【中考数学】尺规作图
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作图原理
原理：线段垂直平分线 上点到线段两端点的 距离相等
9
已知底边及底边上的高 线作等腰三角形
过三角形的一个顶点作 直线平分三角形面积
作圆的内接正方形
4.过一点作已知直线的垂线
作图要求
作图
已知一直角边和斜边作 直角三角形
过直线外一点作与直线 相切的圆
原理：等腰三角形底边 上的高线上的点到底 边两端点的距离相等
连接 AN、BN、PA、 PB 1.PA=PB 2.AN=BN 3.PN⊥ AB
4.过点 P、N 作直线，直线 PN 即
为所求垂线
7
6.如图，在△ABC 中，请用尺规作图法在 BC 边上求作一点 D，使得△ABD 是 直角三角形.（保留作图痕迹，不写作法）
第 6 题图 解：如解图，点 D 即为所求. 【作法提示】①在 BC 的下方取一点 M；②以点 A 为圆心，AM 长为半径画弧， 交 BC 于 E、F 两点；③分别以点 E、F 为圆心，大于 1 EF 长为半径画弧，交点
.
5
第 4 题图
6【解析】根据题意可知 MN 是线段 AB 的垂直平分线 ∴AD=BD,AE= 1 AB, 2
∵△ADC 的周长为 12，∴AC+AD+CD=12, ∵△ABC 的周长为 24，∴AC+CD+BD+AB=24， ∴AC+CD+AD+AB=24， ∴AB=24-12=12， ∴AE=6. 5.如图，在△ABC 中，AB = 4cm，AC = 6cm. （1）利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写 作法）. ①作 BC 边的垂直平分线分别交 AC、BC 于点 D、E； ②连接 BD； （2）试猜想线段 AC、BD、AD 之间有怎样的数量关系，并说明理由.
2 M 同侧于点 N；④连接 AN，与 BC 交于点 D，则点 D 即为所求.
第 6 题解图 专家秘招赶紧看 wk.baidu.com考的作图梳理及作图原理： 1.作一条线段等于已知线段
作图要求
作图
已知三边 作三角形
作图原理
作圆的内 接正六边
形
原 理 ：圆 内 接 正 六 边 形 的 边 长 等 于 半径
8
2.作一个角等于已知角 作图要求
解：（1）作图如解图;
第 5 题图
第 5 题解图
6
【作法提示】分别以点 B、C 为圆心，以大于 1 BC 长为半径，在 BC 两侧作弧 2
交于 M、N 点，连接 MN，分别交 AC、BC 于点 D、E，直线 DE 即为所求.连 接 BD. （2）AC=AD+BD.理由如下： ∵DE 是 BC 边的垂直平分线，∴BD=DC， 又∵AC=AD+DC,∴AC=AD+BD.
AF BF AF 2 ∴AE =AF - EF =2. 类型四 作一条线段的垂直平分线
图示
作法步骤
性质
1.分别以点 A、B 为圆心，以大于 连接 AM、BM、AN、BN
1 AB 长为半径，在 AB 两侧作弧， 2
1.四边形 ANBM 是菱形
分别交于点 M、N； 2.过点 M、N 作直线 MN 交 AB 于 点 O，MN 即为所求线段的垂直平 分线
3.以 O′ 为圆心，OP 长为半α径作弧，
交 OA 于点 M；
OP = OQ = O¢M = O¢N
4.以点 M 为圆心，PQ 长为半径作弧，
交步骤 3 所作的弧于点 N；
5.过点 N 作射线 O′B ，∠ AOB 即为所
求角
2
2. “经过已知角一边上的一点，作一个角等于已知角”的尺规作图过程如下： 已知：如图①，∠AOB 和 OA 上一点 C.
类型五 过一点作已知直线的垂线
类型 图示
作法步骤
性质
点P 在直 线上
1.以点 P 为圆心，任意长为半径
向点 P 两侧的直线上作弧，交直 线 l 于 A、B 两点； 2.分别以点 A、B 为圆心，以大于 1 AB 长为半径向直线两侧作弧， 2 两弧分别交于 M、N 两点； 3.过点 M、N 作直线，直线 MN
4.点 M、N 关于直线
3.作射线 OP，OP 即为所求角平分线 OP 对称
5.△MOP≌△NOP
3.如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D. （1）作∠BAC 的平分线 AF 分别交 BD、BC 于点 E、G，交⊙O 于点 F；（保留 作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若 EG=FG=1，求 AE 的长.
第 2 题图
求作：一个角等于∠AOB，使它的顶点为 C，一边为 CA. 作法：如图②， （1）在 OA 上取一点 D（OD<OC），以点 O 为圆心，OD 长为半径画弧， 交 OB 于点 E； （2）以点 C 为圆心，OD 长为半径画弧，交 CA 于点 F，以点 F 为圆心，DE 长为半径画弧，两弧交于点 G； （3）作射线 CG. 则∠GCA 就是所求作的角. 此作图的依据中不含有（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 两直线平行同位角相等 D. 两点确定一条直线 C【解析】由作图可知，本题通过作 CF=OD,CG=OE,FG=DE 得到△CFG≌△ODE （SSS），从而得到∠GCF=∠AOB,而确定射线 CG 是运用两点确定一条直线为 依据，故不含有的依据是 C.
连接 AM、BM、AN、 BN 1.AP=BP 2.MN 垂直平分 AB 3.四边形 ANBM 是 菱形
即为所求垂线
点P 在直 线外
1.任意取一点 M，使点 M 和点 P
在直线 l 的两侧；
2.以点 P 为圆心，PM 长为半径画 弧，交直线 l 于 A、B 两点； 3.分别以点 A、B 为圆心，以大于 1 AB 长为半径画弧，在 M 同侧交 2 于点 N；
第 1 题解图 【作法提示】首先画射线 BM，再在 BM 上依次截取 BD=DC=a，然后以 B 为顶 点，b 长为半径画弧，再以 D 为顶点，m 长为半径画弧，两弧交点就是 A 点位置， 再连接 AB、AC 即可. 类型二 作一个角等于已知角
图示
作法步骤
性质
1.在∠α上以 O 为圆心，任意长为半
径作弧，分别交∠α的两边于点 P、Q； 2.作射线 O¢A ；
尺规作图全搞定 尺规作图是全国中考的高频考点，看似简单，但考法新颖多变，不仅要掌握基本 的尺规作图的方法，还要灵活运用几何图形的性质.
“七嘴八舌说”考情 陕 西 ： 我们的考查题型均为解答题，题目不会明确说明作图方式，需要将题目 信息转化一次，得出要作的基本图形．考查形式主要有：①过一点作一条直线平 分三角形面积；②找一点到两直线距离相等；③过一点作一条直线分三角形为两 个相似三角形；④在正方形中作已知三角形的相似三角形.考查内容有：①过一 点作已知直线的垂线；②作一个角等于已知角；③作线段的垂直平分线；④作角 平分线. 河北：尺规作图为近 8 年的必考点,考查方式有:①根据尺规作图及要求,判断作 图顺序;②根据尺规作图,判断所给结论正确的是;③根据尺规作图痕迹补全已知 和求证;④求符合要求的作图痕迹;⑤根据尺规作图判断两个人的作法正确的是; ⑥判断作图痕迹表示的作法;⑦按题目要求作图形,题型以选择题为主.考查内容 有:①作角的平分线;②作线段的垂直平分线;③作平行四边形、矩形、正方形; ④作平行线. 山西：我们 8 年 4 考，18 年在填空题中考查，给出作图步骤求线段长，15 年之 前在解答题中考查，第（1）问主要间接考查五种基本尺规作图，第（2）问主要 考查其相关证明与计算. 安徽：我们在 18 年第 1 次考查，且与圆的相关证明及计算结合考查角平分线的 作法. 河 南 ： 我们在选择题和填空题中考查，题目会给出作图的过程，通过判断做的 是什么，再根据其性质进行相关计算.涉及的作图内容有： ①作已知角的平分 线；②作线段的垂直平分线. 云南：我们曲靖还会根据尺规作图的过程判断相关结论的正确性；昆明 18 年与 反比例函数结合考查求 k 值.
原理：根据同底等高的 三角形面积相等，找该 顶点的对边中点即可，
作三角形中线平分三 角形面积
原理：正方形的对角线 互相垂直平分且相等
作图原理
原理：圆的切线垂直于 过切点的半径
10
5.作一个角的平分线
作图要求 作一点使 得该点到 角两边的 距离相等
作图
作三角形 的内切圆
作图原理 原理：到角的两边距离相等的点在角的
第 3 题图
解：（1）如解图所示，射线 AF 即为所求； 【作法提示】以点 A 为圆心，适当长度为半径画弧，交边 AB、AC 于两点；分 别以这两点为圆心,适当长度为半径画弧，两弧交于点 M；连接 AM 并延长交⊙ O 于点 F，射线 AF 即为所求.
4
第 3 题解图 （2）∵∠BEF 是△ABE 的外角，AG、BD 分别是∠BAC、∠ABC 的平分线， ∴∠BEF =∠BAF +∠ABE =∠CAF +∠CBD =∠CBF +∠CBD =∠EBF ∴BF =EF =EG +FG =2， 又∵∠FBG =∠FAB，∠BFG=∠AFB， ∴△BGF∽△ABF. ∴ BF = GF ,即 2 = 1 ,解得 AF =4.
3
类型三 作一个角的平分线
图示
作法步骤
性质
连接 MP、NP、MN
1.以 O 为圆心，适当长为半径作弧， 1.OM=ON
分别交 OA，OB 于点 N、M;
2.∠MOP=
2.分别以点 M、N 为圆心，以大于 1 MN ∠NOP
2
3.△MON 为等腰三
长为半径作弧，两弧在∠AOB 的内部 角形
相交于点 P；
2.OA=OB 3.MN⊥ AB 4.MN 平分 ∠AMB、∠ANB
4.如图，在△ABC 中，∠C=90°,分别以点 A、B 为圆心，大于 1 AB 长为半径 2
作弧，两弧相交于点 M、N，作直线 MN，交 BC 于点 D，交 AB 于点 E，连接
AD，若△ABC 的周长为 24，△ADC 的周长为 12，则线段 AE 的长等于
过直线外一点作直线 与已知直线平行
已知两边及其夹角作 三角形
已知两角及其夹边作 三角形
作图
作图原理
原理：同位角相 等，两直线平行
过三角形一边上一点 作直线将其分成两个
相似三角形
3.作一条线段的垂直平分线
作图要求
作图
已知不重合两点 A、B， 作一点 C 到 A、B 两点的
距离
原 理 ：两 角 对 应 相 等的两三角形相 似
平分线上
原理：圆心为三角形两角角平分线的交 点，半径为圆心到任意一边上的距离
11
说来说去还得练 类型一 作一条线段等于已知线段
图示
作法步骤
1
1.作射线 OP； 2.在 OP 上截取 OA=a，OA 即为 所求线段 1.已知线段 a，b 和 m，求作三角形 ABC，使 BC=2a，AB=b，BC 边上的中线 AD=m．（尺规作图，保留痕迹）
第 1 题图 解：如解图所示，△ABC 即为所求；
原理：线段垂直平分线 上点到线段两端点的 距离相等
9
已知底边及底边上的高 线作等腰三角形
过三角形的一个顶点作 直线平分三角形面积
作圆的内接正方形
4.过一点作已知直线的垂线
作图要求
作图
已知一直角边和斜边作 直角三角形
过直线外一点作与直线 相切的圆
原理：等腰三角形底边 上的高线上的点到底 边两端点的距离相等
连接 AN、BN、PA、 PB 1.PA=PB 2.AN=BN 3.PN⊥ AB
4.过点 P、N 作直线，直线 PN 即
为所求垂线
7
6.如图，在△ABC 中，请用尺规作图法在 BC 边上求作一点 D，使得△ABD 是 直角三角形.（保留作图痕迹，不写作法）
第 6 题图 解：如解图，点 D 即为所求. 【作法提示】①在 BC 的下方取一点 M；②以点 A 为圆心，AM 长为半径画弧， 交 BC 于 E、F 两点；③分别以点 E、F 为圆心，大于 1 EF 长为半径画弧，交点
.
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第 4 题图
6【解析】根据题意可知 MN 是线段 AB 的垂直平分线 ∴AD=BD,AE= 1 AB, 2
∵△ADC 的周长为 12，∴AC+AD+CD=12, ∵△ABC 的周长为 24，∴AC+CD+BD+AB=24， ∴AC+CD+AD+AB=24， ∴AB=24-12=12， ∴AE=6. 5.如图，在△ABC 中，AB = 4cm，AC = 6cm. （1）利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写 作法）. ①作 BC 边的垂直平分线分别交 AC、BC 于点 D、E； ②连接 BD； （2）试猜想线段 AC、BD、AD 之间有怎样的数量关系，并说明理由.
2 M 同侧于点 N；④连接 AN，与 BC 交于点 D，则点 D 即为所求.
第 6 题解图 专家秘招赶紧看 wk.baidu.com考的作图梳理及作图原理： 1.作一条线段等于已知线段
作图要求
作图
已知三边 作三角形
作图原理
作圆的内 接正六边
形
原 理 ：圆 内 接 正 六 边 形 的 边 长 等 于 半径
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2.作一个角等于已知角 作图要求
解：（1）作图如解图;
第 5 题图
第 5 题解图
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【作法提示】分别以点 B、C 为圆心，以大于 1 BC 长为半径，在 BC 两侧作弧 2
交于 M、N 点，连接 MN，分别交 AC、BC 于点 D、E，直线 DE 即为所求.连 接 BD. （2）AC=AD+BD.理由如下： ∵DE 是 BC 边的垂直平分线，∴BD=DC， 又∵AC=AD+DC,∴AC=AD+BD.
AF BF AF 2 ∴AE =AF - EF =2. 类型四 作一条线段的垂直平分线
图示
作法步骤
性质
1.分别以点 A、B 为圆心，以大于 连接 AM、BM、AN、BN
1 AB 长为半径，在 AB 两侧作弧， 2
1.四边形 ANBM 是菱形
分别交于点 M、N； 2.过点 M、N 作直线 MN 交 AB 于 点 O，MN 即为所求线段的垂直平 分线
3.以 O′ 为圆心，OP 长为半α径作弧，
交 OA 于点 M；
OP = OQ = O¢M = O¢N
4.以点 M 为圆心，PQ 长为半径作弧，
交步骤 3 所作的弧于点 N；
5.过点 N 作射线 O′B ，∠ AOB 即为所
求角
2
2. “经过已知角一边上的一点，作一个角等于已知角”的尺规作图过程如下： 已知：如图①，∠AOB 和 OA 上一点 C.
类型五 过一点作已知直线的垂线
类型 图示
作法步骤
性质
点P 在直 线上
1.以点 P 为圆心，任意长为半径
向点 P 两侧的直线上作弧，交直 线 l 于 A、B 两点； 2.分别以点 A、B 为圆心，以大于 1 AB 长为半径向直线两侧作弧， 2 两弧分别交于 M、N 两点； 3.过点 M、N 作直线，直线 MN
4.点 M、N 关于直线
3.作射线 OP，OP 即为所求角平分线 OP 对称
5.△MOP≌△NOP
3.如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D. （1）作∠BAC 的平分线 AF 分别交 BD、BC 于点 E、G，交⊙O 于点 F；（保留 作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若 EG=FG=1，求 AE 的长.
第 2 题图
求作：一个角等于∠AOB，使它的顶点为 C，一边为 CA. 作法：如图②， （1）在 OA 上取一点 D（OD<OC），以点 O 为圆心，OD 长为半径画弧， 交 OB 于点 E； （2）以点 C 为圆心，OD 长为半径画弧，交 CA 于点 F，以点 F 为圆心，DE 长为半径画弧，两弧交于点 G； （3）作射线 CG. 则∠GCA 就是所求作的角. 此作图的依据中不含有（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 两直线平行同位角相等 D. 两点确定一条直线 C【解析】由作图可知，本题通过作 CF=OD,CG=OE,FG=DE 得到△CFG≌△ODE （SSS），从而得到∠GCF=∠AOB,而确定射线 CG 是运用两点确定一条直线为 依据，故不含有的依据是 C.
连接 AM、BM、AN、 BN 1.AP=BP 2.MN 垂直平分 AB 3.四边形 ANBM 是 菱形
即为所求垂线
点P 在直 线外
1.任意取一点 M，使点 M 和点 P
在直线 l 的两侧；
2.以点 P 为圆心，PM 长为半径画 弧，交直线 l 于 A、B 两点； 3.分别以点 A、B 为圆心，以大于 1 AB 长为半径画弧，在 M 同侧交 2 于点 N；
第 1 题解图 【作法提示】首先画射线 BM，再在 BM 上依次截取 BD=DC=a，然后以 B 为顶 点，b 长为半径画弧，再以 D 为顶点，m 长为半径画弧，两弧交点就是 A 点位置， 再连接 AB、AC 即可. 类型二 作一个角等于已知角
图示
作法步骤
性质
1.在∠α上以 O 为圆心，任意长为半
径作弧，分别交∠α的两边于点 P、Q； 2.作射线 O¢A ；
尺规作图全搞定 尺规作图是全国中考的高频考点，看似简单，但考法新颖多变，不仅要掌握基本 的尺规作图的方法，还要灵活运用几何图形的性质.
“七嘴八舌说”考情 陕 西 ： 我们的考查题型均为解答题，题目不会明确说明作图方式，需要将题目 信息转化一次，得出要作的基本图形．考查形式主要有：①过一点作一条直线平 分三角形面积；②找一点到两直线距离相等；③过一点作一条直线分三角形为两 个相似三角形；④在正方形中作已知三角形的相似三角形.考查内容有：①过一 点作已知直线的垂线；②作一个角等于已知角；③作线段的垂直平分线；④作角 平分线. 河北：尺规作图为近 8 年的必考点,考查方式有:①根据尺规作图及要求,判断作 图顺序;②根据尺规作图,判断所给结论正确的是;③根据尺规作图痕迹补全已知 和求证;④求符合要求的作图痕迹;⑤根据尺规作图判断两个人的作法正确的是; ⑥判断作图痕迹表示的作法;⑦按题目要求作图形,题型以选择题为主.考查内容 有:①作角的平分线;②作线段的垂直平分线;③作平行四边形、矩形、正方形; ④作平行线. 山西：我们 8 年 4 考，18 年在填空题中考查，给出作图步骤求线段长，15 年之 前在解答题中考查，第（1）问主要间接考查五种基本尺规作图，第（2）问主要 考查其相关证明与计算. 安徽：我们在 18 年第 1 次考查，且与圆的相关证明及计算结合考查角平分线的 作法. 河 南 ： 我们在选择题和填空题中考查，题目会给出作图的过程，通过判断做的 是什么，再根据其性质进行相关计算.涉及的作图内容有： ①作已知角的平分 线；②作线段的垂直平分线. 云南：我们曲靖还会根据尺规作图的过程判断相关结论的正确性；昆明 18 年与 反比例函数结合考查求 k 值.
原理：根据同底等高的 三角形面积相等，找该 顶点的对边中点即可，
作三角形中线平分三 角形面积
原理：正方形的对角线 互相垂直平分且相等
作图原理
原理：圆的切线垂直于 过切点的半径
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5.作一个角的平分线
作图要求 作一点使 得该点到 角两边的 距离相等
作图
作三角形 的内切圆
作图原理 原理：到角的两边距离相等的点在角的
第 3 题图
解：（1）如解图所示，射线 AF 即为所求； 【作法提示】以点 A 为圆心，适当长度为半径画弧，交边 AB、AC 于两点；分 别以这两点为圆心,适当长度为半径画弧，两弧交于点 M；连接 AM 并延长交⊙ O 于点 F，射线 AF 即为所求.
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第 3 题解图 （2）∵∠BEF 是△ABE 的外角，AG、BD 分别是∠BAC、∠ABC 的平分线， ∴∠BEF =∠BAF +∠ABE =∠CAF +∠CBD =∠CBF +∠CBD =∠EBF ∴BF =EF =EG +FG =2， 又∵∠FBG =∠FAB，∠BFG=∠AFB， ∴△BGF∽△ABF. ∴ BF = GF ,即 2 = 1 ,解得 AF =4.
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类型三 作一个角的平分线
图示
作法步骤
性质
连接 MP、NP、MN
1.以 O 为圆心，适当长为半径作弧， 1.OM=ON
分别交 OA，OB 于点 N、M;
2.∠MOP=
2.分别以点 M、N 为圆心，以大于 1 MN ∠NOP
2
3.△MON 为等腰三
长为半径作弧，两弧在∠AOB 的内部 角形
相交于点 P；
2.OA=OB 3.MN⊥ AB 4.MN 平分 ∠AMB、∠ANB
4.如图，在△ABC 中，∠C=90°,分别以点 A、B 为圆心，大于 1 AB 长为半径 2
作弧，两弧相交于点 M、N，作直线 MN，交 BC 于点 D，交 AB 于点 E，连接
AD，若△ABC 的周长为 24，△ADC 的周长为 12，则线段 AE 的长等于
过直线外一点作直线 与已知直线平行
已知两边及其夹角作 三角形
已知两角及其夹边作 三角形
作图
作图原理
原理：同位角相 等，两直线平行
过三角形一边上一点 作直线将其分成两个
相似三角形
3.作一条线段的垂直平分线
作图要求
作图
已知不重合两点 A、B， 作一点 C 到 A、B 两点的
距离
原 理 ：两 角 对 应 相 等的两三角形相 似
平分线上
原理：圆心为三角形两角角平分线的交 点，半径为圆心到任意一边上的距离
11
说来说去还得练 类型一 作一条线段等于已知线段
图示
作法步骤
1
1.作射线 OP； 2.在 OP 上截取 OA=a，OA 即为 所求线段 1.已知线段 a，b 和 m，求作三角形 ABC，使 BC=2a，AB=b，BC 边上的中线 AD=m．（尺规作图，保留痕迹）
第 1 题图 解：如解图所示，△ABC 即为所求；