2020届高考数学二轮复习专题《数列中的存在性问题》

专题24数列中的存在性问题

数列中的存在性问题一般转化为求不定方程正整数解的问题，往往涉及数论、函数、方程、不等式等知识，蕴含了丰富的数学思想．本专题对数列中一些存在性问题进行探究，使学生学会通过研究方程两边范围的策略来解不定方程整数解的问题.

已知a n＝2n，是否存在正整数p，q，r(p

数列中的存在性问题求解策略，一般都是采用逆向思维，先假设存在，然后加以判断．本题先假设存在成等差数列的三项a p，a q，a r，其中(p

已知a n＝2n，是否存在三个互不相等正整数p，q，r，且p，q，r成等差数列，使得a p－1，a q－1，a r－1成等比数列？并说明理由．

已知a n＝n＋2，是否存在正整数p，q，r(p

已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，S n为其前n项和，

且满足a2n＝S2n

－1，令b n＝

1

a n·a n＋1，数列{

b n}的前n项和为T n.

(1)求数列{a n}的通项公式及数列{b n}的前n项和T n；

(2)是否存在正整数m，n(1

已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )恒成立．

(1)若A n ＝n 2，b 1＝2，求B n ；

(2)若a 1＝2，b n ＝2n ，是否存在两个互不相等的整数s ，t (1

成等差数列？若存在，求出s ，t 的值；若不存在，请说明理由．

(2020·苏州模拟)已知数列{}a n 的前n 项和记为A n ，且A n ＝n ()a 1＋a n 2

，数列{}b n 是公比为q 的等比数列，它的前n 项和记为B n .若a 1＝b 1≠0，且存在不小于3的正整数k ，m ，使得a k ＝b m .

(1)若a 1＝1，a 3＝5，求a 2的值；

(2)求证：数列{}a n 是等差数列；

(3)若q ＝2，是否存在整数m ，k ，使得A k ＝86B m ，若存在，求出m ，k 的值，若不存在，请说明理由．

(本小题满分16分)已知数列{}a n 满足对任意的n ∈N *，都有a n (q n a n －1)＋2q n a n a n ＋1＝a n ＋1(1－q n a n ＋1)，且a n ＋1＋a n ≠0，其中a 1＝2，q ≠0.记T n ＝a 1＋qa 2＋q 2a 3＋…＋q n －1a n .

(1)若q ＝1，求T 2019的值；

(2)设数列{}b n 满足b n ＝(1＋q )T n －q n a n .

① 求数列{}b n 的通项公式；

② 若数列{}c n 满足c 1＝1，且当n ≥2时，c n ＝2b n －1－1，是否存

在正整数k ，t ，使c 1，c k －c 1，c t －c k 成等比数列？若存在，求出所有k ，t 的值；若不存在，说明理由．

(1)1 011；(2)① b n ＝n ＋1；② k ＝2，t ＝3.

(1)当q ＝1时，由a n (q n a n －1)＋2q n a n a n ＋1＝a n ＋1(1－q n a n ＋1)，得(a n ＋1＋a n )2＝a n ＋1＋a n ，

又a n ＋1＋a n ≠0，所以a n ＋1＋a n ＝1，……………………2分(推导出a n ＋1＋a n ＝1)

又a 1＝2，所以T 2 019＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2 018＋a 2 019)＝1 011.

………………………………………………………………4分(分组求和法，求出T 2 019)

(2)由a n (q n a n －1)＋2q n a n a n ＋1＝a n ＋1(1－q n a n ＋1)，得q n (a n ＋1＋a n )2＝a n ＋1＋a n ，

又a n ＋1＋a n ≠0，所以a n ＋1＋a n ＝1q n ，……………………6分(导出a n ＋1＋a n

＝1q n )

又因为，T n ＝a 1＋qa 2＋q 2a 3＋…＋q n －1a n ，所以qT n ＝qa 1＋q 2a 2＋q 3a 3＋…＋q n a n ，

所以(1＋q )T n ＝a 1＋q (a 1＋a 2)＋q 2(a 2＋a 3)＋q 3(a 3＋a 4)＋…＋q n －1(a n －1＋a n )＋q n a n ，

………………………………………………………………8分(求出(1＋q )T n

) b n ＝(1＋q )T n －q n a n ＝a 1＋1＋1＋…＋1＋q n a n －q n a n ＝a 1＋n －1＝n ＋1

所以b n ＝n ＋1. ………………………………………………………………10分(求出b n )

②由题意，得c n ＝2b n －1－1＝2n －1，n ≥2，

因为c 1，c k －c 1，c t －c k 成等比数列，

所以(c k －c 1)2＝c 1(c t －c k )，即(2k －2)2＝2t －2k ，

…………………………………………12分(导出等式(2k －2)2＝2t －2k )

所以2t ＝(2k )2－3×2k ＋4，即2t －2＝(2k －1)2－3×2k －2＋1(*)．

由于c k －c 1≠0，所以k ≠1，即k ≥2.

当k ＝2时，2t ＝8，得t ＝3. …………………………………………14分(求得k ＝2，t ＝3)

当k ≥3时，由(*)，得(2k －1)2－3×2k －2＋1为奇数，

所以t －2＝0，即t ＝2，代入(*)得22k －2－3×2k －2＝0，即2k ＝3，此时k 无正整数解．

综上，k ＝2，t ＝3. …………………………………………16分(验证k ≥3，k ∈N *，

无解，并得出结论)

第一步：将q ＝1代入已知条件，经变形推得a n ＋1＋a n ＝1； 第二步：利用a n ＝2，应用分组求和法求得T 2 019；

第三步：将已知条件等价变形，并推得a n ＋1＋a n ＝1q n ；

第四步：利用已知条件，求出(1＋q )T n 的表达式；

第五步：将第四步求得的(1＋q )T n 代入已知求得b n ＝n ＋1； 第六步：由已知条件推出等式(2k －2)2＝2t －2k ；

第七步：求出第六步中的方程的一组解k ＝2，t ＝3；

第八步：验证：k ≥3时，第六步中的方程无解，进而得出结论.