数学建模生物种群模型

1 x
dx dt
f1(x, y)
或
1 y
dy dt
f2 (x, y)
伏特拉（V.Volterra）模型
dx dt
x(a1
b1x
c1 y)
dy dt
y(a2
b2 x
c2 y)
其中，a1, a分2 别为种群x、y的固有增长率，其正负由
它们各自的食物来源而确定，例如当x种群的食物是
y种群以外的自然资源时， a1； 而0 x种群仅以y种群
r1 x(1
x k1
1
y k2
)
dy dt
r2 y(1
2
x k1
y k2
)
四、三种群模型
三种群相互作用的情况要比二种群作用的情况 复杂，但建立模型的规律基本上相同，既要考虑 种内的增长，也要考虑种间的相互作用。建立模 型时，考虑各种群的相对增长率，然后假设线性 的相互作用关系，就可得三种群相互作用的伏特 拉模型。设x（t）、y（t）、z（t）分别表示t时 刻三种群的数量，则一般形式的伏特拉模型
的生物为食时， 。a1 0 反映b1x的,c是2 y各种群内部的密
度制约因素，即种内竞争，故
。b1 0,c2 0
b2,的c1 正负要根据这两种群之间相互作用的形 式而定，一般分为以下三种情况。
1.相互竞争型：两种群或者互相残杀，或者竞争同
一种食物资源，各自的存在对对方不利，故
c1 0,b2； 0
模型解释
x
r2
2
,
y
r1
1
从x、y的值可以看到，食饵的数量取决于模型 的两个参数r2和λ2，而捕食者的数量取决于模型 的另两个参数r1和λ1。当食饵的自然增长率r1下 降时，捕食者的数量将减少，这就是说，在弱肉 强食情况下降低弱者的繁殖率可以使强者减少， 而当捕食者掠取食饵的能力λ1提高时也会使捕食 者减少。另一方面，捕食者死亡率r2的下降，或 者食饵对捕食者供养能力λ2的提高，都将导致食 饵的减少。
b1x
c1 y)
dy dt
y(a2
b2 x
c2
y)
其中参数 a1,b1,c1, a2全,b2是,c正2 数，
具体分析：
x、y遵从Logistic规律，r1, r2 是它们的固有增 长率，k1, k是2 它们的最大容量，于是
dx dt
r1 x(1
x k1
)
dx dt
r1 x(1
x k1
1
y k2
时k 0
闭轨线对应着方程的周期解 x(t), y，(t)
记周期为T，周期解增减性由闭轨线的方向决定。
可以看出，食饵 x(t) 的变化比捕食者 y(t)
提前了 T 。
4
一周期T内的平均值作为食饵和捕食者数量 的近似度量，即
得
x
r2
2
,
y
r1
1
这表明食饵和捕食者在平衡点R的值正好代表了
它们的（平均）数量。
)
的1 意义：单位数量y（相对 k而2 言）消耗的供养
x的食物量为单位数量x（相对 而k1言）消耗的供
养x的食物量的 倍1。（竞争能力）
类似地，可得
dy dt
r2 y(1 2
x k1
y k2
)
从而得相互竞争模型
dx dt
r1 x(1
x k1
1
y k2
)
dy dt
r2
y(1 2
x k1
y k2
改写成
2
(
x
x*
)
r2
ln
x x*
1 (
y
y*)
r1
ln
y y*
cHale Waihona Puke Baidu
记 F(x, 其中 x*
y)
r2
2 (x x*
, y* r1
)
r2
ln
x x*
( x*, y*)
1 (
R
y
y*)
r1
ln
y y*
2
1
F(x是, y第) 一象限的正定函数，且 F(x, y是) 包k 围点 的R(闭x*轨, y*线) 。
)
稳定性分析：
由微分方程的稳定性理论，方程组的平衡点
r1 x(1
x k1
1
y k2
)
0
r2
y(1
2
x k1
y k2
)
0
求解可得 P1(k1,0),
P2 (0, k2 ),
P4 (0,0)
P
3
(
k1 1
(1 1
1)
2
,
k2 1
(1 1
2 2
)
)
平衡点稳定性的判断，结果如图所示
三、捕食者与被捕食者模型
处于同一自然环境中的种群有一种有趣的生存方 式：种群甲靠丰富的天然资源生长，而种群乙则靠 掠食甲为生。如地中海里的食用鱼与鲨鱼，加拿大 森林中的美洲兔与山猫，阿尔卑斯山中的落叶松与 芽虫等都是这种生存方式的典型，生态学上称种群 甲 为 食 饵 （ Prey）， 称 种 群 乙 为 捕 食 者 （ Predator）， 二 者 共 处 组 成 食 饵 - 捕 食 者 系 统 （简称P-P系统）。20世纪初以来一些生态学家、 数学家对这个系统的数学模型和它的解的性质的研 究，一直保持着浓厚的兴趣。
2.互惠共存型：即两种群的存在，都对对方有利，
对对方的数量起增长促进作用，则
。
3c.捕1 食0,与b2被 捕0 食型：即种群y以种群x为食物来源，
这时种群x的存在对种群y的增长有利，而y对x不利，
故
。
c1 0,b2 0
二、种群的相互竞争模型
根据上面的分析，相互竞争模型的一般形式为
dx dt
x(a1
历史背景
一次世界大战期间地中海某港口捕获鲨鱼的比例
伏特拉模型
食饵x和捕食者y遵从Malthus规律
dx dt
r1x
dx dt
x(r1
1 y)
其中 1反映捕食者掠取食饵的能力。
dy dt
r2
y
dy dt
y(r2
2 x)
其中 反2 映食饵对捕食者的供养能力。
伏特拉模型
dx dt
x(r1
1
y)
dy dt
y(r2
2 x)
1,2, r1, r2 0
模型分析
平衡点
O(0,0),
R( r2 , r1 )
2 1
按照判断平衡点稳定性的方法，发现不能判 断平衡点R是否稳定，下面用分析相轨线的方法 来解决这个问题。
相轨线
dy y(r2 2x) dx x(r1 1 y)
积分得 r2 ln x 2x r1 ln y 1y c1
生物种群模型
一、两种群模型 二、种群的相互竞争模型 三、捕食者与被捕食者模型 四、三种群模型
一、两种群模型
设x（t）、y（t）分别表示两种群在t时刻的数 量或密度，建立模型时考虑各自的相对增长率
1 dx , 1 dy
x dt
y dt
需要考虑到种内自身的发展规律和种间相互作用
的影响两个方面，故常用的形式为
现回答开头提出问题，在上述结果的基础上考虑
人工捕获的影响。设表示捕获能力的系数为 ，h1
r1 r1 h r2 r2 h
x1
r2
h1
2
,
y1
r1
h1
1
战争时期捕获能力的下降 h2 , h2 h1
x2
r2
h2
2
,
y2
r1
h2
1
得
x1
x2
,
y1
y2
x、y遵从Logistic规律
dx dt