大学物理课件-电容和电容器及电场能量.ppt

二、电容器（Capacitor）的电容
由于静电感应，A的电势会随着 周围其它导体、带电体的分布变化。
若在A的周围加一接地屏蔽层B， 则AB间的电势差与外界无关。
这样的导体组 称为电容器。
通常，由彼此绝 缘、相距很近的两导 体构成电容器。
使两导体极板带电 Q
Q UB
QB
A
Q
Q UA
两导体极板的电势差
质。求： 1）两柱面间的场强 E；2）电势差 U；3）单位长
度电容 ；4）单位长度贮存能量。
解： １）极板间作高为 h 半径为
r 的高斯柱面，
介质中高斯定理： D dS q
S
0
D2πrh λh, D λ 2πr
h r
R1
R2 r
场强 E D λ
ε0εr 2πε0εr r
２）极间电压：
问：此电容器贮存的电场能量为多少？
解： E
1
4πε
we
1 2
εE 2
Q r2
er
32
Q2 π2 εr
4
取一体积元， dV 4πr 2dr
dWe
wedV
Q2 8 π εr 2
dr
R1 dr
r
R2
We
dWe
Q2 8πε
R2dr Q2 ( 1 1 ) r R1 2 8 π ε R1 R2
（1）设两导体圆柱面单位长度上
分别带电
源自文库
l RB
（2）E λ , 2 π ε0r
( RA r RB )
（3）U RB λdr Q ln RB
RA 2 π ε0r 2 π ε0l RA
l
-+ -+
RA
- + RB
（4）电容
C
Q U
2 π ε0l
ln RB RA
-+
3、球形电容器的电容 球形电容器是由半径分
例题 ：
求：由三个点电荷构成的系统的静电能。
解：We
q1q2
4 o r12
q1q3
4 o r13
q2 q3
4 o r23
推广到一般情况：
We
所有对
qi q j
4 0rij
r12
q2
r23
q1
r31
q3
② 连续分布电荷系统的静电能
将连续分布的电荷分成许多
电荷元dq，把每个电荷元当作点
电荷，考虑将这些电荷元聚集起 来要做的功，就得到连续分布电 荷系统的静电能
ε0 S
Q dQ
（4）平板电容器的电容
C
Q U
ε0
S d
（4）平板电容器的电容
C
Q U
ε0
S d
（5）如果在两极板间充满相
对电容率为 εr 的电介质时，
则其电容为：
d
S εr
C
εrC0
ε0εr
S d
ε
S d
ε ε0εr 称为电容率。
例1 平行平板电容器的极板是边长为 l 的正方
形，两板之间的距离 d 1mm 。如两极板的电势差
整个球聚集完成需做的功为 We Udq
Q
取电荷元 dq dV 4 r 2dr
We
R 0
4 0 r
4 r3
3
4 r2dr
2 4 1 R5 30 5
3 Q2
5 40 R
3 5
U
R
Q
也称它是均匀带电球系统的自能
二、电容器的储能
电容器充电过程就是储存能量的过程，可看成 是把电荷从一个极板移动到另一个极板的过程。
dW Udq q dq C
W 1
Q
qdq
Q2
C0
2C
+ + + + + + + + +
U
E
+
- - - - - - - - - dq
C Q U
W 1 QU 1 CU 2
2
2
电容器贮存的电能
We
Q2 2C
1 QU 2
1 CU 2 2
上式对各种结构的电容器都成立。
充电过程中电源做功所转化的电能究竟是储存 在哪里的？是伴随着电荷储存在电容器的极板上， 还是储存在电容器两极板间的电场内？
ε C0的 r 倍，即： C εrC0 εr 称为电介质的相对电
S εr
容率，它是表征电介质本身
特性的物理量。
在真空中： εr 1
ε 除真空外，各种电介质的 r 的值都大于1。
在实际应用中，常见的电容器有： 平行板电容器、球形电容器和圆柱形电容器。
3、电容器电容的计算 步骤：
1）设电容器两极板分别带电荷 Q 和 Q；
现使q1 静止，移动q2 到无穷远。在这过程中，q1
对q2 做的功
We
q2
r
q1
4 0r 2
dr
q2
q1
4 0r
q2U1
式中U1 为 q1 在 q2 处的电势。
We 就
是两电荷
同样，可以将上式写成
系统的相
We
q1
r
q2
4 0r 2
dr
q1
q2
4 0
r
q1U2
互作用能 。
式中U2 为 q2 在 q1 处所激发的电势。
这个问题需要通过实验来回答。
在静电场的情况下，电场总是与电荷同时存在 的，所以我们无法分辨电能是与电荷相联系、还是 与电场相联系。
但是在电磁波中，电场可以脱离电荷而传播到 远处。电磁波携带能量，已被近代无线电技术所证 实。
事实说明，电能储存在电场中。
三、静电场的能量 能量密度
以平行板电容器为例，将电能用电场的量表示。
R2 , C 4πε0 R1
孤立导体球的电容。
例：平行板电容器，已知 S、d，插入厚度为 t
的铜板。求： C 。
解： 设A、B带电分别为 Q
Q
Q
由高斯定理知场强分布
铜板内 E 0
间隙内
E0
σ ε0
Q ε0 S
A E0 E E0 B
UAB E0d1 Et E0d2
E0 (d1 d2 )
在这个过程中，电源要
克服电场力做功，消耗电源 的化学能。这部分能量以电 能的形式储存在电容器中。
某一瞬时，两极板的 带电量分别为+q和-q，极
+ + + + + + + + +
U
E
+
- - - - - - - - - dq
板间的电势差为U。
电源将电荷dq由电容器负极板搬运到正极
板时所作的功为： dW Udq q dq C
为100V，要使极板上储存104 C 的电荷，边长 l
应取多大才行。
解： C Q 104 F 106 F U 100
C
Q U
ε0
S d
S l 2 l Cd 10.6m ε0
AB
S d
2、圆柱形电容器
圆柱形电容器是由半径分别为 RA 和 RB 的两同 轴圆柱导体面 A 和 B 组成，圆柱长度 l >> RB。
W1
R 0
1 2
ε0 E12dV
Q2 40πε0 R
W2
1 R2
ε0 E22dV
Q2 8πε0 R
W
W1
W2
3Q 2 20ε0 R
取体积元
dV 4r 2dr
Q R
r
E1 E2
例：球形电容器的内、外半径分别为 R1 和 R2 ，所带电
荷为 Q 。若在两球壳间充以电容率为 的电介质，
非均匀电场中不同地方的能量密度不同。 可以用微元积分法求总能量。
在电场中任意的体积元中的电能为： dW wedV
电场空间所存储的总能量为：
We
V wedV
1 εE 2dV V2
例：已知均匀带电的球体，半径为R，带电量为Q。
求：从球心到无穷远处的电场能量
解：
E1
Qr 4ε0 R3
,
E2
Q 4ε0r 2
dq U
q
We Udq
U为任一时刻已聚集的电荷在dq所在处的电势
例题：
均匀带电球体，半径为 R，电荷体密度为 ρ，求这一带电球体的静电能。
解：考虑将球上所有电荷从无限远处聚集过来 需要做的功
设：到某时刻，球半径已达 r，
电荷量为 q 4 r3
3 此时球面上一点的电势为
U q
4 0r
继续从无限远处搬迁电荷dq至球上需做功Udq
U
R2
E
dl
R2 Edr
R1
R1
R2 λ dr λ ln R2 R1 2πε0εr r 2πε0εr R1
h r
R1
R2 r
３）单位长度电容
h 长电容 C λh 2πε0εr h U12 ln( R2 / R1 )
单位长度电容 c C 2πε0εr h ln( R2 / R1)
d1 t d2
C
Q UA UB
0S
d1 d2
ε0S d t
d
8.3
电场能量
一。 静电场的能量定义 ( Electrostatic Energy ) 一个带电系统包含许多的电荷。电荷之间
存在着相互作用的电场力。
任何一个带电系统在形成的过程中，外力 必须克服电场力做功，即要消耗外界的能量。
外界对系统所做的功，应该等于系统能量 的增加。
2）求出两极板间的场强分布 E ；
3）通过场强，计算两极板间的电势差 U A U B；
4）由电容器电容的定义式 C Q 求出 C。 UA UB
1、平板电容器
（1）设两导体板分别带电 Q
d
（2）两带电平板间的电场强度
AB
E σ Q ε0 ε0S
（3）两带电平板间的电势差
S
S
Qd U Ed
式中U 是该点的电势
一个电荷在外电场中的电势能为该电荷与产生 电场的电荷系所共有。
例题
求：电子在原子核的电场中的电势能。
解： 以无限远为电势的零点 电子所在处的电势为
U Ze
4 0r
所以
W eU Ze2 4 0 r
2. 点电荷系的静电能
① 电荷系的相互作用能
以两个点电荷系统为例，设q1 和q2 相距 r 。
1μF 106 F
1pF 10 12 F
例如：求真空中孤立的导体球的电容。
CQ U
Q Q
4π 0 R
4π 0 R
仅与球的半径有关。
Q R
地球： RE 6.4 106 m, CE 7 104 F
真空中孤立导体的电容只与导体的几何形状 和大小有关，与导体是否带电无关。
电容反映了孤立导体贮存电荷的能力。
We
Q2 8πε
(1 R1
1 R2
)
1 2
4πε
Q2 R2 R1
R2 R1
讨论
（1）
We
Q2 2 C
C 4 π ε R2 R1 R2 R1
（球形电容器电容）
（2） R2
We
Q2 8 π εR1
（孤立导体球贮存的能量）
例：同轴电缆由内径为 R1、外径为 R2的两无限长金属圆柱
面构成，单位长度带电量分别为 +、 -，其间充有 r 电介
8.2 电容和电容器
8.2.1 电容
一、孤立导体的电容（Capacity）
孤立导体：附近没有其它 导体和带电体。
理论和实验表明，孤立 导体的电势U与其所带的电 量Q成正比。
+ + +
+
U
++
Q+
+
+
+
+
+ +
+ ++
孤立导体的电容： C Q U
单位
物理意义：使导体每升高单位 电势所需的电量。
1F 1C/V
UAB Q
电容器的电容：
C Q UA UB
电容器的电容大小不 仅取决于两导体的形状、 大小、相对位置，还与两 极板之间填充的电介质有 关，与所带电量无关。
Q UB
Q UA
极板
+Q
-Q
U AB
极板
实验表明：在电容器的两极板间填充电介质时，
电容器的电容将增大。
假设两极板之间充满某种均匀电
d
介质，则其电容C是真空时的电容
别为 R1和 R2的两同心金属球壳所组成。
解 设内球带正电（ Q），外球带负电（ Q）。
E
4
Q π ε0r
2
er
(R1 r R2 )
＋
U
E dl
Q
l
4 π ε0
R2 dr r R1 2
Q11
()
4 π ε0 R1 R2
r ＋ ＋
R1＋＋
R2
＋
＋
＋ •P
C Q 4 π ε0 R1R2 U R2 R1
We
1 2
CU
2
1 2
εS d
( Ed )2
1 2
εE 2 Sd
1 2
εE 2V
电场中单位体积的能量
d
称为电场能量密度：
we
We V
we
1 2
εE 2
1 2
ED
S
εr
（均匀电场） （普遍适用）
物理意义：电场是一种物质，它具有能量。
we
1 2
εE 2
1 2
ED
电场能量密度
只要确定 we 就可计算电场能量 We。 非均匀电场能量的计算：
因此，带电系统具有能量。
定义：
把系统从当前状态无限分裂到彼此相
距无限远的状态中静电场力作的功，叫作 系统在当前状态时的静电势能。简称静电 能。
或：
把这些带电体从无限远离的状态聚合
到当前状态过程中，外力克服静电力作的
功。
可见，静电能就是相互作用能。
1 .点电荷在外电场中的静电势能
① 点电荷q0 在外电场中某点的静电势能 We q0U
４） h 长贮存的能量
We
1 2
QU
1 λh λ ln R2 2 2πε0εr R1
λ2h ln R2 4πε0εr R1
单位长度贮存的能量
h r
R1 R2 r
we
We h
λ2
4πε0εr
ln
R2 R1