信息论与编码-曹雪虹-课后习题答案

《信息论与编码》-曹雪虹-课后习题答案 第二章

2.1一个马尔可夫信源有3个符号{}1,

23,u u u ，转移概率

为：()1

1

|1/2p u u =，()2

1|1/2p u

u =，()31|0p u u =，()12|1/3p u u =，

()22|0p u u =，()32|2/3p u u =，()13|1/3p u u =，()23|2/3p u u =，()33|0p u u =，

画出状态图并求出各符号稳态概率。 解：状态图如下

状态转移矩阵为：

1/21/2

01/302/31/32/30p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

设状态u 1，u 2，u 3稳定后的概率分别为W 1，W 2、W 3

由1231WP W W W W =⎧⎨++=⎩得1231132231231

112331223231

W W W W W W W W W W W W ⎧++=⎪⎪⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪++=⎩计算可得1231025925625W W W ⎧=⎪⎪⎪

=⎨

⎪

⎪=⎪⎩

2.2 由符号集{0，1}组成的二阶马尔可夫链，其转移概率为：(0|00)p =0.8，(0|11)p =0.2，(1|00)p =0.2，(1|11)p =0.8，

(0|01)p =0.5，(0|10)p =0.5，(1|01)p =0.5，(1|10)p =0.5。画出

状态图，并计算各状态的稳态概率。 解：(0|00)(00|00)0.8p p == (0|01)(10|01)0.5p p ==

(0|11)(10|11)0.2p p == (0|10)(00|10)0.5p p == (1|00)(01|00)0.2p p == (1|01)(11|01)0.5p p == (1|11)(11|11)0.8p p == (1|10)(01|10)0.5p p ==

于是可以列出转移概率矩阵：0.80.20

0000.50.50.50.500000.20.8p ⎛⎫ ⎪

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

状态图为：

设各状态00，01，10，11的稳态分布概率为W 1,W 2,W 3,W 4 有

41

1i i WP W W ==⎧⎪⎨=⎪⎩∑ 得 131

132

24324412340.80.50.20.50.50.20.50.81W W W W W W W W W W W W W W W W +=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪+++=⎪⎩ 计算得到123451417175

14W W W W ⎧=⎪⎪

⎪=⎪⎨

⎪=⎪⎪⎪=

⎩

2.3 同时掷出两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为1/6，求：

(1) “3和5同时出现”这事件的自信息； (2) “两个1同时出现”这事件的自信息； (3) 两个点数的各种组合（无序）对的熵和平均信息量；

(4) 两个点数之和（即2, 3, … , 12构成的子集）的熵；

(5) 两个点数中至少有一个是1的自信息量。 解： (1)

bit

x p x I x p i i i 170.418

1

log )(log )(18

1

61616161)(=-=-==

⨯+⨯=

(2)

bit

x p x I x p i i i 170.536

1

log )(log )(36

1

6161)(=-=-==

⨯=

(3)

两个点数的排列如下： 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36

41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66

共有21种组合：

其中11，22，33，44，55，66的概率是36

16

161=

⨯ 其他15个组合的概率是18

16

1612=⨯⨯

symbol bit x p x p X H i

i i / 337.4181log 18115361log 3616)(log )()(=⎪⎭⎫ ⎝⎛

⨯+⨯-=-=∑

(4)

参考上面的两个点数的排列，可以得出两个点数求和的概率分布如下：

symbol

bit x p x p X H X P X i

i i / 274.3 61log 61365log 365291log 912121log 1212181log 1812361log 36

12 )

(log )()(36112181111211091936586173656915121418133612)(=⎪

⎭⎫ ⎝⎛

+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎥

⎦⎤⎢⎣⎡∑(5)

bit x p x I x p i i i 710.136

11

log

)(log )(3611116161)(=-=-==

⨯⨯=

2-4

2.5 居住某地区的女孩子有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高160厘米以上的，而女孩子中身高160厘米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高160厘米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？

解：

设随机变量X代表女孩子学历

X x1（是大学生）x2（不是大学

生）

P(X) 0.25 0.75

设随机变量Y代表女孩子身高

Y y1（身

高>160cm）y2（身高<160cm）

P(Y) 0.5 0.5