复变函数和实变函数的比较

复变函数和实变函数的比较

数域从实数域扩大到复数域后，便产生了复变函数论，复变函数着重讨论解析函数，而解析函数的实部和虚部是相互联系的，这与实变函数有根本的区别。从某种意义上来说，实函数可以看作复函数的特例。有关实函数的一些概念，很多都可以推广到复函数上来。例如：函数的连续性、函数的导数、有（无）界函数、中值定理、泰勒展开式、基本初等函数等。但是，由于复数域的特殊性，又给这些概念赋予了新的特性。下面我将选取几个方面粗略地比较实变函数和复变函数的异同。

一、复变函数和实变函数的定义

复变函数的定义从文字叙述上看与实变函数的定义几乎是一样的。

复变函数的定义为：设A 是一个复数集,如果对A 中的任一复数z ，通过一个确定的规则f 有唯一的或若干个复数w 与之对应，就说在复数集A 上定义了一个复变函数，记为w =f(z)。

而实变函数的定义为：设A 是一个实数集,如果对A 中的任一实数x ，通过一个确定的规则f 有唯一的实数y 与之对应，就说在实数集A 上定义了一个实变函数，记为y =f(x)。

二者定义虽然从文字上看类似，但是具体的对应形式发生了根本变化，简单来说就是，实变函数可以看成是把一维实数区间映射成一维实数区间的函数，而复变函数则是把二维平面区域映射成二维平面区域的函数，如下图所示。

二、复变函数和实变函数极限过程对比

复变函数在某一点的极限定义为：

设函数w =f(z)在点z 0的某一去心邻域U(z 0)内有定义，A 为一复常数，若任给ε>0，总存在δ>0，使得当0<|z −z 0|<δ （即z ∈U(z 0)）时，都有|f (z )−A |<ε（即f (z )∈U(A,ε)）成立，则称A 为函数f (z )当z →z 0时的极限，记作

lim z→z 0

f (z )=A ，或f (z )→A （z →z 0）。

而实变函数在某一点的极限定义为：

w1

w2

z2z1

设函数y =f(x)在点x 0的某一去心邻域U(x 0)内有定义，A 为一实常数，若任给ε>0，总存在δ>0，使得当0<|x −x 0|<δ （即x ∈U(x 0)）时，都有|f (x )−A |<ε（即f (x )∈U(A,ε)）成立，则称A 为函数f (x )当x →x 时的极限，记作

lim x→x 0

f (x )=A ，或f (x )→A （x →x 0）。

两个定义虽然从文字叙述上看完全类似，但是具体的对应形式发生了根本变化，简单来说就是，实变函数的极限过程是当自变量在实数范围内趋近于指定的x 0时，其对应的函数值无限趋近于已知确定的某个实数，不管是自变量还是函数值，这个过程都是在一维直线上进行的。而复变函数的极限是当自变量在复数范围内趋近于指定的z 0时，其对应的函数值无限趋近于某个已知的确定复数，不管是自变量还是函数值，这个过程都是在二维平面上进行的，如下图所示。

三、复变函数的解析性和实变函数的可微性

解析函数是复变函数论研究的主要对象，下面先给出几个相关的定义： 定义1.1 设函数w =f(z)在点z 0的领域内（或含z 0的区域D 内）有定义，若极限

lim ∆z→0f (z 0+∆z )−f(z 0)∆z

存在，则称此极限为函数f(z)在点z 0的导数，记为f ′(z 0)

定义1.2 若函数w =f(z)在点z 0可导，则称f ′(z 0)∆z 为函数w =f(z)在点z 0的微分，记为

df|z=z 0或dw (z )|z=z 0,

即

dw (z )|z=z 0=f ′(z 0)∆z

特别地，当f (z )=z 时，dz =∆z ，于是

dw|z=z 0=f ′(z 0)dz

即

w0

z0

f′(z0)=dw

dz

|z=z

由此可见，在复变函数中f(z)在点z0可导与f(z)在点z0可微是等价的

定义1.3 若函数w=f(z)在区域D内可微，则称f(z)为区域D内的解析函数（或全纯函数、正则函数）。此时也称f(z)在区域D内解析。

对于微分的性质，实变函数和复变函数有以下三大点的不同:

1.微分中值定理

微分中值定理是微分学中的重要内容之一，常用的有Rolle中值定理及Lagrange中值定理，随着数域的扩充，微分中值定理在复数域中不成立。

例 1.设w=f(z)=e z，函数f(z)在z平面处处解析，且e z具有周期性，2kπi,k∈Z是其周期。当给定闭区域D,∀z1,z2∈D且z1≠z2，容易满足e z1=e z2，但(e z)′=e z≠0。故Rolle中值定理在复数域C上不成立。

2.解析函数零点的孤立性

区域D内每个点都可微的复变函数称为区域D内的解析函数。在复变函数论中，解析函数的零点总是孤立的。而实变函数体现出的性质截然相反。

例2.设函数f(x)={x2sin1

x

,x≠0

0, x=0

，研究f(x)的可微性及其零点的性质。

解：（1）由于

lim ∆x→0f(0+∆x)−f(0)

∆x

=lim

∆x→0

(∆x)2sin1∆x

∆x

=0

故f(x)在x=0可微且f′(0)=0。于是f(x)在(−∞,+∞)上处处可微。

（2）令f(x)=0可得其全部零点是0,±1

π,±1

2π

,⋯,±1

nπ

,⋯，其中n为自然数。

观察这些零点发现，对于f(x)的零点x=0而言，f(x)的零点x=±1

nπ

,n= 1,2,3,⋯，以x=0为聚点，也就是说在点x=0的任意领域内总有异于x=0的f(x)的其他零点。即尽管实变函数f(x)不恒为零且处处可微，零点x=0却不是孤立零点。