个节点的最小值 输出第n i 个节点到第一个节点的最小距离i L ,i=1∧dot结束算这dot 个最小值的最小值l ,并确定其节点位置i nl L i n =将第一个节点放入集合U 中将已经确定的第i n 节点到所有节点的权值赋为∞ 将所有节点到第i n 节点的权值加上l 并代替之 ?2>i1+=i i将第i n 节点放入集合U 中 YESNOYESNO求下面赋权图(左图)中顶点u0到其余顶点的最短路。
其邻接矩阵W 为:⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞=024782063446046340357630135102273201847210W)(i u l迭 代 次 数0u 1u 2u 3u 4u 5u 6u 7u1 2 3 4 5 6 7 8 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞1 2 ∞ 7 ∞ 4 82 4 7 ∞ 4 83 7 ∞4 86 9 4 86 9 69 6 9 最后标记)(v l )(v z0 1 2 3 6 9 4 6 0u 0u 0u 2u 3u 3u 0u 6u1u 2u 3u 4u 5u 6u 7u 0ufunction dijkstra%注:此程序仅作参考,欢迎批评指正。
clcclear%Dijkstra算法:%%%%给邻接矩阵赋值%%%%%%%%%%%%a=[0,1,2,inf,7,inf,4,8;1,0,2,3,inf,inf,inf,7;0,0,0,1,5,inf,inf,inf;0,0,0,0,3,6,inf,inf;0,0,0,0,0,4,3,inf;0,0,0,0,0,0,6,4;0,0,0,0,0,0,0,2;];for i=2:8for j=1:i-1a(i,j)=a(j,i);endenddot=size(a,1);%节点数fprintf('\t邻接矩阵的标准形式:');afuquantu=a;%在赋权图中用到fprintf('\t其中,inf代表无穷大∞,a(i,j)代表第i个节点到第j个节点的权。
matlab图论方法

哈密顿圈(环球旅行游戏)
问题3(四色问题): 对任何一张地图进行着色,两个共同边界的
国家染不同的颜色,则只需要四种颜色就够了.
问题4(关键路径问题): 一项工程任务,大到建造一座大坝,一座体育
中心,小至组装一台机床,一架电视机, 都要包括 许多工序.这些工序相互约束,只有在某些工序完 成之后, 一个工序才能开始. 即它们之间存在完 成的先后次序关系,一般认为这些关系是预知的, 而且也能够预计完成每个工序所需要的时间.
V = {v1 , v2 , v3 , v4}, E = { v1v2 , v1v3 , v1v4 , v2v3 , v2v4 , v3v4}.
今后将不计较这种外形上的差别,而用一个容 易理解的、确定的图解去表示一个图.
有边联结的两个点称为相邻的点, 有一个公共 端点的边称为相邻边. 边和它的端点称为互相关联. 常用d(v)表示图G中与顶点v关联的边的数目, d(v) 称为顶点v的度数. 用N(v)表示图G中所有与顶点v相 邻的顶点的集合.
这时工程领导人员迫切希望了解最少需要多 少时间才能够完成整个工程项目, 影响工程进度 的要害工序是哪几个?
6.1 图论的基本概念
图论中的“图”并不是通常意义下的几何图 形或物体的形状图, 而是以一种抽象的形式来表 达一些确定的事物之间的联系的一个数学系统.
定义1 一个有序二元组(V, E ) 称为一个图, 记 为G = (V, E ), 其中
(0,1,0,1) (0,1,0,0) (0,0,1,0) (0,0,0,1) (0,0,0,0) (1,0,1,0) (1,0,1,1) (1,1,0,1) (1,1,1,0) (1,1,1,1)
计算方法MATLAB程序样例

1.利用共轭梯度法求解大规模稀疏方程组1.1.算法原理共轭梯度法是把求解线性方程组的问题转化为求解一个与之等价的二次函数极小值的问题。
对于特定的线性方程组来说,选取与之等价的二次函数之后,可以从任意给定的初始点出发,沿一组关于矩阵A 的共轭方向进行线性搜索,在无舍入误差的假定下,最多迭代n次(其中n为矩阵A 的阶数),就可以求得二次函数的极小点,也就求得了线性方程组A x=b的解。
对于特定线性方程组A x=b,其对应的n元二次函数为:f(x)=12x T Ax−b T x其中A为对称正定矩阵,二次函数的梯度为:∇f(x)=Ax+b 通过一系列的数学推导,最终可以得到共轭梯度的计算公式:{d(0)=r(0)=b−Ax(0)αk=r(k)T d(k)d(k)T Ad(k)x(k+1)=x(k)+αk d(k) r(k+1)=b−Ax(k+1)βk=−r(k+1)T Ad(k)d(k)T Ad(k)d(k+1)=r(k+1)+βk d(k)共轭梯度法在形式上具有迭代法的特征,即给定初始向量x(0)后,由迭代格式x(k+1)=x(k)+αk d(k)能够产生迭代序列x(1),x(2),x(3),最终得到满足约束条件的解。
而该方法中关键的两点是,确定上述迭代格式中的搜索方向d(k)和最佳步长αk。
实际上,搜索方向d(k)是关于矩阵A的共轭向量,在迭代中逐步构造之。
步长αk的确定原则是给定迭代点x(k)和搜索方向d(k)后,要求选取非负实数αk使得f(x(k)+αk d(k))达到最小。
因此,由该算法原理可得共轭梯度法的程序流程图如下图所示。
图 1.1共轭梯度法程序流程图1.2.程序使用说明针对相关问题的源程序及注释如下:clc;clear all;format long;n=100;%A的阶数A=zeros(100);A=diag(repmat([1],1,n-1),1)+diag(repmat([1],1,n-1),-1)+diag(repmat([-2],1,n));%构建三对角矩阵b=zeros(n,1);b(1,1)=-1;b(n,1)=-1;x0=zeros(n,1);d0=b-A*x0;r0=b-A*x0;D0=d0;R0=r0;X0=x0;C=norm(A)*norm(inv(A));%共轭梯度法¨for k=1:3*na0=(r0.'*d0)/(d0.'*A*d0);x=x0+a0*d0;r=b-A*x;beta=-(r.'*A*d0)/(d0.'*A*d0);d=r+beta*d0;x0=x;r0=r;d0=d;if norm(r)< 1e-9seigm(k)=norm(r);breakelseseigm(k)=norm(r);endendR=r0;X=x0;%最速下降法¨r0=R0;d0=D0;x0=X0;%读取初始向量初始残差与初始方向for k=1:3*na0=(r0.'*r0)/(r0.'*A*r0);x=x0-a0*r0;r=A*x-b;f=x-x0;x0=x;r0=r;if norm(f)< 1e-9seigm1(k)=norm(r);breakelseseigm1(k)=norm(r);endendR1=r0;X1=x0;m=1:length(seigm);M=1:length(seigm1);figure;plot(m,log(seigm),'r');%误差对数的变化曲线hold on;grid on;plot(M,log(seigm1),'b');hold on;grid on;legend('¹²éîÌݶȷ¨','×îËÙϽµ·¨','fontname','ËÎÌå');运行上述程序可得共轭梯度法和最速下降法误差收敛速度图。
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图论实验三个案例单源最短路径问题 1.1 Dijkstra 算法Dijkstra 算法是解单源最短路径问题的一个贪心算法。
其基本思想是,设置一个顶点集合S 并不断地作贪心选择来扩充这个集合。
一个顶点属于集合S 当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。
设v 是图中的一个顶点,记()l v 为顶点v 到源点v 1的最短距离,,i j v v V∀∈,若(,)i j v v E∉,记i v到j v 的权ij w =∞。
Dijkstra 算法:① 1{}S v =,1()0l v =;1{}v V v ∀∉-,()l v =∞,1i =,1{}S V v =-; ② S φ=,停止,否则转③;③ ()min{(),(,)}j l v l v d v v =,j v S∈,v S ∀∈;④ 存在1i v +,使1()min{()}i l v l v +=,v S ∈;⑤1{}i S S v +=U ,1{}i S S v +=-,1i i =+,转②;实际上,Dijkstra 算法也是最优化原理的应用:如果121n nv v v v -L 是从1v 到nv 的最短路径,则121n v v v -L 也必然是从1v 到1n v -的最优路径。
在下面的MATLAB 实现代码中,我们用到了距离矩阵,矩阵第i 行第j 行元素表示顶点i v 到j v 的权ij w ,若i v到j v 无边,则realmax ij w =,其中realmax 是MATLAB 常量,表示最大的实数(1.7977e+308)。
function re=Dijkstra(ma)%用Dijkstra算法求单源最短路径%输入参量ma是距离矩阵%输出参量是一个三行n列矩阵,每列表示顶点号及顶点到源的最短距离和前顶点n=size(ma,1);%得到距离矩阵的维数s=ones(1,n);s(1)=0;%标记集合S和S的补r=zeros(3,n);r(1,:)=1:n;r(2,2:end)=realmax;%初始化for i=2:n;%控制循环次数mm=realmax;for j=find(s==0);%集合S中的顶点for k=find(s==1);%集合S补中的顶点if(r(2,j)+ma(j,k)<r(2,k))r(2,k)=r(2,j)+ma(j,k);r(3,k)=j;endif(mm>r(2,k))mm=r(2,k);t=k;endendends(1,t)=0;%找到最小的顶点加入集合S end re=r;1.2 动态规划求解最短路径动态规划是美国数学家Richard Bellman 在1951年提出来的分析一类多阶段决策过程的最优化方法,在工程技术、工业生产、经济管理、军事及现代化控制工程等方面均有着广泛的应用。
动态规划应用了最佳原理:假设为了解决某一优化问题,需要依次作出n 个决策12,,,nD D D L ,如若这个决策是最优的,对于任何一个整数k ,1<k <n ,不论前面k 个决策是怎样的,以后的最优决策只取决于由前面决策所确定的当前状态,即12,,,k k nD D D ++L 也是最优的。
如图1,从A 1点要铺设一条管道到A 16点,中间必须要经过5个中间站,第一站可以在{ A 2,A 3}中任选一个,第二、三、四、五站可供选择的地点分别是:{ A 4,A 5,A 6,A 7},{ A 8,A 9,A 10},{ A 11,A 12,A 13},{ A 14,A 15}。
连接两地管道的距离用连线上的数字表示,要求选一条从A 1到A 16的铺管线路,使总距离最短。
图1 可选择的管道图解决此问题可以用穷举法,从A1到A16有48条路径,只须比较47次,就可得到最短路径为:A1→A2→A5→A8→A12→A15→A16,最短距离为18。
也可以使用Dijkstra算法。
这里,我们动态规划解决此问题。
注意到最短路径有这样一个特性,即如果最短路径的第k站通过P k,则这一最短路径在由P k出发到达终点的那一部分路径,对于始点为P k到终点的所有可能的路径来说,必定也是距离最短的。
根据最短路径这一特性,启发我们计算时从最后一段开始,从后向前逐步递推的方法,求出各点到A16的最短路径。
在算法中,我们用数组六元数组ss表示中间车站的个数(A1也作为中间车站),用距离矩阵path表示该图。
为简便起见,把该图看作有向图,各边的方向均为从左到右,则path不是对称矩阵,如path(12,14)=5,而path(14,12)=0(用0表示不通道路)。
用3´16矩阵spath表示算法结果,第一行表示结点序号,第二行表示该结点到终点的最短距离,第三行表示该结点到终点的最短路径上的下一结点序号。
下面给出MATLAB实现算法。
function [scheme] = ShortestPath(path,ss)%利用动态规划求最短路径%path是距离矩阵,ss是车站个数n=size(path,1);%结点个数scheme=zeros(3,n);%构造结果矩阵scheme(1,:)=1:n;%设置结点序号scheme(2,1:n-1)=realmax;%预设距离值k=n-1;%记录第一阶段结点最大序号for i=size(ss,2):-1:1;%控制循环阶段数for j=k:-1:(k-ss(i)+1);%当前阶段结点循环for t=find(path(j,:)>0);%当前结点邻接结点if path(j,t)+scheme(2,t)<scheme(2,j)scheme(2,j)=path(j,t)+scheme(2,t);scheme(3,j)=t;endendendk=k-ss(i);移入下一阶段end先在MATLAB命令窗口中构造距离矩阵path,再输入:>> ShortestPath(path,ss)得到以下结果:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 13 16 13 10 9 12 7 6 8 7 5 9 4 3 02 5 6 8 8 9 10 12 12 12 14 15 15 16 16 0将该结果表示为图,即为图1粗线所示。
棋盘覆盖问题 1.1 问题的提出在一个22k k⨯个方格组成的棋盘中,若恰有一个方格与其他方格不同,则称该方格为一特殊方格,且称该棋盘为一特殊的棋盘。
如图1就是当3k =时的特2所示4种不同形态的L 形骨牌覆盖一个1.2 问题的分析易知,用到的L 型骨牌个数恰为(41)/3k -。
利用分治策略,我们可以设计出解棋盘覆盖问题的一个简捷的算法。
图1 当k =3时的特殊棋盘图2 4种不同形态的L 型骨牌(a)(b)(c)(d)当k >0时,我们将22k k ⨯棋盘分割为4个1122k k --⨯子棋盘如图3两粗实线所示。
特殊方格必位于4个较小子棋盘之一中,其余3个子棋盘中无特殊方格。
为了将这3个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘,我们可以用一个L 型骨牌覆盖这3个较小棋盘的会合处,如图4中央L 型骨牌所示,这3个子棋盘上被L 型骨牌覆盖的方格就成为该棋盘上的特殊方格,从而将原问题转化为4个较小规模的棋盘覆盖问题。
递归地使用这种分割,直至棋盘简化为11⨯棋盘。
1.3 算法的MATLAB 实现首先特殊方格在棋盘中的位置可以用一个12⨯的数组sp 表示;对于图2所示的4种L 型骨牌,可用数字1,2,3,4表示;对于特殊棋盘的骨牌覆盖表示,只图3 棋盘分割 图4 关键结点1 2 3须注意到图4所示的关键点,对每个关键点,给定一种L 型骨牌,就能覆盖整个棋盘,所以对于22k k ⨯的特殊棋盘的骨牌覆盖,可用一个(21)(21)k k -⨯-的矩阵表示。
按照这种思想,图4的矩阵表示为:k =4,特殊方格位置为:[1,4],覆盖矩阵为:1040102040002040302030003000104030204000304030403⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦下面是在MATLAB 中的棋盘覆盖实现程序。
function re = chesscover(k,sp) %解决棋盘的覆盖问题%棋盘为2^k*2^k ,sp 为特殊方格的棋盘位置 global covermatrixcovermatrix=zeros(2^k-1,2^k-1);even1=floor(sp(1,1)/2)*2==sp(1,1);%判断水平位置是否是偶数 even2=floor(sp(1,2)/2)*2==sp(1,2);%判断竖直位置是否是偶数 if even1==1&&even2==0%找出找出特殊方格相对关键结点的位置 i=4; elsei=even1+even2+1;endtempfun(1,1,k,[sp(1,1)-even1,sp(1,2)-even2,i]);re=covermatrix;function tempfun(top,left,k,tp)%子函数,tp为转换后特殊方格在棋盘网络的相对位置global covermatrixif k==1switch tp(1,3)case 1covermatrix(tp(1,1),tp(1,2))=3;case 2covermatrix(tp(1,1),tp(1,2))=4;case 3covermatrix(tp(1,1),tp(1,2))=1;case 4covermatrix(tp(1,1),tp(1,2))=2;endelsehalf=2^(k-1);i=top+half-1;j=left+half-1;if tp(1,1)<iif tp(1,2)<j%特殊方格在左上covermatrix(i,j)=3; %添加类型为3的L型骨牌tempfun(top,left,k-1,tp);tempfun(top,left+half,k-1,[i-1,j+1,4]);tempfun(top+half,left+half,k-1,[i+1,j+1,1] );tempfun(top+half,left,k-1,[i+1,j-1,2]);else %特殊方格在右上covermatrix(i,j)=4;%添加类型为4的L型骨牌tempfun(top,left,k-1,[i-1,j-1,3]);tempfun(top,left+half,k-1,tp);tempfun(top+half,left+half,k-1,[i+1,j+1,1] );tempfun(top+half,left,k-1,[i+1,j-1,2]);endelseif tp(1,2)>j%特殊方格在右下covermatrix(i,j)=1;%添加类型为3的L型骨牌tempfun(top,left,k-1,[i-1,j-1,3]);tempfun(top,left+half,k-1,[i-1,j+1,4]);tempfun(top+half,left+half,k-1,tp);tempfun(top+half,left,k-1,[i+1,j-1,2]);else %特殊方格在左下covermatrix(i,j)=2;%添加类型为4的L型骨牌tempfun(top,left,k-1,[i-1,j-1,3]);tempfun(top,left+half,k-1,[i-1,j+1,4]);tempfun(top+half,left+half,k-1,[i+1,j+1,1] );tempfun(top+half,left,k-1,tp);endendend在MATLAB命令窗口中输入指令chesscover(3,[1,4])将会得到如上面矩阵一样的结果。