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第六章静定结构位移计算习题
静定结构位移计算试题一、是非判断：１．变形体虚功原理仅适用于线弹性体系，不适用于非线弹性体系。
（ ） ２．虚功中的力状态和位移状态是彼此独立无关的，这两个状态中的任何一个都可看作是虚设的。
（ ） ３．功的互等定理仅适用于线弹性体系，不适用于非线弹性体系。
（ ） ４．位移反力互等定理对线弹性的静定结构和超静定结构均适用。
（ ） ５．图1-５(a)、(b)各杆EA 相同，则两图中C 点的竖向位移相等。
（ ）题1-5图 题1-6图６．如图题1-6所示斜梁EI ＝常数，则截面A 的转角EIql A 243=ϕ（顺时针）。
（ ） ７．图题1-7(a)、(b) 各杆EA 相同，则两图中C 点的竖向位移相等。
（ ）题1-7图８．M P 图、M 图1-8(a)、(b)所示，EI=常数。
下列图乘结果是正确的：)85323221(1l al l al EI CH ⨯+⨯=∆。
（ ）题1-8图 ９．图题1-9中，下列图乘结果是正确的：)31(1))(31(132221111y b l EI y b a l y b l EI ⨯+⨯-+⨯。
（ ）10．图1-10中，下列图乘结果是正确的：)85323221(1d bc d ac EI ⨯+⨯。
（ ）11．对于静定结构，没有内力就没有变形。
（ ） 12．对于静定结构，没有变形就没有位移。
（ ）13．用单位荷载法计算结构位移时，用于计算外力虚功的广义力是虚设的广义单位力，而相应的广义位移是拟求的实际位移。
（ ）q(a)(b)l a aqABP (b)M 图题1-9图 题1-10图14．如果结构是由线弹性材料制成的，但在有温度变化的情况下，功的互等定理不成立。
（ ） 二、填空1．虚功原理有两种不同的应用形式，即 原理和 原理。
其中 原理等价于变形协调条件。
2．位移计算时，虚拟广义单位力的原则是使外力虚功的值恰好等于 值。
3．用图乘法计算梁和刚架位移的适用条件是 。
4．如图2-4所示结构支座A 下沉a ，支座B 向右移动b ，则结点C 、D 的相对转角为 。
结构力学静定结构位移计算习题解答
6-1 求图示桁架AB 、AC 的相对转角，各杆EA 为常量。
解：（1）实状态桁架各杆的轴力如图（b ）所示。
(b)(a)N(d )(c)题6-1N N（2）建立虚设单位力状态如（c ）所示,求AB 杆的转角。
1113(2)82i P iAB i i P a P a P a N N l P a a a E A EA EA EA EAϕ⋅⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅⋅==++⨯=∑（↺）（3）建立虚设单位力状态如（d ）所示,求AC 杆的转角。
113(2)()(72i P i AC i iP a P a N N lPa a E A EA EA EAϕ⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅==+⨯=∑（↺）故，AB 、AC 的相对转角为两杆转角之差：8(7(10.414AB AC P P P PEA EA EA EAϕϕϕ+-=-=-==-（夹角减小）6-2 求半圆曲梁中点K 的竖向位移。
只计弯曲变形。
EI 为常数。
方法一 解：（1）荷载作用下的实状态的约束反力如图（a ）所示。
以任意半径与水平坐标轴的顺时针夹角为自变量，其弯矩方程为：sin (0)P M θθπ=-≤≤Pr（2）建立虚设单位力状态如（b ）所示，其弯矩方程为：[]1cos )(0)2211cos()cos )()222i M πθθππθθθπ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-=≤≤⎪⎩(r -r r -r (r +r(a)题6-2（3）积分法求半圆曲梁中点K 的竖向位移。
20233220022311cos )(sin )cos )(sin )2211cos )sin cos )sin sin sin 2)sin sin 2)2222cos 2i V Pk Pr Pr M M ds rd rd EIEI EI Pr Pr d d d d EI EI Pr EI πππππππππθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ⋅-⋅-⋅∆==+⎡⎤⎡⎤=-⋅+⋅=-+⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(r -r (r +r (-(+(-(+(-11320211cos 2)cos cos 2)442Pr EI πππθθθ⎡⎤⎢⎥+-+=-↑⎢⎥⎣⎦（）( 方法二：本题也可以只算纵向对称轴左边，再乘2。
静定结构的位移计算
第4章
二、单位荷载法
1、定义：应用虚力原理，通过加单位力求实际位移的方法。 2、计算结构位移的一般公式
PK=1 RK
1
RK RK3
2
( a , a , a , Ca )
位移状态
RK
4
(M K ,Q K , N K , RK )
虚力状态
对上述两种状态应用虚功原理：
1 Ka R K 1 C a1 R K 2 C a 2 M K a ds Q K a ds N K a ds
P/2
P/2
c
c
CV
4、结构的动力计算和稳定分析中，都常需计算结 构的位移。
第4章
三、计算位移的有关假定
2、小变形假设。变形前后荷载作用位臵不变。 3、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。 4、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆 弯曲所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
ω1
ω2
MP图
1 Δ (ω1 y1 ω2 y2 ) EI
第4章
3、当杆件为变截面时亦应分段计算； y1
EI1
y2
EI 2
MK图
ω1
EI1
ω2
EI 2
MP图
1 1 Δ ω1 y1 ω2 y2 EI1 EI 2
第4章
4、图乘有正负之分：弯矩图在杆轴线同侧时，取正号； 异侧时，取负号。
13860 0.0924m( ) EI
第4章
例题 试求左图所示刚架C点的竖向位移AV和转角C。 EI 1.5 105 KN m 2 各杆材料相同，截面抗弯模量为:
MB A
力状态(状态1)
第6章 静定结构位移计算
二、 单位荷载法 1、定义：在所求点所在位移方向加上单位 力，将实际状态的真实位移视作虚拟平衡状态的 虚位移。应用虚功原理，通过加单位荷载求实际 位移的方法。 2、计算结构位移的一般公式
F K+ FRiCi= M d + FNdu + FQdv
式中， F =1 则
六．线弹性体系的特征 1）结构的变形与其作用力成正比
若单位力P1=1作用下产生
的位移δ ，则力P作用下在 K处产生的位移为Pδ
2）结构的变形或位移服从叠加原理
P1
P2
Pi
K Δ
Pn
δ K i 表示Pi=1时 在K处产生的位移。
Δ= P1 K 1 P2 K 2 Pn Kn
P
i i 1
n
Ki
6.2 变形体系的虚功原理 一、变形体的虚功原理 功：力对物体作用的累计效果的度量。 功=力×力作用点沿力方向上的位移 实功 ：力在自身引起的位移上所作的功 静力荷载：荷载由零逐渐以微小的增量缓慢地增加 到最终值。结构在静力加载过程中，荷载及内力始 终保持平衡。
虚功： 力在其他因素引起的位移上作的功 其特点是位移与作功的力无关，在作功的过程 中，力的大小保持不变 梁弯曲后，再在点2处加静力荷载FP2，梁产生新 的弯曲。位移△12为力FP2引起的FP1的作用点沿FP1 方向的位移。力FP1在位移△12 上作了功，为虚功， 大小为 W12=FP1△12，此时力不随位移而变化，是 常力。
单位广义力有截然相反的两种设向，计算出的 广义位移则有正负之分： 正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相同 负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反
力的虚设方法
Fp=1 C Fp=1 B C
《结构力学习题集》6-位移法
第六章 位移法一、是非题1、位移法未知量的数目与结构的超静定次数有关。
2、位移法的基本结构可以是静定的，也可以是超静定的。
3、位移法典型方程的物理意义反映了原结构的位移协调条件。
4、结 构 按 位 移 法 计 算 时 ， 其 典 型 方 程的 数 目 与 结 点 位 移 数 目 相 等 。
5、位移法求解结构内力时如果P M 图为零，则自由项1P R 一定为零。
6、超 静 定 结 构 中 杆 端 弯 矩 只 取 决 于杆 端 位 移 。
7、位 移 法 可 解 超 静 定 结 构 ，也 可 解 静定 结 构 。
8、图示梁之 EI =常数，当两端发生图示角位移时引起梁中点C 之竖直位移为(/)38l θ（向下）。
/2/22l l θθC9、图示梁之EI =常数，固定端A 发生顺时针方向之角位移θ，由此引起铰支端B 之转角（以顺时针方向为正）是 -θ/2 。
10、用位移法可求得图示梁B 端的竖向位移为ql EI 324/。
q l 11、图 示 超 静 定 结 构 ， ϕD 为 D 点 转 角 （顺 时 针 为 正）， 杆 长 均 为 l , i 为 常 数 。
此 结 构 可 写 出 位 移 法 方 程 111202i ql D ϕ+=/。
二、选择题1、位 移 法 中 ，将 铰 接 端 的 角 位 移 、滑 动支 承 端 的 线 位 移 作 为 基 本 未 知 量 ：A. 绝 对 不 可 ；B. 必 须 ；C. 可 以 ，但 不 必 ；D. 一 定 条 件 下 可 以 。
2、AB 杆 变 形 如 图 中 虚 线 所 示 ， 则 A 端的 杆 端 弯 矩 为 ：A.M i i i l AB A B AB =--426ϕϕ∆/ ;B.M i i i l AB A B AB =++426ϕϕ∆/ ;C.M i i i l AB A B AB =-+-426ϕϕ∆/ ;D.M i i i l AB A B AB =--+426ϕϕ∆/。
6 静定结构的位移计算1
Ri i
C F (a)
Ri i
首先在图6.5(a)上取ds微段，其上由于单位荷载1所 产生的内力FN 、M、FS作用下所引起的相应变形为du、 dφ、γds分别如图6.5(c)、(d)、(e)所示，其计算式分别为
第六章 静定结构的位移计算
第六章 静定结构的位移计算
刚性杆中，取微段ds设为变形体，分析局部变形所引起的 ds 位移。
ds du ds
d
ds
i
d
d
R
d
i
R
d
d
1 （1）三种变形： R
（2）微段两端相对位移：
du ds
ds d ds R
ds
6.4 静定结构在荷载作用下的位移计算
利用上式计算静定结构在荷载作用下的位移时，
第六章 静定结构的位移计算
广义力与广义位移
作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素， 称为广义力S。与位移有关的因素，称为广义位移Δ。 广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。 即：T=SΔ 1）广义力是单个力，则广义位移是该力作用点的位移 在力作用方向上的分量
2）广义力是一 个力偶，则广义 位移是它所作用 的截面的转角β。
FN p FN EA
l
ds
FN p FN EA
ds
l
FN p FN l EA
组合结构
△KP=
F F L M M P ds N NP EA EI
第六章 静定结构的位移计算
（1）梁和刚架 梁式杆的位移中弯矩的影响是主要的 ，位移计算公式 中取第一项便具有足够的工程精度
结构力学(第五版)第六章 结构位移计算
相对位移 △CD= △C+ △D
3. 计算位移的目的
（1）校核结构的刚度。 （2）结构施工的需要。 （3）为分析超静定结构打 基础。
△ 起拱高度
除荷载外，还有一些因素如温度变化、支座移动、 材料收缩、制造误差等，也会使结构产生位移。 结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为 基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论 静定结构的位移计算。 返4回
B
变力 W= 1 M· ϕ 2
（d ）
返6回
P
（2）实功与虚功 实功： 力本身引起的位移上所作的功。 例如： W=
A 力在其它 虚功： 因素引起的位移上所作 的功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系 的两种彼此无关的状态。
△2
2
A
P1
△1
1
B P2 B
例如：
W12=P1·△2
返7回
2. 变形体的虚功原理：
A RA
P
M
q B dS
q
RB N+dN Q+dQ
Q N 力状态 A
ds B dS
dWi=Ndu+QγdS+Mdϕ Wi=
（6—2)
整个结构内力的变形虚功为
虚功方程为
W=
（6—3)
dS du
dϕ
γ γ
dS
位移状态
dS
9
返dx γ回
§6—3 位移计算的一般公式
k 1. 位移计算的一般公式 t1 K △K t2 c3 K ds 设平面杆系结构由 ds k Ｒ ３ K′ 于荷载、温度变化及支 k P1 座移动等因素引起位移 du、dϕ、γdS N MQ 、、 如图示。 Ｒ １ c2 求任一指定截面K K c1 ２ 沿任一指定方向 k—k 实际状态－位移状态 Ｒ 虚拟状态－力状态 上的位移△K 。
第六章结构位移计算
广义的位移——角、线位移；相对、绝对位移
△C
△D
C C′
A
A
F F
D′ D
B
B
3. 引起位移的原因
（1）荷载作用——内力——变形——位移 （2）温度变化——结构变形——位移 （3）支座位移——几何位置改变——位移
5 第六
4．计算结构位移的目的
1）校核刚度——位移是否超过许用限值，防止构件和结构产
生过大的变形而影响结构的正常使用。
F
W 1 F 变力功 2
9 第六
F
M=Fd
d F
F
WM 力偶功
广义力可以是一个集中力、一对集中力，也可以 是一个力偶、一对力偶；广义位移是相应的沿力方向 的线位移和沿力偶转向的角位移或相对位移。
10 第六
其他形式的力或力系所作的功也用两个因子的 乘积表示为：功=广义力×广义位移
1)作功的力系为一个集中力 2)作功的力系为一个集中力偶
§6—2 变形体系的虚功原理
§6—3 位移计算的一般公式
A′
§6—4 静定结构在荷载作用下的位移计算
§6—5 图乘法
§6—6 静定结构温度变化时的位移计算
§6—7 静定结构支座移动时的位移计算
§6—8 线弹性结构的互等定理
3 第六
§6—1 概 述
1. 变形和位移
任何结构都由可变形体(固体)材料组成, 在荷载作用下会产 生变形和位移。
A''
B''
将ds虚位移分解为：
C
D
刚体虚位移: ABCD A'B'C'D'
变形虚位移: A'B'C'D' A''B''C''D''
6 静定结构的位移计算2
三,应用图乘法的几个具体问题
对于两个图形都是梯形的情况(异侧) 对于两个图形都是梯形的情况(异侧)
A a C
A 1
MP1
A 2
MP2
B b D
y2
MP 图
y1
d
1 1 1 ∫ MP Mdx = EI (∫ Mp1Mdx + ∫ Mp2 Mdx) = EI ( A1 y1 + A2 y2 ) EI
c
3 5PL Ay0 1 1 L L8EI EI EI 2 2 2 6
点竖向位移. 例 7: 计算图示结构 点竖向位移. : 计算图示结构A点竖向位移
AV
3 Ay0 1 qL 3L qL4 =∑ = × × = EI EI 3 4 4EI
AV
A
C
1 M =1 =1 M
B
M
l
ql / 4
2
l
ql 2 / 4
A y0 EI
0
1/ l
q
MP
解:作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
C =
ql / 4 ql / 4
∑
1 2 ql 2 1 = × × ×l × EI 3 8 2 ql 3 ( ) = 24 EI
组合结构, 例 9. 已知 组合结构,求△Dy.
6-7 静定结构支座移动时的位移计算
静定结构由于支座移动不会产生内力和变形, 静定结构由于支座移动不会产生内力和变形,
k = ∑ FR c + ∑ ∫ FN du + ∑ ∫ M d + ∑ ∫ FS γds
得到: 得到:
Kc = ∑ FR c
仅用于静定结构
h
1 1
l/2
l/2 a
结构力学 静定结构的位移计算1
P
A
3．位移计算的一般公式
设：结构受荷载的作用， 及支座移动，求A点的竖 向位移。
W外=W变
外力所作的虚功总和W外，等于 各微段截面上的内力在其虚变 形上所作的虚功的总和W变 。
1）位移状态的设定 q
P A
dx
a) 若求结构上C点的竖向位移，
2) 若求结构上截面A的角位移，可在截面处加一单位力矩。
若求桁架中AB杆的角位移，应 加一单位力偶，构成这一力 偶的两个集中力的值取 1/d。 作用于杆端且垂直于杆(d等 于杆长)。
3) 若要求结构上两点(A、B)沿其连线 的相对位移，可在该两点沿其连线 加上两个方向相反的单位力。
A
2）作 M 图 P=1
A C
1.5 M1 图
B 2m
6
B
B
D
66
A
BB
D
9
1
CV
1 1 61.5 3
EI 2
2 2 3 9 5 1.5
EI 3
8
189
=
（向下）
4EI
2）作 M 图
A
BD
6 6
M2 图
A
BB
D
9
1
D
1 EI
一、概述
1．位移的种类
1) 角位移：杆件横截面产生的转角 2) 线位移：结构上各点产生的移动 3) 相对位移（相对角位移，相对线位移）
Aθ
Δ A
θ
（A截面的转角θ ）
（A结点的水平线 位移Δ，转角θ）
ΔA A
第6章 位移计算
2 0
钢筋混凝土结构G≈0.4E，矩形截面,k=1.2,I/A=h2/12
FQ M EI 1h k GAr 2 4 r
h <1 r 10 FQ 1 < M 400 FN
2
FN I 1 h 2 M Ar 12 r
2
如
M
D
E
3c
d
C B
c
A
P 3 3 b 3b ctg X 2 2 2c 4c 3 b 0 （3）解方程求X X X P X 2 2c
b
x x X
3b X P 4c
小结：1）虚功原理（这里是用虚位移原理）的特点是用几 何方法解决平衡问题。 2）求解问题直接，不涉及约束力。
a qa
2a qa2
D
a
C
FQC
2a
B
a
A
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
FQC
0.25
0.5
虚功方程为: +qa×0.25 －qa2×0.25/a －q×(1×2a/2+0.5 ×a/2 )＝0 FQC×1
FQC=1.25qa
1
0.25/a
作功的两方面因素：力、位移。
广义力 单个力 单个力偶 等值反向共线的一对力
真实 位移 状态
注:（1）EI、EA、GA是杆件截面刚度； k是截面形状系数k矩=1.2， k圆=10/9。 （2）FNP、FQP、MP实际荷载引起的内力， 是产生位移的原因；虚设单位荷载 引起的内力是 F N , F Q , M
F N FNP F Q FQP MM P iP k ds EA GA EI
静定结构位移计算典型例题(附详细解题过程)
静定结构的位移计算——典型例题【例1】计算如图1(a)所示梁结构中跨中C 点的竖向位移，已知EI 为常数。
【解】方法一：（积分法）（1）荷载作用的实际状态以及坐标设置如图6-8(a)，其弯矩方程为：（2）虚设单位力状态，以及坐标设置如图6-8(b)，其弯矩方程为：（3）积分法求跨中的竖向位移图1方法二：图乘法（1）荷载作用的实际状态，其弯矩图如图1(c)所示； （2）虚设单位力状态，其弯矩图如图1(d)所示； （3）图乘计算跨中竖向位移【例2】计算如图2(a)所示半圆曲梁中点C 的竖向位移，只考虑弯曲变形。
已知圆弧半径为R ，EI 为常数。
CV ∆21102211112222P qlx x l M qlx q x l l x l ⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎛⎫⎪--<≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩1021122x x l M l l x l ⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩24/20/211111113()22222232l l P CVl MM ql ds x qlxdx l qlx q x l dx EI EI EI EI ⎡⎤⎛⎫∆==⨯⨯+⨯⨯--=↓⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰4222211112111311121113()222432284223232232cPCV A y MM ds EI EI ql l ql l ql ql l l l ql l EI EI EI ω∆==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=↓ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑⎰CV ∆图2【解】（1）实际荷载作用下，以任意半径与x 轴的顺时针夹角θ为自变量（图2a ），弯矩方程为（截面内侧受拉为正）：（2）虚设单位荷载状态如图2(b)所示，其弯矩方程为：（3）积分法求跨中的竖向位移【例3】如图3(a)所示梁的EI 为常数，在荷载F 作用下测得结点E 的竖向位移为9mm （向下），求截面B 处的角位移。
位移计算
M
Δ
θ
W = PΔ
W = Mθ
3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶
4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力
P
ΔA ΔB
P
M
M
θA
θB
W = PΔA + PΔB = P(ΔA +ΔB) = PΔ
W = MθA + MθB = M(θA +θB) = Mθ
三、变形体的虚功原理 （1）刚体系的虚位移原理 去掉约束而代以相应的 反力，该反力便可看成外 力。则有：刚体系处于平 XA = 0 衡的必要和充分条件是： 对于任何可能的 虚位移，作用于刚 体系的所有外力所 做虚功之和为零。
注意到微段处于平衡状态，则有外力在刚体位移上作功dWs = 0
故有δWe=δWv成立。
四、虚功原理的两种应用
1）虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的 平衡力状态---虚设位移求力系。
例. 求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。 直线 P P Δ A B
X
C
ΔC
a
b (a)
三、 仅有荷载作用： 线弹性杆系结构单位荷载法位移计算公式有：
FN P δε = ; EA
δγ = k
FQP GA
;
M xP δϕ = ; GI ρ
MP δθ = ; EI
式中： E 弹性模量； G A k IP 横截面积； I
剪切模量； 截面惯性矩；
截面形状系数。如：对矩形截 面k=6/5;圆形截面k=10/9。 截面极惯性矩；
1 ⋅ Δ + YA ⋅ c = 0 虚功方程为： Δ = b⋅c / a 解得： 这是单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method) 它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出，故也称为 Maxwell-Mohr Method
静定结构的位移计算—静定结构在支座移动时的位移计算(建筑力学)
F RBx
2h
1
1
A F R c 0.06 0.04 rad 0.0075 rad
2h
l
()
静定结构的位移计算
例16-11 图示桁架各杆EA相同，支座B发生竖向位移
c=0.5cm，求c点的水平位移△CH。
解：建立虚拟状态，并计算由于水平单位力作用.5cm 0.5cm
由于实际状态中取出的微段ds的变形du=0、d=0、
dv=0 ，于是上式可简化为：
K F R c
式中F R — —虚拟状态的支座反力；
c ——实际状态的支座位移。
静定结构的位移计算
K F R c
注意：当虚设状态的反力和支座位移c方向一致时，其
乘积取正，相反时为负。另外，上式右边前面还有一负号
静定结构的位移计算
第六节 静定结构在支座移动时的位移计算
对于静定结构，支座移动并不产生内力和变形，结构的
位移纯属刚体位移
对于简单的结构，这种位移可由几何关系直接求得，但
一般的结构仍用虚功原理来计算这种位移。
静定结构的位移计算
由虚功原理推导出的位移计算的一般公式为
K F Ndu M d F Qdv F R c
，系原来移项时所得，不可漏掉。
静定结构的位移计算
例16-10 三铰刚架的跨度 l=12m，高h=8m。已知右支座B
的竖向位移为1 =0.06m（向下），水平位移为2 =0.04m（向
右），如图示，试求由此引起的A端转角 。
解 由∑MA=0得
F RBy
1
l
再考虑右半刚
架的平衡
1
由∑Mc=0得
7.8超静定结构的位移计算
1 l/4 l/4
1
1 ( FP l ) 4
M图
M 1 图之一
M 1 图之二
解：(1)作原超静定结构的最后弯矩图 (2)作虚拟力状态下的单位弯矩图 (3)用图乘法求位移
ΔDV Ay MM 1 ds 0 EI EI EI 3FP l 3 () 1408EI
A B
q
a l
3EI a (q ) l l
M图
解： (1)作原超静定梁 的 最后弯矩图
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q
A B
q
a l
3EI a (q ) l l
M图
1
FR 1
1
M 图
(2)作虚拟力状态下的单位弯矩图 (3)计算位移：
qB
MM ds FR c EI 1 1 3EI a q 3a l (q ) (1) 1 q EI 2 l l 2 2l
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1
" " y02 y01
l/2
l/4
l/2
M 1图
• 计算超静定结构位移的基本思路:利用基本体系求原结构的位移.
将计算出的多余未知 力作为外荷载
超静定结构
静定结构
• 计算超静定结构位移的步骤
1、解超静定结构,作超静定结构的最终内力图；
2、取原结构的任一基本结构作为虚拟状态，并作虚拟力状态下 的单位内力图；
ql 12
2
5 l 3 l ql 2 8 2 8 2 ( )
静定结构位移计算
自测题（三）（一） 填空题1． 虚功是指____________________________________________。
2．虚功原理的内容为__________________________________________________，其三要素是__________，__________，和___________，其中__________和_________是同一变形体系的两个相互独立的状态。
3． 虚功原理有两种不同的应用途径，虚载荷法是________________________________________，虚位移法是____________________________________________________。
4．图乘法的应用条件是_____________________________________________________，图乘公式01y EIds EI M M P ⋅=⎰ω中y 0必须取自______图中，ωy 0正负号判别方法____________________。
5． 弹性体系的四个互等定理是_________________________，________________________，_____________________，_______________________，它们仅适用于_________________体系。
6．图示两组图P M M ,相乘得结果分别为_____________________________， ________。
7．用虚功原理求结构位移时，因结构和引起位移原因不同，虚功方程具体形式也有所不同，在载荷作用时，对梁和刚架为_____________，对桁架为__________；温变作用时，对梁和刚架为_______________，对桁架为_______；支座变动时，对梁和刚架为_______，对桁架为______；制造误差、初应变作用时，对梁和刚架为____________________________，对桁架为__________；8．已知图(a)所示刚架B 的角位移EIPl B 162=θ（），若在图(b)所示的刚架B 点施加力矩Pl m 20=，根据互等定理可求出该状态BC 杆中k 点处挠度=k f ____，方向_____。
习题课5静定结构的位移计算
静定结构的位移计算
1
一、根据欲求广义位移，试虚拟广义单位力系。 (1) 求 Δ CV + Δ DV , Δ CV − Δ DV
FP C m B D A C D 1 1 B
A
求 Δ CV + Δ DV
1 A C D
2
1 B
求 Δ CV − Δ DV
(2) 求C、D截面相对转角、相对线位移、相对水平 线位移。
ql/2
8
A
q C ql 2/8
l/2 l/2
1 B A
l/2
C l/4
ql 4 解： CK = 96 EI ΔCV
M图
MMP = ΔCV 1 + Δ CV 2 = ∫ dx − ∑ F RK CK A EI 2 2 l 1 2 5 l 1 ql 4 = ( ⋅ ⋅ ql ⋅ ⋅ ) − (− ⋅ ) EI 3 2 8 8 4 2 96 EI ql 4 5ql 4 7ql 4 = + = (↓) 384 EI 192 EI 384 EI
16
(2) 求 Δ CV 及截面B、C相对转角 Δϕ BC。
2kN/m
A
2m
C
6m
EI
B
A
ω1 C
解：
ω1 = ⋅ 2 ⋅12 = 12 y1 = ⋅1.5 = 1
1 2 1 2 3 y1 C EI B 1 A ω 2 = ⋅ 6 ⋅12 = 36 y2 = 1 y3 2 y2 y4 2 4 1 3 2m 1.5 6m ω 3 = ⋅ 2 ⋅1 = y3 = ⋅1.5 = 3 3 2 4 M 1图 2 1 3 ω 4 = ⋅ 6 ⋅ 9 = 36 y4 = ⋅1.5 = 3 2 4 1 1 4 3 3 76 Δ CV = (ω1 y1 + ω 2 y2 + ω3 y3 + ω 4 y4 ) = (12 ⋅1 + 36 ⋅1 + ⋅ + 36 ⋅ ) = (↓) EI EI EI 3 4 4 17
第6章 结构位移计算
（2）分析超静定结构的基础 ——计算位移 ——建立变形条件
（3）动力、稳定计算 ——位移计算
方法： 虚功原理为基础 ——计算位移 ——静定、超静定
§7—2变形体系的虚功原理
虚位移原理（虚功原理）——理论力学 具有理想约束质点系 在某一位置处于平衡的必要和充分条件是， 对于任何虚位移， 作用于质点系的主动力所作的虚功总和为零
cv
1 EI
2
所以相邻截面上内力所做的功大小相等正负号相反，
——即内力所做的功总和等于“0”）
W总=W外
（a）
（2）对按刚体虚功原理与变形体虚功计算
（虚位移分解二步：刚体位移：ABCD → AC’D’
W总=W刚+W变（W刚=0 刚体虚功原理）
W总=W变
（b）
∴W外=W变
EA
EA
*补充说明：剪切变形中改正系数κ
[例7—1] 解：M，N，Q影响比较：
（1）实际状况——M、N、Q （2）讨论：Q、N影响可忽略
[例7—2] 曲杆 解： 实际M→MP 虚力：
M R(1000 )
[例7—3]桁架 解：①P→N图 ②
Pu N
图 ③
NN EA
l
§7—5 图 乘 法
KP
M M P ds EI
积分式 M M P ds
EI
条件：（1）杆轴为直线
（2）EI＝常数
（3）至少一个直线图 M , M P
1 EI
xtg
M Pdx
tg
EI
x M Pdx
tg
EI
x
d
1 EI
tg
xc
MP
MP yc
EI
yC
EI
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静定结构位移计算试题
一、是非判断：
１．变形体虚功原理仅适用于线弹性体系，不适用于非线弹性体系。
（ ） ２．虚功中的力状态和位移状态是彼此独立无关的，这两个状态中的任何一个都可看作是虚设的。
（ ） ３．功的互等定理仅适用于线弹性体系，不适用于非线弹性体系。
（ ） ４．位移反力互等定理对线弹性的静定结构和超静定结构均适用。
（ ） ５．图1-５(a)、(b)各杆EA 相同，则两图中C 点的竖向位移相等。
（ ）
题1-5图 题1-6图
６．如图题1-6所示斜梁EI ＝常数，则截面A 的转角EI
ql A 243
=
ϕ（顺时针）。
（ ） ７．图题1-7(a)、(b) 各杆EA 相同，则两图中C 点的竖向位移相等。
（ ）
题1-7图
８．M P 图、M 图1-8(a)、(b)所示，EI=常数。
下列图乘结果是正确的：
)8
5
323221(1l al l al EI CH ⨯+⨯=∆。
（ ）
题1-8图 ９．图题1-9中，下列图乘结果是正确的：
)3
1(1))(31(132221111y b l EI y b a l y b l EI ⨯+⨯-+⨯。
（ ）
10．图1-10中，下列图乘结果是正确的：
)8
5
323221(1d bc d ac EI ⨯+⨯。
（ ）
11．对于静定结构，没有内力就没有变形。
（ ） 12．对于静定结构，没有变形就没有位移。
（ ）
13．用单位荷载法计算结构位移时，用于计算外力虚功的广义力是虚设的广义单位力，而相应的广义位移是拟求的实际位移。
（ ）
q
(a)
(b)
l a a
q
A
B
P (b)M 图
题1-9图 题1-10图
14．如果结构是由线弹性材料制成的，但在有温度变化的情况下，功的互等定理不成立。
（ ） 二、填空
1．虚功原理有两种不同的应用形式，即 原理和 原理。
其中 原理等价于变形协调条件。
2．位移计算时，虚拟广义单位力的原则是使外力虚功的值恰好等于 值。
3．用图乘法计算梁和刚架位移的适用条件是 。
4．如图2-4所示结构支座A 下沉a ，支座B 向右移动b ，则结点C 、D 的相对转角为 。
题2-4图 题2-5图 题2-6图
5．如图2-5所示结构中的AB 杆比原设计长度做短了1.5cm ，由此引起C 点的竖向位移为 ；引起支座A 的水平反力为 。
6．如图2-6所示三铰刚架，EI=常数。
铰C 的竖向位移为 。
7．如图2-7所示结构，EI=常数。
铰C 两截面的相对转角为 。
8．已知图2-8所示连续梁支座B 的反力为)(16
11
↑=P R B ，则该连续梁在支座B 下沉1=∆BV 时，D 点的竖向位移DV ∆为 。
题2-7图 题2-8图
9．已知图2-9(a)所示简支梁在C 点作用集中力P =1kN 时，截面B 的角位移为0.005弧度，则该梁在截面
a
b
1ω
2ω
3ω
EI 1
EI 2
(a)M P 图
y 2
(a)M P 图
(b)M 图
C
C
P
D
B
DV ∆
1
=BV
(a)
(b)
B作用力偶M=4kN·m时（图B），C的竖向位移CV
∆为。
10．已知图2-10(a)所示刚架在图示荷载作用下截面C的角位移为Cϕ，则该刚架在图(b)所示荷载作用下，B点的水平位移BH
∆为。
题2-9图题2-10图
三、计算题
1．如图3-1所示桁架的下弦中点C起拱CV
∆=3cm，试求：桁架的六根下弦杆在制造时比设计长度均做短多少就可达到此要求？
题3-1图题3-2图
2．如图3-2所示刚架施工时的温度为30ºC，冬季外侧温度为–15ºC，内侧温度为15ºC。
各杆截面为相同尺寸的矩形截面，截面高度l
h1.0
=，材料的线膨胀系数为α。
求刚架在冬季温度时铰C的竖向位移CV
∆。
3．如图3-3所示桁架施工时的温度为–5ºC，夏季温度为３5ºC。
各杆截面为相同尺寸的矩形截面，材
料的线膨胀系数为α=10-5。
求桁架在夏季温度时铰C的竖向位移
CV
∆。
4．结构的支座移动如图3-4所示，求铰B两侧截面的相对转角BB
ϕ。
5．用单位荷载法求图3-5所示悬臂梁的挠曲线方程。
EI=常数。
6．求如图3-6所示结构A、B两点的相对相对线位移。
各杆EI=常数。
7．求如图3-7所示结构A点的水平位移AH
∆。
已知：q=6kN/m，各杆EI=常数。
P
P
(a)
C
B
A
C
D
E
3m 3m
B
0.01rad
.
3
m
题3-4图
q
3m 3m
A
题3-5图
8．求如图3-8所示结构D 点的竖向位移DV ∆及铰C 两侧截面的相对转角CC ϕ。
已知：q =5kN/m ，各杆EI =常数。
9．如图3-9所示结构，245m kN 104.2kN,104•⨯=⨯=EI EA 。
为使D 点的竖向位移不超过1cm ，所受荷载q 最大为多少？
题3-8图 题3-9图
10．欲使图3-10所示静定梁跨中点B 的挠度为零，求铰C 的位置x =?EI =常数。
11．求图题3-11所示结构D 点的竖向位移DV ∆。
题3-10图 题3-11图
q
5kN/m
14. 用图乘法求图示结构的位移。
AV
(2) 图b 中C 点两侧截面的相对转角()2
4
m KN 101.2⋅⨯=∆
EI C
φ。
(3) 图c 中的B EH φ和∆。
(4) 图d 中的()2
4
m KN 101.2⋅⨯=∆EI CV。
15 图示桁架，若只有杆AD 升高t ℃，求∆，杆的线膨胀系数为α。
16. 图示桁架中，杆件AB 由于制造误差比原设计长度短了40mm ，求由此所引起的点C 的竖向位移。
(a)
(b)
(c)
/2
/2
常数/2
题14图
题13图
17 图示三铰刚架，若其内部温度升高30℃，求点C的竖向位移。
各杆均为矩形截面，截面高度为h，线膨胀系数为α。