06第六章 静定结构的位移计算ppt课件
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第6章结构位移计算
ΔC —C点水平线位移（向右） ΔD —D点水平线位移（向左） ΔCD ΔC ΔD —C、D两点旳水平相对线位移
§6-1 概述
计算构造位移旳目旳 （1）为了校核构造旳刚度。 （2）构造旳施工中，也需要构造旳位移。
图示构造进行悬臂拼装时，因为自重及吊车等荷载作用，产生位移
fA。必须先计算fA，以便采用相应措施，确保施工安全和拼装就位。
化产生旳K点旳竖向位移△Kt。α为
材料旳线膨胀系数。
ΔKt FNdut Mdt FS tds
杆轴线处旳温度变化为
t
h2 h
t1
h1 h
t2
dut tds
杆件截面对称于形心轴 t t1 t2 2
dt
t2ds t1ds
h
Δtds
h
对于杆件构造温度变化不引起剪切变形，γt=0。
t t2 t1
§6-6 静定构造温度变化时旳位移计算
将温度变化引起旳微段变形代入位移计算公式可得
ΔKt
FNtds
M
tds
h
t
FNds
t
Mds h
若各杆为等截面杆
ΔKt
tAFN
t
h
AM
AFN FN图的面积，AM M图的面积
符号旳拟定：温度变化以升温为正，轴力以拉力为正； 弯矩M以使t2边受拉为正。
对于桁架
虚拟状态如图b所示。由材料力学
dP
M Pds EI
duP
FNPds EA
Pds
kFSPds GA
k—剪切变形旳 改正系数
§6-4 静定构造在荷载作用下旳位移计算
平面杆件构造在荷载作用下旳位移计算公式为：
ΔKP
MM Pds EI
§6-1 概述
计算构造位移旳目旳 （1）为了校核构造旳刚度。 （2）构造旳施工中，也需要构造旳位移。
图示构造进行悬臂拼装时，因为自重及吊车等荷载作用，产生位移
fA。必须先计算fA，以便采用相应措施，确保施工安全和拼装就位。
化产生旳K点旳竖向位移△Kt。α为
材料旳线膨胀系数。
ΔKt FNdut Mdt FS tds
杆轴线处旳温度变化为
t
h2 h
t1
h1 h
t2
dut tds
杆件截面对称于形心轴 t t1 t2 2
dt
t2ds t1ds
h
Δtds
h
对于杆件构造温度变化不引起剪切变形，γt=0。
t t2 t1
§6-6 静定构造温度变化时旳位移计算
将温度变化引起旳微段变形代入位移计算公式可得
ΔKt
FNtds
M
tds
h
t
FNds
t
Mds h
若各杆为等截面杆
ΔKt
tAFN
t
h
AM
AFN FN图的面积，AM M图的面积
符号旳拟定：温度变化以升温为正，轴力以拉力为正； 弯矩M以使t2边受拉为正。
对于桁架
虚拟状态如图b所示。由材料力学
dP
M Pds EI
duP
FNPds EA
Pds
kFSPds GA
k—剪切变形旳 改正系数
§6-4 静定构造在荷载作用下旳位移计算
平面杆件构造在荷载作用下旳位移计算公式为：
ΔKP
MM Pds EI
静定结构的位移计算—结构位移公式及应用(工程力学课件)
【例4】求图示桁架k点水平位移. (各杆EA相同)
P
P
0
NP 0
P a
2P k
a
1
1 2 2 Ni
Δ= FN FNP l
EA
1
1
解：
kx
1 [(1)(P)a EA
(1)( P )a
2 2P 2a] 2(1 2) Pa () EA
ds
FN FNP EA
ds
1. 梁和刚架
在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产 生的位移可以忽略，故位移计算公式为：
2. 桁架
Δ=
MMP EI
ds
Δ=
FN FNP ds FN FNP ds FN FNPl
EA
EA
EA
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
ds
若结构只有荷载作用，则位移计算一般公式为：
1 (M ds FQ 0 FN )ds
MP
EI
0
kFQ P GA
FNP
EA
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
ds
适用条件：小变形、线弹性
➢ 正负号规则
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
M、FQ、FN、FRK ：单位载荷 FP1 1在结构中产生
的内力和支座反力
➢ 单位荷载法
一次计算一种位移
求绝对位移!
BF
C
D
q
实际状态
（位移状态）
CH求、CV、C
6静定结构位移计算
D
求CD杆相对转角位移
求AB两点 的相对位移
l
1/l
19
1/l 求AB两点 连线的转角
§6-4 制造误差产生的位移计算
制造误差产生的位移采用刚体的虚力原理计算。
例：图示桁架AC杆比要求的短了2cm,求由此产生的C 点水平位移 。
解：在C点作用一水平单位力，方向朝左，求出AC杆的内力， 令虚设的力到真实的位移上去做功，由虚功方程有 ：
其中：
M
N
— 由虚设单位力产生的轴力图面积
— 由虚设单位力产生的弯矩图面积
26
§6-5 温度作用时的计算
正负号的规定：虚力状态中的变形与温度改变产生的 变形方向一致时，取正号，反之取负号。 例：图示三铰刚架，室内温度 比原来升高了300，室外 温度没有变化，求C点的 00 竖向位移 CV ，杆件的截 面为矩形，高度h为常数， 材料的膨胀系数为 。
真实的位移状态
FYA FXB
A
L/2 L/2
B
14
b
a
L
§6-2 支座移动产生的位移计算
1 1 FYA FXB 4 2 1 1 b a CV ( b a) 2 4 2 4
（2）求C点的相对转角 Fp=1
C
虚设的力状态
C
YA
在C点作用一对力矩，求出 F 和 FXB 。 C
FX X FP P 0
bP FX FP X 0 aX b b FX FP 0 FX FP a a
δX =1，δP=b/a
FX
ΔX1
Δ δP P
b FX 1 FP P 0 FX FP FP a
结构力学——静定结构位移计算 ppt课件
刚体位移变形力状态满足平衡条件位移状态满足约束条件第二节变形体虚功原理按外力虚功和内力虚功计算微段虚功总和微段内力虚功所以由于变形连续及相邻截面内力是作用力和反作用力的关系第二节变形体虚功原理可编辑课件ppt按刚体虚功和变形虚功计算微段虚功总和微段变形虚功所以基于平衡状态的刚体虚功原理第二节变形体虚功原理可编辑课件ppt对于直杆体系由于变形互不耦连有
要求： 领会变形体虚功原理和互等定理。 掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 熟练荷载产生的结构位移计算。 熟练掌握图乘法求位移。
第一节 位移计算概述
1、结构的位移
杆系结构在外界因素作用下会产生变形和位移。
• 变形 是指结构原有形状和尺寸的改变； • 位移 是指结构上各点位置产生的变化
线位移（位置移动） 角位移（截面转动）。
5
G0.4E
则：
ΔAV85qE4lI171501150
第三节 位移计算公式
各类结构的位移计算公式
荷载引起的位
1、梁和刚架：
ΔiP
MMPds EI
移与杆件的绝 对刚度值有关
2、桁
架： ΔiP
FNFNdPs FNFNlP
EA
EA
3、组合结构：
Δ kP
M M Pds EI
F N F Nd Ps EA
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移 时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We恒等于 变形体各微段外力在微段变形上作的虚功之和 Wi。
也即恒有如下虚功方程成立：
We = Wi
第二节 变形体虚功原理 变形体虚功原理的必要性证明:
力状态
位移状态
（满足平衡条件）
（满足约束条件）
刚体位移
4、拱结构：
要求： 领会变形体虚功原理和互等定理。 掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 熟练荷载产生的结构位移计算。 熟练掌握图乘法求位移。
第一节 位移计算概述
1、结构的位移
杆系结构在外界因素作用下会产生变形和位移。
• 变形 是指结构原有形状和尺寸的改变； • 位移 是指结构上各点位置产生的变化
线位移（位置移动） 角位移（截面转动）。
5
G0.4E
则：
ΔAV85qE4lI171501150
第三节 位移计算公式
各类结构的位移计算公式
荷载引起的位
1、梁和刚架：
ΔiP
MMPds EI
移与杆件的绝 对刚度值有关
2、桁
架： ΔiP
FNFNdPs FNFNlP
EA
EA
3、组合结构：
Δ kP
M M Pds EI
F N F Nd Ps EA
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移 时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We恒等于 变形体各微段外力在微段变形上作的虚功之和 Wi。
也即恒有如下虚功方程成立：
We = Wi
第二节 变形体虚功原理 变形体虚功原理的必要性证明:
力状态
位移状态
（满足平衡条件）
（满足约束条件）
刚体位移
4、拱结构：
第6章 静定结构位移计算
二、 单位荷载法 1、定义：在所求点所在位移方向加上单位 力，将实际状态的真实位移视作虚拟平衡状态的 虚位移。应用虚功原理，通过加单位荷载求实际 位移的方法。 2、计算结构位移的一般公式
F K+ FRiCi= M d + FNdu + FQdv
式中， F =1 则
六．线弹性体系的特征 1）结构的变形与其作用力成正比
若单位力P1=1作用下产生
的位移δ ，则力P作用下在 K处产生的位移为Pδ
2）结构的变形或位移服从叠加原理
P1
P2
Pi
K Δ
Pn
δ K i 表示Pi=1时 在K处产生的位移。
Δ= P1 K 1 P2 K 2 Pn Kn
P
i i 1
n
Ki
6.2 变形体系的虚功原理 一、变形体的虚功原理 功：力对物体作用的累计效果的度量。 功=力×力作用点沿力方向上的位移 实功 ：力在自身引起的位移上所作的功 静力荷载：荷载由零逐渐以微小的增量缓慢地增加 到最终值。结构在静力加载过程中，荷载及内力始 终保持平衡。
虚功： 力在其他因素引起的位移上作的功 其特点是位移与作功的力无关，在作功的过程 中，力的大小保持不变 梁弯曲后，再在点2处加静力荷载FP2，梁产生新 的弯曲。位移△12为力FP2引起的FP1的作用点沿FP1 方向的位移。力FP1在位移△12 上作了功，为虚功， 大小为 W12=FP1△12，此时力不随位移而变化，是 常力。
单位广义力有截然相反的两种设向，计算出的 广义位移则有正负之分： 正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相同 负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反
力的虚设方法
Fp=1 C Fp=1 B C
静定结构的位移计算概述
图10-1
不同的截面具有不同的线位移和 角位移。结构除了在荷载作用下会产 生位移外，温度改变、支座移动、材 料胀缩和制造误差等非荷载因素也会 使结构产生位移。本章主要研究结构 在荷载作用下的位移计算问题。
1. 2 计算结构位移的目的
计算结构位移的目的主要有以下几方面：
1. 校核结构或构件的刚度 刚度是指结构或构件在荷载作用下抵抗变形的能力。为确保结构或构件在使 用过程中不致发生过大变形而影响结构的正常使用，需要校核结构或构件的刚度。
建筑力学
静定结构的位移计算概述
1. 1 结构位移的概念和影响因素
结构在外界因素 ( 荷载、温度变化、支座沉降等 ) 作用下将产生内力和变形。 由于变形，必然导致结构上各点的位置发生移动，同时截面也将发生转动，这些位 置改变量称为结构的位移。
结构的位移一般分为线位移和角位移两 种。图10-1a 所示的刚架在荷载作用下，结构 产生图中虚线表示的弯曲变形，引起刚架的 A 点位置发生了改变，即 A 点移动到 A' 点， 产生线位移为 ΔA ，而线位移 ΔA 通常分解为 水平方向的分位移 ΔH和铅垂方向的分位移 ΔV ， 如图10-1b 所示。与此同时，截面 A 还产生角 位移，如图10-1a 所示。
2. 为超静定结构的内力分析奠定基础 超静定结构的内力计算只通过平衡条件是不能完全确定的，还必须同时考虑 变形条件，即超静定结构要同时满足平衡条件和变形连续条件，而建立变形连续条 件时需要计算结构的位移。
3. 便于结构或构件的制作和施工 结构或构件在制作、施工等过程中需要预先知道该结构或构件可能发生的位 移，以便采取必要的措施 (建筑起拱)，确保结构或构件的正常使用。
建筑力学
由此可见，结构的位移计算在结构分析和实际工程中具有重要的意义。
第六章结构位移计算
广义的位移——角、线位移；相对、绝对位移
△C
△D
C C′
A
A
F F
D′ D
B
B
3. 引起位移的原因
（1）荷载作用——内力——变形——位移 （2）温度变化——结构变形——位移 （3）支座位移——几何位置改变——位移
5 第六
4．计算结构位移的目的
1）校核刚度——位移是否超过许用限值，防止构件和结构产
生过大的变形而影响结构的正常使用。
F
W 1 F 变力功 2
9 第六
F
M=Fd
d F
F
WM 力偶功
广义力可以是一个集中力、一对集中力，也可以 是一个力偶、一对力偶；广义位移是相应的沿力方向 的线位移和沿力偶转向的角位移或相对位移。
10 第六
其他形式的力或力系所作的功也用两个因子的 乘积表示为：功=广义力×广义位移
1)作功的力系为一个集中力 2)作功的力系为一个集中力偶
§6—2 变形体系的虚功原理
§6—3 位移计算的一般公式
A′
§6—4 静定结构在荷载作用下的位移计算
§6—5 图乘法
§6—6 静定结构温度变化时的位移计算
§6—7 静定结构支座移动时的位移计算
§6—8 线弹性结构的互等定理
3 第六
§6—1 概 述
1. 变形和位移
任何结构都由可变形体(固体)材料组成, 在荷载作用下会产 生变形和位移。
A''
B''
将ds虚位移分解为：
C
D
刚体虚位移: ABCD A'B'C'D'
变形虚位移: A'B'C'D' A''B''C''D''
结构力学——第6章结构位移计算讲解
对整个结构有：
WV dWV FNdu Md FSds
虚功方程为： W WV
W FNdu Md FSds
§6-2 变形体系的虚功原理
虚功原理的应用
虚位移原理： 对于给定的力状态，虚设一个位移状态，利 用虚功方程求解力状态中的未知力。
虚力原理： 对于给定的位移状态，虚设一个力状态，利用 虚功方程求解位移状态中的位移。
例6-7 图a为一组合结构，试求D点的竖向位移△Dy。
解：实际状态FNP、MP如图b所示。 ΔDy
FN FNPl E1 A1
A yC E2 I2
虚拟状态FN、M如图c所示。
(1 2 2)Fa 4Fa3
()
E1 A1
3E2 I 2
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算
试求图a所示结构由于温度变
对于静定结构，支座发生移动并不引起内力，材料不发生变形，此 时结构的位移属刚体位移。位移计算一般公式简化为
ΔKc FRc
§6-7 静定结构支座移动时的位移计算
例6-9 图a所示三角刚架右边支座的竖向位移△By=0.06m, 水 平位移为△Bx=0.06m, 已知l=12m，h=8m。试求由此引
第六章 结构位移计算
§6-1 概述 §6-2 变形体系的虚功原理 §6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算 §6-7 静定结构支座移动时的位移计算 §6-8 线弹性结构的互等定理 §6-9 空间刚架的位移计算公式
变形曲线。 解：实际状态弯矩图如图b所示。
虚拟状态弯矩图如图c所示。
ΔAy
A yC 1 (l l ) Fl 1 (l 2l ) Fl EI EI 2 2 2EI 3 4
WV dWV FNdu Md FSds
虚功方程为： W WV
W FNdu Md FSds
§6-2 变形体系的虚功原理
虚功原理的应用
虚位移原理： 对于给定的力状态，虚设一个位移状态，利 用虚功方程求解力状态中的未知力。
虚力原理： 对于给定的位移状态，虚设一个力状态，利用 虚功方程求解位移状态中的位移。
例6-7 图a为一组合结构，试求D点的竖向位移△Dy。
解：实际状态FNP、MP如图b所示。 ΔDy
FN FNPl E1 A1
A yC E2 I2
虚拟状态FN、M如图c所示。
(1 2 2)Fa 4Fa3
()
E1 A1
3E2 I 2
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算
试求图a所示结构由于温度变
对于静定结构，支座发生移动并不引起内力，材料不发生变形，此 时结构的位移属刚体位移。位移计算一般公式简化为
ΔKc FRc
§6-7 静定结构支座移动时的位移计算
例6-9 图a所示三角刚架右边支座的竖向位移△By=0.06m, 水 平位移为△Bx=0.06m, 已知l=12m，h=8m。试求由此引
第六章 结构位移计算
§6-1 概述 §6-2 变形体系的虚功原理 §6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算 §6-7 静定结构支座移动时的位移计算 §6-8 线弹性结构的互等定理 §6-9 空间刚架的位移计算公式
变形曲线。 解：实际状态弯矩图如图b所示。
虚拟状态弯矩图如图c所示。
ΔAy
A yC 1 (l l ) Fl 1 (l 2l ) Fl EI EI 2 2 2EI 3 4
静定结构的位移计算—静定结构在支座移动时的位移计算(建筑力学)
F RBx
2h
1
1
A F R c 0.06 0.04 rad 0.0075 rad
2h
l
()
静定结构的位移计算
例16-11 图示桁架各杆EA相同，支座B发生竖向位移
c=0.5cm，求c点的水平位移△CH。
解：建立虚拟状态，并计算由于水平单位力作用.5cm 0.5cm
由于实际状态中取出的微段ds的变形du=0、d=0、
dv=0 ，于是上式可简化为：
K F R c
式中F R — —虚拟状态的支座反力；
c ——实际状态的支座位移。
静定结构的位移计算
K F R c
注意：当虚设状态的反力和支座位移c方向一致时，其
乘积取正，相反时为负。另外，上式右边前面还有一负号
静定结构的位移计算
第六节 静定结构在支座移动时的位移计算
对于静定结构，支座移动并不产生内力和变形，结构的
位移纯属刚体位移
对于简单的结构，这种位移可由几何关系直接求得，但
一般的结构仍用虚功原理来计算这种位移。
静定结构的位移计算
由虚功原理推导出的位移计算的一般公式为
K F Ndu M d F Qdv F R c
，系原来移项时所得，不可漏掉。
静定结构的位移计算
例16-10 三铰刚架的跨度 l=12m，高h=8m。已知右支座B
的竖向位移为1 =0.06m（向下），水平位移为2 =0.04m（向
右），如图示，试求由此引起的A端转角 。
解 由∑MA=0得
F RBy
1
l
再考虑右半刚
架的平衡
1
由∑Mc=0得
6静定结构位移计算
虚力状态
FA P b a
b a c1
特殊地：令P=1
b a c1 0 b a c1
单位荷载法
§6-2 变形体系的虚功原理
四、变形体系的虚功原理 变形体系处于平衡的充要条件是：对于任何虚位 移，外力所作虚功总和等于各微段上的内力在其形 变上所作的虚功之和，或外力虚功等于变形虚功。
A
线位移
Ay
P
A
A
Ax
位移
角位移
A A点线位移 Ax A点水平位移 Ay A点竖向位移 A截面转角
§6-1
概述
1、结构的变形与位移 1）变形：结构在外部因素作用下发生的形状的变化。 2）位移：结构上点的移动和面或杆的转动。 3）两者之间的关系：有形变必有位移；有位移不一 定有形变。
单位荷载法：
——在虚拟的力状态中，于所求位移点 沿所求位移方向加一个单位荷载（广义 力），以使荷载虚功恰好等于所求位移 的计算位移方法。
§6-3 位移计算的一般公式 ·单位荷载法
说明： ⒈如果计算结果为正，位移和单位荷载方向 相同，反之亦然。
⒉如何设置虚拟状态：
P=1 D M=1 D C P=1 P=1 D
⑵ 虚位移是协调的，满足变形连续条件。
所以 W内 0
故W总 W外
§6-2 变形体系的虚功原理
⒉ 着眼于变形：
C
刚体位移 位移
D
变形位移
ABDC ABD”C” 刚体位移
C
D
ABD’C’ 变形位移
位移状态
§6-2 变形体系的虚功原理
⒉ 着眼于变形：
dW ＝ dW dW
实力状态
Fi i FR c
FA P b a
b a c1
特殊地：令P=1
b a c1 0 b a c1
单位荷载法
§6-2 变形体系的虚功原理
四、变形体系的虚功原理 变形体系处于平衡的充要条件是：对于任何虚位 移，外力所作虚功总和等于各微段上的内力在其形 变上所作的虚功之和，或外力虚功等于变形虚功。
A
线位移
Ay
P
A
A
Ax
位移
角位移
A A点线位移 Ax A点水平位移 Ay A点竖向位移 A截面转角
§6-1
概述
1、结构的变形与位移 1）变形：结构在外部因素作用下发生的形状的变化。 2）位移：结构上点的移动和面或杆的转动。 3）两者之间的关系：有形变必有位移；有位移不一 定有形变。
单位荷载法：
——在虚拟的力状态中，于所求位移点 沿所求位移方向加一个单位荷载（广义 力），以使荷载虚功恰好等于所求位移 的计算位移方法。
§6-3 位移计算的一般公式 ·单位荷载法
说明： ⒈如果计算结果为正，位移和单位荷载方向 相同，反之亦然。
⒉如何设置虚拟状态：
P=1 D M=1 D C P=1 P=1 D
⑵ 虚位移是协调的，满足变形连续条件。
所以 W内 0
故W总 W外
§6-2 变形体系的虚功原理
⒉ 着眼于变形：
C
刚体位移 位移
D
变形位移
ABDC ABD”C” 刚体位移
C
D
ABD’C’ 变形位移
位移状态
§6-2 变形体系的虚功原理
⒉ 着眼于变形：
dW ＝ dW dW
实力状态
Fi i FR c
静定结构的位移计算PPT
P
P
解：1.建立虚设状态，如图：
D
-P
E
2P 0 0 2P
d
2.分别求两种状态各杆轴力：
P
P
A
C
B
4d
P
P
3.由公式计算位移：
cv
NNPl EA
D
2 2
2 2
A1
2 1
2
-1
E
2 2
2 2
CP 1 B 2
1
2
2 [( 2 )( 2P) 2d 1 P 2d 0] (1)(P) 2d
EA 2
方向的线位移和沿力偶转向的角位
移或相对位移。
(b)
ф
P m
a 2
P P
第三节 计算结构位移的一般公式
一、虚功原理 外力虚功T＝内力虚功U 虚功原理的两种用法：
1）虚位移原理—虚设位移状态求实际力状态未知力
2）虚力原理—虚设力状态求实际位移状态未知位移
二、利用虚功原理计算结构的位移（单位荷载法） 欲求实际状态的未知位移，先建立相应的虚设单
2
EA
2(2 2)Pd
()
EA
第五节 图乘法
一、适用条件： ①直杆；
②EI为常量；
③至少有一个直线弯矩图。
二、图乘法公式：
＝ l
MM EI
p
dx
yc
EI
注意：①图乘必须满足三条件；
②yc坐标必须从直线图形中查找； ③二弯矩图在杆轴同侧，ωyc为正值；否则为负值；
例14-2 图示外伸梁，EI=常数，试求C点的竖向位移。
q
解：1）画实际状态弯矩图：
A
2）建立虚设状态并作其弯矩图：
《结构力学》静定结构的位移计算
03
在实际应用中，可以根据结构特点、计算精度和计算资源等因素综合考虑选择 合适的数值方法。
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桥梁横向位移限制
对于大跨度桥梁，需要限制其在风荷载、地震等横向力作用下的横 向位移，以保证桥梁的稳定性和行车安全。
支座位移控制
桥梁支座的位移也需要进行控制，以避免支座过度磨损或脱空等现 象，确保桥梁的正常使用。
建筑工程中变形缝设置要求
伸缩缝设置
为避免建筑物因温度变化、地基沉降等因素而产生裂缝或 破坏，需要在建筑物的适当位置设置伸缩缝，使建筑物能 够自由伸缩。
计算方法
采用分段叠加法，将组合结构分成若 干段，分别计算各段的位移再求和； 或采用有限元法直接求解整体位移。
需考虑不同材料或截面的变形协调问 题。
03 图乘法计算静定结构位移
图乘法基本原理及适用条件
基本原理
图乘法是基于结构力学的虚功原理，通过图形面积与形心位置的乘积来简化计 算结构位移的一种方法。
均布荷载作用
荷载沿梁长均匀分布，引 起梁产生均匀弯曲变形。
位移计算
采用图乘法或积分法求解， 考虑荷载、跨度、截面惯 性矩等因素。
悬臂梁在集中力作用下位移
悬臂梁基本概念
一端固定，另一端自由的 梁，承受集中力、均布荷 载等。
集中力作用
在悬臂梁自由端施加集中 力，引起梁产生弯曲和剪 切变形。
位移计算
采用叠加原理，分别计算 弯曲和剪切变形引起的位 移，再求和。
制造误差对结构位移的影响不同。
影响系数
02
利用影响系数可以计算制造误差引起的结构位移，影响系数与
结构形式和荷载情况有关。
敏感性分析
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力功应为实功，其为轴力、剪力和弯矩分别做的功
之和： 因为
dw du 1 2 F N d d su1 2F Sdd s 1 2 M kd d s 1ds
所以 dw1 2F N ds1 2F Sds1 2M κsd
由胡克定律有：
F N , kS F, M
EA GA EI
故
dw1F N 2ds1kS 2 F ds1M 2ds
§6-1 概述
一、结构的位移 • 结构的位移
指结构上的某一截面在荷载或其它因素作用下由某一位 置移动到另一位置，这个移动的量就称为该截面的位移 （线位移和角位移）。
思考：变形与位移的差别？
变形：结构在外部因素作用下发生的形状的变化。
两者之间的关系：有变形必有位移；有位移不一定有变形。
§6-1 概述
2EA2GA2EI
实功数值上就等于微段的应变能。
§6-2 变形体系的虚功原理
内力虚功
若变形与内力彼此无关，则此微段上的内力功 是虚功，其为
d w iF N d uF S d s M d
对于整根杆的内力虚功，则可对整根杆积分求得：
W i F N duF SdsM d
ห้องสมุดไป่ตู้
s
s
s
du , ds 和 d 的具体表达式要视引起这个变形的具体
在位移上做的虚功的总和W，等于变形体的内力在变形上做 的虚功的总和Wv，即:
W Wv
需注意：
——这就是虚功方程。 （证明略）
⑴ 外力系必须是平衡力系，物体处于平衡状态；
第六章 静定结构的位移计算
§6—1 概述 §6—2 变形体系的虚功原理 §6—3 位移计算的一般公式 单位荷载法 §6—4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6—5 图乘法 §6—6 静定结构温度变化时的位移计算 §6—7 静定结构支座移动时的位移计算 §6—8 线弹性结构的互等定理 §6—9 空间刚架的位移计算公式
A+
B
§6-1 概述
C'
CV C D
CDV
DV
D'
A
B
C'
C
D
D'
CD
A
B
截面C、D 的相对竖向
线位移为 :
CV DC VD V
截面C、D 的相对角位移为:
CDCD
§6-1 概述
3.位移产生的原因
F
A
△Ay
△A
□
△Ax
A′
A
t
引起结构位移的原因
荷载 温度改变 支座移动 制造误差 等
还有什么原 因会使结构产
位移Δ是由外力F引起的，F 做的功可表示为:
W F'dΔ' 0
所以
W F'dΔ' 1FΔ
0
2
F
F
A
l
F'
O 'd ' B F
实功的数值就等于图上三角形OAB的面积。
§6-2 变形体系的虚功原理
2.外力的虚功
虚功：力在其它原因引起的位移上所作的功，即做功 的力系和相应的位移是彼此独立无关的。
δWFΔt
2. 位移的分类
F
A
△Ay
△A
□
△Ax
A′
A
位移
线位移 角位移
A A点线位移 Ax A点水平位移 Ay A点竖向位移
A A截面转角
§6-1 概述
绝对位移 相对位移
△C C C′ P A
△D D′ D
B
C、D 两点的水平相对线位移
( C D )H =
C+
D
A、B两个截面的相对转角
AB=
F
F
t
l
t
O F
A
B
t
虚功的数值是位移曲线所围的矩形面积。虚功中的力 与位移两者相互独立。
§6-2 变形体系的虚功原理
例 F1力在其引起的位移Δ11 上作的功为实功为
F1
W
1 2
F1 Δ11
1
2
11
21
F1
F2
12
11
21
12
22
力F1在力F2引起的位移Δ12上作的功为虚功为
δWF1Δ12
§6-2 变形体系的虚功原理
§6-2 变形体系的虚功原理
4.内力功
定义：从杆上截取一微段,作用在该微段上的内力在 该微段的变形上做的功定义为该内力做的功。
FN
FN
FS
ds
ds+du
ds
该微段上相应的变形为
γds
FS
d φ
M
M
d s
轴向变形 du
剪力变形 ds
弯曲变形 d
§6-2 变形体系的虚功原理
内力实功
如果变形就是由此内力引起的，则此微段上内
去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。 则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：
对于任何可能的虚位移，作
用于刚体系的所有外力所做虚
功之和为零。
ΔP
-FP ΔP +FB ΔB=0
F Ax
F Ay
FP ΔB
FB
§6-2 变形体系的虚功原理
二、虚功原理
1. 变形体系的虚功原理
设一变形体在外力系作用下处于平衡状态。当变形体由于 其他原因产生一符合约束条件的微小连续位移时，则外力系
超静定结构的内力不能仅由平衡条件确定，分析时必 须考虑变形条件，因而需要计算结构的位移。
3、施工要求
在结构的施工过程中，常需预先知道结构变形后的位置， 以便采取一定的施工措施，使结构物符合设计图纸的要求。
§6-1 概述
三、 本章位移计算的假定
(1) 线弹性 (2) 小变形
叠加原理适用
(3)理想联结
四、 计算方法
1.几何法
研究变形和位移的几何关系，用求解微分方程式的办法 求出某截面的位移（材料力学用过，但对复杂的杆系不适 用）。
2. 功能法 虚功原理、应变能(卡氏定理)
本章只讨论应用虚功原理求解结构位移。
§6-2 变形体系的虚功原理
一、基本概念 1.外力的实功
实功： 力在其本身引起的位移上所作的功。
3.广义位移和广义力
广义—位—移结构产生的各种位移，包括截面的线位 移、角位移、相对线位移、相对角位移或者是一组位 移等等都可泛称为广义位移。
广义—力— 与 广 义 位 移 对 应 的 就 是 广 义 力 ， 可 以 是一个集中力，集中力偶或一对大小相等方向相反 的力或力偶，也可以是一组力系。
注意：广义位移与广义力的对应关系，能够在 某一组广义位移上做功的力系，才称为与这组广义 位移对应的广义力。
生位移?
§6-1 概述
二、计算位移的目的
1、 校核结构刚度
在工程上，吊车梁允许的挠度<1/600 跨度； 高层建筑的最大位移<1/1000 高度。
最大层间位移<1/800 层高。 铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向静活载下，简支钢桁梁最大挠度 1/900跨度
§6-1 概述
2、超静定结构、动力和稳定计算的基础
原因而定。
§6-2 变形体系的虚功原理
回顾
（1）质点系的虚功原理
具有理想约束的质点系，在某一位置
处于平衡的必要和充分条件是：
FN1
FP1
对于任何可能的虚位移，作用于质
点系的主动力所做虚功之和为零。也 即
Σ→fi .δr→i=0
FP2
m 1
m 2
FN2
§6-2 变形体系的虚功原理
（2）刚体系的虚功原理