复变函数和实变函数的比较

复变函数和实变函数的比较
数域从实数域扩大到复数域后，便产生了复变函数论，复变函数着重讨论解析函数，而解析函数的实部和虚部是相互联系的，这与实变函数有根本的区别。

从某种意义上来说，实函数可以看作复函数的特例。

有关实函数的一些概念，很多都可以推广到复函数上来。

例如：函数的连续性、函数的导数、有（无）界函数、中值定理、泰勒展开式、基本初等函数等。

但是，由于复数域的特殊性，又给这些概念赋予了新的特性。

下面我将选取几个方面粗略地比较实变函数和复变函数的异同。

一、复变函数和实变函数的定义
复变函数的定义从文字叙述上看与实变函数的定义几乎是一样的。

复变函数的定义为：设A 是一个复数集,如果对A 中的任一复数z ，通过一个确定的规则f 有唯一的或若干个复数w 与之对应，就说在复数集A 上定义了一个复变函数，记为w =f(z)。

而实变函数的定义为：设A 是一个实数集,如果对A 中的任一实数x ，通过一个确定的规则f 有唯一的实数y 与之对应，就说在实数集A 上定义了一个实变函数，记为y =f(x)。

二者定义虽然从文字上看类似，但是具体的对应形式发生了根本变化，简单来说就是，实变函数可以看成是把一维实数区间映射成一维实数区间的函数，而复变函数则是把二维平面区域映射成二维平面区域的函数，如下图所示。

二、复变函数和实变函数极限过程对比
复变函数在某一点的极限定义为：
设函数w =f(z)在点z 0的某一去心邻域U(z 0)内有定义，A 为一复常数，若任给ε>0，总存在δ>0，使得当0<|z −z 0|<δ （即z ∈U(z 0)）时，都有|f (z )−A |<ε（即f (z )∈U(A,ε)）成立，则称A 为函数f (z )当z →z 0时的极限，记作
lim z→z 0
f (z )=A ，或f (z )→A （z →z 0）。

而实变函数在某一点的极限定义为：
w1
w2
z2z1
设函数y =f(x)在点x 0的某一去心邻域U(x 0)内有定义，A 为一实常数，若任给ε>0，总存在δ>0，使得当0<|x −x 0|<δ （即x ∈U(x 0)）时，都有|f (x )−A |<ε（即f (x )∈U(A,ε)）成立，则称A 为函数f (x )当x →x 时的极限，记作
lim x→x 0
f (x )=A ，或f (x )→A （x →x 0）。

两个定义虽然从文字叙述上看完全类似，但是具体的对应形式发生了根本变化，简单来说就是，实变函数的极限过程是当自变量在实数范围内趋近于指定的x 0时，其对应的函数值无限趋近于已知确定的某个实数，不管是自变量还是函数值，这个过程都是在一维直线上进行的。

而复变函数的极限是当自变量在复数范围内趋近于指定的z 0时，其对应的函数值无限趋近于某个已知的确定复数，不管是自变量还是函数值，这个过程都是在二维平面上进行的，如下图所示。

三、复变函数的解析性和实变函数的可微性
解析函数是复变函数论研究的主要对象，下面先给出几个相关的定义： 定义1.1 设函数w =f(z)在点z 0的领域内（或含z 0的区域D 内）有定义，若极限
lim ∆z→0f (z 0+∆z )−f(z 0)∆z
存在，则称此极限为函数f(z)在点z 0的导数，记为f ′(z 0)
定义1.2 若函数w =f(z)在点z 0可导，则称f ′(z 0)∆z 为函数w =f(z)在点z 0的微分，记为
df|z=z 0或dw (z )|z=z 0,
即
dw (z )|z=z 0=f ′(z 0)∆z
特别地，当f (z )=z 时，dz =∆z ，于是
dw|z=z 0=f ′(z 0)dz
即
w0
z0
f′(z0)=dw
dz
|z=z
由此可见，在复变函数中f(z)在点z0可导与f(z)在点z0可微是等价的
定义1.3 若函数w=f(z)在区域D内可微，则称f(z)为区域D内的解析函数（或全纯函数、正则函数）。

此时也称f(z)在区域D内解析。

对于微分的性质，实变函数和复变函数有以下三大点的不同:
1.微分中值定理
微分中值定理是微分学中的重要内容之一，常用的有Rolle中值定理及Lagrange中值定理，随着数域的扩充，微分中值定理在复数域中不成立。

例 1.设w=f(z)=e z，函数f(z)在z平面处处解析，且e z具有周期性，2kπi,k∈Z是其周期。

当给定闭区域D,∀z1,z2∈D且z1≠z2，容易满足e z1=e z2，但(e z)′=e z≠0。

故Rolle中值定理在复数域C上不成立。

2.解析函数零点的孤立性
区域D内每个点都可微的复变函数称为区域D内的解析函数。

在复变函数论中，解析函数的零点总是孤立的。

而实变函数体现出的性质截然相反。

例2.设函数f(x)={x2sin1
x
,x≠0
0, x=0
，研究f(x)的可微性及其零点的性质。

解：（1）由于
lim ∆x→0f(0+∆x)−f(0)
∆x
=lim
∆x→0
(∆x)2sin1∆x
∆x
=0
故f(x)在x=0可微且f′(0)=0。

于是f(x)在(−∞,+∞)上处处可微。

（2）令f(x)=0可得其全部零点是0,±1
π,±1
2π
,⋯,±1
nπ
,⋯，其中n为自然数。

观察这些零点发现，对于f(x)的零点x=0而言，f(x)的零点x=±1
nπ
,n= 1,2,3,⋯，以x=0为聚点，也就是说在点x=0的任意领域内总有异于x=0的f(x)的其他零点。

即尽管实变函数f(x)不恒为零且处处可微，零点x=0却不是孤立零点。

3.解析函数的无穷可微性
在复变函数中，若f(x)在区域D内解析，则f(z)在区域D内具有各阶导数，并且它们也在区域D内解析。

复变函数的这一性质称为解析函数的无穷可微性。

实变函数中区间上的可微函数，在此区间上不一定有二阶导数，更不必说高阶导数。

例3.设函数f(x)={x2sin1
x
,x≠0
0, x=0
，讨论f(x)在x=0的高阶导数。

解：因为
lim ∆x→0f(0+∆x)−f(0)
=lim
∆x→0
(∆x)2sin1∆x
=0
故f(x)在x=0可微且f′(0)=0。

于是f′(x)={2x2sin1
x
−cos1
x
,x≠0 0, x=0
又lim
x→0f′(x)=lim
x→0
(2x2sin1
x
−cos1
x
)不存在，则f′(x)在x=0不连续，于
是f′(x)在x=0不可导，即f(x)在x=0没有二阶导数，也就更没有高阶导数。

四、复变函数和实变函数的积分
从积分的定义来看，实函数和复函数的积分都是分割、求和、取极限等步骤，相同之处是：两种函数的运算性质及积分公式。

不同之处是：实函数的积分有明确的、易理解的几何意义，而复函数的积分实质上是一种线积分，积分路径C是区域D内以A为起点B为终点的一条有向光滑的曲线，没有通俗明了的几何意义。

而且积分的值不仅和起点和终点有关，一般情况下也与积分路径有关。

对于牛顿—莱布尼茨公式，在形式上对两者来说都是一致的，但又有明显的区别：对一元实函数f(x)而言，只要f(x)在[a,b]上连续，就可应用牛顿—莱布尼茨公式，即
∫f(x)dx=F(b)−F(a)
b
a
而对复变函数来说，f(z)连续，积分∫f(z)dz
c
存在，但不一定就可以使用牛顿—莱布尼茨公式来计算。

要想使用该公式，f(z)必须在单连通区域D内处处解析，才有
∫f(z)dz=F(z1)−F(z0)
z1
z0
同时，式中的上下积分限z 1,z 0必须都在单连通区域D 内。

例 4.计算积分I =∫(e 2+2z)dz C ，其中C 为(x −1)2+y 2=1的上半圆周，取逆时针方向。

解：因为e 2和2z 在复平面上处处解析，则
I =∫(e 2+2z)dz C
=(e 2+z 2)|20=−e 2
−3
五、复变函数和实变函数的级数
复变函数和实变函数的关于级数的不同之处主要体现在将函数展开成幂级数时，具体表现为：
复变函数展成幂级数时要求要弱些，仅求f (z )在z 0的领域内解析即可，并且不需证明余项趋于零；而实变函数f (x )要展成幂级数，除要求f (x )在z 0存在任意阶导数外，还需证明余项趋于零。

因此，复变函数展开为泰勒级数的应用要比实变函数来得广。

例5.计算∮(∑z n ∞n=−1)dz C ，其中C 为|z |=1
2 。

解：在|z |<1
2 内，∑z n
∞n=−1收敛，
和函数 S (z )=∑z n ∞n=−1=1
z +∑z n =1
z +1
1−z ∞n=0 ,
所以 I =∮(1z +11−z )dz =C ∮1z dz +∮1
1−z dz C =2πi +0=C 2πi。