时间序列分析-第三章 滑动平均模型和自回归滑动平均模型

2
qk
j0bjbjk,0kq
E(XX ) k
t tk
0,kq
(5)
MA序列的谱密度
定理1.1 MA(q)序列{ X t } 的自协方差函数 是q步截尾的：
q2bq0,k0,|k|q.
并且有谱密度
(1.6)
f() 2 2|B (ei)|22 1 k q qke ik, [ ,]. (1.7)
b1,b2 ,bq(bq0)使得
则称
q
B(z)1 bjzj 0,|z|1, j1
q
Xt t bj tj,tZ
(1.2)
j1
是q阶滑动平均模型，简称为MA(q)模型；
称由(1.2)决定的平均序列 { X t } 是滑动平 均模型，简称为MA(q)序列。
如果进一步要求多项式 B ( z ) 在单位圆周 上也没有零点：B z 0 , 当 | z | 1 ，则称(1.2) 是可逆的MA(q)模型，称相应的平稳时间 序列是可逆的MA(q)序列。
k
2
3
q q1
0 0
0
0
0
1
0
0 qq
k
k 1
,
qk 1
1
c
0
0 q1
1
q
2
q
(1.11)
则有：
其中 b q 1 2(qA C ),20C T C , (1.12)
kl im kk1Tk .
(1.13)
MA(1)序列
可逆MA(1)
X t t b t 1 ,t W N ( 0 ,2 ) ,|b | 1
本章结构
滑动平均模型 ARMA模型
§3.1 滑动平均模型
模型引入 MA(q)和MA(q)序列 最小序列 MA(q)系数的递推计算 MA(q)模型举例
q步相关
平稳序列{ X t } 的自协方差函数若满足 q 0， k 0,kq，则称{ X t } 是q步相关的。
滑动平均模型的例子
单位圆上可能有根的一般情况可以用 hilbert空间预测的方法证明。
MA(q)系数的计算
M数A(q0,)序1, 列,的q唯系一数确(b1定,b2。, ,bq)及 2 可以被
可以用文献 [ 5 ] 方法计算模型参数。
MA(q)系数的计算
记
0 1 0 0 0 1 A 0 0 0 0 0 0
1 2
q
B(z)1 bjzj 0,|z|1,bq0. (1.8)
使得
j1
g()
2
|
B(ei)|2
.
2
这里 2 为某个正常数。(注：c j c j )
定理1.3的证明
由自协方差绝对可和时谱密度公式得
f
()
1
2
q
eik k
kq
由引理，
f
()
2
|
B(ei)|2
.
2
B ( z ) 单位圆内没有根
如果 B ( z ) 在单位圆上都没有根，则可定 义 t B1()X1，用线性滤波的谱密度公式 可得{ t } 的谱密度是白噪声谱密度。
MA的特征
用推移算子把模型写为
Xt B()t,tZ
(1.3)
对于可逆MA，B 1 ( z ) 有Taylor 展式
B1(z) jzj,|z|1(0) j0
所以 t B1()Xt jXtj j0
(1.4)
MA序列的自协方差函数
记 b 0 1 ，则对MA(q)序列有 EX t 0 ，
MA(q)序列的充要条件
定理1.3 设零均值平稳序列{ X t } 有自协
方差函数{ k } ，则{ X t } 是MA(q)序列的充 分必要是
q0,k0,|k|q.
引理1.2
引理1.2 设实常数{ c j } 使得 c q 0 和
g()21 jqqcjeij0,[,].
则有唯一的实系数多项式：
每隔两小时记录的化学反应数据时间序 列{Xt,t1,2, 197}。
一阶差分得
ytx tx t 1 ,t2 , ,1 9 7
{ y t } 的样本自相关系数列呈现截尾性。
可以拟合
^
Yt t bt1,tZ
模型特点是 k } 1步截尾
(1.1)
MA(q)模型和MA(q)序列
定义1.1 设{ t } 是 WN(0, 2) ，如果实数
自协方差
02 (1 b 1 2 b 2 2 ),22 b 2 12 (b 1 b 1 b 2 ),k 0 ,k 2 自相关系数
1 1 b 1 b 1 2 b 1 b b 2 2 2, 2 1 b 1 b 2 2 b 2 2, k 0 ,k 2 .
谱密度
f()22|1b1eib2ei2|2
MA(2)序列的实际例子
MA(2)的实际例子：
X tt 0 .3 6t 1 0 .8 5t 2
特征根为 1.084652ei1.374297。
0 2 (1 b12 b22 ) 7.4084 1 2 (b1 b1b2 ) 2.664 2 2b2 3.4 k 0, k 2
(1 , 2 ) ( 0 .3 5 9 6 ,0 .4 5 8 9 ).
§3.2自回归滑动平均模型
ARMA(p,q)模型及其平稳解 ARMA(p,q)序列的自协方差函数 ARMA(p,q)模型的可识别性 ARMA序列的谱密度和可逆性 例子
ARMA模型
定义2.1 设{ t } 是WN(0, 2) 。实系数多项 式 A ( z ) 和B ( z ) 没有公共根。满足
b0 1,apbq 0
以及：
p
A(z) 1 a j z j 0,| z | 1, j 1
q
B(z) bj z j 0,| z | 1, j0
(2.1)
就称差分方程：
自协方差和自相关
0 1
2 (1 2b
b
2
)
k
0,k
2
1
1
b b
2
k 0 , k 2
谱密度
f()2|1 b e i|2 2( 1 b 2 2 b c o s), [,]
2
2
偏相关系数不截尾：
逆表示
(b)k(1b2) ak,k (1b2k2) ,k1
t (b) j Xt j j0
MA(2)序列
可逆MA(2)
X tt b 1t 1 b 2t 2 ,t Z
B (z) 1 b 1 z b 2 z 0 ,|z| 1 .
可逆域：
{ ( b 1 , b 2 ) : B ( z ) 0 , |z | 1 } { ( b 1 , b 2 ) : b 2 b 1 1 , | b 2 | 1 }