近似数与有效数字中的几个问题

近似数与有效数字中的几个问题

1．精确度(精确到哪一位数)的意义

大家都会用四舍五入法求一个准确数的近似值．例如，46.3172精确到0.01的近似值是46.32，这里精确度是事先规定的．又如用刻度尺测量书本的长度，得20.3cm ，这个数量也是近似数，它精确到0.1cm ．这个精确度是根据度量工具的限制(常用的刻度尺只标明“毫米”)由四舍五入的法则规定的．可以推断，书本长度的准确值在20.25cm 到20.35cm 之间，即它一定小于20.35cm 而大于或等于20.25cm ，所以用四舍五入截取一个准确数的近似数后，可以根据近似数和精确度推断出准确数的范围，这就是精确度的意义．

2．有效数字的意义

用刻度尺测量桌子的长度，得到106.5cm ，这个近似数精确到0.1cm ，它与上面量出的书本长度的两个近似数与准确数误差都不超过0.05cm ，因此人们常常认为它们分别表示书本和桌子长度时，精确度是一样的．但是，当我们从下面的角度去想这个问题时，就会发现它们的“精确程度”是不一样的． 度量课本长度时，平均每厘米产生的误差最多是

％25.03.02005.0≈，而度量桌子时，平均每厘米产生的误差最多是％05.05

.10605.0≈，为什么精确程度是一样的两个近似数会有这种差别呢？从上面的算式不难发现：分子都是0.05，分母大小不相同．也就是说，20.3有三个有效数字，106.5有四个有效数字．由此我们可以看出，一个近似数的有效数字越多，每单位数量产生的误差(即相对误差)就越小，这个近似数的精确度就越高，这就是“有效数字”的意义．

3．近似数1.6与1.60的区别

(1)有效数字不同：1.6只有两个有效数字，而1.60有三个有效数字．

(2)精确度不同：1.6精确到十分位，与准确数的误差不超过0.05，它所代表的准确值在

1.55到1.65之间，即小于1.65而大于或等于1.55；1.60精确到百分位，它与准确数误差不超过0.005，它所代表的准确值在1.595到1.605之间，即小于1.605而大于或等于1.595． 由此可见，1.60比1.6的精确度高，故必须注意：近似数末尾的“0”不能随便去掉！ 例1 下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？有几个有效数字？

(1)10亿； (2)2.4万； (3)1.060×105．

解

(1)精确到亿位，有两个有效数字1，0；

(2)精确到千位，有两个有效数字2，4；

(3)精确到百位，有四个有效数字1，0，6，0．

说明 有些同学认为，(1)精确到个位；(2)精确到十分位；(3)精确到千分位，其实错了．在

(1)中，它是四舍五入到亿位(这里的0是亿位，而不是个位)；在(2)中，它是四舍五入到千位(这里的4是千位而不是十分位)；在(3)中，它四舍五入到百位(这里的0是百位而不是千分位)．此外，对于用科学记数法表示的数a×10n (1≤|a|＜10，n 是正整数)，有效数字由a 的有效数字确定，精确度要将它化为原数来确定．如1.060×105=106000，易知它精确到百位． 例2 用四舍五入法，按下列要求对原数按括号中的要求取近似值：

(1)37024(精确到千位)；(2)3045(保留两个有效数字)．

解

(1)37024=3.7024×104≈3.7×104；

(2)3045=3.045×103≈3.0×103．