第11章梁的弯曲应力
第十一章 交变应力
t
z
y r sin t
A点的弯曲正应力为
s s2
O s1
M y M r s sin t I I
s 随时间 t 按正弦曲线变化
s3
s1
t
s4
(Alternating Stress)
三、疲劳破坏（Fatigue failure）
材料在交变应力作用下的破坏习惯上称为疲劳破坏
1.疲劳破坏的特点
下的 应力—疲劳寿命曲线,即 S-N曲线.
(Alternating Stress)
当最大应力降低至某一 smax 值后,S-N 曲线趋一水平,表示 材料可经历无限次应力循环 smax，1 smax，2 而不发生破坏,相应的最大应 力值 smax 称为材料的疲劳极 限或耐劳极限.用 sr 表示.
1 2
§11-4 影响构件持久极限的因素
一、构件外形的影响 二、构件尺寸的影响 三、构件表面状态的影响
§11–1 交变应力与疲劳失效
一、交变应力（Alternating stress )
构件内一点处的应力随时间作周期性变化,这种应力称为交 变应力.
F
A
s
Ｏ
t
(Alternating Stress) 二、产生的原因
1.载荷做周期性变化 2.载荷不变,构件点的位置随时间做周期性的变化
例题1 一简支梁在梁中间部分固接一电动机,由于电动机的重力 作用产生静弯曲变形,当电动机工作时,由于转子的偏心而引起离 心惯性力.由于离心惯性力的垂直分量随时间作周期性的变化,梁 产生交变应力.
(Alternating Stress)
F
F F a Fa
F
a
第一根试件 第二根试件
工程力学第十一章 组合变形
土建工程中的混凝土或砖、石偏心受压柱，往往不 允许横截面上出现拉应力。这就是要求偏心压力只能作 用在横截面形心附近的截面核心内。
要使偏心压力作用下杆件横截面上不出现拉应力， 那么中性轴就不能与横截面相交，一般情况下充其量只能 与横截面的周边相切，而在截面的凹入部分则是与周边外 接。截面核心的边界正是利用中性轴与周边相切和外接时 偏心压力作用点的位置来确定的。
解：拉扭组合:
7kNm T
50kN FN
安全
例11-8 直径为d的实心圆轴，
·B
P 若m=Pd，指出危险点的位置， 并写出相当应力 。
x
m
解：偏拉与扭转组合
z
C P P 例11-9 图示折角CAB，ABC段直径
d=60mm，L=90mm，P=6kN，[σ]＝
BA
60MPa，试用第三强度理论校核轴 x AB的强度。
例11-6 图示圆轴.已知,F=8kN,Me=3kNm,［σ］=100MPa, 试用第三强度理论求轴的最小直径.
解：(1) 内力分析
4kNm M
3kNm T
(2)应力分析
例11-7 直径为d=0.1m的圆杆受力如图，T=7kNm，P=50kN， []=100MPa，试按第三强度理论校核此杆的强度。
至于发生弯曲与压缩组合变形的杆件，轴向压力 引起的附加弯矩与横向力产生的弯矩为同向，故只有 杆的弯曲刚度相当大（大刚度杆）且在线弹性范围内 工作时才可应用叠加原理。
A M
F FN
+ ql2/8
+
B
+
=
C 10kN
A 1.6m
1.6m
10kN
1.2m
例11-3 两根无缝钢管焊接 而成的折杆。钢管外径 D=140mm，壁厚t=10mm。求 危险截面上的最大拉应力和 B 最大压应力。
第11章材料力学弯曲应力练习题
11—5（a） 试计算图示截面对水平形心轴z的惯性矩。
解： （1）确定形心轴位置
yC A2 C 60 Wz 4Wz
可得：
60 4Wz q 240Wz 2 a
1 2 qa 4
3、计算梁内最大弯曲正应力； 由弯矩图得：
M max 9 qa 2 32
1 2 qa 4
所以梁内最大弯曲正应力：
max
M max 9 240Wz 67.5MPa Wz 32Wz
FN 12103 2、计算应力； N MPa A 5 (40 x)
M
M 6 103 x MPa W 1 5 (40 x) 2 6
3、根据强度条件；
N M
12 103 6 103 x 100 5 (40 x) 1 5 (40 x) 2 6
2、计算最大弯曲正应力； 最大弯矩在固定端。；
M max 7.5 103 103 6 max 176MPa 2 Wz 40 80
3、计算固定端k点处弯曲正应力；
M max yk 7.5 103 103 3012 k 132MPa 3 Iz 40 80
结论:
c=146.9mm
3
A截面的强度足够。
11—17 外伸梁承受载荷F作用，已知载荷F=20 kN，许用应力[σ]＝160 MPa，许用切应力[τ] ＝90 MPa，试选择工字钢型号。
解： 1、绘制剪力图、弯矩图；
材料力学-弯曲应力
对于宽为b高为h的矩形截面：
W
bh3 12
bh2
h
6
2
对于直径为d的圆形截面：
W d 4 64 d 3
d
32
2
限定最大弯曲正应力不得超过许用应力，于是强度条件为：
max
M max W
设σt 表示拉应力，σc 表示压应力，则：
t max t
cmax c
塑性材料， [σt]= [σc]= [σ]；
所以由（1）式：
A
d
A
A E
y
d
A
E
A y d
A
E
Sz
0
由（2）式：
说明中性轴过形心
A z
d
A
A zE
y
d
A
E
A
yz d
A
E
I yz
0
由于y轴是对称轴，此 式自然满足。
由（3）式：
A
y
d
A
A
yE
y
d
A
E
A
y2
d
A
E
Iz
M
1 M
EI z
1 为梁轴线变形后的曲率 ；
由变形几何关系得到 y
由物理关系得到
bh2 2b3 W
63
故： b 121.6 mm
h 2b 243.2 mm
选取截面为： 125 250 mm 2
e.g.3 已知：l=1.2m，[σ]=170MPa， 18号工字钢，不计自重。
求：P 的最大许可值。
P A
解：作弯矩图， 由图可得：
M
| M |max Pl 1.2P N m
《建筑力学》复习提纲及题库
《建筑力学（一）》复习考试说明考试形式及试卷结构考试方法（闭卷）。
试卷满分（为100分，考试时间120分钟）。
●试卷内容比例（各章节内容分数比例）（1）静力学 35%（2）材料力学 65%轴向拉伸与压缩 25%剪切和挤压 20%平面弯曲 15%压杆稳定 5%●题型比例选择题 40%填空题 20%计算题 40%●试卷难易比例容易题 60%中等题 30%较难题 10%复习题库一、选择题（每题2分，共40分）第1章：静力学基础1、“二力平衡公理”和“力的可传性原理”只适用于（ D ）。
A、任何物体B、固体C、弹性体D、刚体2、只限制物体任何方向移动，不限制物体转动的支座称（ A ）支座。
A、固定铰B、可动铰C、固定端D、光滑面3、既限制物体任何方向运动，又限制物体转动的支座称（ C ）支座。
A、固定铰B、可动铰C、固定端D、光滑面4、物体系统的受力图上一定不能画出（ B ）。
A、系统外力B、系统内力C、主动力D、约束反力5、光滑面对物体的约束反力，作用在接触点处，其方向沿接触面的公法线（ A ）。
A、指向受力物体，为压力B、指向受力物体，为拉力C、背离受力物体，为拉力 C、背离受力物体，为压力6、柔体约束反力，作用在连接点，方向沿柔体（ B）。
A、指向被约束体，为拉力B、背离被约束体，为拉力C、指向被约束体，为压力 C、背离被约束体，为压力7、两个大小为3N和4N的力合成一个力时，此合力的最大值为（ B ）。
A、5NB、7NC、12ND、16N8、三力平衡汇交定理是（ A ）。
A、共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点B、共面三力若平衡，必汇交于一点C、三力汇交于一点，则这三个力必互相平衡D、此三个力必定互相平行第2章：平面汇交力系1、一个物体上的作用力系，满足（ A ）条件，就称这种力系为平面汇交力系。
A、作用线都在同一平面内，且汇交于一点B、作用线都在同一平面内，但不汇交于一点C、作用线不在同一平面内，且汇交于一点D、作用线不在同一平面内，且不交于一点2、平面汇交力系的合成结果是（ C ）。
第十一章 弯曲问题的进一步研究与组合变形
M z ,max Wz M y ,max Wy
19.3 103 5.18 103 6 402 10 48.3 106
155 106 Pa 155MPa
故此梁满足正应力强度条件
讨论：若F力的作用线与y轴重合，即＝0，则梁的最大正应力为 M max 20 103 6 max 49.8 10 Pa 49.8MPa 远小于155MPa 6 Wz 402 10
对称轴
FA
问题：当梁不具有纵向对称平面，或梁虽具有纵向对称平面，但 外力的作用面与该纵向对称平面间有一夹角，则该梁发生什么变 形呢？
F
F F
z
C
F
C
z
C
z
y
y
y
斜弯曲
斜弯曲
平面弯曲与扭转
工程中的许多受力构件往往同时发生两种或两种以上的基本变形， e 称为组合变形。 F
Me
F
（轴向压缩 和弯曲） 偏心压缩
a
z
C
wz
wy b
y
z
z
C
a
F
w
y
F
y
F
讨论： （1）若梁的截面是正方形，由于Iy=Iz，所以b =，故梁不会 发生斜弯曲，而发生平面弯曲。正多边形也是如此。 （2）若梁的截面是圆形，由于Iy=Iz，所以b =，故梁不会发 生斜弯曲，而发生平面弯曲。
例11-2 外力F通过截面形心，且与y方向的 夹角＝15°，材料许用应力[170MPa, 试校核此梁的强度。 解： 梁跨中截面上的弯矩最 2m 大，故为危险截面，该截面 上的弯矩值为 M Fl 1 20 4 20kN.m
例11-1 悬臂梁的横截面分别采用如图所示三种截面，在自由 端受集中力F作用，F力均通过这些截面的形心C。试指出这三 种截面梁各产生何种变形形式。
第11章 深受弯构件
墩柱 墩柱
（EI / l） （EI / l） 5 ，可按刚构计算。 盖梁 / 柱
lc l min 1.15ln (lc 盖梁支承中心距 ) (ln 盖梁的净跨径 )
地面线 桩
一、 深受弯构件（短梁）的计算
1）深受弯构件的正截面抗弯承 As z
10 k 9
A k A1
对工字形或箱形（A1为腹板面积）：
11.1 深受弯构件的破坏形态
一、深梁的破坏形态
1）弯曲破坏 • 正截面弯曲破坏——直裂缝发展产生临界裂缝，与之相交 的纵向钢筋先屈服，最后梁顶砼被压碎而破坏. 发生场合：纵向钢筋配筋率较低 • 斜截面弯曲破坏——斜裂缝的产生使之成为拉杆拱受力体 系，破坏时受拉钢筋先屈服，“拱顶”砼后压碎. 发生场合：纵向钢筋配筋率稍高
h h x h x 2 RA 1.083 0.219 (1.647 0.837 )( ) (0.481 0.374 )( ) lo lo lo lo lo
11.2 深受弯构件的计算
盖梁
（EI / l） （EI / l） 5 ，盖梁可按简支梁或连续梁计算； 盖梁 / 柱
三、 深受弯构件（梁）的配筋及构造要求
纵向受拉钢筋 钢筋的种类 布钢筋 水平分布钢筋及竖向分 向钢筋 附加水平钢筋、附加竖 拉筋 1.下部纵向钢筋的锚固 • 下部纵向钢筋应全部伸入支座且应可靠地锚固，不得在跨 间弯起或截断. • 纵向受拉钢筋应在锚固区内设水平弯钩，弯钩末直线段长 度不小于10d. • 连续深梁的下部纵向受拉钢筋直贯通全跨，当必须截断时， 应伸过中间支座的中心线. 2.下部纵向受拉钢筋布置 • 纵向受拉钢筋应均匀布置在下边缘以上0.2h的高度范围.
图11-A1 中支点截面上正应力的分布规律
弹塑性力学11塑性极限分析
ss
Pe
b h2 6l
ss
Mp
bh2 4
ss
Pp
b h2 4l
s
s
Pe P PP
Ms
Me 2
3
4
he2 h2
he 1 3 2P(l x)
h2
Pel
Ms Mp
M Ppl Me Pel
Pe 2 Pp 3
l
3
o
x
l z
P x
Mp
Me
ss
h/2
z ss
§11－2 塑性极限分析定理与方法
若给物体一微小的虚变形（位移）。则外力的
虚功必等于应力的虚功（物体内储存的虚应变
能）。
fi ui*dV Fi ui*dS s ij i*jdV
V
ST
V
Fi ST
Su
ui
V
虚变形（位移）：结构约束所允许的无限小位移。
证明： fiui*dV Fiui*dS s ij i*jdV
平衡方程： 边界条件：
塑性极限弯矩
z
ss
x
l 6
h/2
PP
4MP l
bh2 l
s
s
塑性极限载荷
M
PP 2
l 2
Me
Pel 4
l
6
z ss
确定塑性区位置
❖塑性铰：在全塑性阶段，跨中 截面的上下两塑性区相连，使 跨中左右两截面产生像结构 （机械）铰链一样的相对转动 －－塑性铰。
❖ 特点：
塑性铰的存在是由于该截面上的 弯矩等于塑性极限弯矩；故不能 传递大于塑性极限弯矩的弯矩。
x j
V
s
x
ij j
梁的弯曲应力和变形
正应力分布规律：
1. 中性轴上的点应力为零；
M
2. 上下边缘的点应力最大，其余各 点的应力大小与到中性轴的距离成
正比。
M
中性轴
F
二、计算公式 F
mn
1. 变形几何关系
解：（ 1 ）求支座反力
12.75
kN m
（ 2 ）作弯矩图
max
M
max
Iz
y1
M max W1
max
M
max
Iz
y2
M max W2
（8 - 8） （8 校核哪个截面？
例 2 铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的惯性矩 Iz=40 3×10 － 7m4 ，铸铁抗拉强度［ σ ＋］ =5m0MPa ，抗压强度
的情况，公式仍然适用。
（ 2 ）公式是从矩形截面梁导出的，但对截面为其它对称形状（如工
字形、 T 字形、圆形等）的梁，也都适用。
M max WZ
梁弯曲时，其横截面上既有拉应力也有压应力。对于中性轴为对称 轴的横截面，例如矩形、圆形和工字形等截面，其上、下边缘点到 中性轴的距离相等，故最大拉应力和最大压应力在数值上相等，可 按左式求得。
一般情况下，梁的强度计算由正应力强度条件控制。
在选择梁的截面时，一般按正应力强度条件选择，选好 截面后，再按剪应力强度条件进行校核。
对于细长梁，按正应力强度条件选择截面或确定许用荷载 后，一般不再需要进行剪应力强度校核。
在下列几种特殊情况下，需要校核梁的剪应力：
（ 1 ）梁的跨度较短，或在支座附近有较大的荷载作用。 在此情况下，梁的弯矩较小，而剪力却很大。 （ 2 ）在组合工字形截面的钢梁中，当腹板的厚度较小 而工字形截面的高度较大时，腹板上的剪应力值将很大 ，而正应力值相对较小。 （ 3 ）木材在顺纹方向抗剪强度较差，木梁可能因剪应 力过大而使梁沿中性层发生剪切破坏。
工程力学第十一章弯曲应力
Q
+
– x
qL 2
Qmax 1.5 5400 t max 1.5 A 0.12 0.18 0.375MPa 0.9MPa [t ]
应力之比
+ M
qL2 8
s max M max 2 A L 16.7 46 t max Wz 3Q h
例题5
F
l
悬臂梁由三块木板粘接 50 而成。跨度为1m。胶合面 z50 的许可剪应力为0.34MPa， 50 木材的〔σ〕= 10 MPa， 100 [τ]=1MPa，求许可载荷。
P1=9kN A C 1m 1m
P2=4kN B D 1m
Ｃ
y1
z
y2
例2 T 字形截面的铸铁梁受力如
图，其截面形心位于C点， y1=52mm， y2=88mm， 截面对形心轴的惯性矩 Iz=763cm4 ，试计算梁内的最大
解：画弯矩图并求危面内力
RA 2.5kN ; RB 10.5kN
L=3m
qL 2
Q
+
–
Qmax
M max
+ M
qL 3600 3 5400 N 2 2
qL2 3600 32 4050Nm 8 8
45
qL 8
2
q=3.6kN/m
A
求最大应力并校核强度
L=3m
qL 2
M max 6M max 6 4050 B s max 2 Wz bh 0.12 0.182 6.25MPa 7MPa [s ]
15
(2)两个概念
①中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤 维不受拉应力和压应力，此层称中性层。 ②中性轴：中性层与横截面的交线。
《建筑力学》复习提纲及题库
《建筑力学（一）》复习考试说明考试形式及试卷结构考试方法（闭卷）。
试卷满分（为100分，考试时间120分钟）。
●试卷内容比例（各章节内容分数比例）（1）静力学 35%（2）材料力学 65%轴向拉伸与压缩 25%剪切和挤压 20%平面弯曲 15%压杆稳定 5%●题型比例选择题 40%填空题 20%计算题 40%●试卷难易比例容易题 60%中等题 30%较难题 10%复习题库一、选择题（每题2分，共40分）第1章：静力学基础1、“二力平衡公理”和“力的可传性原理”只适用于（ D ）。
A、任何物体B、固体C、弹性体D、刚体2、只限制物体任何方向移动，不限制物体转动的支座称（ A ）支座。
A、固定铰B、可动铰C、固定端D、光滑面3、既限制物体任何方向运动，又限制物体转动的支座称（ C ）支座。
A、固定铰B、可动铰C、固定端D、光滑面4、物体系统的受力图上一定不能画出（ B ）。
A、系统外力B、系统内力C、主动力D、约束反力5、光滑面对物体的约束反力，作用在接触点处，其方向沿接触面的公法线（ A ）。
A、指向受力物体，为压力B、指向受力物体，为拉力C、背离受力物体，为拉力 C、背离受力物体，为压力6、柔体约束反力，作用在连接点，方向沿柔体（ B）。
A、指向被约束体，为拉力B、背离被约束体，为拉力C、指向被约束体，为压力 C、背离被约束体，为压力7、两个大小为3N和4N的力合成一个力时，此合力的最大值为（ B ）。
A、5NB、7NC、12ND、16N8、三力平衡汇交定理是（ A ）。
A、共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点B、共面三力若平衡，必汇交于一点C、三力汇交于一点，则这三个力必互相平衡D、此三个力必定互相平行第2章：平面汇交力系1、一个物体上的作用力系，满足（ A ）条件，就称这种力系为平面汇交力系。
A 、作用线都在同一平面内，且汇交于一点B 、作用线都在同一平面内，但不汇交于一点C 、作用线不在同一平面内，且汇交于一点D 、作用线不在同一平面内，且不交于一点2、平面汇交力系的合成结果是（ C ）。
第十章 工程力学之弯曲应力
max拉MWm1ax [拉] ； max压MWm2ax [压]
式中W1和W2分别是相应于最大拉应力 max拉和最大压应力 max压 的抗弯截面模量，[ 压 ] 为材料的许用拉应力，[ 拉 ]为
材料的许用压应力。
例10-1 某冷却塔内支承填料用的梁，可简化为受均布载荷 的简支梁，如图10-8所示。已知梁的跨长为3m，所受均布
加载之前，先在梁的侧面，分别画上与梁轴线垂直的横线mn、 m1n1，与梁轴线平行的纵线ab、a1b1，前二者代表梁的横截面；
后二者代表梁的纵向纤维。如图10-2（a）所示。
在梁的两端加一对力偶，梁处于纯弯曲状态，将产生如图 10-2（b）、图10-2（c）所示的弯曲变形，可以观察到以下 现象：
•两条横线仍为直线，仍与纵线垂直，只是横线间作相对 转动，由平行线变为相交线。
2. 梁的变形规律
可以证明，纯弯曲梁变形后的轴线为一段圆弧。将图10-2(b)
中代表横截面的线段mn和m1n1延长，相交于C点，C点就是梁轴 弯曲后的曲率中心。若用 表示这两个横截面的夹角， 表
示中性层 故有
O
1
O
2
的曲率半径，因为中性层的纤维长度
O
1
O
2
不变，
O1O2
在如图10-2所示的坐标系中，y轴为横截面的对称轴，z轴为
如图10-1（a）所示的简支梁，其剪 力图如图10-1（b）所示，弯矩图如图 10-1（c）所示。可以看出梁中间一段 的剪力为零，而弯矩为常数，即为纯
弯曲； AC 和DB 段上既有剪力，又有
弯矩，为横力弯曲。
一、变形的几何关系
1. 梁的变形特点
如图10-2（a）所示，取梁的纵向对称面为xy平面。梁上的 外载荷就作用在这个平面内，梁的轴线在弯曲变形后也位于这 个平面内。
第十一章钢筋混凝土设计原理课后习题答案
第十一章1什么是单双向板？怎样加以区别？其传力路线有和特征？单向板：荷载作用下，只在一个方向或主要在一个方向弯曲的板。
双向板:荷载作用下，在两个方向弯曲，且不能忽略任一方向弯曲的板.(1）对两对边支承的板，应按单向板计算。
（2）对于四边支承的板l b≤时应按双向板计算；/2l b<<时宜按双向板计算；按沿短边方向受力的单向板计算2/3时,应沿长边方向布置足够数量的构造钢筋；/2l b≤时可按沿短边方向受力的单向板计算。
单向板沿短边方向受力,特征个方向弯曲双向板双向受力特征两个方向弯曲2什么叫截面的弯曲刚度?什么叫截面竖向弯曲刚度？截面的弯曲刚度:使构件截面产生单位曲率需施加的弯矩值截面竖向弯曲刚度：使构件截面产生单位挠度需施加的竖向均布荷载3现浇单向板的设计步骤是什么？（1) 结构平面布置,并拟定板厚和主、次梁的截面尺寸（2) 确定梁、板得计算简图（3）梁、板的内力分析（4）截面配筋及构造设施（5）绘制施工图4单向板肋梁楼盖其板、次梁、主梁的跨度如何确定？工程常用的数值分别是多少？板的跨度：次梁的间距单向板:1.7-2.5 m荷载大时取较小值,一般≤3m次梁的跨度：主梁的间距次梁： 4--6 m主梁的跨度：柱或墙的间距主梁: 5——8 m5单向板肋梁楼盖的布置方式都有哪几种？1）主梁横向布置，次梁纵向布置优点：主梁与柱可形成横向框架,横向抗侧移刚度大各榀横向框架间由纵向的次梁相连，房间整体性较好由于外墙处仅设次梁，故窗户高度可开大些，对采光有利（2）主梁纵向布置,次梁横向布置（3）优点：减小了主梁的截面高度,增加了室内净高适用于：横向柱距比纵向柱距大的多的情况3）只布置次梁适用于:有中间走道的砌体墙承重的混合结构房屋6什么是结构物的计算简图？包括那几方面的内容？结构物的计算简图包括计算模型，计算荷载两个方面1)简化假定和计算模型：简化假定1）支座可以自由转动，无竖向位移2)不考虑薄膜效应对板内力的影响3）忽略板、次梁连续性，按简支构件计算支座反力4）实际跨数≥5跨时等跨或跨度差≤10%且各跨受荷相同的连续梁按5跨计算 计算模型： 连续板或连续梁（2）计算单元及从属面积板计算单元：1m 宽板带次梁荷载范围 :次梁左右各半跨板主梁荷载范围 :主梁左右各半个主梁间距，次梁左右各半个次梁间距（3）弹性理论计算跨度中间跨 0c l l =边跨 板0min 1.025222n n b h b l l l =+++（，） 梁0min 1.025222n n b a b l l l =+++（，） （4）荷载取值板和次梁的折算荷载为了考虑次梁或主梁的抗扭刚度对内力的影响，采用增大恒载，减小活载的办法板 12g g q '=+ 12q q '= 次梁 14g g q '=+ 34q q '= 7、单向板肋梁楼盖的计算假定有哪些?答:⑴、支座可以自由转动，但没有竖向位移；⑵、不考虑薄膜效应对板内力的影响；⑶、在确定板传给次梁的荷载以及次梁传给主梁的荷载时，分别忽略板、次梁的连续性，按简支构件计算支座竖向反力；⑷、跨数超过5跨的连续梁、板，当各跨荷载相同,且跨数相差不超过10%时,可按5跨的等跨连续梁、板计算。
11-1 斜弯曲
max M y max M z max Wy Wz max
20
对于边界没有棱角而呈弧线的截面，则需要确定中性轴的位置， 离中性轴最远处就是最大拉压应力所在点，即危险点。 中性轴方程
M cos M sin I y0 I z0 0 z y
（z0 、y0 为中性轴上点的坐标）
中性轴
z D1
D2
Fz φ Fy y
21
F
③最大正应力的确定 当中性轴确定后，最大应力就容易确定了，如图，在截面周边 作中性轴的切线。
距中性轴的两侧最远点为拉压最大正应力点
拉 max D 2 压 max D1
4、强度条件
中性轴
D2
Fz φ Fy y
22
拉max 拉
因此，梁在斜弯曲情形下的强度是不安全的。
31
解：4. 讨论 如果令上述计算中的＝0，也就是载荷FP沿着y 轴方向，这时产生平面弯曲，上述结果中的第一项 变为0。于是梁内的最大正应力为 115.13MPa 这一数值远远小于斜弯曲时的最大正应力。可 见，载荷偏离对称轴 (y)一很小的角度，最大正应力 就会有很大的增加(本例题中增加了88.4％)，这对于 梁的强度是一种很大的威胁，实际工程中应当尽量 避免这种现象的发生。这就是为什么吊车起吊重物 时只能在吊车大梁垂直下方起吊，而不允许在大梁 的侧面斜方向起吊的原因。
c
y
M
z
M
c
c z y
25
z
P
y
如求a点应力
M d I
d
My
a Mz M
M: 合弯矩 I: 对中性的惯性矩 D 4
I Iy Iz 64
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第11章梁的弯曲应力教学提示：梁纯弯曲和横力弯曲时横截面上的正应力；梁横力弯曲时横截面上的切应力；提高弯曲强度的若干措施、薄壁杆件的切应力流和弯曲中心。
教学要求：掌握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导过程，理解横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度。
掌握中性层、中性轴和翘曲等基本概念和含义。
熟练掌握弯曲正应力和剪应力强度条件的建立和相应的计算。
了解什么情况下需要对梁的弯曲切应力进行强度校核。
从弯曲强度条件出发，掌握提高弯曲强度的若干措施。
在外荷载作用下，梁截面上一般都有弯矩和剪力，相应地在梁的横截面上有正应力和剪应力。
弯矩是垂直于横截面的分布内力的合力偶矩；而剪力是切于横截面的分布内力的合力。
本章研究正应力σ和剪应力τ的分布规律，从而对平面弯曲梁的强度进行计算。
11.1梁的弯曲正应力平面弯曲情况下，一般梁横截面上既有弯矩又有剪力，如图11.1所示梁的AC、DB段。
而在CD段内，梁横截面上剪力等于零，而只有弯矩，这种情况称为纯弯曲。
下面推导梁纯弯曲时横截面上的正应力公式。
应综合考虑变形几何关系、物理关系和静力学关系等三个方面。
11.1.1 弯曲正应力一般公式1、变形几何关系为研究梁弯曲时的变形规律，可通过试验，观察弯曲变形的现象。
取一具有对称截面的矩形截面梁，在其中段的侧面上，画两条垂直于梁轴线的横线mm和nn，再在两横线间靠近上、下边缘处画两条纵线ab和cd，如图11.2(a)所示。
然后按图11.1(a)所示施加荷载，使梁的中段处于纯弯曲状态。
从试验中可以观察到图11 .2(b)情况：（1）梁表面的横线仍为直线，仍与纵线正交，只是横线间作相对转动。
（2）纵线变为曲线，而且靠近梁顶面的纵线缩短，靠近梁底面的纵线伸长。
（3）在纵线伸长区，梁的宽度减小，而在纵线缩短区，梁的宽度则增加，情况与轴向拉、压时的变形相似。
根据上述现象，对梁内变形与受力作如下假设：变形后，横截面仍保持平面，且仍与纵线正交；同时，梁内各纵向纤维仅承受轴向拉应力或压应力。
前者称为弯曲平面假设；后者称为单向受力假设。
根据平面假设，横截面上各点处均无剪切变形，因此，纯弯时梁的横截面上不存在剪应力。
根据平面假设，梁弯曲时部分纤维伸长，部分纤维缩短，由伸长区到缩短区，其间必存在一长度不变的过渡层，称为中性层，如图11.2(c)所示。
中性层与横截面的交线称为中性轴。
对于具有对称截面的梁，在平面弯曲的情况下，由于荷载及梁的变形都对称于纵向对称面，因而中性轴必与截面的对称轴垂直。
综上所述，纯弯曲时梁的所有横截面保持平面，仍与变弯后的梁轴正交，并绕中性轴作相对转动，而所有纵向纤维则均处于单向受力状态。
从梁中截取一微段dx ，取梁横截面的对称轴为y 轴，且向下为正，如图11.3 (b)所示，以中性轴为y 轴，但中性轴的确切位置尚待确定。
根据平面假设，变形前相距为dx 的两个横截面，变形后各自绕中性轴相对旋转了一个角度d θ，并仍保持为平面。
中性层的曲率半径为ρ，因中性层在梁弯曲后的长度不变，所以dx d o o ==ϕρ21又坐标为y 的纵向纤维ab 变形前的长度为ϕρd dx ab ==变形后为ϕρd y ab )(+=故其纵向线应变为ρϕρϕρϕρεyd d d y =-+=)(（a ）可见，纵向纤维的线应变与纤维的坐标y 成正比。
2、物理关系因为纵向纤维之间无正应力，每一纤维都处于单向受力状态，当应力小于比例极限时，由胡克定律知εσE =将(a)式代入上式，得ρσyE= (b)这就是横截面上正应力变化规律的表达式。
由此可知，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比，而在距中性轴为y 的同一横线上各点处的正应力均相等，这一变化规律可由图11.4来表示。
3、静力学关系以上已得到正应力的分布规律，但由于中性轴的位置与中性层曲率半径的大小均尚未确定，所以仍不能确定正应力的大小。
这些问题需再从静力学关系来解决。
如图11.5所示，横截面上各点处的法向微内力σdA 组成一空间平行力系，而且由于横截面上没有轴力，仅存在位于x-y 平面的弯矩M ，因此，0N AF dA σ==⎰ (c)⎰==Ay dA z M 0σ (d)==⎰dA y M Az σ(e)以式(b)代入式(c)，得0==⎰⎰AAydA EdA ρσ(f)上式中的积分代表截面对z 轴的静矩S z 。
静距等于零意味着z 轴必须通过截面的形心。
以式(b)代入式(d)，得0==⎰⎰AAyzdA EdA ρσ(g)式中，积分是横截面对y 和z 轴的惯性积。
由于y 轴是截面的对称轴，必然有I yz =0,所示上式是自然满足的。
以式(b)代入式(e)，得dA y EdA y M AA⎰⎰==2ρσ （h ）式中积分2Z Ay dA I =⎰ （i ） 是横截面对z 轴（中性轴）的惯性矩。
于是，(h)式可以写成zEI M=ρ1（11.1）此式表明，在指定的横截面处，中性层的曲率与该截面上的弯矩M 成正比，与EI z 成反比。
在同样的弯矩作用下，EI Z 愈大，则曲率愈小，即梁愈不易变形，故EI z 称为梁的抗弯刚度。
再将式(11.1)代入式(b),于是得横截面上y 处的正应力为y I Mz=σ （11.2） 此式即为纯弯曲正应力的计算公式。
式中M 为横截面上的弯矩；I z 为截面对中性轴的惯性矩；y 为所求应力点至中性轴的距离。
当弯矩为正时，梁下部纤维伸长，故产生拉应力，上部纤维缩短而产生压应力；弯矩为负时，则与上相反。
在利用（11.2）式计算正应力时，可以不考虑式中弯矩M 和y 的正负号，均以绝对值代入，正应力是拉应力还是压应力可以由梁的变形来判断。
应该指出，以上公式虽然是纯弯曲的情况下，以矩形梁为例建立的，但对于具有纵向对称面的其他截面形式的梁，如工字形、T 字形和圆形截面梁等仍然可以使用。
同时，在实际工程中大多数受横向力作用的梁，横截面上都存在剪力和弯矩，但对一般细长梁来说，剪力的存在对正应力分布规律的影响很小。
因此，（11.2）式也适用于非纯弯曲情况。
11.1.2 最大弯曲正应力由式(11.2)可知，在y=y max 即横截在由离中性轴最远的各点处，弯曲正应力最大，其值为maxmax max y I M y I M z z ==σ式中，比值I z /y max 仅与截面的形状与尺寸有关，称为抗弯截面系数，也叫抗弯截面模量。
用W z 表示。
即为m axy I W zz =（11.3） 于是，最大弯曲正应力即为zW M=max σ （11.4） 可见，最大弯曲正应力与弯矩成正比，与抗弯截面系数成反比。
抗弯截面系数综合反映了横截面的形状与尺寸对弯曲正应力的影响。
图11.6中矩形截面与圆形截面的抗弯截面系数分别为62bh W z = (11.5)323d W z π=(11.6)而空心圆截面的抗弯截面系数则为()43132απ-=D W z (11.7)式中ɑ=d/D ，代表内、外径的比值。
至于各种型钢截面的抗弯截面系数，可从型钢规格表中查得（见附录）。
例11.1 图11.7所示悬臂梁，自由端承受集中荷载F 作用，已知：h=18cm ，b=12cm ，y=6cm ，a=2m ，F=1.5KN 。
计算A 截面上K 点的弯曲正应力。
解 先计算截面上的弯矩kNm Fa M A 325.1-=⨯-=-=截面对中性轴的惯性矩473310832.51218012012mm bh I Z ⨯=⨯==则MPa y I M Z A k 09.36010832.510376=⨯⨯⨯==σ A 截面上的弯矩为负，K 点是在中性轴的上边，所以为拉应力。
11.2 平面图形的几何性质构件在外力作用下产生的应力和变形，都与构件的截面的形状和尺寸有关。
反映截面形状和尺寸的某些性质的一些量，如拉伸时遇到的截面面积、扭转时遇到的极惯性矩和这一章前面遇到的惯性矩、抗弯截面系数等，统称为截面的几何性质。
为了计算弯曲应力和变形，需要知道截面的一些几何性质。
现在来讨论截面的一些主要的几何性质。
11.2.1形心和静矩若截面形心得坐标为y C 和z C （C 为截面形心），将面积得每一部分看成平行力系，即看成等厚、均质薄板的重力，根据合力矩定理可得形心坐标公式AdA y yAzdA z ACAC⎰⎰==, （a ）静矩又称面积矩。
其定义如下，在图11.8中任意截面内取一点M （z,y ）,围绕M 点取一微面积dA ，微面积对z 轴的静矩为ydA ，对y 轴的静矩为zdA ，则整个截面对z 和y 轴的静矩分别为：⎰⎰==AyA z zdAS ydA S (b) 有形心坐标公式CACA AzzdA Ay ydA ==⎰⎰知：CAy CAz Az zdA S Ay ydA S ====⎰⎰ (c)上式中y C 和z C 是截面形心C 的坐标，A 是截面面积。
当截面形心的位置已知时可以用上式来计算截面的静矩。
从上面可知，同一截面对不同轴的静矩不同，静矩可以是正负或是零；静矩的单位是长度的立方，用m 3 或cm 3 、mm 3等表示；当坐标轴过形心时，截面对该轴的静矩为零。
当截面由几个规则图形组合而成时，截面对某轴的静矩，应等于各个图形对该轴静矩的代数和。
其表达式为i ni i z y A S ∑==1 (d)i n i i y z A S ∑==1(e)而截面形心坐标公式也可以写成∑∑=i ii C Ay A z (f)∑∑=iii CAz A y (g)11.2.2惯性矩、惯性积和平行移轴定理在图11.8中任意截面上选取一微面积dA ，则微面积dA 对z 轴和y 轴的惯性矩为z 2dA 和Y 2dA 。
则整个面积对z 轴和y 轴的惯性矩分别记为I z 和I y ，而惯性积记为I zy ，则定义：22,z Ay AI y dA I z dA==⎰⎰ (h)⎰=Azy zydA I (i)极惯性矩定义为：222()z y AAI dA z y dA I I ρρ==+=+⎰⎰ (j)从上面可以看出，惯性矩总是大于零，因为坐标的平方总是正数，惯性积可以是正、负和零；惯性矩、惯性积和极惯性矩的单位都是长度的四次方，用m 4 或cm 4 、mm 4等表示。
同一截面对不同的平行的轴，它们的惯性矩和惯性积是不同的。
同一截面对二根平行轴的惯性矩和惯性积虽然不同，但它们之间存在一定的关系。
下面讨论二根平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。
图11.9所示任意截面对任意轴对z ´轴和y ´轴的惯性矩、惯性积分别为I z ´、I y ´ 和I z ˊy ˊ 。
过形心C 有平行于z ´、y ´的两个坐标轴z 和y ，截面对z 、y 轴的惯性矩和惯性积为I z 、I y 和I zy 。