X~2分布、t分布和f分布的性质及近似计算

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2005考研数学(一)试题及详细答案解析

2005考研数学(一)试题及详细答案解析

如果 A 1,那么 B 2 .
【分析】 将 B 写成用 A 右乘另一矩阵的形式,再用方阵相乘的行列式性质进行计算即 可.
【详解】 由题设,有
B ( 1 2 3 , 1 2 2 4 3 , 1 3 2 9 3 )
于是有
1 1 1 = (1, 2 ,3 )1 2 3 ,
(4)设 是由锥面 z x2 y 2 与半球面 z R2 x2 y 2 围成的空间区域, 是
的整个边界的外侧,则 xdydz ydzdx zdxdy 2 (1 2 )R3 .

2
【分析】 本题 是封闭曲面且取外侧,自然想到用高斯公式转化为三重积分,再用球
则必有
(A) F(x)是偶函数 f(x)是奇函数.
(B) F(x)是奇函数 f(x)是偶函数.
(C) F(x)是周期函数 f(x)是周期函数.
(D) F(x)是单调函数 f(x)是单调函数.
[ A]
【分析】 本题可直接推证,但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.
x
【详解】 方法一:任一原函数可表示为 F(x) f (t)dt C ,且 F(x) f (x). 0
【详解】
因为 a= lim x
f
(x) x

lim
x
x2 2x2
x

1 2

b lim f (x) ax lim x 1 ,
x
x 2(2x 1) 4
于是所求斜渐近线方程为 y 1 x 1 . 24
(2) 微分方程 xy 2y x ln x 满足 y(1) 1 的解为 y 1 x ln x 1 x..

概率论与数理统计(王明慈第二版)第5章数理统计的基本知识4-5

概率论与数理统计(王明慈第二版)第5章数理统计的基本知识4-5

2
t 分布的概率密度函数图形如图所示
①关于x =0 对称; ②当k充分大时,其图形
k 30 k 3
与标准正态分布图形相似.
k 1
lim
k
ft ( x)
( x)
1
x2
e 2 ,xR

t(30) N(0,1)
4/4/2020
13
例3. 设总体X和Y相互独立 ,且都服从 N (0,9),
X1, X 2 , , X 9和Y1,Y2 , ,Y9来自总体 X ,Y的样本,
自由度k:指χ 2
X
2 1
X
2中包含独立
k

量的个数.
特别地,当k=1时,若X1 ~ N (0,1),则X12 ~ (2 1)
4/4/2020
2
其概率密度函数:
1
k 1 x
f
2
(
x)
2
k 2
(
k 2
)
x
2
e 2 , x 0;
0,
x 0.
其图形随着参数k的变化而改变,如图所示
k2
k 6
k 1
26
第五节 正态总体统计量的分布
基本内容: 一、抽样分布——统计量的分布; 二、正态总体下的抽样分布
4/4/2020
27
一、统计量的分布
统计量是对样本信息的“加 它依赖于样本,
工”, 由于样本是随机变量,
所以统计量也是随机变量,
故统计量有一定的概率分布.
我们称统计量的分布为抽样分布.
4/4/2020
在这样的背景下,十九世纪初英国一位年经
酿酒化学技师Gosset W S,他在酒厂从事试验和

X~2分布、t分布和f分布的性质及近似计算

X~2分布、t分布和f分布的性质及近似计算

以下为三个分布的动画演示程序,直接运行:function dandn(action)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%% 《X~2分布、t分布和f分布的性质及近似计算》%% 制作人:幸玮石岩顾秋容% All Rights Reserved % 2008.12%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%无输入参数时进行初始程序,否则调界面参数if nargin<1,action='initialize';else%看是哪种分布data=get(gco,'UserData');pdflabel=data(4);%图形显示参数,调试时用switch pdflabelcase 1xstart=0; %x轴起始点width=120; %x轴范围xdis=30; %x轴刻度间距lenth=0.24; %y轴范围ydis=0.03; %y轴刻度间距speed=0.6; %动画演进速率case 2width=6;xdis=3;lenth=0.42;ydis=0.05;speed=0.5;case 3width=2;xdis=0.5;lenth=4;ydis=0.4;speed=0.8;endend%初始化模块if strcmp(action,'initialize')%数据初始化%分布函数选择pdflabel=0;d=inputdlg({'输入分布函数类型:'},'选择分布函数',1,{'x2'});if strcmp(d,'x2')pdflabel=1;elseif strcmp(d,'t')pdflabel=2;elseif strcmp(d,'f')pdflabel=3;end%不符合的输入报错if pdflabel==0errordlg('分布函数只能选择x2,t与f')returnend%整体用户界面建立,图形显示窗口嵌入figNumber=figure( ...'Name','Changing of the X~2 destribution function', ...'NumberTitle','off', ...'Visible','off');axes( ...'Units','normalized', ...'Visible','off', ...'Position',[0.06 0.065 0.70 0.9]);%显示初始现实画面switch pdflabelcase 1%初始显示参数xstart=0; %x轴起始点width=120; %x轴范围xdis=30; %x轴刻度间距lenth=0.24; %y轴范围ydis=0.03; %y轴刻度间距%画背景图plot([xstart xstart+width],[lenth lenth],'b');hold onplot([xstart xstart+width],[lenth lenth],'r');plot([xstart xstart+width],[lenth lenth],'black'); legend('X~2分布','正态分布');axis([xstart xstart+width 0 lenth]);grid onset(gca,'XTick',xstart:xdis:xstart+width);set(gca,'YTick',0:ydis:lenth);hold off%分布函数动画初始参数m=0;n=1;case 2width=6;xdis=3;lenth=0.42;ydis=0.05;plot([-width -width width],[0 lenth lenth],'b');hold onplot([-width -width width],[0 lenth lenth],'r--'); plot([-width -width width],[0 lenth lenth],'black'); legend('T分布','正态分布');grid onaxis([-width width 0 lenth]);set(gca,'XTick',-width:xdis:width);set(gca,'YTick',0:ydis:lenth);hold offm=0;n=2;otherwisewidth=2;xdis=0.5;lenth=4;ydis=0.4;plot(width,0,'b');hold onplot(width,0,'r');legend('f分布','正态分布');axis([0 width 0 lenth]);grid onset(gca,'XTick',0:xdis:width);set(gca,'YTick',0:ydis:lenth);hold off%f分布输入nn=inputdlg({'输入n的值:'},'获取n',1,{'5'});n=str2double(n{1});if n<=4errordlg('要使正态逼近式成立n必须大于4!')returnendm=1;end%按钮显示位置top=0.95;left=0.80;btnWid=0.15;btnHt=0.08;spacing=0.02;%“Start”按钮btnNumber=1;labelStr='Start';callbackStr='dandn(''start'')';%显示按钮btnPos=[left top-btnHt btnWid btnHt];uicontrol( ...'Style','pushbutton', ...'Units','normalized', ...'Position',btnPos, ...'String',labelStr, ...'Callback',callbackStr, ...'UserData',[btnNumber m n pdflabel]); %调用时的句柄参数传递%关闭按钮yPos=top-(btnHt+spacing);uicontrol( ...'Style','push', ...'Units','normalized', ...'Position',[left yPos-btnHt btnWid btnHt], ...'String','Close', ...'Callback','close(gcf)');set(figNumber,'Visible','on'); %显示初始图像%“Start”按钮执行程序elseif strcmp(action,'start')%参数初始化data=get(gco,'UserData');method=data(1);m=data(2);n=data(3);%“Stop”按钮设置,点击开始后替换“Start”按钮btnNumber=2;labelStr='Stop';callbackStr='dandn(''stop'')';top=0.95;left=0.80;btnWid=0.15;btnHt=0.08;btnPos=[left top-btnHt btnWid btnHt];stophld=uicontrol( ...'Style','pushbutton', ...'Units','normalized', ...'Position',btnPos, ...'String',labelStr, ...'Callback',callbackStr, ...'UserData',[btnNumber m n pdflabel]);%画图程序switch pdflabelcase 1while(method==1) %当未点击“Stop”则继续执行%画x2分布密度函数a=n/2; b=2;x=xstart:0.1:xstart+width;y=gampdf(x,a,b);plot(x,y,'b','EraseMode','normal');hold on%画近似正太分布密度函数y1=normpdf(x,n,(2*n)^0.5);plot(x,y1,'r-');%图形参数调节axis([xstart xstart+width 0 lenth]);set(gca,'XTick',xstart:xdis:xstart+width);set(gca,'YTick',0:ydis:lenth);grid on;legend('X~2分布','正态分布');%显示当前ntemp=num2str(floor(n));str=strcat('n=',temp);text(92,0.2,str);%显示当前最大间距dis=num2str(max(abs(y-y1)));str=strcat('dis=',dis);text(92,0.187,str);%动画指令drawnow;hold off;n=n+speed;%看stop是否按下data=get(gco,'UserData');method=data(1);%更新传递参数set(stophld,'Userdata',[btnNumber m n pdflabel]);endcase 2while(method==1)%画t分布密度函数x=-width:0.1:width;y=tpdf(x,n);plot(x,y,'EraseMode','normal');hold on%画近似正太分布密度函数y1=normpdf(x,0,(n/(n-2))^0.5);plot(x,y1,'r--');%图形参数调节axis([-width width 0 lenth]);set(gca,'XTick',-width:xdis:width);set(gca,'YTick',0:ydis:lenth);grid on;legend('T分布','正态分布');%显示当前ntemp=num2str(floor(n));z=strcat('n=',temp);text(3.3,0.335,z);%显示当前最大间距dis=num2str(max(abs(y-y1)));str=strcat('dis=',dis);text(3.3,0.315,str);%动画指令drawnow;hold off;n=n+speed;%看stop是否按下data=get(gco,'UserData');method=data(1);%更新传递参数set(stophld,'Userdata',[btnNumber m n pdflabel]);endotherwisewhile(method==1)%画f分布密度函数x=0:0.01:width;y=fpdf(x,m,n);plot(x,y,'EraseMode','normal');hold on%画近似正太分布密度函数y1=normpdf(x,n/(n-2),(2*n^2*(m+n-2)/m/(n-2)^2/(n-4))^0.5); plot(x,y1,'r');%图形参数调节axis([0 width 0 lenth]);set(gca,'XTick',0:xdis:width);set(gca,'YTick',0:ydis:lenth);grid on;legend('f分布','正态分布');%显示当前mtemp1=num2str(floor(m));str=strcat('m=',temp1);text(1.55,3.32,str);%显示当前ntemp2=num2str(floor(n));str=strcat('n=',temp2);text(1.78,3.32,str);%显示当前最大间距dis=num2str(max(abs(y-y1)));str=strcat('dis=',dis);text(1.55,3,str);%动画指令drawnow;hold off;m=m+speed;%看stop是否按下data=get(gco,'UserData');method=data(1);%更新传递参数set(stophld,'Userdata',[btnNumber m n pdflabel]);endend%“Close”按钮执行程序elseif strcmp(action,'stop')data=get(gco,'UserData'); %读原有传递数据top=0.95;left=0.80;btnWid=0.15;btnHt=0.08;%用“continue”按钮替代“StopbtnNumber=1;labelStr='Continue';callbackStr='dandn(''continue'')';data(1)=btnNumber; %更新按钮标识btnPos=[left top-btnHt btnWid btnHt];uicontrol( ...'Style','pushbutton', ...'Units','normalized', ...'Position',btnPos, ...'String',labelStr, ...'Callback',callbackStr, ...'UserData',data);%“continue”按钮执行程序elseif strcmp(action,'continue')%读取传递数据data=get(gco,'UserData');method=data(1);m=data(2);n=data(3);%用“Stop”按钮替代“continue”btnNumber=2;labelStr='Stop';callbackStr='dandn(''stop'')';top=0.95;left=0.80;btnWid=0.15;btnHt=0.08;btnPos=[left top-btnHt btnWid btnHt];conthld=uicontrol( ...'Style','pushbutton', ...'Units','normalized', ...'Position',btnPos, ...'String',labelStr, ...'Callback',callbackStr, ...'UserData',[btnNumber m n pdflabel]);%动画switch pdflabelcase 1while(method==1)%画系x2分布密度函数a=n/2; b=2; %画x2分布密度函数x=xstart:0.1:xstart+width;y=gampdf(x,a,b);plot(x,y,'b','EraseMode','normal');hold on%画近似正太分布密度函数y1=normpdf(x,n,(2*n)^0.5);plot(x,y1,'r-');%图形参数调节axis([xstart xstart+width 0 lenth]);set(gca,'XTick',xstart:xdis:xstart+width);set(gca,'YTick',0:ydis:lenth);grid on;legend('X~2分布','正态分布');%显示当前ntemp=num2str(floor(n));str=strcat('n=',temp);text(92,0.2,str);%显示当前最大间距dis=num2str(max(abs(y-y1)));str=strcat('dis=',dis);text(92,0.187,str);%动画指令drawnow;hold offn=n+speed;%看stop是否按下data=get(gco,'UserData');method=data(1);%更新传递参数set(conthld,'UserData',[btnNumber m n pdflabel]);endcase 2while(method==1)x=-width:0.1:width;y=tpdf(x,n);plot(x,y,'EraseMode','normal');hold on%画近似正太分布密度函数y1=normpdf(x,0,(n/(n-2))^0.5);plot(x,y1,'r--');%图形参数调节axis([-width width 0 lenth]);set(gca,'XTick',-width:xdis:width);set(gca,'YTick',0:ydis:lenth);grid on;legend('T分布','正态分布');%显示当前ntemp=num2str(floor(n));z=strcat('n=',temp);text(3.3,0.335,z);%显示当前最大间距dis=num2str(max(abs(y-y1)));str=strcat('dis=',dis);text(3.3,0.315,str);%动画指令drawnow;hold offn=n+speed;%看stop是否按下data=get(gco,'UserData');method=data(1);%更新传递参数set(conthld,'UserData',[btnNumber m n pdflabel]);endotherwisewhile(method==1)x=0:0.01:width;y=fpdf(x,m,n);plot(x,y,'EraseMode','normal');hold on%画近似正太分布密度函数y1=normpdf(x,n/(n-2),(2*n^2*(m+n-2)/m/(n-2)^2/(n-4))^0.5); plot(x,y1,'r');%图形参数调节axis([0 width 0 lenth]);set(gca,'XTick',0:xdis:width);set(gca,'YTick',0:ydis:lenth);grid on;legend('f分布','正态分布');%显示当前mtemp1=num2str(floor(m));str=strcat('m=',temp1);text(1.55,3.32,str);%显示当前ntemp2=num2str(floor(n));str=strcat('n=',temp2);text(1.78,3.32,str);%显示当前最大间距dis=num2str(max(abs(y-y1)));str=strcat('dis=',dis);text(1.55,3,str);%动画指令drawnow;hold offm=m+speed;%看stop是否按下data=get(gco,'UserData');method=data(1);%更新传递参数set(conthld,'UserData',[btnNumber m n pdflabel]);endendend。

概率论与数理统计 7.2 数理统计中的三大分布

概率论与数理统计 7.2 数理统计中的三大分布
数理统计
7.2 数理统计中的三大抽样分布
在数理统计中,以标准正态变量为基石而构 造的三个著名统计量有着广泛的应用,这是因为 这三个统计量不仅有明确背景,而且其抽样分布 的密度函数有明显的数学表达式,它们被称为统 计中的“ 三大抽样分布 ” 。
1. 2 分布
数理统计
2分布是由正态分布派生出来的一种分布.
t1 (n) t (n)
o t (n)
x
t分布的上分位点t (n)可查表
求得,例t0.025(15) 2.1315.
当n 45时,对于常用的的值,可用正态近似 t (n) z
例3:X ~ t(15)
(1)求 0.01的上侧分位数; (2) P( X ) 0.05,求 ; (3)P( X ) 0.95 ,求 .
记为 t ~ t(n). t分布概率密度函数为:
f (t)
[(n 1)
2]
(1
t
2
)
n1 2
,
t
(n 2) n n
t 分布的图像
y N (0,1) 数理统计
t(n)
t分布的性质: 1. 设t ~ t(n),则E(t) 0, D(t) n (n 2) (n 2)
2. t分布的密度函数关于t 0对称.当n充分大时, 其图形近似于标准正态分布概率密度的图形,
F分布的上分位点的性质:
F1 (n1, n2 )
1 F (n2 , n1 )
F分布的上分位点可查表求得.例,
F0.95 (12,9)
1 F0.05 (9,12)
1 2.80
0.357
例4. F ~ F (24,15),求 1,2 使 P(F 2 ) 0.025 P(F 1) 0.025

6.2数理统计中几种常用的分布

6.2数理统计中几种常用的分布
6.2 数理统计中几 种常用的分布
一、 2 分布
二、t 分布
三、F分布
1
一、 2 分布
2分布是由正态分布派生出来的一种分布.
定义: 设 X1, X2, , Xn 相互独立, 都服从正态 分布N(0,1), 则称随机变量:
2
X12
X
2 2
Xn2
所服从的分布为自由度为 n 的 2 分布.
记为 2 ~ 2 (n)
2 0.05
(10
),
2 0.1
(20
)。
解:从附表 5查得
2 0.05
(10
)
18
.307

2 0.1
(20
)
28
.412,
5
二、t 分布 定义: 设X~N(0,1) , Y~ 2(n), 且X与Y相互
独立,则称变量 T X Yn
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布.
记为T~t(n).
6
t分布的分位点
F F1 (n1, n2 )
所以 P{ 1
1 }
F F1 (n1, n2 )
又因为 1/ F ~ F(n2,n1), 所以 F
即 F1 (n1, n2 ) 例: F0.95(12,9)
1 F (n12 , n1) F0.05 (9,12)
1 (n2,n1) F1 (n1, 1 0.357
2.80
2
由 2分布的定义,不难得到:
1. 设X1, X2, , Xn 相互独立, 都服从正态分布
N (, 2 ), 则
2
1
2
n
(Xi
i 1
)2
~ 2 (n)
2. 设X1 ~ 2 (n1), X 2 ~ 2 (n2 ),且X1,X2相互

t分布和f分布的表达式关系

t分布和f分布的表达式关系

t分布和f分布的表达式关系题目:t分布和f分布的表达式关系引言:概统课上,我们经常会接触到t分布和f分布,它们作为统计学中重要的概率分布函数,常常用于计算统计推断和假设检验。

本文将重点讨论t分布和f分布的定义、性质以及它们之间的关系。

通过一步一步的解析,我们将揭示t分布和f分布之间的密切联系。

第一部分:t分布的定义和性质(一)t分布的定义t分布是由英国统计学家William Gosset(更为众所周知的名字是“学生”)在1908年提出的。

它是通过正态分布的样本标准差来进行推断的。

具体而言,t分布是用来估计总体均值的分布,当总体标准差未知且样本容量较小时,t分布的应用更为广泛。

(二)t分布的概率密度函数t分布的概率密度函数表达式为:![t分布概率密度函数](其中,n为自由度,可以理解为样本容量减去1。

自由度越大,t分布趋近于正态分布。

(三)t分布的性质1. t分布的均值为0:t分布的平均值为0,即t分布的概率密度函数在t=0处达到最大值。

2. t分布的方差为n / (n-2):方差的计算公式为n / (n-2),其中n为自由度。

随着自由度的增加,t分布的方差越来越逼近于1。

第二部分:f分布的定义和性质(一)f分布的定义f分布是由英国统计学家Ronald Fisher在1920年提出的。

它是用来比较两个正态分布总体方差差异的分布。

一般而言,当我们希望比较两个总体方差时,就会使用f分布。

(二)f分布的概率密度函数f分布的概率密度函数表达式为:![f分布概率密度函数](其中,m和n为自由度,分别表示两个总体的样本容量减去1。

f分布具有非负值、右偏且非对称的特点。

(三)f分布的性质1. f分布的均值为(n / (n-2)) ×(n / (n-2)):均值的计算公式为(n / (n-2)) ×(n / (n-2)),其中n为第一个总体的自由度。

2. f分布的方差为[(2n^2(n+m-2))/(m(n-2)^2(n-4))] ×(m / (m-2)):方差的计算公式相对较复杂,涉及两个总体的自由度。

第40讲 χ2分布

第40讲  χ2分布

于是
2

n i1
(
Xi


)2

n i1
Yi2

2
n.
9
1
i1
服从自由度为n的2分布,记为2 2 n
自由度指1式右端包含的独立变量的个数.
3
2 n分布的概率密度为:
fn x 21n 2
x 2
e , n
2
1

x 2
x 0,
0,
x 0.
其中 x1exdx. 0
可推广到有限个随机变量的情形,
m
m
设Y1,,Ym相互独立,Yi 2(ni),则 Yi 2( ni).
i1
i1 6
给定,0 1,称满足条件P(2 2 n) 的点 2 n为2 n分布的上分位数.
2 n的值可查2分布表(也可以通过Excel得到,
具体内容在下一讲实验12进行演示).
面积为
7
例1:设总体X N , 2 ,, 2 已知.
X1, X2,, Xn 是取自总体X的样本.
求统计量
2

1
2
n
(Xi )2
i1
的分布.
8
解:作变换
Yi
XiBiblioteka i 1,2,,n
则Y1,Y2,,Yn相互独立,且Yi N0,1 i 1,2,,n
第40讲 2分 布
• 在数理统计中, 用于描述抽样分布的分 布函数,除了正态分布外,最重要的三 个分布分别为:
2 分布 t 分布 F 分布
• 下面分别给出这三个分布的定义,密度 函数,图形,性质和分位数等等。

f分布t分布和卡方分布(最新整理)

f分布t分布和卡方分布(最新整理)

§1.4 常用的分布及其分位数1. 卡平方分布卡平方分布、t 分布及F 分布都是由正态分布所导出的分布,它们与正态分布一起,是试验统计中常用的分布。

当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从N(0,1)时,Z= ∑i i X 2的分布称为自由度等于n 的分布,记作Z ~(n),它的2χ2χ分布密度 p(z )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ--,,00,2212122其他z e x n z n n 式中的=,称为Gamma 函数,且=1, ⎪⎭⎫⎝⎛Γ2n u d e u u n ⎰∞+--012()1Γ=。

分布是非对称分布,具有可加性,即当Y 与Z ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ21π2χ相互独立,且Y ~(n ),Z ~(m ),则Y+Z ~(n+m )。

2χ2χ2χ 证明: 先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、X n+m 相互独立且都服从N(0,1),再根据分布的定义以及上述随机变量2χ的相互独立性,令Y=X +X +…+X ,Z=X +X +…+X ,21222n 21+n 22+n 2m n +Y+Z= X +X +…+X + X +X +…+X ,21222n 21+n 22+n 2m n +即可得到Y+Z ~(n +m )。

2χ2. t 分布 若X 与Y 相互独立,且 X ~N(0,1),Y ~(n ),则Z = 的分布称为自由度2χn YX 等于n 的t 分布,记作Z ~ t (n ),它的分布密度P(z)= 。

)()(221n nn ΓΓ+2121+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n z 请注意:t 分布的分布密度也是偶函数,且当n>30时,t 分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。

这时, t 分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。

3. F 分布 若X 与Y 相互独立,且X ~(n ),Y ~(m ),2χ2χ 则Z=的分布称为第一自由度等于n 、第二自由度等于m Y n X m 的F 分布,记作Z ~F (n , m ),它的分布密度p(z)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++-⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ∙。

t分布,卡方x分布,F分布

t分布,卡方x分布,F分布

t分布,卡⽅x分布,F分布T分布:温良宽厚命名与源起“t”,是伟⼤的Fisher为之取的名字。

Fisher最早将这⼀分布命名为“Student's distribution”,并以“t”为之标记。

Student,则是William Sealy Gosset(⼽塞特)的笔名。

他当年在爱尔兰都柏林的⼀家酒⼚⼯作,设计了⼀种后来被称为t检验的⽅法来评价酒的质量。

因为⾏业机密,酒⼚不允许他的⼯作内容外泄,所以当他后来将其发表到⾄今仍⼗分著名的⼀本杂志《Biometrika》时,就署了student的笔名。

所以现在很多⼈知道student,知道t,却不知道Gosset。

(相对⽽⾔,我们常说的正态分布,在国外更多的被称为⾼斯分布……⾼斯~泉下有知的话,说不定会打出V字⼿势~欧耶!)看懂概率密度图这⼀点对于初学者尤为重要,相信还是有不少⼈对正态分布或者t分布的曲线没有确切的理解。

⾸先,我们看⼀下频率分布直⽅图,histogram:上图,最关键的就是横轴了,柱⾼,即,对于横轴上每⼀个点,发⽣的频次。

图中横轴为4处,次数最多,⼤约12次;依次类推,横坐标为10处,发⽣1次……我们做单变量的探索性数据分析,最喜欢做柱状图了,或者再额外绘制⼀条Density曲线于其上(见下图)。

很容易就可以看出数据的分布(集中趋势、离散趋势),图中,数据⼤多集中在4左右(均数、众数),有⼀点点右偏态,但基本还是正态分布。

下图,⼿绘曲线,即密度曲线,英⽂全称Probability Density Function/Curve。

实际上是对上⾯柱状图的⼀个平滑,但它的纵坐标变为了概率,区别于柱状图的频次。

但理解起来意义差不多。

以下,我们就⽤Density曲线来讲解T分布的特征。

T分布的可视化我们平常说的t分布,都是指⼩样本的分布。

但其实正态分布,可以算作t分布的特例。

也就是说,t分布,在⼤⼩样本中都是通⽤的。

之前有读者问过:“是不是样本量⼤于30或者⼤于50,就不能⽤t分布了呀”?完全不是这样的!t分布,⼤⼩通吃!具体且看下⽂分解。

5.3卡方分布、t分布及F分布

5.3卡方分布、t分布及F分布

F分布的分位数
自由度为n, m的F分布的分位数记作 F (n, m ). 1) F ( n, m ) 0, 非对称分布。 2) 当F ~ F (n, m )时,P{F F (n, m )} .
3) 当较小时,表中查不出 F (n, m ), 可先查F1 (m, n),
知道自由度n和α可查t分布的分位数表。
n 30, t n u
卡方分布的分位数
2 自由度n的 2分布的分位数记作 ( n).
1) ( n) 0, 非对称分布。
2
2) 当Z ~ ( n)时, P{ Z ( n)} .
2
2
自由度n, , 可以从 3) 给出概率和 2 2 中查出 ( n). 分布的分位数表
§5.3 卡方分布,t分布及F分布
与F分布的关系
5.常用分布的分位数
1.卡方分布
什么是卡方分布
设随机变量X 1 , X 2 , , X n相互独立, 且都服从
n i 1 2 i
N (0,1), 则随机变量Z X 服从自由度为n的
分布,记作Z ~ ( n).
3) u u1
0.005 ,u0.995 2.58.
t分布的分位数
自由度为n的t分布的分位数记作 t ( n).
为对称分布,记号方式类似标准正态分布。
1) 当T ~ t (n)时,P{T t ( n)} .
2) 0.5时,t n 0,
3) t (n) t1 (n),

又根据 F 分布的定义,
1 ~ F (n, m) , X
1 P F n , m 所以 X ,
1 F n, m 因此 F1 (m, n)

16几个常用的抽样分布与抽样分布定理

16几个常用的抽样分布与抽样分布定理
0
(s
0),
(s 1)
s (s) ,(12)
3
3.性质:
1)期望与方差
提示: 2
X
2 1
X
2 n
若 2 ~ 2(n),则 E( 2)= n,D( 2)=2n
证明: 因为Xi~N(0, 1)
所以
E
(
X
2 i
)
D( Xi
) [E( Xi
)]2
1 0 1
D(
X
2 i
)
E
(
X
4 i
)
[
2 1
/
2 2
~
F (n1
1, n2
1)
29
定理2结论(3)
假定
2 1
2 2
2,
就有
t T ( X Y ) (1 2 ) ~ S 1 n1 1 n2
(n1 n2 2)
其中
S2
(n11)S12 (n2 1)S22 n1 n 2 2

( X Y ) (1 2 )
13
T 的概率密度为
(s) xs1e x d x (s 0),
0
f (t)
( n 1) 2
(1
t2
)
n1
2,
(12)
t
n ( n) n
2
14
2.基本性质:
(1) f ( t ) 关于 t = 0(纵轴)对称。
(2) f ( t ) 的极限为 N(0, 1) 的密度函数,即
lim f (t) (t)
标准化
定理1:设总体 X ~ N ( , 2 ) ,X1, X2,…, Xn 是
来自总体 X 的样本,

数理统计的三大分布

数理统计的三大分布

(1,10) (,10)
(10,10) (5,10)
O
x
F分布概率密度函数
F 分布的性质:
性质1 若X ~ F(m, n),则1 / X ~ F(n, m); 性质2 若X ~ t(n),则 X 2 ~ F(1,n);
性质3 E(F) n (n 2), n 2
D(F) 2n2 (m n 2) , m(n 2)2 (n 4)
(2) 当n充分大(n 40即可),有
2 (n)
1 2
(u
2n 1)2 .
(3)
1 F (m,n) F1 (n, m) .
学习了三大分布后,我们就可以去研究常用统计 量的分布。下一讲,我们将学习在正态分布的条件下, 常用统计量的分布——抽样分布.
则随机变量
t X Y /n
所服从的分布称为自由度为n的t分布,记为t(n).
其密度函数为
ft ( x;n)
[(n 1) 2] (1
(n 2) n
x2 n
n1
)2
,
x .
ft (x)
n , N(0,1) n 6
n 2
O
x
t分布的密度函数: 低峰、厚尾
t分布的性质:
性质1 密度函数f ( x, n)是偶函数,且
lim f ( x, n)
1
x2
e 2 (x).
n
2
即t分布的极限分布是标准正态分布.
性质2 设T t(n),则
当n 1时, E(T )不存在,t(1)是标准柯西分布, 当n 2时, E(T ) 0, 当n 3时, D(T ) n .
n 2
三 F分布
设随机变量X ~ 2 (m),Y ~ 2 (n),且X与Y独立,

χ2分布、t 分布、F 分布与正态分布间的关系

χ2分布、t 分布、F 分布与正态分布间的关系

χ2分布、t 分布、F 分布与正态分布间的关系曾珍;张宇【摘要】随机变量的概率分布是概率论和数理统计教学中的最基本的概念,χ2分布、t分布、F分布、正态分布是重要的分布,它们之间存在的一定相互关系。

本文根据中心极限定理、Wallis公式和求极限的方法证明了χ2分布、t分布、F分布在某种情况下都收敛于正态分布;并用数据模拟的方法对此进行了进一步验证。

%The probability distribution of random variables is the most basic concept in probability theory and mathematical statistics teaching, it is also important to distribution.The relationship exists between them.It was proved χ2 distribution, t distribution and F distribution converge to the standard normal distribution by CLT, Wallis and limit theorem , respectively, Which in further proved by data simulation.【期刊名称】《湖北师范学院学报(自然科学版)》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】5页(P62-66)【关键词】χ2 分布;t分布;F分布;正态分布【作者】曾珍;张宇【作者单位】湖北师范学院数学与统计学院,湖北黄石 435002;湖北师范学院数学与统计学院,湖北黄石 435002【正文语种】中文【中图分类】O211.4χ2分布、t分布、F分布与正态分布间的关系曾珍,张宇(湖北师范学院数学与统计学院,湖北黄石435002)摘要:随机变量的概率分布是概率论和数理统计教学中的最基本的概念,χ2分布、t分布、F分布、正态分布是重要的分布,它们之间存在的一定相互关系。

6.4正态总体

6.4正态总体

n( X ) P{0.05 n 0.05 n } 2 (0.05 n ) (0.05 n )
2(0.05 n ) 1 ≥0.95 (0.05 n ) 0.975
0.05 n 1.96
n≥1536.64 n≥1537
小结
1. 理解总体、个体、样本和统计量的概 念,掌握样本均值和样本方差的计算及 基本性质
的点2(n)为2(n)分布的上分位点 f(x)
( n )

o
2(n)
x
例2 (练习九.五) 设X~N(,2), (X1,X2,...,X16)是取自总体X的样本,求概 16 2 率: 2 2 1 P{ ( X i ) 2 } 2 16 i 1 解: ∵ X1,X2,...,X16相互独立 Xi 且 ~ N (0,1)
1 1 P{ 1 } 1 P{ 1 } F F1 ( m, n) F F1 ( m, n) 1 1 P{ } F F1 ( m, n) 1 F ( n, m ) F1 ( m , n)
5. 正态总体的样本均值与样本方差的 分布 定理(正态总体的抽样分布定理):
Y Xi
服从自由度为n的
n
2
i 1 2分布,记为Y~ 2

常用2(n)表示自由度为n的2随机 变量
2分布的性质:
1. 可加性:
若Y1~2(m), Y22(n), 且Y1,Y2相互 独立,则Y1+Y2~2(m+n)
2. E[2(n)]=n, D[(2(n)]=2n
2分布的上分位点: 设2~2(n),其密度函数为f(x),对于 给定的正数 (0<<1),称满足条件 2 2 P{ (n)} 2 f ( x )dx

哈工大-第30讲 X2分布、t分布和F分布

哈工大-第30讲 X2分布、t分布和F分布

数或临界值.F (n1, n2 )的值可查F分布表获得.
P(F F (n1, n2 ))
+
=
f ( x, n)dx .
F ( n1 ,n2 )

F0.05(9,12) 2.8.
F分布表
F0.05 (9,12) 2.8.
F0.95(12,9) ?
F分布的上侧α分位数或临界值
证 由 Xi ~ N (, 2 )(i 1, , n),则
Yi

Xi
~
N (0,1),且Y1,Y2,
Yn独立,从而
2 =
n
( Xi
2
)
i1

1
2
n
(Xi
i 1
)2
n
Yi2 ~ 2(n).
i 1
t 分布
定义 设X ,Y相互独立,且
X ~ N (0,1), Y ~ 2(n),
t0.025(12) 2.1788
t (n)
t 分布表
t0.05(9) 1.8331,
F分布
定义 设X ,Y相互独立,且
X ~ 2 (n1 ), Y ~ 2(n2 ),
则称随机变量
F X / n1 n2 X Y / n2 n1 Y
Ronald Fisher
服从第一自由度为n1,第二 1924提出了F分布.
T1

( X12

X
2 2
)
4;
(3)
T3

2 X12
X
2
3
X
2 2
;
(2) T2
2X3 ;
X
2 1

χ2分布、t分布和F分布的近似计算

χ2分布、t分布和F分布的近似计算

χ2分布、t分布和F分布的近似计算
王福昌;曹慧荣
【期刊名称】《防灾科技学院学报》
【年(卷),期】2008(010)001
【摘要】当自由度很大时,三大抽样分布的P值无表可查,而且如果编程计算P值时,需要计算一个无穷区间上的广义积分,还会面临数值溢出的问题,解决这些问题需要较高的计算机编程技巧,这些不利于开发实用程序,限制了它们的实际应用.本文利用χ2分布、一元t分布和一元F分布的一致渐进正态性、标准正态分布的分布函数近似计算公式和软件Mathematica5.0,通过计算机仿真,指出当自由度较大时,可以用正态分布进行近似计算,避免了数值溢出和无穷区间的积分问题,为使用常用开发语言编程解决实际问题提供了一种可行方案,具有一定的应用价值.
【总页数】6页(P89-94)
【作者】王福昌;曹慧荣
【作者单位】防灾科技学院,河北三河,065201;廊坊师范学院数信学院,河北廊坊,065201
【正文语种】中文
【中图分类】O212.4
【相关文献】
1.x2分布、t分布和F分布的一致渐近正态性 [J], 李开灿;孟赵玲
2.矩阵F分布与矩阵T分布在左球分布类中的推广 [J], 石爱菊
3.四元数非中心χ2分布,t分布,F分布及性质 [J], 李绍明;滕成业
4.关于非中心t分布分位数的一个近似计算方法 [J], 陈辉蓉
5.x~2分在、t分布和F分布的关系 [J], 周维
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以下为三个分布的动画演示程序,直接运行:function dandn(action)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%% 《X~2分布、t分布和f分布的性质及近似计算》%% 制作人:幸玮石岩顾秋容% All Rights Reserved % 2008.12%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%无输入参数时进行初始程序,否则调界面参数if nargin<1,action='initialize';else%看是哪种分布data=get(gco,'UserData');pdflabel=data(4);%图形显示参数,调试时用switch pdflabelcase 1xstart=0; %x轴起始点width=120; %x轴范围xdis=30; %x轴刻度间距lenth=0.24; %y轴范围ydis=0.03; %y轴刻度间距speed=0.6; %动画演进速率case 2width=6;xdis=3;lenth=0.42;ydis=0.05;speed=0.5;case 3width=2;xdis=0.5;lenth=4;ydis=0.4;speed=0.8;endend%初始化模块if strcmp(action,'initialize')%数据初始化%分布函数选择pdflabel=0;d=inputdlg({'输入分布函数类型:'},'选择分布函数',1,{'x2'});if strcmp(d,'x2')pdflabel=1;elseif strcmp(d,'t')pdflabel=2;elseif strcmp(d,'f')pdflabel=3;end%不符合的输入报错if pdflabel==0errordlg('分布函数只能选择x2,t与f')returnend%整体用户界面建立,图形显示窗口嵌入figNumber=figure( ...'Name','Changing of the X~2 destribution function', ...'NumberTitle','off', ...'Visible','off');axes( ...'Units','normalized', ...'Visible','off', ...'Position',[0.06 0.065 0.70 0.9]);%显示初始现实画面switch pdflabelcase 1%初始显示参数xstart=0; %x轴起始点width=120; %x轴范围xdis=30; %x轴刻度间距lenth=0.24; %y轴范围ydis=0.03; %y轴刻度间距%画背景图plot([xstart xstart+width],[lenth lenth],'b');hold onplot([xstart xstart+width],[lenth lenth],'r');plot([xstart xstart+width],[lenth lenth],'black'); legend('X~2分布','正态分布');axis([xstart xstart+width 0 lenth]);grid onset(gca,'XTick',xstart:xdis:xstart+width);set(gca,'YTick',0:ydis:lenth);hold off%分布函数动画初始参数m=0;n=1;case 2width=6;xdis=3;lenth=0.42;ydis=0.05;plot([-width -width width],[0 lenth lenth],'b');hold onplot([-width -width width],[0 lenth lenth],'r--'); plot([-width -width width],[0 lenth lenth],'black'); legend('T分布','正态分布');grid onaxis([-width width 0 lenth]);set(gca,'XTick',-width:xdis:width);set(gca,'YTick',0:ydis:lenth);hold offm=0;n=2;otherwisewidth=2;xdis=0.5;lenth=4;ydis=0.4;plot(width,0,'b');hold onplot(width,0,'r');legend('f分布','正态分布');axis([0 width 0 lenth]);grid onset(gca,'XTick',0:xdis:width);set(gca,'YTick',0:ydis:lenth);hold off%f分布输入nn=inputdlg({'输入n的值:'},'获取n',1,{'5'});n=str2double(n{1});if n<=4errordlg('要使正态逼近式成立n必须大于4!')returnendm=1;end%按钮显示位置top=0.95;left=0.80;btnWid=0.15;btnHt=0.08;spacing=0.02;%“Start”按钮btnNumber=1;labelStr='Start';callbackStr='dandn(''start'')';%显示按钮btnPos=[left top-btnHt btnWid btnHt];uicontrol( ...'Style','pushbutton', ...'Units','normalized', ...'Position',btnPos, ...'String',labelStr, ...'Callback',callbackStr, ...'UserData',[btnNumber m n pdflabel]); %调用时的句柄参数传递%关闭按钮yPos=top-(btnHt+spacing);uicontrol( ...'Style','push', ...'Units','normalized', ...'Position',[left yPos-btnHt btnWid btnHt], ...'String','Close', ...'Callback','close(gcf)');set(figNumber,'Visible','on'); %显示初始图像%“Start”按钮执行程序elseif strcmp(action,'start')%参数初始化data=get(gco,'UserData');method=data(1);m=data(2);n=data(3);%“Stop”按钮设置,点击开始后替换“Start”按钮btnNumber=2;labelStr='Stop';callbackStr='dandn(''stop'')';top=0.95;left=0.80;btnWid=0.15;btnHt=0.08;btnPos=[left top-btnHt btnWid btnHt];stophld=uicontrol( ...'Style','pushbutton', ...'Units','normalized', ...'Position',btnPos, ...'String',labelStr, ...'Callback',callbackStr, ...'UserData',[btnNumber m n pdflabel]);%画图程序switch pdflabelcase 1while(method==1) %当未点击“Stop”则继续执行%画x2分布密度函数a=n/2; b=2;x=xstart:0.1:xstart+width;y=gampdf(x,a,b);plot(x,y,'b','EraseMode','normal');hold on%画近似正太分布密度函数y1=normpdf(x,n,(2*n)^0.5);plot(x,y1,'r-');%图形参数调节axis([xstart xstart+width 0 lenth]);set(gca,'XTick',xstart:xdis:xstart+width);set(gca,'YTick',0:ydis:lenth);grid on;legend('X~2分布','正态分布');%显示当前ntemp=num2str(floor(n));str=strcat('n=',temp);text(92,0.2,str);%显示当前最大间距dis=num2str(max(abs(y-y1)));str=strcat('dis=',dis);text(92,0.187,str);%动画指令drawnow;hold off;n=n+speed;%看stop是否按下data=get(gco,'UserData');method=data(1);%更新传递参数set(stophld,'Userdata',[btnNumber m n pdflabel]);endcase 2while(method==1)%画t分布密度函数x=-width:0.1:width;y=tpdf(x,n);plot(x,y,'EraseMode','normal');hold on%画近似正太分布密度函数y1=normpdf(x,0,(n/(n-2))^0.5);plot(x,y1,'r--');%图形参数调节axis([-width width 0 lenth]);set(gca,'XTick',-width:xdis:width);set(gca,'YTick',0:ydis:lenth);grid on;legend('T分布','正态分布');%显示当前ntemp=num2str(floor(n));z=strcat('n=',temp);text(3.3,0.335,z);%显示当前最大间距dis=num2str(max(abs(y-y1)));str=strcat('dis=',dis);text(3.3,0.315,str);%动画指令drawnow;hold off;n=n+speed;%看stop是否按下data=get(gco,'UserData');method=data(1);%更新传递参数set(stophld,'Userdata',[btnNumber m n pdflabel]);endotherwisewhile(method==1)%画f分布密度函数x=0:0.01:width;y=fpdf(x,m,n);plot(x,y,'EraseMode','normal');hold on%画近似正太分布密度函数y1=normpdf(x,n/(n-2),(2*n^2*(m+n-2)/m/(n-2)^2/(n-4))^0.5); plot(x,y1,'r');%图形参数调节axis([0 width 0 lenth]);set(gca,'XTick',0:xdis:width);set(gca,'YTick',0:ydis:lenth);grid on;legend('f分布','正态分布');%显示当前mtemp1=num2str(floor(m));str=strcat('m=',temp1);text(1.55,3.32,str);%显示当前ntemp2=num2str(floor(n));str=strcat('n=',temp2);text(1.78,3.32,str);%显示当前最大间距dis=num2str(max(abs(y-y1)));str=strcat('dis=',dis);text(1.55,3,str);%动画指令drawnow;hold off;m=m+speed;%看stop是否按下data=get(gco,'UserData');method=data(1);%更新传递参数set(stophld,'Userdata',[btnNumber m n pdflabel]);endend%“Close”按钮执行程序elseif strcmp(action,'stop')data=get(gco,'UserData'); %读原有传递数据top=0.95;left=0.80;btnWid=0.15;btnHt=0.08;%用“continue”按钮替代“StopbtnNumber=1;labelStr='Continue';callbackStr='dandn(''continue'')';data(1)=btnNumber; %更新按钮标识btnPos=[left top-btnHt btnWid btnHt];uicontrol( ...'Style','pushbutton', ...'Units','normalized', ...'Position',btnPos, ...'String',labelStr, ...'Callback',callbackStr, ...'UserData',data);%“continue”按钮执行程序elseif strcmp(action,'continue')%读取传递数据data=get(gco,'UserData');method=data(1);m=data(2);n=data(3);%用“Stop”按钮替代“continue”btnNumber=2;labelStr='Stop';callbackStr='dandn(''stop'')';top=0.95;left=0.80;btnWid=0.15;btnHt=0.08;btnPos=[left top-btnHt btnWid btnHt];conthld=uicontrol( ...'Style','pushbutton', ...'Units','normalized', ...'Position',btnPos, ...'String',labelStr, ...'Callback',callbackStr, ...'UserData',[btnNumber m n pdflabel]);%动画switch pdflabelcase 1while(method==1)%画系x2分布密度函数a=n/2; b=2; %画x2分布密度函数x=xstart:0.1:xstart+width;y=gampdf(x,a,b);plot(x,y,'b','EraseMode','normal');hold on%画近似正太分布密度函数y1=normpdf(x,n,(2*n)^0.5);plot(x,y1,'r-');%图形参数调节axis([xstart xstart+width 0 lenth]);set(gca,'XTick',xstart:xdis:xstart+width);set(gca,'YTick',0:ydis:lenth);grid on;legend('X~2分布','正态分布');%显示当前ntemp=num2str(floor(n));str=strcat('n=',temp);text(92,0.2,str);%显示当前最大间距dis=num2str(max(abs(y-y1)));str=strcat('dis=',dis);text(92,0.187,str);%动画指令drawnow;hold offn=n+speed;%看stop是否按下data=get(gco,'UserData');method=data(1);%更新传递参数set(conthld,'UserData',[btnNumber m n pdflabel]);endcase 2while(method==1)x=-width:0.1:width;y=tpdf(x,n);plot(x,y,'EraseMode','normal');hold on%画近似正太分布密度函数y1=normpdf(x,0,(n/(n-2))^0.5);plot(x,y1,'r--');%图形参数调节axis([-width width 0 lenth]);set(gca,'XTick',-width:xdis:width);set(gca,'YTick',0:ydis:lenth);grid on;legend('T分布','正态分布');%显示当前ntemp=num2str(floor(n));z=strcat('n=',temp);text(3.3,0.335,z);%显示当前最大间距dis=num2str(max(abs(y-y1)));str=strcat('dis=',dis);text(3.3,0.315,str);%动画指令drawnow;hold offn=n+speed;%看stop是否按下data=get(gco,'UserData');method=data(1);%更新传递参数set(conthld,'UserData',[btnNumber m n pdflabel]);endotherwisewhile(method==1)x=0:0.01:width;y=fpdf(x,m,n);plot(x,y,'EraseMode','normal');hold on%画近似正太分布密度函数y1=normpdf(x,n/(n-2),(2*n^2*(m+n-2)/m/(n-2)^2/(n-4))^0.5); plot(x,y1,'r');%图形参数调节axis([0 width 0 lenth]);set(gca,'XTick',0:xdis:width);set(gca,'YTick',0:ydis:lenth);grid on;legend('f分布','正态分布');%显示当前mtemp1=num2str(floor(m));str=strcat('m=',temp1);text(1.55,3.32,str);%显示当前ntemp2=num2str(floor(n));str=strcat('n=',temp2);text(1.78,3.32,str);%显示当前最大间距dis=num2str(max(abs(y-y1)));str=strcat('dis=',dis);text(1.55,3,str);%动画指令drawnow;hold offm=m+speed;%看stop是否按下data=get(gco,'UserData');method=data(1);%更新传递参数set(conthld,'UserData',[btnNumber m n pdflabel]);endendend。

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