安徽省芜湖市201x年中考数学一模试卷(含解析)

2019年安徽省芜湖市中考数学一模试卷一、选择题：每小题给出的四个选项中，其中只有一个是正确的．请把正确选项的代号写在下面的答题表内，（本大题共10小题，每题4分，共40分．）1．已知5x＝6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（）A．B．C．D．2．若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是（）A．75°B．60°C．87°D．120°3．若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：94．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC 的面积为（）A．8 B．12 C．14 D．165．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（）A．56°B．62°C．68°D．78°6．把一个小球以20米/秒的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（米）与时间t（秒），满足关系h＝20t﹣5t2，当小球达到最高点时，小球的运动时间为（）A．1秒B．2秒C．4秒D．20秒7．联欢会主持人小亮、小莹、大明三位同学随机地站成一排，小亮恰好站在中间的概率是（）A．B．C．D．8．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b＝（）A．2：1 B．：1 C．3：D．3：29．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB ＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝．则该方程的一个正根是（）A．AC的长B．AD的长C．BC的长D．CD的长10．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠B＝30°，点P从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）11．抛物线y＝x2向左平移1个单位，所得的新抛物线的解析式为．12．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）．13．如图所示，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点C的直线与x轴、y轴分别交于点A、B，且AB＝BC，已知△AOB的面积为1，则k的值为．14．如图所示，已知AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC相似，则AP＝．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分．）15．解方程：x（x+2）＝0．16．已知△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示．请解答以下问题：（1）按要求作图：先将△ABO绕原点O逆时针旋转90°得△OA1B1，再以原点O为位似中心，将△OA1B1在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△OA2B2；（2）直接写出点A1的坐标，点A2的坐标．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分．）17．某地区xx年投入教育经费2500万元，xx年投入教育经费3025万元，求xx年至xx年该地区投入教育经费的年平均增长率．18．为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且DE∥BC．经测量BC＝24米，BD＝12米，DE＝40米，求河的宽度AB为多少米？五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分．）19．如图，⊙O中弦AB与CD交于M点．（1）求证：DM•MC＝BM•MA；（2）若∠D＝60°，⊙O的半径为2，求弦AC的长．20．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣4x+2m﹣1的顶点为C，图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求m的取值范围；（2）当m取最大整数时，求△ABC的面积．六、（本题满分12分）21．在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，他们的形状、大小、质地等完全相同．小兰先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x，放回盒子，摇匀后，再由小田随机取出一个小球，记下数字为y（1）用列表法或画树状图法表示出（x，y）的所有可能出现的结果；（2）求小兰、小田各取一次小球所确定的点（x，y）落在反比例函数y＝的图象上的频率；（3）求小兰、小田各取一次小球所确定的数x，y满足y的概率．七、（本题满分12分）22．如图，Rt△ABP的直角顶点P在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数y＝图象的两支上，且PB⊥x轴于点C，PA⊥y轴于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点F和E．已知点B的坐标为（1，3）．（1）填空：k＝；（2）证明：CD∥AB；（3）当四边形ABCD的面积和△PCD的面积相等时，求点P的坐标．八、（本题满分14分）23．如图1，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，点P为DC上一点，且AP＝AB，分别过点A和点C作直线BP的垂线，垂足为点E和点F．（1）证明：△ABE∽△BCF；（2）若＝，求的值；（3）如图2，若AB＝BC，设∠DAP的平分线AG交直线BP于G．当CF＝1，＝. 时，求线段AG的长．2019年安徽省芜湖市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题给出的四个选项中，其中只有一个是正确的．请把正确选项的代号写在下面的答题表内，（本大题共10小题，每题4分，共40分．）1．已知5x＝6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（）A．B．C．D．【分析】比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积可得答案．【解答】解：A、＝，则5y＝6x，故此选项错误；B、＝，则5x＝6y，故此选项正确；C、＝，则5y＝6x，故此选项错误；D、＝，则xy＝30，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积．2．若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是（）A．75°B．60°C．87°D．120°【分析】根据相似多边形对应角的比相等，就可以求解．【解答】解：根据相似多边形的特点可知对应角相等，所以∠α＝360°﹣60°﹣138°﹣75°＝87°．故选C．【点评】主要考查了相似多边形的性质和四边形的内角和是360度的实际运用．3．若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：9【分析】直接利用相似三角形对应高的比等于相似比进而得出答案．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：2，∴对应高的比为：3：2．故选：A．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确记忆相关性质是解题关键．4．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC 的面积为（）A．8 B．12 C．14 D．16【分析】直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE＝BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∵＝，∴＝，∵△ADE的面积为4，∴△ABC的面积为：16，故选：D．【点评】此题主要考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出△ADE ∽△ABC是解题关键．5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（）A．56°B．62°C．68°D．78°【分析】由点I是△ABC的内心知∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，从而求得∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．【解答】解：∵点I是△ABC的内心，∴∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，∵∠AIC＝124°，∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣2（∠IAC+∠ICA）＝180°﹣2（180°﹣∠AIC）＝68°，又四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE＝∠B＝68°，故选：C．【点评】本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．6．把一个小球以20米/秒的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（米）与时间t（秒），满足关系h＝20t﹣5t2，当小球达到最高点时，小球的运动时间为（）A．1秒B．2秒C．4秒D．20秒【分析】已知函数式为二次函数解析式，最高点即为抛物线顶点，求达到最高点所用时间，即求顶点的横坐标．【解答】解：∵h＝20t﹣5t2＝﹣5t2+20t中，又∵﹣5＜0，∴抛物线开口向下，有最高点，此时，t＝﹣＝2．故选：B．【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，比较简单．7．联欢会主持人小亮、小莹、大明三位同学随机地站成一排，小亮恰好站在中间的概率是（）A．B．C．D．【分析】先利用列表法展示所以6种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占2种，然后根据概率定义求解．【解答】解：列表如下：共有6种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占2种，所以小亮恰好站在中间的概率为＝，故选：C．【点评】本题考查了列表法与树状图法：先利用列举法或树形图法不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．8．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b＝（）A．2：1 B．：1 C．3：D．3：2【分析】根据折叠性质得到AF＝AB＝a，再根据相似多边形的性质得到＝，即＝，然后利用比例的性质计算即可．【解答】解：∵矩形纸片对折，折痕为EF，∴AF＝AB＝a，∵矩形AFED与矩形ABCD相似，∴＝，即＝，∴（）2＝2，∴＝．故选：B．【点评】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边的比叫做相似比．相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．9．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB ＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝．则该方程的一个正根是（）A．AC的长B．AD的长C．BC的长D．CD的长【分析】表示出AD的长，利用勾股定理求出即可．【解答】解：欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝，设AD＝x，根据勾股定理得：（x+）2＝b2+（）2，整理得：x2+ax＝b2，则该方程的一个正根是AD的长，故选：B．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．10．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠B＝30°，点P从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【分析】作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得BH＝CH，利用∠B＝30°可计算出AH ＝AB＝2，BH＝AH＝2，则BC＝2BH＝4，利用速度公式可得点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C需8s，然后分类讨论：当0≤x≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，BQ＝x，BP＝x，DQ＝BQ＝x，利用三角形面积公式得到y＝x2；当4＜x≤8时，作QD⊥BC于D，如图2，CQ＝8﹣x，BP＝4，DQ＝CQ＝（8﹣x），利用三角形面积公式得y＝﹣x+8，于是可得0≤x≤4时，函数图象为抛物线的一部分，当4＜x≤8时，函数图象为线段，则易得答案为D．【解答】解：作AH⊥BC于H，∵AB＝AC＝4cm，∴BH＝CH，∵∠B＝30°，∴AH＝AB＝2，BH＝AH＝2，∴BC＝2BH＝4，∵点P运动的速度为cm/s，Q点运动的速度为1cm/s，∴点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C需8s，当0≤x≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，BQ＝x，BP＝x，在Rt△BDQ中，DQ＝BQ＝x，∴y＝•x•x＝x2，当4＜x≤8时，作QD⊥BC于D，如图2，CQ＝8﹣x，BP＝4在Rt△BDQ中，DQ＝CQ＝（8﹣x），∴y＝•（8﹣x）•4＝﹣x+8，综上所述，y＝．故选：D．【点评】本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）11．抛物线y＝x2向左平移1个单位，所得的新抛物线的解析式为y＝（x+1）2．【分析】先确定抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移后对应点的坐标为（﹣1，0），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位所得对应点的坐标为（﹣1，0），所以新抛物线的解析式为y＝（x+1）2．故答案为y＝（x+1）2．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．12．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是8﹣2π（结果保留π）．【分析】根据S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE计算即可；【解答】解：S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE＝×4×4﹣＝8﹣2π，故答案为8﹣2π．【点评】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积．13．如图所示，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点C的直线与x轴、y轴分别交于点A、B，且AB＝BC，已知△AOB的面积为1，则k的值为 4 ．【分析】根据题意可以设出点A的坐标，从而以得到点C和点B的坐标，再根据△AOB 的面积为1，即可求得k的值．【解答】解：设点A的坐标为（﹣a，0），∵过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB＝BC，△AOB的面积为1，∴点C（a，），∴点B的坐标为（0，），∴＝1，解得，k＝4，故答案为：4．【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．14．如图所示，已知AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC相似，则AP＝或2或6 ．【分析】由AD∥BC，∠ABC＝90°，易得∠PAD＝∠PBC＝90°，又由AB＝8，AD＝3，BC＝4，设AP的长为x，则BP长为8﹣x，然后分别从△APD∽△BPC与△APD∽△BCP 去分析，利用相似三角形的对应边成比例求解即可求得答案．【解答】解：∵AB⊥BC，∴∠B＝90°．∵AD∥BC，∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴∠PAD＝∠PBC＝90°．AB＝8，AD＝3，BC＝4，设AP的长为x，则BP长为8﹣x．若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：①若△APD∽△BPC，则AP：BP＝AD：BC，即x：（8﹣x）＝3：4，解得x＝；②若△APD∽△BCP，则AP：BC＝AD：BP，即x：4＝3：（8﹣x），解得x＝2或x＝6．所以AP＝或AP＝2或AP＝6．故答案是：或2或6．【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意利用分类讨论思想求解是关键．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分．）15．解方程：x（x+2）＝0．【分析】原方程转化为x＝0或x+2＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：∵x＝0或x+2＝0，∴x1＝0，x2＝﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解．16．已知△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示．请解答以下问题：（1）按要求作图：先将△ABO绕原点O逆时针旋转90°得△OA1B1，再以原点O为位似中心，将△OA1B1在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△OA2B2；（2）直接写出点A1的坐标，点A2的坐标．【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用（1）中所画图形进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：△OA1B1，△OA2B2，即为所求；（2）点A1的坐标为：（﹣1，3），点A2的坐标为：（2，﹣6）．【点评】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分．）17．某地区xx年投入教育经费2500万元，xx年投入教育经费3025万元，求xx年至xx年该地区投入教育经费的年平均增长率．【分析】一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），xx年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在xx年的基础上再增长x，就是xx年的教育经费数额，即可列出方程求解．【解答】解：设增长率为x，根据题意xx年为2500（1+x）万元，xx年为2500（1+x）2万元．则2500（1+x）2＝3025，解得x＝0.1＝10%，或x＝﹣2.1（不合题意舍去）．答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数＝增长后的量．18．为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且DE∥BC．经测量BC＝24米，BD＝12米，DE＝40米，求河的宽度AB为多少米？【分析】根据题意得出△ABE∽△CDE，进而利用相似三角形的性质得出答案．【解答】解：设宽度AB为x米，∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，∴＝，又∵BC＝24，BD＝12，DE＝40代入得∴＝，解得x＝18，答：河的宽度为18米．【点评】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，根据题意得出△ABE∽△CDE 是解答此题的关键．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分．）19．如图，⊙O中弦AB与CD交于M点．（1）求证：DM•MC＝BM•MA；（2）若∠D＝60°，⊙O的半径为2，求弦AC的长．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠D＝∠B，证明△DMA∽△BMC，根据相似三角形的性质列出比例式，即可证明结论；（2）连接OA，OC，过O作OH⊥AC于H点，根据圆周角定理、垂径定理计算即可．【解答】（1）证明：∵＝，∴∠D＝∠B，又∵∠DMA＝∠BMC，∴△DMA∽△BMC，∴＝，∴DM•MC＝BM•MA；（2）连接OA，OC，过O作OH⊥AC于H点，∵∠D＝60°，∴∠AOC＝120°，∠OAH＝30°，AH＝CH，∵⊙O半径为2，∴AH＝∵AC＝2AH，∴AC＝2．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．20．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣4x+2m﹣1的顶点为C，图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求m的取值范围；（2）当m取最大整数时，求△ABC的面积．【分析】（1）根据抛物线与x轴有两个交点，得到△＞0，由此求得m的取值范围．（2）利用（1）中m的取值范围确定m＝2，然后根据抛物线解析式求得点A、B的坐标，利用三角形的面积公式解答即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣4x+2m﹣1与x轴有两个交点，令y＝0．∴x2﹣4x+2m﹣1＝0．∵与x轴有两个交点，∴方程有两个不等的实数根．∴△＞0．即△＝（﹣4）2﹣4•（2m﹣1）＞0，∴m＜2.5．（2）∵m＜2.5，且m取最大整数，∴m＝2．当m＝2时，抛物线y＝x2﹣4x+2m﹣1＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1．∴C坐标为（2，﹣1）．令y＝0，得x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3．∴抛物线与x轴两个交点的坐标为A（1，0），B（3，0），∴△ABC的面积为＝1．【点评】考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系等知识点，解题时，注意二次函数与一元二次方程间的转化关系．六、（本题满分12分）21．在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，他们的形状、大小、质地等完全相同．小兰先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x，放回盒子，摇匀后，再由小田随机取出一个小球，记下数字为y（1）用列表法或画树状图法表示出（x，y）的所有可能出现的结果；（2）求小兰、小田各取一次小球所确定的点（x，y）落在反比例函数y＝的图象上的频率；（3）求小兰、小田各取一次小球所确定的数x，y满足y的概率．【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数即可；（2）找出点（x，y）落在反比例函数y＝的图象上的情况数，即可求出所求的概率；（3）找出所确定的数x，y满足y的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：（1）列表如下：1234 1（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）所有等可能的结果有16种，分别为（1，1）；（1，2）；（1，3）；（1，4）；（2，1）；（2，2）；（2，3）；（2，4）；（3，1）；（3，2）；（3，3）；（3，4）；（4，1）；（4，2）；（4，3）；（4，4）；（2）其中点（x，y）落在反比例函数y＝的图象上的情况有：（2，3）；（3，2）共2种，则P（点（x，y）落在反比例函数y＝的图象上）＝＝；（3）所确定的数x，y满足y的情况有：（1，1）；（1，2）；（1，3）；（1，4）；（2，1）；（2，2）；（3，1）；（4，1）共8种，则P（所确定的数x，y满足y）＝＝．【点评】此题考查了列表法与树状图法，以及反比例函数图象上点的坐标特征，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．七、（本题满分12分）22．如图，Rt△ABP的直角顶点P在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数y＝图象的两支上，且PB⊥x轴于点C，PA⊥y轴于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点F和E．已知点B的坐标为（1，3）．（1）填空：k＝ 3 ；（2）证明：CD∥AB；（3）当四边形ABCD的面积和△PCD的面积相等时，求点P的坐标．【分析】（1）由点B的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值；（2）设A点坐标为（a，），则D点坐标为（0，），P点坐标为（1，），C点坐标为（1，0），进而可得出PB，PC，PA，PD的长度，由四条线段的长度可得出，结合∠P＝∠P可得出△PDC∽△PAB，由相似三角形的性质可得出∠CDP＝∠A，再利用“同位角相等，两直线平行”可证出CD∥AB；（3）由四边形ABCD的面积和△PCD的面积相等可得出S△PAB＝2S△PCD，利用三角形的面积公式可得出关于a的方程，解之取其负值，再将其代入P点的坐标中即可求出结论．【解答】（1）解：∵B点（1，3）在反比例函数y＝的图象，∴k＝1×3＝3．故答案为：3．（2）证明：∵反比例函数解析式为，∴设A点坐标为（a，）．∵PB⊥x轴于点C，PA⊥y轴于点D，∴D点坐标为（0，），P点坐标为（1，），C点坐标为（1，0），∴PB＝3﹣，PC＝﹣，PA＝1﹣a，PD＝1，∴，，∴．又∵∠P＝∠P，∴△PDC∽△PAB，∴∠CDP＝∠A，∴CD∥AB．（3）解：∵四边形ABCD的面积和△PCD的面积相等，∴S△PAB＝2S△PCD，∴×（3﹣）×（1﹣a）＝2××1×（﹣），整理得：（a﹣1）2＝2，解得：a1＝1﹣，a2＝1+（舍去），∴P点坐标为（1，﹣3﹣3）．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、平行线的判定以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值；（2）利用相似三角形的判定定理找出△PDC∽△PAB；（3）由三角形的面积公式，找出关于a的方程．八、（本题满分14分）23．如图1，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，点P为DC上一点，且AP＝AB，分别过点A和点C作直线BP的垂线，垂足为点E和点F．（1）证明：△ABE∽△BCF；（2）若＝，求的值；（3）如图2，若AB＝BC，设∠DAP的平分线AG交直线BP于G．当CF＝1，＝时，求线段AG的长．【分析】（1）由余角的性质可得∠ABE＝∠BCF，即可证△ABE∽△BCF；（2）由相似三角形的性质可得＝＝，由等腰三角形的性质可得BP＝2BE，即可求的值；（3）由题意可证△DPH∽△CPB，可得＝＝，可求AE＝，由等腰三角形的性质可得AE平分∠BAP，可证∠EAG＝∠BAH＝45°，可得△AEG是等腰直角三角形，即可求AG的长．【解答】证明：（1）∵AB⊥BC，∴∠ABE+∠FBC＝90°又∵CF⊥BF，∴∠BCF+∠FBC＝90°∴∠ABE＝∠BCF又∵∠AEB＝∠BFC＝90°，∴△ABE∽△BCF（2）∵△ABE∽△BCF，∴＝＝又∵AP＝AB，AE⊥BF，∴BP＝2BE∴＝＝（3）如图，延长AD与BG的延长线交于H点∵AD∥BC，∴△DPH∽△CPB∴＝＝∵AB＝BC，由（1）可知△ABE≌△BCF∴CF＝BE＝EP＝1，∴BP＝2，代入上式可得HP＝，HE＝1+＝∵△ABE∽△HAE，∴＝，＝，∴AE＝∵AP＝AB，AE⊥BF，∴AE平分∠BAP又∵AG平分∠DAP，∴∠EAG＝∠BAH＝45°，∴△AEG是等腰直角三角形．∴AG＝AE＝3【点评】本题是相似综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。