信号与系统复习纲要

信号与系统的时域分析

1. 什么是LTI 系统？在时域中，我们如何表示系统？什么是系统的单位冲激响应？ ◆ 系统的线性时不变性的证明与判断（书中例子1-14,1-16,1-17,1-18）；

◆ 表示系统的时域数学模型：卷积表示，微分方程（连续时间系统），差分方程（离散时间系统）； ◆

单位冲激响应h(t)：系统对输入为单位冲激信号)(t δ的零状态响应。

2. 请写出LTI 系统的卷积表达式。你会计算两个信号之间的卷积吗？ 例1：假设LTI 系统的单位冲激响应为)()(t u t h =, 系统输入为)()(t u e t x t

-=. 通过计算卷积)(t y =)(*)(t h t x 确

定系统的输出

)(t y 。

3. 信号x(t)与单位冲激信号δ(t-t0)相乘、卷积，你会吗？ ◆

四个重要公式：

1）)()(*)(00t t x t t t x -=-δ 2) )()(*)(t x t t x =δ

3) )()()()(000t t t x t t t x -=-δδ 4) )()0()()(t x t t x δδ=

例2：)1()1(*)(+=+t x t t x δ )1()1()1()(-=-t x t t x δδ等

4. 形如)()(2)

(3)(2

2t x t y dt t dy dt

t y d =++的微分方程，你会求解吗？ 例3：一因果LTI 系统由微分方程

)()(6)

(5)(2

2t x t y dt t dy dt t y d =++描述，给定系统的输入和初始条件如下：

)()(t u e t x t -=，)0(y =-0.5，

.50)

(0

==t dt

t dy ，确定系统的完全解。

5. LTI 系统的因果性、稳定性，你理解吗？如何用单位冲激响应)(t h 来这两个性质描述系统的这两个性质？ 因果性：判决条件：0,0)(<>t

t h

稳定性：判决条件：

∞<⎰

∞

∞

-dt t h )(

例4：假设LTI 系统的单位冲激响应为)(t h ，如果系统因果稳定，下列哪些满足： 1）)()(t u e t h t

-= 2）)()()(t u e t u e t h t t -+=- 3）)()()(2t u e t u e t h t t --+=等等。

傅里叶级数

6. 周期信号的傅里叶级数表达式，包括级数的系数的计算公式你记清楚了吗？是否会用这个公式完成系数的计算？你是否理解，一个连续的周期信号，在满足狄氏条件时，可以分解成由很多具有谐波关系的周期复指数信号加权和这个道理？

公式：∑∞

∞

-=

t

jk k e

a t x 0)(ω

002

2

0)(11100ωωωωωk j X T

dt e a T dt e a T a T

T t

jk k T

t jk k k ====

⎰⎰--- 例5：),cos(),sin(00t t ωω周期性方波，周期性三角波等的傅里叶级数表示。

例6：考虑一个全波整流器如图所示，其中R=1Ω, C=1F. (1). (9’) 确定信号)(t x 的傅里叶级数系数k a 。 (2). (9’) RC 低通滤波器的输出信号

)(t y 是否周期，如果是周期的，确定其傅里叶级数系数k b 。

7. 你知道什么叫基本频率分量、什么叫特征函数？特征函数具体有哪些形式？

8. 你理解这句话吗：若LTI 系统的输入信号是一个特征函数时，其输出信号是与输入相同的特征函数，但是，其幅度要用H(s)或H(j ω)加权。

（7、8两点结合，整理理解） 记住：当系统输入信号t j st

e e t x ω或=)(，那么输出t j st e j H e s H t y ωω)()()(或=

特征函数：t j st

e e

ω、或)cos(),sin(00t t ωω。

9. 如果给定一个LTI 系统的输入为周期信号，你会使用相关结论，求解出该系统的输出信号傅里叶级数表达式吗？ 记住：输入为周期信号∑∞

∞

-=

t

jk k e

a t x 0)(ω，那么对于LTI 系统来讲，输出

=)(t y ∑∞

∞

-t jk k e a jk H 0)(0ωω

10. 理解周期信号的线谱吗？k a （傅里叶级数系数）通常是关于k 的复函数吗？k 表示什么？

{}

∑∞

-∞

=------=

k k t k t u k t u e

t x )]

22()2([

)()

2(23

11. 给你二幅图，一幅图描述的是k

a ，另一幅图描述的是k a ∠，你能根据这两幅图，直接写出它所代表的时域信号表达

式吗？

强调：周期信号的傅里叶级数系数k a 的真正含义：周期信号的线谱（条线图表示）。考虑到k a 是关于k 的复函数，借助极坐标表示法，k a 分解为幅度谱（

k

a ）和相位谱（k a ∠）两部分。即：

k a j k k e a a ∠=

例7：假设 ω0 = π. 下图给出了连续时间周期信号)(t x 的傅里叶级数系数所对应的频谱结构。 (a) 写出)(t x 的表达式。 (b) 如果

)

(t x 作用于理想低通滤波器，其频率响应如:

⎩⎨

⎧≤=其它

,

012,

1)(π

ωωj H ，确定输出y(t)。

12. 你理解滤波的含义吗？

四种理想滤波器（频率选择性滤波器）的频谱结构需要掌握。例7的第二个问题，就是对低通滤波器的频谱特性的考查。

例8：下图描述了一个通信系统的原理，已知信号 x 1(t)和x 2(t)的傅立叶变换分别为X 1(j ω) 和X 2(j ω)，如图(3.b)所示，令 ω1 = 4π, ω2 = 8π。 H 1(j ω)为理想带通滤波器， H 2(j ω)为理想低通滤波器。为使得信号y(t)等于x 1(t): (1). 在图中描述信号w(t)的傅立叶变换W(j ω)。 (2). 选择合适的频率ω3。 (3). 描述两个滤波器的频率响应。

∙∙∙∙k

k

a ∠