1.什么叫做算术平方根？2.判断下列各数有没有算术平方根,如果有,请求出它们的算术平方根。100;1;; 0; (
平方根基础知识
平方根基础知识【要点梳理】知识点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.要点诠释：有意义时，≥0，≥0.2.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为是的算术平方根.知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质x a 2x a =x a a a a a a 2x a =x a a a a 0)a ≥a 0||000a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位..【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（）A.5是25的算术平方根B.l 是l 的一个平方根C.的平方根是－4D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C ；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A.因为＝5，所以本说法正确；B.＝±1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；C.4，所以本说法错误；D.因为＝0＝0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题． 举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）没有平方根．（ ）（2．（ ）（3）的平方根是．（ ） ()20a a =≥250=25= 2.5=0.25=()24-9-4=±21()10-110±（4）是的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √； ×，提示：（2；（4）是的算术平方根． 2、 填空：（1）是的负平方根．（2表示的算术平方根，． （3的算术平方根为． （4，则，若，则 ．【思路点拨】（3就是的算术平方根＝，此题求的是的算术平方根. 【答案与解析】(1)16；(2)(3) (4) 9；±3 【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（ ）：①3是9的平方根． ② 9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④ 是64的负的平方根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B ；提示：①④是正确的.【变式2】求下列各式的值：（1） （225--4254=254254-=3=x =3=x =181191911;164138-（3（4【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4） 3的取值范围是______________．【答案】≥； 【解析】＋1≥0，解得≥.【总结升华】当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.举一反三：【变式】（2020春•中江县期中）若+（3x+y ﹣1）2=0，求5x+y 2的平方根． 【答案】解：∵+（3x+y ﹣1）2=0，∴， 解得，，∴5x+y 2=5×1+（﹣2）2=9，∴5x+y 2的平方根为±=±3．类型二、利用平方根解方程4、求下列各式中的x 值（1）169x 2=144（2）（x ﹣2）2﹣36=0．【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）先将（x ﹣2）看成一个整体，移项后，根据平方根定义求解．【答案与解析】655x x 1-x x 1-a a解：（1）169x 2=144，两边同时除以169，得开平方，得x=（2）（x ﹣2）2﹣36=0，移项，得 （x ﹣2）2=36开平方，得 x ﹣2=±6，解得：x=8或x=﹣4．【总结升华】本题考查了平方根，根据是一个正数的平方根有两个．类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为，长为3，由题意得，·3＝13233＝1323＝－21(舍去)答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.2144169x =x x x x 2x 21x =±x。
《6.1.2 平方根》教案
《6.1.2 平方根》教案教学目标:1、理解数的平方根的概念，能运用根号表示一个数的平方根；2、能正确区分平方根与算术平方根的意义；3、掌握用平方根运算求某些数的平方根的方法。
教学重点：平方根的概念及求某些数的平方根的方法教学难点：平方根的概念对符号“”意义的理解。
教学过程：一、复习回顾1. 什么叫做算术平方根？一般地，如果一个正数x的平方等于a,即=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根。
a的算术平方根记为：; 读作：“根号a”,a叫做被开方数。
2. 判断下列各数有没有算术平方根，如果有，请求出它们的算术平方根。
100；1；; 0; －0.0025; (-3)2 ; －253.什么叫乘方？什么叫幂？答：求相同因数的积的运算叫做乘方；乘方的运算结果叫做幂。
4. 填空（1）42= ，（－4）2= ；（2）()2= ，(－)2=（3）（0.8）2= ，（－0.8）2= 。
显然乘方是已知底数和指数，求幂。
如：42已知底数4及指数2，求幂16。
反过来：如果已知一个数平方等于16，怎样求这个数？即知已指数2及幂16，求底数？解：设这个数为x则x 2 =16∵4 2 = 16，（－4）2 = 16∴x = 4 或－4因为4 ,－4的平方都等于16，我们把4及－4叫做16的平方根。
同理：, －的平方等于。
那么叫的平方根。
0.8,－ 0.8的平方等于0.64。
那么叫的平方根。
二、自学并讨论（一）、展示问题1.什么叫平方根？如何表示一个数的平方根？2.什么叫开平方？开平方与平方是什么关系？3.如何求一个数的平方根？4.平方根有什么性质？5.平方根与算术平方根有什么异同？（二）、解决问题1.什么叫平方根？一般的，如果一个数X的平方等于a，即x2=a那么这个数X叫做a的平方根（也叫做二次方根）。
例如，因为3和-3的平方都等于9，我们就说3和-3是9的平方根。
也可以说: 9的平方根是±3.2²=4，（-2）²=4，±2叫做4的平方根。
算术平方根和平方根的定义
算术平方根和平方根的定义算术平方根和平方根是数学中常见的概念，用来表示一个数的求根操作。
尽管它们看起来相似，但它们之间存在着微妙的差异。
首先，我们来定义算术平方根。
算术平方根是一个非负数，它的平方等于给定的数。
换句话说，给定一个数x，它的算术平方根可以表示为√x。
例如，如果x等于4，那么它的算术平方根就是2，因为2的平方等于4。
接下来，我们来定义平方根。
平方根是一个数，它的平方等于给定的数。
和算术平方根类似，给定一个数x，它的平方根可以表示为x的平方根。
不同的是，平方根可以是正数、负数或者零。
例如，如果x 等于4，那么它的平方根可以是2或者-2，因为2和-2的平方都等于4。
了解了这两个定义后，让我们来探讨一下它们的应用。
算术平方根常常用于解决几何问题，特别是在计算长度、面积和体积时。
例如，在测量一个正方形的对角线长度时，可以使用算术平方根来求解。
同样地，在计算一个三维立方体的体积时，也需要用到算术平方根。
而平方根则在物理学和工程学中扮演着重要的角色。
在许多物理公式中，平方根常常用于计算速度、加速度和力等相关的物理量。
此外，它们还在信号处理、电路设计和图像处理中被广泛使用。
尽管算术平方根和平方根具有各自独特的定义和应用，但它们之间也存在一些联系。
事实上，算术平方根可以被视为平方根的一种特殊情况，其中平方根是非负数。
因此，当我们要求一个数的平方根时，我们实际上也在寻找它的算术平方根。
总而言之，算术平方根和平方根都在数学和实际应用中起着重要的作用。
无论是解决几何问题还是计算物理量，它们都有着广泛的应用。
通过理解它们的定义和应用，我们可以更好地理解和运用数学在各个领域中的重要性。
6.1 平方根 (2)
3.你知道 2 有多大吗?
2
0 0 3 3
2的算术平方根是 2 .
合作探究
问题：能否用两个面积为1 dm2的小正方形 拼成一个面积为2 dm2的大正方形？
合作探究
问题：能否用两个面积为1 dm2的小正方形 拼成一个面积为2 dm2的大正方形？
合作探究
思考：拼成的这个面积为 2 dm2 的大正方形的 边长应该是多少呢？
动手操作 合作探究
12 1, 22 4,1 2 4, 1 2 2;
1.42 1.96,1.52 2.25,1.96 2 2.25, 1.4 2 1.5;
1.412 1.988 1,1.422 2.016 4,1.988 1 2 2.016 4， 1.41 2 1.42;
作业： P44 练习-2 P48 习题6.1 第11题
活动七 分层作业 提高能力
作业(必做题）：
1.运用计算器计算下列各式的值(精确到 0.01).
(1) 867 ，(2) 2 408.
2.估计与 40 最接近的两个整数是多少?
3.已知 1.720 1 1.311, 17.201 4.147 ,那么 0.001 720 1 的平方根
第六章 实 数
6.1 平方根（2）
复习回顾
1．什么是算术平方根？
2．判断下列各数有没有算术平方根？如果有，请求出
它们的算术平方根.
-36 ,
25 0.09 , 121 ,
0 , 32,
2.
只有非负数才有算术平方根,算术
平方根是非负数.
-36没有算 术平方根.
0.09 0.3
25 5 121 11
近似数).
七年级数学下册 第六章《平方根》精品课件 人教版
∴100的平方根是±10 ；
（2）∵ ( 3)2 9 ，
∴
9
4 16 的平方根是
3
；
16
4
（3）∵(±0.5)2＝0.25，
∴0.25的平方根是±0.5 ．
练习1 判断下列说法的正误：
（1） 16的平方根是 ±4; （2） ±7是49的平方根 ; （3） 121的平方根是11;
( √)
(√ ) ( ×)
2.平方根的性质是什么？
达标测评 1.平方根等于它本身的数是_____0_____，算术平
方根等于它本身的数是____0_和__1____.
2. 下列说法正确的是：（ A ） A. 5是25的一个平方根； B. 25的平方根是 5； C. －1的平方根是－1； D.（－1）2的平方根是－1.
达标测评 3.若2m－4和3m－1是同一个数的平方根，则这
想一想：3是前面学习过的9的算术平方根，－3与9 的算术平方根有什么关系？
互为相反数
探究1
填表：
x2
1
16 36 49
4
25
x
±1 ±4
±6 ±7 2
5
平方根：一般地，如果一个数的平方等于a，那么 这个数叫做a的平方根（也叫二次方根）. 即：x2＝a，那么x叫做a的平方根
4的平方根是：__±__2__; _±__0_.0_7__是0.0049的平方根.
归纳:（1）正数有两个平方根,它们互为相反数;
（2） 0的平方根是0； （3）负数没有平方根.
a 与 a 互为
相反数
练习2
下列各数有平方根吗？说明理由。
（1）－2； 没有 （2）(－2)2；有 （3）－22；没有 （4）0； 有 （5）(－2)3；没有 （6）2 有
平方根重点知识
重点知识：1、 平方根：如果一个数X 的平方等于a ，即X²=a，那么这个数X 就叫做a 的平方根。
例如，422=，2是4的平方根，4)2(2=-，－2是4的平方根，即2和－2都是4的平方根。
2、算术平方根：如果一个正数X 的平方等于a,即X²=a，那么这个正数X 就叫做a 的算术平方根。
（特别规定：0的算术平方根是0）。
例如，422=，正数2是4的算术平方根。
虽然4)2(2=-，但－2不是正数，所以－2不是4的算术平方根。
3、表示方法：平方根：一个非负数a 的平方根记做 a ±，读作“正负根号 a ”；例如：5的平方根记做5±，读作“正负根号5”。
算术平方根：一个非负数a 的算术平方根记作a ，读作“根号a ”；例如，5的算术平方根记作5，读作“根号5”。
结论：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根． 求一个非负数a 的平方根的运算，叫做开平方．练习题 A 组课前准备：写出并熟记1——20的平方：（1）21= ；22= ；23= ；24= ；25= ； 26= ；27= ；28= ；29= ；210= ；（2）211= ；212= ；213= ；214= ；215= ； 216= ；217= ；218= ；219= ；220= ；例1 求下列各数的平方根。
（1）121 （2）259 （3）0 （4）2)5(-例2、判断下列各数，哪些有算术平方根，哪些没有： 220.2,9,81,(2),2,(4),2,-------例3 求下列各数的算术平方根。
（1）225 （2）8164 （3）0.49 （4）625例4 下列说法是否正确？为什么？（1）5是25的平方根； （2）25的平方根是5； （3） －5是2)5(-的算术平方根；（4） 81的平方根是9±； (5)2是－4的算术平方根； (6) 9的算术平方根是3±。
平方根与算术平方根的区别
平方根与算术平方根的区别在数学的世界里，平方根和算术平方根是两个容易被混淆，但又有着明确区别的概念。
为了能更清晰地理解和运用它们，咱们一起来深入探讨一下这两者之间的差异。
首先，咱们来说说什么是平方根。
平方根，简单来说，如果一个数的平方等于 a ，那么这个数就叫做 a 的平方根。
用数学符号来表示，如果 x²＝ a ，那么 x 就叫做 a 的平方根。
例如，因为 2²＝ 4 ，（－2)²＝ 4 ，所以 4 的平方根就是 ±2 。
而算术平方根呢，它是平方根中的“正成员”。
对于一个非负数 a ，它的非负平方根就叫做 a 的算术平方根。
比如说，4 的算术平方根就是2 ，因为算术平方根一定是非负的。
从定义上，咱们就能看出它们的第一个明显区别——个数不同。
一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；而正数的算术平方根只有一个，是那个非负的平方根。
再看看符号表示的差异。
平方根的符号是±√ ，比如 4 的平方根表示为±√4 ＝ ±2 ；算术平方根的符号是√ ，4 的算术平方根表示为√4 ＝ 2 。
在取值范围上，平方根可以是正数、负数或者零，而算术平方根一定是非负的，也就是零和正数。
接着咱们通过实际的计算来感受一下它们的不同。
假设要计算 9 的平方根和算术平方根。
9 的平方根是±√9 ＝ ±3 ，这两个平方根分别是3 和－3 ；9 的算术平方根则是√9 ＝ 3 ，只有这一个正的值。
从几何意义上来说，平方根可以理解为一个正方形面积为 a 时，其边长的可能取值（因为边长可以是正也可以是负）；而算术平方根则是这个正方形在边长为非负时的取值。
在解决实际问题中，平方根和算术平方根的应用也有所不同。
比如在计算直角三角形的斜边长度时，用到的是平方根；而在计算一些只有正值才有实际意义的量，比如正方形的边长、距离等时，用的通常是算术平方根。
咱们再深入思考一下，为什么会有平方根和算术平方根这两个概念呢？其实这和数学的严谨性以及实际应用的需求是紧密相关的。
人教版[新教材]《平方根》优秀课件1
![人教版[新教材]《平方根》优秀课件1](https://img.taocdn.com/s3/m/f8776e8327284b73f3425059.png)
3．(例 1)估算 19 －2 的值( B )
A.在 1 和 2 之间
B．在 2 和 3 之间
C.在 3 和 4 之间
D．在 4 和 5 之间
学霸笔记：估计一个有理数的算术平方根的近似值，必 须先判断这个有理数位于哪两个数的平方之间．
4.估计 17 在( C ) A.2～3 之间 C.4～5 之间
三级检测练
一级基础巩固练
9.估算 56 的大小应是( C )
A．在 5～6 之间
B．在 6～7 之间
C．在 7～8 之间
D．在 8～9 之间
10.一个正方形的面积为50平方厘米，则正方形的边长
约为( C )
A．5厘米
B．6厘米
C．7厘米
D．8厘米
二级能力提升练 11.用计算器求下列各式的值(精确到 0.001)： (1) 800 ； (2) 0.58 ； (3) 2 401 .
(3)5 与 24 ；
(4)
24－1 2
与 1.5.
解：(3)因为 25＞24，所以 25 ＞ 24 .所以 5＞ 24 .
(4)因为
24
－1＞
16
－1＝3，所以
24－1 2
＞32
＝1.5.
所以
24－1 2
＞1.5.
三级拓展延伸练
13.【规律题】观察：已知 5.216 656 ＝2.284， 521.665 6
代表冰川消失的时间，单
（2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。
位是年． 11、多边形：由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫做多边形。连接不相邻两个顶点的线段叫做多边
算术平方根课件
思考
算术平方根有多种应用，以及与其他数学概念的联 系。我们还可以继续深入探究它们在物理、统计学 和工程学中的应用。
2
用幂运算估算
对于一个数字 x，其平方根可以通过 2^b（其中 b = log2(x) ⁄ 2）的方式来近似计 算。
3
牛顿-拉夫逊法
这个方法是通过反复运用平均数来逐步逼近平方根的。它比较适合用计算机来实 现。
算术平方根与代数平方根的比较
定义
代数平方根是指可以通过求 解方程 x²= a 来得到的数。算 术平方根是一个数的正平方 根。
反复操作，知道余数为0。此 时的答案即为平方根的结果。
78,538.24 8
853 -64 =789, 下一组为2。我 们将2并上789得到目前的余数 7892。 4
88.6
算术平方根的应用
博物馆展览
建筑行业
数学数值经常在展览中被展示， 并且算术平方根是计算这些数字 的一种方式。例如，一个人体重 的平方根可能会被用来计算药量。
建筑师和工程师经常需要测量物 体并计算其大小。平方根是计算 斜率或坡度的一种简单方法。
数据分析
平方根和其他数学概念被广泛用 于数据分析和统计学。它们可以 用来计算方差、标准差和协方差 等统计量。
总结和思考
总结
我们探讨了算术平方根的定义、符号和性质、估算 平方根的方法、算术平方根与代数平方根的比较、 计算平方根的步骤和示例、算术平方根的应用，并 总结了这一主题的要点。
算术平方根ppt课件
在这个课件中，我们将探索算术平方根的定义、符号和性质、估算平方根的 方法、算术平方根与代数平方根的比较、计算平方根的步骤和示例、算术平 方根的应用，并进行总结和思考。
算术平方根的定义
算术平方根的意义,通俗解释
算术平方根的意义,通俗解释
摘要：
1.引言
2.算术平方根的定义与通俗解释
3.算术平方根的应用场景
4.总结与拓展
正文：
【引言】
在日常生活中，我们经常会遇到一些数学概念，其中算术平方根就是一个非常重要的概念。
本文将为你详细解释算术平方根的意义，并通过实例介绍其应用，帮助你更好地理解和掌握这一概念。
【算术平方根的定义与通俗解释】
算术平方根，又称平方根，是一个数学概念。
通俗地说，如果一个数x的平方等于a，那么x就是a的平方根。
例如，9的平方根是3，因为3的平方（3×3）等于9。
需要注意的是，一个数的平方根可能有两个，一个是正数，另一个是负数，但我们在日常生活中通常只讨论正平方根。
【算术平方根的应用场景】
1.求解方程：当我们遇到形如x=a的方程时，可以通过求解平方根来找到方程的解。
例如，求解x=9的方程，我们可以得到x=3，因为3的平方等于9。
2.计算面积和体积：在几何学中，我们知道圆的面积公式为πr，其中r是
半径。
这里的r就是圆的半径的平方根。
同样，立方体的体积公式为V=a，其中a是边长，a就是边长的立方根。
3.金融领域：在贷款、存款等方面，利息的计算公式为：利息=本金×利率×时间。
这里的利率就是利息、本金和时间的平方根。
【总结与拓展】
通过以上介绍，我们可以看出，算术平方根在日常生活和数学应用中具有重要意义。
掌握好这一概念，可以帮助我们更好地解决实际问题。
此外，平方根的知识还可以拓展到其他数学领域，如三角函数、微积分等。
算术平方根的定义平方根和算术平方根的区别算术平方根是它本身的数有哪些
一、平方根和算术平方根的区别于联系它们之间的区别：（1）定义不同：如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根；非负数a的非负平方根叫做a的算术平方根。
（2）个数不同：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；而一个正数的算术平方根只有一个。
（3）表示方法不同：正数a的平方根表示为±，正数a的算术平方根表示为。
（4）取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数；正数的平方根一正一负，两数互为相反数。
它们之间的联系：（1）具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种，是正的平方根。
（2）存在条件相同：只有非负数才有平方根和算术平方根。
（3）0的平方根，算术平方根均为0。
开平方：求一个数的平方根的运算，叫做开平方。
注：（1）平方和开平方的关系是互为逆运算；（2）乘方是求根的途径，开平方是一种运算，是求平方根的过程；（3）开方的方式是根号形式。
二、算术平方根概念：若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x为a的算术平方根。
规定：0的算术平方根是0。
表示：a的算术平方根记为，读作“根号a”。
注：只有非负数有算术平方根，而且只有一个算术平方根。
三、算术平方根的定义平方根与算术平方根存在从属关系，是初中数学中的两个重要概念，算术平方根具有双重非负性，是指若一个正数x的平方等于a，即x^2=a，则这个正数x为a的算术平方根，a的算术平方根记作√￣a，读作“根号a”，a叫做被开方数。
四、算术平方根等于它本身的数算术平方根等于它本身的数是0和1。
五、算术平方根怎么算一般地说，若一个非负数x的平方等于a，即x²=a，则这个数x叫做a的算术平方根。
计算a的算术平方根可记为√a，读作“根号a”，a叫做被开方数。
六、算术平方根的性质（1）双重非负性在x=√a中的a①a≥0（若小于0，则为虚数）②x≥0（2）与平方根的关系正数的平方根有两个，它们为相反数，其中非负的平方根，就是这个数的算术平方根。
人教版七年级数学下册6.1 平方根(第3课时)
6.1 平方根
第3课时
导入新知
1.什么叫做算术平方根？
如果一个正数x的平方等于a,那么这个正数x叫做a的 算术平方根.
2.判断下列各数有没有算术平方根，如果有，请求出它 们的算术平方根.
100； 1； 36 ; 0; －0.0025; (-3)2 ; －25.
121
导入新知
① -3是9的平方根; ②25的平方根是5; ③ -36的平方根是-6;
④平方根等于0的数是0; ⑤64的算术平方根是8. 2.下列说法不正确的是___B___ A.0的平方根是0 B. 22 的平方根是2 C.非负数的平方根互为相反数 D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数
课堂检测
3. 判断下列说法是否正确.
1. 了解平方根的概念,掌握平方根的特征.
探究新知
知识点 1 平方根的概念及性质
要做一张边长是3分米的方桌 面，它的面积是多少？
这个问题实际上就是求：
32 ？
答：9平方分米. 乘方运算
这是已知底数和指数，求幂的运算.
3分米
探究新知 反过来，要做一张面积是9平方分米的方桌面，它的
边长是多少分米？
实际上就是要求出一个数，使
∴0.49的平方根为±0.7． 即 0.49 0.7 .
探究新知
知识点 3 平方与开方的关系 已知一个数，求它的平方的运算，叫作平方运算.
平方
+1
-1
1
+2
-2
4
+3
-3
9
探究新知
反之，已知一个数的平方，求这个数的运算是什么？
+1
？运算
-1
1
算术平方根知识点总结
算术平方根知识点总结算术平方根是数学中一个基础且重要的概念。
在我们的日常生活和学习中，它有着广泛的应用。
接下来，让我们详细地了解一下算术平方根的相关知识。
一、算术平方根的定义若一个非负数 x 的平方等于 a，即\（x^2 ＝ a\），那么这个非负数x 叫做 a 的算术平方根，记作\（＼sqrt{a}＼），读作“根号a”，a 叫做被开方数。
特别地，0 的算术平方根是 0。
例如，因为\（2^2 ＝ 4\），所以 2 是 4 的算术平方根，即\（＼sqrt{4} ＝ 2\）；因为\（0^2 ＝ 0\），所以 0 是 0 的算术平方根，即\（＼sqrt{0} ＝ 0\）。
需要注意的是，负数没有算术平方根，因为任何数的平方都是非负数。
二、算术平方根的性质1、双重非负性算术平方根具有双重非负性，即被开方数\（a\geq 0\），算术平方根\（＼sqrt{a}＼geq 0\）。
这是因为一个数的平方不可能是负数，所以被开方数必须是非负的；同时，算术平方根表示的是一个非负的数。
2、唯一性一个正数的算术平方根是唯一的。
例如，9 的算术平方根只有一个，就是 3，而不是\（－3\）。
3、运算性质＼（＼sqrt{a^2} ＝｜a|＼）当\（a\geq 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）；当\（a ＜ 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）。
三、算术平方根的计算1、常见数的算术平方根要牢记一些常见数的算术平方根，例如：＼（＼sqrt{1} ＝ 1\），＼（＼sqrt{4} ＝ 2\），＼（＼sqrt{9} ＝3\），＼（＼sqrt{16} ＝ 4\），＼（＼sqrt{25} ＝ 5\）等等。
2、利用平方运算求算术平方根对于一个数 a，如果要计算它的算术平方根，可以通过试探找到一个数 x，使得\（x^2 ＝ a\），则\（x ＝＼sqrt{a}＼）。
例如，要计算\（＼sqrt{10}＼），因为\（3^2 ＝ 9\），＼（4^2 ＝16\），而 10 在 9 和 16 之间，所以\（＼sqrt{10}＼）在 3 和 4 之间。
6.1.2用计算器求算术平方根及大小比较
所以 1.4 <
< 1.5．
大
小
因为 1.4142 = 1.999396，1.4152 = 2.002225，
而 1.999396 < 2 < 2.002225，
所以 1.414 <
< 1.415
夹逼法
......
如此下去，可以得到
的更精确的近似值.
无限不循环小数的概念
事实上，继续重复上述的过程，可以得到
44.94
则 ≈ ______.
>
m
<
>
m
<
>
/m
<
>
m
<
>
m
<
>
/m
<
>
m
<
>
/m
<
>
/m
<
>
m
<
>
/m
<
>
/m
<
（2）若 . ≈ . ， . ≈ . ，
617.2
则 ≈ ______.
>
m
<
>
m
<
>
/m
<
>
/m
<
>
m
<
>
/m
<
＜ .
（1） ____
＜ − .
（5） − ____
＞
（2） ____4.
＜ − .
（6） − ____
6.1 平方根 课件6(数学人教版七年级下册)
记一记！
牢记这个 性质！
一、概念理解填空题：
2
小试牛刀
9 3 3 9 （1）因为 ，所以 7 是 49 的平方根；
7
49
（ 2） a
0 时， a
0 ；
a
0
。
（3）0的平方根可以理解成： 0 0 ；
0 0 。
所以概括为 0 0 。
难点解析
7
作 业
课本第47页 第1题、第4题
显然 乘方是已知底数和指数，求幂。 如： 42已知底数4及指数2，求幂16。
反过来：如果已知一个数平方等于16，怎 样求这个数？即知已指数2及幂16，求底数？ 设这个数为x 则 x 2 =16 ∵4
2
= 16，（－4）2 = 16
∴ x = 4 或 －4
因为4 、－4的平方都等于16，我们把4及 －4叫做16的平方根。
判断下列说法是否正确：
（1）－9的平方根是－3; ( ×
) 负数没有平方根
（2）49的平方根是7 ；
（4）－1 是 1的平方根; （5）若X = 16
2
( ×
（ √ （ × ( ×
)
） ） )
2 （3）（－2） 的平方根是±2 ；（ √
7
） 22 4
则X = 4
（6）7的平方根是±49.
如何表示一个数的平方根？
平方根的表示方法、读法P45
可以省略 根指数
根号
非负数a的平方根 表示为： a
2
a
2
被开方数
一个正数a的正平方根，用“ a”表示， （读作“根号a”）。 又叫a的算术平方根
a 的负平方根，用“
（读作“负根号a”）。
算术平方根PPT课件
∴81的平方根为±9．即： 819
（2）( 4)2 16
16 25
5 25
的平方根是
4 5
， 即
16 4 25 5
（3）219,(3)2 9
2
1
44 2
的平方根是
4
3
4
2
，即
21 3 42
(4)∵(±0.7)2=0.49，
∴0.49的平方根为±0.7．
即2020年100月.24日 907
6
技能训练
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
12
2020年10月2日
1
知识回顾
1：什么叫做算术平方根？ 2：判断下列各数有没有算术平方 根，如果有请求出它们的算术平方 根。 100；1；36/121; 0; －0.0025; (-3)2
－25； 106
解：∵102 =100
∴100的算术平方根是10 . 即
=10
2020年10月2日
2
想一想 1：9的算术平方根是 -----？
p34
2020年10月2日
3
平方根：若一个数x的平方等பைடு நூலகம்a,即 x2=a，那么这个数x叫做a的平方根
(也叫二次方根)
如果x2=a,
那么x=±√a
一个正数有一正一负两个平方根； 0的平方根是0； 负数没有平方根。
2020年10月2日
4
求一个数 a 的平方根的运算,叫做开平方. 其中a 叫做被开方数
b2=4a2
b=
4a2 2a
b 2a 2 aa
假如是圆呢？ 等边三角形呢？
即2变020年大10后月2日的正方形边长是原来边长的2倍
【优课件】6.1 平方根(第2课时)-2021-2022学年七年级数学下册同步备课系列(人教版)
解:(1)
∵
（2） 与6.
= ，
２
= ，
∴ > .
(2)∵
= ，
∴ > ，
∴2 > .
已知非负数a、b
= ，
２
Байду номын сангаас
若a ＞b ，则a＞b
例3：小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块
面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2. 她不知能否裁得出
∴. < <1.415.
……
如此下去，可以得到 的更精确的近似值.
新知讲解
无限不循环小数：
继续重复上述的过程，可以得到
2 1.414 213 562 373......
小数位数无限，且小数部分不循环的小数称为无限不循环小数.
是一个无限不循环的小数.
典例分析
例1：估算 − 的值 ( B )
1. 若 . ≈ . ， . ≈ . ，那么 ≈ . ，
. ≈ . .
2.若已知 . ≈ . ， = . ，那么 = .
当堂巩固
1. 在计算器上按键
A. 3
B. －3
，下列计算结果正确的是 （ B ）
A. 在1和2之间
B. 在2和3之间
C. 在3和4之间
D. 在4和5之间
解析：因为 < < ,
所以 <
< ，所以 < − < . 故选B.
估计一个有理数的算术平方根的近似值，要先判断这个
有理数位于哪两个数的平方之间.
例2：试比较下列各组数的大小
（1）与 ；
实数运算之平方根、算术平方根、立方根
实数运算之平方根、算术平方根、立方根【高频考点精讲】1．平方根（1）定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根。
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根。
（2）求一个数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数。
”。
一个正数a的正的平方根表示为“a”，负的平方根表示为“a2．算术平方根（1）定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记作a。
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a 本身是非负数。
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算。
3．立方根（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，即x3＝a，那么x叫做a的立方根，记作3a。
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数，任意数都有立方根。
（3）求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数。
注意：“3a”的根指数“3”不能省略，对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一立方根。
4．平方根和立方根的性质（1）平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
（2）立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
【热点题型】1．2的平方根是（）A．2B．±2C．D．解：因为（±）2＝2，所以2的平方根是，答案：D．2．一个正数a的两个平方根是2m﹣1和m+4，则这个正数a＝9．解：由题意得，2m﹣1+m+4＝0，解得：m＝﹣1，则a＝（m+4）2＝（﹣1+4）2＝9．答案：9．3．9的算术平方根是3．解：∵（±3）2＝9，∴9的算术平方根是3．答案：3．4．若实数m，n满足|m﹣n﹣5|+＝0，则3m+n＝7．解：∵|m﹣n﹣5|+＝0，∴m﹣n﹣5＝0，2m+n﹣4＝0，∴m＝3，n＝﹣2，∴3m+n＝9﹣2＝7．答案：7．5．的立方根为（）A．B．C．D．解：∵（﹣）3＝，∴的立方根是．答案：A．6．化简：＝2．解：∵23＝8∴＝2．答案：2．。
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例2 已知一个正数x的两个平方根是1和3，则a的是值是多少？
点拨：一个正数的平方根有两个且互为相反数。
练习、求下列各式的值。
①
②
③
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④
点拨： （1）先弄清题的实际意义再求值。 （2）如果知道一个数的算术平方根，就可以立即写出它 的负的平方根。为什么？
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5、请分别说出算术平方根和平方根等 于本身的数？
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6、平方根与算术平方根的联系与区别？
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平方根与算术平方根的联系与区别： 联系 （1）具有包含关系:平方根包含算术平方根，算术平方根 是平方根的一种。 （2） 存在条件相同：平方根和算术平方根都具有非负性。 （3） 0的平方根和算术平方根都是0。 区别 （1） 定义不同： “如果一个数X的平方等于a，那么这个 数X叫做a的平方根”， “如果一个正数x的平方等于a,即 x2 ,那么这个正数x叫做a的算术平方根”。 （2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的 算术平方根只有一个。 （3）表示方法不同：正数a的算术平方根表示为√ a，而正 数a的平方根表示为±√ a。
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【课堂小结】
下面的问题你都会了吗？
1.什么叫平方根？如何表示一个数的平方根？ 2.什么叫开平方？开平方与平方是什么关系？ 3.如何求一个数的平方根？ 4.平方根有什么性质？ 5.平方根与算术平方根有什么异同？
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②非负数a的平方根用 ± 表a 示，读作 正、负根，号正a数a的
算术平方根用 表示，正a 数a的负的平方根用 表示。
a
2.自学反馈 2 5 ,2 5 ,2 5 各 表 示 什 么 意 义 ？
思考：为什么负数没有平方根？ 因为我们所认识的数中，任何一个数的平方都不会 是负数，所以负数没有平方根。
1、因为
3
2
9 ，所以
是
的平方根；
7 49
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2、在0、－9、2、（－2）2 中，有平方根的是（ ）
A、1个 B、2个
C、3个
D、4个
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3、 5x为25的平方根，求x的值。
4、数（－6）2的平方根是（ ）
A、－6
B、6
C、6或－6 D、无平方根
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1.什么叫做算术平方根？
一般的，如果一个的平方等于a，即，那么这个叫做x²a的算术
平方根．a的算术平方根记为，读作：叫做．
a
根号a
0
2. 判断下列各数有没有算术平方根，如果有，请求出
它规们定：的0算的术算术平平方方根根。是． 100；1； 3 6 ; 0;
121
(-3)2 ; －25；
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阅读教材，独立完成下列问题：
1、知识准备 （1）填空： 3 ，表示求；9的算术平方根
（2）P44页思考题解决了吗？
2、知识探究
①一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平
方根，或即二如次果方根 ，那x么² x叫做a的
，如平4的方平根方根
为
。 ±2
②求一个数的平方根的运算，叫做开平方。开平方与平方
互为 逆运算 。
3、自学反馈
①49的平方根是 ±7 ， 的平方根是 ±3 。
注意类似 的平方根应弄清楚其意思是求 9的平方根（应创意审题搞清被开方数）。
例1．求下列各数的平方根 25
①121
②0.81
③ 49
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④0
点拨：求一个数的平方根就是求平方等于这个数的数。
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解：10010 1 1
36 6 121 11
00
（3） 2 93；25没 有 算 术 平 方 根 ；
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3.什么叫乘方？什么叫幂？
答：求几个相同因数的积的运算叫做乘方；
乘方的运算结果叫做幂。
4. 填空
（1）42= 16 ，（－4）2= 16 ；
（2）
2 3
2
4 9
，
2
2
3
4 9；
（3）（ 8 ）2= 64 ，（ －8 ）2= 64 。
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6.1 平方根（2）
学习目标
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1.理解数的平方根的概念，能运用根号表 示一个数的平方根；
2.能正确区分平方根与算术平方根的意义；
3.掌握用平方根运算求某些数的平方 根的方法。
练习、下列说法不正确的是（ A、 是2的平方根
C、2的平方根是
） B、 是2的平方根
D、2的算术平方根是
点拨：一个正数的平方根有两个，算术平方根是平方根中非负的平 方根。
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阅读教材P45思考至P46，独立完成下列问题： 1、知识探究 ①正数的平方根有 两个，它们互 相反；数0的平方根 是 0 ；负数 没平有方根。