高等代数课程教学大纲

《高等代数》课程教学大纲

适用专业数学与应用数学（师范）、数学与应用数学

总学时 168

学分 10

一、编写说明

（一）本课程的性质、地位和作用

高等代数是数学与应用数学专业（师范）、数学与应用数学专业的一门重要的专业基础课，其主要内容有多项式理论与线性代数两部分。本课程的教学目的是使学生初步掌握基本的、系统的代数知识和抽象的严格的代数方法，为后继课程如近世代数、常微分方程、概率论与数理统计、泛函分析、计算方法等提供必须具备的代数知识，也为进一步学习数学与应用数学专业的各门课程所需要的抽象思维能力提供一定的训练。高等代数课程是中学代数的继续和提高。通过本课程的教学，要使学生加深对中学代数的理解。

本课程在教学中要求学生确切理解高等代数中的基本概念，不仅要正确掌握这些概念的内涵，还要了解这些概念的实际背景。对于一些基本的重要概念，还要求了解它们产生与发展的过程及概念推广的原则；与中学代数有直接联系或者平行的概念，要求学生能与中学数学中相应概念加以比较，以确立较高的观点。对于高等代数中的基本理论，要求学生掌握基本理论的结果，对于典型定理还要求掌握论证方法或思想，同时要求学生能了解严谨的理论体系，体会建立这种体系的抽象的代数方法。通过本课程的教学，要求学生能显著地提高应用基本概念、基本理论作抽象论证的能力；较好地掌握基本的论证方法与基本的计算方法，特别要掌握基本的线性代数计算法。

（二）本大纲制订的依据

根据本专业人才的培养目标所需要的基本理论和基本技能的要求，根据本课程的教学性质、条件和教学实践而制定。

（三）大纲内容选编原则与要求

1．本大纲所列各单元讲授顺序与北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编《高等代数》（高等教育出版社第二版）所列基本相同，讲授时可根据具体情况作适当调整。

2．为了避免教学上的难点过于集中，有些定理的掌握可以侧重于定理的结果和证明定理的方法，以达到掌握基本的代数方法的目的。

3．每一章的重点内容要重点讲解，在讲清概念的基础上，通过适当的练习（习题课、作业、问题探讨）以达到掌握高等代数中常用的计算方法、基本运算中的技能和技巧以及提高综合计算和解决问题的能力的目的。难点要逐步引人，分散讲解。

4．本大纲列入部分带“ ”的内容，供选用，不计算入总课时。

（四）实践环节

1. 本课程的实践环节主要分为习题课、问题探讨（讨论）、课后辅导、课后作业等四个部分，问题讨论可在辅导课或课后完成。

2. 本课程教学时数为168学时，其中课堂讲授约119学时，习题课49学时。

（六）考核方法与要求

1.平时成绩：包括期中考试成绩，出勤、作业成绩、课堂提问、问题探讨（讨论）等。平时成绩占30％。

2.试卷成绩：期终考试成绩，占70％。

3.综合考核成绩：（平时成绩）⨯30％＋（期终考试成绩）⨯70％。

（七）教材与主要参考书

使用教材：《高等代数》第二版，北京大学数学系代数小组编，高等教育出版社，1988。

主要参考书：

1.《高等代数主要概念与定理详析》，陈利国主编，中国矿业大学出版社，1992。

2.《高等代数》第三版，张禾瑞、郝鈵新编，高等教育出版社，1983。

3.《高等代数方法选讲》，钱世华主编，广西师大出版社，1991。

二、教学内容纲要

第一章预备知识

一、教学基本要求

1.掌握集合的有关概念（子集、集合的相等、并集、交集、差集），会熟练进行集合的并、交、差运算，会证明集合的相等，掌握并与交的算律。

2.在中学知识的基础上，确切掌握映射与各种特殊映射的概念，能较熟练地运用这些概念进行论证。

3.掌握第一、第二数学归纳法的意义与论证方法。

4.理解“双重和”的意义，了解其写法与性质，并能进行运算。

二、教学内容

第一节集合

1.集合的概念

2.子集、集合的相等

3.并集、交集、差集

4.集合运算的基本算律

第二节数学归纳法

1.最小数原理

2.第一数学归纳法

3.第二数学归纳法

第三节映射

1.映射的概念

2.△满射、单射和双射

3.映射的合成，可逆映射和映射可逆的充要条件

第四节连加号 （着重双重和）

第二章一元多项式

一、教学基本要求

1.理解数域的概念，掌握数域最基本的性质。

2．理解数域上文字x的多项式的概念；理解多项式的次数、整除、最大公因式、互素、不可约多项式、重因式等重要概念，了解这些概念和系数域的扩大与缩小的关系。

3.熟练掌握“整除性”，互素与不可约多项式的基本性质；理解带余除法的实质，掌握用带余除法求商式和余式；会求两个多项式的最大公因式并掌握把最大公因式表示成这两个多项式的组合的方法；会用微商判断多项式有、无重因式；能把多项式的有关概念，性质与整数的有关概念、性质进行比较。

4.理解数域P上多项式分解唯一性定理的内容、意义及这一定理在多项式理论中的重要地位。掌握多项式在复数域和实数域上的标准分解式，掌握多项式的根与系数的关系。

5.理解多项式的函数观点，明确多项式的根、因式与可约性之间的关系，特别要掌握余数定理和因式定理。

6.理解本原多项式的概念及多项式在有理数域Q上的可约性问题，掌握Eisenstein判别法和求整系数多项式有利根的求法。

二、教学内容

第一节数域

1.数域

2.有理数域是最小的数域

第二节一元多项式

1.△多项式的有关概念

2.多项式的运算与算律

3.多项式和与积的次数

第三节多项式的整除性