量子力学导论(第二版)曾谨言+北京大学出版社+课后答案

nx , ny , nz = 1, 2,3,
1.3 设质量为 m 的粒子在谐振子势V (x) = 1 mω 2 x 2 中运动，用量子化条件求粒子能量 E 的可能取值。 2
∫ 提示：利用 p ⋅ dx = nh, n = 1, 2, , p = 2m[E − V (x)]
V (x)
解：能量为 E 的粒子在谐振子势中的活动范围为
2
2
a
1.4 设一个平面转子的转动惯量为 I，求能量的可能取值。
∫ 提示：利用
2π 0
pϕ dϕ
= nh,
n = 1, 2,
, pϕ 是平面转子的角动量。转子的能量 E = pϕ2 / 2I 。
解：平面转子的转角（角位移）记为ϕ 。
.
它的角动量 pϕ = I ϕ （广义动量）， pϕ 是运动惯量。按量子化条件
a 2 − x 2 dx
−a
2
−a
= 2mωa 2 ⋅ π = mωπ a 2 = nh 2
得 a 2 = nh = 2 n mωπ mω
（3）
代入（2），解出 En = n ω,
n = 1, 2,3,
（4）
∫ 积分公式：
a 2 − u 2 du = u a 2 − u 2 + a 2 arcsin u + c
−i
∂ψ ∂t
*
=
−
2
2m
∇ 2ψ
*
+
(V1
− iV2 )ψ
*
（2）
ψ * × （1）-ψ × （2）,得
( ) ( ) i
∂ ψ *ψ ∂t
2
= − ψ *∇ 2ψ −ψ∇2ψ * 2m
+ 2iψ *V2ψ
( ) 2
= − ∇ ⋅ ψ *∇ψ 2m
−ψ∇ψ *
+ 2iV2ψ *ψ
( ) ( ) ( ) ∴ ∂ ψ *ψ = − ∇ ⋅ ψ *∇ψ −ψ∇ψ * + 2V2 ψ *ψ
1
+∞
ϕ(x,0)e−ipx dx =
1
+∞
δ (x)e−ipx dx =
1
，
2π −∞
2π −∞
2π
∴
∫ ψ (x,t) =
1
+∞
( ) ϕ p ei( px−Et)/ dp
2π −∞
（ E = p2 2m ）
=1 2π
∫ e dp +∞
−
i
⎜⎛ ⎜ ⎝
p2 2m
t
−
px
⎟⎞ ⎟ ⎠
−∞
（指数配方）
最大值出现在 mx t = k0 处，即 x = k0t m 处，这表明波包中心处波群的主要成分为 k0 。
第三章 一维定态问题
3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，
V
(
x,
y)
=
⎧ 0, ⎨⎩∞,
0 < x < a,0 < y < b
其余区域
求粒子的能量本征值和本征波函数。如 a = b ，能级的简并度如何？
∫ = − 2m
d 3r
∇
⋅
ψ
2
∇ψ
* 1
−ψ 1*∇ψ
2
− (∇ψ 2 )⋅
∇ψ
* 1
+
∇ψ
* 1
⋅ (∇ψ 2 )
∫ [ ( )] 2
=− 2m
d 3r
∇
⋅
ψ
2∇ψ
* 1
−ψ 1*∇ψ
2
∫ ( ) 2
=− 2m
ψ
2
∇ψ
* 1
−ψ 1*∇ψ
2
⋅ dS
= 0 ，（无穷远边界面上，ψ 1,ψ 2
→0）
2π −∞
∫ =
1
( ) eimx2 / 2 t
+∞ dkϕ k
⎡ ⋅ exp⎢− i
t
⎜⎛ k −
mx
⎟⎞
2
⎤ ⎥
2π
−∞
⎢⎣ 2m ⎝ t ⎠ ⎥⎦
（1）
当时间足够长后（所谓 t → ∞ ） ，上式被积函数中的指数函数具有 δ 函数的性质，取
α = t 2m ，
u = ⎜⎛ k − mx ⎟⎞ ， ⎝ t⎠
2
ω = ∇ψ *ψ +ψ *Vψ 2m
（能量密度）
（b）证明能量守恒公式 ∂ω + ∇ ⋅ s = 0 ∂t
s
=
−
2
2m
⎜⎜⎝⎛
∂ψ * ∂t
∇ψ
+
∂ψ ∂t
∇ψ
*
⎟⎟⎠⎞
（能流密度）
证：（a）粒子的能量平 值为（设ψ 已归一化）
似水骄阳
2
∫ E =
ψ
* ⎜⎜⎝⎛ −
2
2m
∇2
+V
⎟⎟⎠⎞ψ
d
3r
=
T
+V
∫ V = d 3rψ *Vψ
（势能平均值）
∫ T =
d
3rψ
*
⎜⎜⎝⎛
−
2
2m
∇2
⎟⎟⎠⎞ψ
(动能平均值)
=
−
2
2m
∫
d
3
r
[∇
⋅
(ψ
*∇ψ
)
−
(∇ψ
*
)⋅
(∇ψ
)]
（1） （2）
其中 T 的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为 0 。因此
2
∫ T =
d 3r∇ψ * ⋅ ∇ψ
ψ *∇ψ −ψ∇ψ *
⋅ dS + 2
τ
d 3rV2ψ *ψ
∫∫ 上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积τ 的几率（ = − j ⋅ dS ） ，而第二项代表体积τ 中“产
生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。
2.3 设ψ 1 和ψ 2 是 Schrödinger 方程的两个解，证明
（4）
物理意义：在足够长时间后，各不同 k 值的分波已经互相分离，波群在 x 处的主要成分为 k = mx t ，即
x = kt m ，强度 ∝ ϕ(k ) 2 ，因子 m t 描述整个波包的扩散，波包强度 ψ 2 ∝ 1 t 。
设整个波包中最强的动量成分为 k0 ，即 k = k0 时 ϕ(k ) 2 最大，由（4）式可见，当 t 足够大以后， ϕ 2 的
即
( ) ( ) ∫d
dt
d
3
rψ
* 1
r,.t ψ 2
r,t
= 0。
( ) 2.4 设一维自由粒子的初态ψ x,0 = eip0x / ， 求ψ (x, t ) 。
解：
( ) ψ x, t = ei⎜⎜⎝⎛
p0 x−
p02 t 2m
⎟⎟⎠⎞
/
2.5 设一维自由粒子的初态ψ (x,0) = δ (x) ，求 ψ (x,t) 2 。
同理可得，
∴ px = nxh / 2a , p y = ny h / 2b , pz = nz h / 2c ,
nx , ny , nz = 1, 2,3,
粒子能量
Enxnynz
=
1 2m
(
p
2 x
+
p
2 y
+
p
2 z
)
=
π2 2 2m
⎜⎛
n
2 x
⎜⎝ a 2
+
n
2 y
b2
+
n
2 z
c2
⎟⎞ ⎟⎠
,
t
)
+
[V1
(r
)
+
iV2
(r
)]ψ
(r
,
t
)
（1）
V1 与V2 为实函数。
似水骄阳
3
（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。
（b）证明粒子在空间体积τ 内的几率随时间的变化为
( ) d
dt
∫∫∫ τ
d
3
rψ
*ψ
=
−
2im
∫∫
S
ψ
*∇ψ
−ψ∇ψ *
⋅ dS + 2V2
∫∫∫d 3rψ *ψ τ
证：（a）式（1）取复共轭， 得
解：能量的本征值和本征函数为
( + ) E = nxny
2π 2 2m
2π
t
=
m 2π
t
exp⎢⎣⎡i⎜⎜⎝⎛
mx 2 2t
−
π 4
⎟⎟⎠⎞⎥⎦⎤
ψ (x,t) 2 = m 。
2π t
2.6 设一维自由粒子的初态为ψ (x,0) ，证明在足够长时间后，
ψ (x,t) =
m exp[− iπ
t
4]⋅
exp⎢⎣⎡
imx 2 2t
⎤ ⎥⎦
⋅
ϕ
⎜⎛ ⎝
mx t
⎟⎞ ⎠
∫ 式中 ϕ(k ) =
1
+∞
ψ (x,0)e−ikx dx 是ψ (x,0) 的 Fourier 变换。
2π −∞
提示：利用
( ) lim α e iπ / 4 −iαx2 = δ x 。
α →∞ π
证：根据平面波的时间变化规律
eikx → ei(kx−ωt ) ，
ω = E = k 2 2m ，
任意时刻的波函数为
∫ ( ) ( ) ψ x, t = 1 +∞ϕ k ei(kx− tk2 / 2m)dk
( ) ( ) +∞
+∞
∫ ∫ 提示：利用积分公式 cos ξ 2 dξ = sin ξ 2 dξ = π 2
−∞
−∞
或
[ ] +∞
∫ exp iξ 2 dξ = π exp[iπ 4]。
−∞
∫ 解：作 Fourier 变换： ψ (x,0) =
1
+∞
ϕ( p)eipx dp ，
2π −∞
∫ ∫ ϕ(p) =
第一章 量子力学的诞生
1.1 设质量为 m 的粒子在一维无限深势阱中运动，
V
(
x)
=
⎧∞, ⎩⎨0,
x < 0, x > a 0< x<a
试用 de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。
解：据驻波条件，有 a = n ⋅ λ 2
(n = 1, 2,3, )
∴λ = 2a / n
又据 de Broglie 关系 p = h / λ
（3）
4
ψ
2
× （3）
−
ψ
* 1
×
（2）,得
对全空间积分：
( ) ( ) − i
∂ ∂t
ψ 1*ψ 2
2
=
−
2m
ψ
2
∇
2ψ
* 1
−ψ 1*∇ 2ψ
2
∫ ∫ [ ] − i
d dt
2
d
3 rψ
* 1
(r
,
t
)ψ
2
(r
,
t
)
=
−
2m
d
3r
ψ
2∇
2ψ
* 1
−ψ 1*∇ 2ψ
2
[ ( ) ( ) ( ) ] 2
∂t
2im
（3）
即
∂ρ + ∇ ⋅ j = 2V2 ρ ≠ 0 ，
∂t
此即几率不守恒的微分表达式。
（b）式（3）对空间体积τ 积分，得
∂ ∂t
∫∫∫d 3r(ψ τ
*ψ
)=
−
2im
∫∫∫∇ τ
⋅ (ψ
*∇ψ
−ψ∇ψ
)* d
3r
+
2
∫∫∫d 3rV2 (ψ τ
*ψ
)
( ) ∫∫ ∫∫∫ = − 2im S
⎛ ⋅⎜
∂ψ
∗
∇ψ
+ ∂ψ
∇ψ
*
⎞ ⎟
−
⎛ ⎜
∂ψ
∗
∇2ψ
+ ∂ψ
∇2ψ
*
⎞⎤ ⎟⎥
+
∂ψ
∗ Vψ
+ψ *V
∂ψ
2m ⎢ ⎜ ∂t
∂t
⎟ ⎜ ∂t
∂t
⎟⎥ ∂t
∂t
⎣⎝
⎠⎝
⎠⎦
=
−∇ ⋅ s
+
∂ψ ∂t
∗
⎛ ⎜ ⎝
−
2
2m
∇2
+V
⎞⎟ψ ⎠
+
∂ψ ∂t
⎛ ⎜
−
⎝
2
2m
∇2
+V
⎞⎟ψ ⎠
*
=
−∇ ⋅ s
+
E
⎛ ⎜
∂ψ
∗ψ
+
∂ψ
ψ
*
⎞ ⎟
⎜ ⎝
∂t
∂t
⎟ ⎠
= −∇ ⋅ s + E ∂ ρ ∂t
（ ρ ：几率密度）
= −∇ ⋅ s
（定态波函数，几率密度 ρ 不随时间改变）
所以
∂ω + ∇ ⋅ s = 0 。
∂t
2.2 考虑单粒子的 Schrödinger 方程
i
∂ ∂t
ψ
(r
,
t
)
=
−
2
2m
∇
2ψ
(r
2m
（3）
结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度
2
ω = ∇ψ * ⋅∇ψ +ψ *Vψ , 2m
（4）
且能量平均值
∫ E = d 3r ⋅ω 。
（b）由（4）式，得
∂ω =
2
⎡ ⎢∇
∂ψ
∗⋅
∇ψ
+
∇ψ
*
⋅∇
∂ψ
⎤ ⎥
+
∂ψ
∗ Vψ
+ψ *V
∂ψ
∂t 2m ⎢ ∂t
∂t ⎥ ∂t
∂t
⎣
⎦
=
2
⎡ ⎢∇
2π
∫0
pϕ dϕ
=
2π
pϕ
=
mh,
m =1, 2,3,
∴ pϕ = mh ，
因而平面转子的能量 Em = pϕ2 / 2I = m2 2 / 2I ， m =1, 2,3,
第二章 波函数与 Schrödinger 方程
2.1 设质量为 m 的粒子在势 V (r ) 中运动。
∫ （a）证明粒子的能量平 值为 E = d 3r ⋅ω ，
∫ = 1
2π
e imx 2
2
t
+∞ ⎡ exp⎢−
it
−∞ ⎢⎣ 2m
⎜⎛
p
−
mx
⎟⎞ 2
⎤ ⎥dp
⎝ t ⎠ ⎥⎦
似水骄阳
5
令 ξ 2 = t ⎜⎛ p − mx ⎟⎞2 ，则 2m ⎝ t ⎠
( ) ∫ ψ x,t =
1
e ⋅ imx2 2 t
2m
+∞
e −iξ 2 dξ
2π
t −∞
= 1 ⋅ 2m e ⋅ imx2 2 t π e −iπ / 4
（1） （2）