3.1 外测度

(2)
由外测度的次可数可加性即得.
*
ri 2 i1 i1
再由ε 的任意性知 m E 0
思考： １. 设E是平面上的有理点全体，则E的外测度为0
Ii (ri1
,r 2i2 i1

) (ri 2 2i2

,r 2i2 i 2

2i2

),(ri1 , ri 2 ) Q Q, i 1,2,3,
第三章 测度论
第一节 外测度
一
y f ( x)
引 言
积分与分割、介点集的取法无关
几何意义（非负函数）： a 函数图象下方图形的面积。
1. Riemann积分回顾（分割定义域）
a x0
xi-1 xi b xn
n
( R) f ( x)dx lim f (i )xi
b a ||T || 0 i 1
f ( x)dx lim i m Ei
0
i 1
n
问题：如何把长度,面积,体积概念推广?
•达布上和与下和
上积分（外包）
达布上和的极限
n

b
a
f ( x)dx lim M i xi
||T || 0 i 1
xi-1 xi
( R) f ( x)dx lim f (i )xi
证明: (1)显然成立. (2):设{I i }i 1为任一列覆盖B的开区间, 由于A B, 则
A B
I
i 1

i
因而
m A | Ii |
i 1
对所有覆盖B的开区间列取下确界即得
m A inf{ | I i | : I i B} m B
i 1 i 1
2.平面上的x轴的外测度为0
I i (ri 1, ri 1) ( i 2 , i 2 )， r i Q， i 1,2,3, 2 2
2.
零测集的性质
定理: (1) 零测集的任意子集还是零测集； (2) 至多可数个零测集的并还是零测集. 证明: (1) 由外测度的单调性即得；
A Ii 且 | Ii | .
i 1 i 1
由外测度的定义, 存在一组开区间列{I i }i 1 , 使得
" " 由条件可知 0, 有 m A . 因而 m A 0
例 设E是[0,1]中的全体有理数，试证明E的外测度为0
证明：由于E为可数集，
m E inf{ } | I i | : E I i且I i为开区间
i 1 i 1


为E的Lebesgue外测度。
注1：因为R I i , 其中I i {( x1 , x2 ,, xn ) | i x j i, j 1,2,, n},
n i 1



由的ε任意性，即得
m ( An ) m* An
* n 1 n 1


注：一般证明都是 从大的一边开始， 因为外测度的定义 用的是下确界
注：外测度的次可数可加性的等号即使A，B不交也 可能不成立（反例要用不可测集），但有:
* m ( A B ) m ( A ) m ( B) 若d(A,B) >0,则
(3)：对任意的ε>0,由外测度的定义知，对每个An都有 一列开区间（即用一开区间{I n m}列近似替换An）
I n1 , I n 2 , I nm ,, 使得An I nm且m An | I nm | m An n m 1 2 m 1
* *
从而 An I nm
n 1 n 1 m1



且
n , m 1
| I

nm
| | I nm | (m * An
n 1 m 1 n 1




2

n
) m * An
n 1

可见m* ( An ) | I nm | m* An
n 1 n 1 m 1 n 1
1. 零测集的定义：外测度等于零的集合称为零测集.
命题： A是零测集 0, 开区间列{I i }i 1 , 使得 A Ii 且 | Ii | .
i 1 i 1
证明： " "
若A是零测集, 则m A 0, 于是 0, m A ,
b a ||T || 0 i 1
n
• Riemann积分
下积分（内填）
达布下和的极限

b
a
f ( x)dx lim mi xi
||T || 0 i 1
n
xi-1 xi
二．Lebesgue外测度
* n ( R { } R ) 设 E R 1. 定义： ，称非负广义实数
a () , () () .
2.Lebesgue外测度的性质
(1) m E 0, 当E为空集时, 则m E 0；
若A B，则m A m B; （2）单调性：
（3）次可数可加性
m* ( An )
n 1



n 1

m* An
故不妨令 E [0,1] Q {r1 , r2 , r3 , }
0, 作开区间 I i (ri 2 , r ),i 1,2,3, i1 i 2i1
则E Ii且 | Ii |
i 1 i 1




i i 1 2

(
从而m E
其中 x x x i i i 1 xi 1 i xi
2. 新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）
yi yi-1
Ei {x E | yi 1 f ( x) yi }
yi 1 i yi
用 mEi 表示 Ei 的“长度”
( L)
[ a ,b ]
m ( A B) inf{ } | I i | : A B I i且I i为开区间
i 1 i 1


0, 开区间列 {I i }, 使得m ( A B) | I i | m* ( A B)
* i 1

当区间Ii的直径很小时候，区间Ii不可能同时含有A，B中 的点从而把区间列Ii分成两部分，一部分含有A中的点， 一部分含有B中的点。
由外测度的定义， m* A m* B | I i | m* ( A B)
i 1
例:
对任意区间
I ，有 m I | I |

证明参见教材p-56
思考：书本中的证明用有限开覆盖定 理的目的何在？
此例说明Lebesgue外测度某种程度是区间长度概念的推广
三 零测集

所以集合
{( I1 , I 2 ,, ) | I i (i 1,2,, )是开区间且 I i A}
i 1

是非空的，因而定义有意义.
注2：I i中某些可以是
注3： | I i | 可以发散,由于是正项级数, 故 | I i | , 于是
i 1 i 1
某些集合的外测度可以是 .为了能考虑集合外测度的和, 我们约定